Lý thuyết hệ phương trình docx

Giáo viên: Trần Văn Hùng - Môn: Toán - Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: ax by c a 'x b'y c' + =   + =  Đặt x y a b c b a c D ; D ; D a ' b' c' b' a' c' = = = - Nếu: D 0 ≠ : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: y x D D x ;y D D = = - Nếu D = 0: + x D 0≠ hoặc y D 0≠ : Hệ vơ nghiệm + x y D D 0= = : Hệ có vơ số nghiệm là tập nghiệm của phương trình ax + by + c = 0 Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 3x y 2 x 3y 1  + =   + =   b. 1 2 1 x y 2 1 3 x y  + =     + =   Bài 2: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a. x my 3m mx y 2m 1 + =   + = +  b. mx y 1 0 x my 2 0 − + =   + + =  c. mx (m 2)y 2 x my m + + =   + =  Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm: 2 mx my m 1 (m m)x my 2 − = +   − + =  Bài 4: Tìm m để hệ phương trình có vơ số nghiệm: 2(m 2)x (5m 3)y 2(m 2) (m 2)x 3my m 2 + − + = −   + − = −  Bài 5: Cho hệ phương trình: mx y 2m x my m 1 + =   + = +  a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y). Tìm hệ thức liện hệ giữa x, y độc lập với m. b. Tìm m để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm ngun. Bài 6: Tìm m để hai đường thẳng: (d): x + my = 1 và (d'): mx + 4y = m -1 a. Cắt nhau b. Song song c. Trùng nhau B. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẤC HAI 2 ẨN - Phương pháp giải: Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất, thay vào phương trình bậc hai. Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a. 2 2x 3y 1 x xy 24 − =   − =  b. 3x 4y 1 0 xy 3(x y) 9 − + =   = + −  c. 2 y x 4x 2x y 5 0  + =  + − =  d. 2 2 2x y 5 x xy y 7 − =   + + =  Bài 2: Cho hệ phương trình: 2 2 x 2y 6 x y a + =   + =  . Tìm a để hệ phương trình: a. Có nghiệm duy nhất b. Vơ nghiệm c. Có hai nghiệm phân biệt C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Kiến thức cần nhớ: 1) Hệ phương trình đối xứng loại 1: - Dạng:    = = 0)y,x(g 0)y,x(f trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đối xứng theo x và y - Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S 2 - 4P )0≥ Giáo viên: Trần Văn Hùng - Môn: Toán - Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm - Chú ý: + Đơi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến hành đặt S, P + Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì (y , x) cũng là nghiệm. 2) Hệ phương trình đối xứng loại 2: - Dạng:    = = 0)x,y(f 0)y,x(f (hốn vị vai trò của x và y thì phương trình này thành phtrình kia) - Cách giải: + Trừ vế theo vế ta được một phương trình có thể phân tích thành (x - y)g(x,y) = 0 + Khi đó hệ phương trình đã tương đương với: )II( 0)y,x(f 0)y,x(g )I( 0)y,x(f 0yx    = = ∨    = =− Bài 1: Giải hệ phương trình: a)      =+ =+ 35yx 30xyyx 33 22 b)      =+− =+ 13yyxx 5yx 4224 22 c)        =+++ =+++ 9 y 1 x 1 yx 5 y 1 x 1 yx 22 22 d)      =+ =+ 5yx 6 13 x y y x Bài 2: a) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình sau ln có nghiệm:    +=+ +=++ mmxyyx 1m2yxyx 222 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Bài 3: Cho hệ phương trình:      =+ −=+ myx m6yx 222 a) Giải hệ khi m = 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Bài 4: Giải các hệ phương trình: a)      += += x2y3y y2x3x 2 2 b)      +=− +=− xy2x2y yx2y2x 22 22 c)      += += x8y3y y8x3x 3 3 d)        =− =− y x 4x3y x y 4y3x Bài 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:      +−= +−= myy4yx mxx4xy 232 232 D. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Kiến thức cần nhớ: - Dạng:    = = 0)y,x(g 0)y,x(f trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ của x và y trong cùng một hạng tử bằng nhau) - Cách giải: + Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0) + Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx) Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t. + Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t. Bài 1: Giải hệ phương trình: a)    =− =− 2)yx(xy 7yx 33 b)      =−− =+− 0y6xy7x5 0y4xy8x3 22 22 c)      =+− −=+− 13y3xyx3 1yxy3x 22 22 Bài 2: Cho hệ phương trình:      =− =+− 4xy3y ayxy4x 2 22 a) Giải hệ khi a = 4 b) Chứng minh hệ ln có nghiệm với mọi a. . nhau B. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẤC HAI 2 ẨN - Phương pháp giải: Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất, thay vào phương trình bậc hai. Bài 1: Giải các hệ phương trình. Cho hệ phương trình: 2 2 x 2y 6 x y a + =   + =  . Tìm a để hệ phương trình: a. Có nghiệm duy nhất b. Vơ nghiệm c. Có hai nghiệm phân biệt C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Kiến thức cần nhớ: 1) Hệ. Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0) + Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx) Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t. + Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t. Bài 1: Giải hệ phương trình: a)