Tài liệu Chuyên Đề Phương Trình & Hệ Phương Trình ppt

Chuyên Đề Phương Trình & Hệ Phương Trình A. Các loại phương trình và hệ phương trình cơ bản I.Phương trình bậc nhất 1.1 Dạng : a x+b=0 1.2 Cách giải: a0≠ : phương trình có một nghiệm b x a = − a=0 : + : phương trình vô nghiệm b0≠ + : phương trình có nghiệm x tùy ý b0= 1.3 Bài tập Bài 1: Giải phương trình xa xb xc 111 2( ) bc ac ab a b c −−− ++=++ (*) Lấy VT-VP (*) được phân tích thành 111 (x a b c)( ) 0 bc ac ab −−− + + = Nếu 111 0 bc ac ab ++≠ thì phương trình có nghiệm là : xabc = ++ Nếu 111 0 bc ac ab ++= thì phương trình trên đúng với mọi x Bài 2: Giải phương trình abx acx cbx 4x 1 cbaabc +− +− +− +++ ++ = Cộng 3 vào 2 vế của phương trình ta được : 111 abcx (a b c x)( ) 4 abc abc ++− ++− + + = + + 111 4 (a b c x)( ) 0 abcabc ++− ++− = ++ Vậy xabc=++ II. Phương trình bậc hai 2.1 Dạng : 2 ax bx c 0(a 0)++= ≠ 2.2 Cách giải: a=0 : phương trình suy biến thành bậc 1 a0≠ : lập 2 b4acΔ= − 0Δ< : phương trình vô nghiệm 0Δ= : phương trình có nghiệm kép 12 b xx 2a ==− 0Δ> : phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1, 2 b x 2a − ±Δ = Chú ý : Nếu 1 b x 2a −− Δ = và 1 b x 2a −+ Δ = thì : khi 1 xx< 2 2 a0> khi 1 xx> a0< Nếu và c trái dấu thì nên a ac 0< 4ac 0 − < do đó 0 Δ > phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt 2.3 Hệ thức Vi-et i) Nếu phương trình có 2 nghiệm thì 2 ax bx c 0++= 1 x&x 2 12 12 bc xx &xx aa + =− = ii) Đảo lại cho 2 số bất kỳ , α β ,khi đó chúng là nghiệm của phương trình 2 xSxP0−+= với S= α β + và P α β = Định lý 1 : Cho tam thức bậc 2 2 f(x)=ax bx c + + i) Nếu tìm được số α để af( ) 0 α ≤ thì tam thức có nghiệm ,còn nếu af( ) 0 α < thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt ii) Nếu tìm được số , α β sao cho f( )f( ) 0 α β ≤ thì tam thức có nghiệm ,nếu f( )f( ) 0 α β < thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt Định lý 2 : Để phương trình 2 ax bx c 0 + += có nghiệm hữu tỷ điều kiện cần và đủ là biệt số là 1 số chính phương Δ Định lý 3 : Nếu 0 p x q = là nghiệm hữu tỷ của phương trình 2 ax bx c 0 + += trong đó thì q là ước của a và p là ước của (p,q) 1= c 2.3 Bài tập Bài 1: Giải phương trình 22 2x x 3 3x x 1 3x 4x 1 2 + = − +−+ (*) Tập xác định 1 R\ 1, 3 ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭ x0= : không là nghiệm x0≠ : (*) 21 11 2 3x 1 3x 4 xx ⇔+ −+ − + 3 = Đặt 1 y3x x =+ ta quy về phương trình bậc hai 2 3y 21y 30 0 − += giải ra ta được nghiệm và từ đó tìm được nghiệm y2= y5= 513 x 6 ± = Bài 2: Giải phương trình 22 2 11 1 x 9x40x11x30x 13x4218 ++ ++ + + + + 1 = 111111 x4 x5x5 x6 x6x718 ⇔−+−+−= ++++++ 1 3 2 x11x260⇔+ −= Giải ra ta được nghiệm và x1=− x2 = Bài 3: Giải phương trình (x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) 1 c(c a)(c b) a(a b)(a c) b(b a)(b c) x −− −− −− + += −− −− −− Trong đó a, là 3 số khác nhau và khác 0 b,c ⇔ (x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) 1 0 c(c a)(c b) a(a b)(a c) b(b a)(b c) x −− −− −− + +− −− −− −− = Rõ ràng ta thấy là 3 nghiệm phân biệt của phương trình trên . Khi quy đồng mẫu số (đk ) ,vế trái phương trình sẽ là một đa thức khác 0 do đó phương trình có không quá 3 nghiệm .Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm a,b,c x0≠ 123 xa,xb,xc = == Bài 4: a. Giả sử là hai nghiệm của phương trình .Hãy tính theo a 12 x,x 2 x ax+1=0 − 7 71 2 Sxx=+ 7 b. Tìm đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận số 77 3 53 α =+ 5 2 2 a là nghiệm a. Ta có 22 2 2 21 2 12 12 Sxx (xx)2xxa=+=+ − =− 222 2222 412 12 S(x x)2xx (a2)=+ − =−− 22 3 3121122 2 S(xx)(x xxx)a(S1)a3=+ − + = −=− 3344 33 7 5 3 71212 1212 341 S (x x )(x x ) x x (x x ) S S S a 7a 14a 7a=+ +− += −=−+ − b. Đặt 77 12 35 x,x 53 == Theo Vi-et là nghiệm của phương trình 12 x,x 2 xx1 α 0 − += mà ta có 77 71 2 Sxx=+ 75 3 a 7a 14a 7a=− + − = 35 53 + 753 15 105 210 105 34 0 αααα ⇔− + −−= Vậy đa thức cần tìm là 753 15x 105x 210x 105x 34 0−+−−= III. Phương trình bậc ba 3.1 Dạng 32 ax bx cx d 0+++= 3.2 Cách giải phương trình bậc ba tổng quát của Cardano Cái này đối với học sinh THCS không quan trọng lắm nên tác giả chỉ xin đưa link để bạn nào muốn tìm hiểu thì tham khảo http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf hoặc http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation . 3.3 Hệ thức Vi-et i) Nếu phương trình bậc ba 32 ax bx cx d 0+++=(a 0) ≠ có ba nghiệm thì : 123 x,x,x 123 12 23 31 123 b xxx a c xx xx xx a d xxx a ⎧ ++=− ⎪ ⎪ ⎪ ++= ⎨ ⎪ ⎪ =− ⎪ ⎩ ii) Đảo lại nếu 3 số u, thỏa mãn v,w u v w=m,uv+vw+wu=n,uvw=p + + thì là nghiệm của phương trình u,v,w 32 tmtntp0−+−= Định lý Bezout : Cho 1 đa thức P( ,nếu P( có một nghiệm là x) x) α thì P( chia hết cho (xx) ) α − có nghĩa là P(x) (x ).Q(x) α =− (bậc Q(x) P(x) < là 1 ) 3.4 Các phương pháp chung giải phương trình bậc ba 3.4.1 Nếu biết trước một nghiệm 0 xx = thì phân tích phương trình 2 0 (x x )(ax bx c) 0−++= 1 1 Đặc biệt nếu : abcd0+++= thì (*) 0 x= abcd0−+−= thì (**) 0 x=− 3 dc () ab = thì 0 c x b =− (***) Sau đó để tìm a, ta có thể sử dụng phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ Horner hay đồng nhất hóa hai vế để tìm b,c 3.4.1 Biết một hệ thức giữa các nghiệm thì ta dùng Vi-et 3.4.2 Dùng hằng đẳng thức để biến đổi về phương trình tích 3.5 Bài tập Bài 1: Giải phương trình 32 x2x4x80 + −+= (1) Gợi ý sử dụng (***) giải ra ta được x2 = − Bài 2: Giải phương trình 32 x3xx10 − ++= (2) Gợi ý sử dụng (*) ta thấy là nghiệm đa thức vế trái suy ra (2) .Đồng nhất hóa 2 vế ta được x1= 2 (x 1)(ax bx c) 0⇔− ++= 2 (x 1)(x 2x 1) 0⇔− −−= Sau đó giải ra nghiệm Bài 3: Giải phương trình 32 12x 14x 17x 6 0 + −+= Biết phương trình có 2 nghiệm mà tích bằng 1 − Gợi ý sử dụng hệ thức Vi-et để tìm được một nghiệm sau đó làm tương tự bài trên IV. Phương trình bậc bốn 4.1 Dạng : 432 ax bx cx dx e 0(a 0)++++=≠ 4.2 Cách giải phương trình bậc bốn tổng quát của Ferrari Cái này đối với học sinh THCS không quan trọng lắm nên tác giả chỉ xin đưa link để bạn nào muốn tìm hiểu thì tham khảo http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf hoặc http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation 4.3 Các phương pháp chung giải phương trình bậc bốn 4.3.1 Dạng 42 ax bx c 0(a 0)++=≠ Cách giải: Đặt ,ta được 2 tx 0=≥ 2 at bt c 0 + += +Giải để tìm t0≥ +Với mỗi nghiệm ,phương trình có hai nghiệm phân biệt : 0 t> 0 102 xt,x=− = 0 t 4.3.2 Dạng với (x a)(x b)(x c)(x d) k++++= abcd + =+ Cách giải : Đặt ta được phương trình bậc 2 theo .Giải ra tìm ,sau đó tiếp tục giải để tìm t(xa)(xb=+ +) t t x 4.3.3 Dạng 44 (x a) (x b) k+++= Cách giải : Đặt ab tx 2 + =+ ta được phương trình trùng phương theo t 4.3.4 Dạng 432 ax bx cx bx a 0++±+= Cách giải : +Xét có là nghiệm của phương trình hay không x0= +Xét chia 2 vế cho phương trình trở thành x0≠ 2 x 2 2 11 a(x ) b(x ) c 0 xx + +±+= Đặt 1 tx x =± ta được phương trình bậc 2 theo t 4.4 Bài tập Bài 1: Giải phương trình (x 1)(x 6)(x 5)(x 2) 252++ + += Bài 2: Giải phương trình 43 2 9x 9x 52x 9x 9 0 − −−+= Bài 3: Giải phương trình 22 11 25 1 x(x5) − = + Điều kiện x- 5&x0≠≠ Đặt .Ta có x5y0+=≠ 22 xy10y2=− +5 Thay vào phương trình ta được 432 y 10y 39y 250y 625 0−+− +=.Do y0 ≠ nên ta có 2 2 25 25 (y ) 10(y ) 39 0 yy +− ++= Đặt 25 zy y =+ phương trình trở thành 2 z10z110 − −= z11 z1 = ⎡ → ⎢ = − ⎣ Nghiệm loại vì dễ thấy |Z z=−1 | 10≥ Từ đó tính được y và x Bài 4: Giải phương trình 2 2 2 4x x5 (x 2) + = − Điều kiện x2 ≠ 222 22 2x 4x x 4x (x ) 5 ( ) 5 x2 x2 x2 x2 ⇔+ − =⇔ − = −− −− Ta đặt 2 x y x2 = − 1 2 2 y1 y4y50 y5 =− ⎡ →−−=→ ⎢ = ⎣ Từ đó ta tìm được nghiệm và x2x1= = − V. Hệ đối xứng 5.1.1 Hệ đối xứng loại 1: Là loại hệ phương trình chứa ẩn x,y mà khi ta hoán vị x và y thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi 5.1.2 Cách giải : Đặt ,biến đổi hệ đã cho về hệ với hai ẩn S, Sxy Pxy =+ ⎧ ⎨ = ⎩ P Giải hệ tìm . S,P Với mỗi cặp (S thì x và y là hai nghiệm của phương trình: ,P) 22 xSxP0( S4P−+=Δ=−) 5.2.1 Hệ đối xứng loại 2: Là loại hệ phương trình chứa ẩn x,y mà khi ta hoán vị x và y thì phương trình này biến thành phương kia của hệ 5.2.2 Cách giải: Trừ vế với vế của 2 phương trình của hệ ta được phương trình có dạng (x y)g(x,y) 0 − = Từ đó ta được hai hệ .Giải hệ này ,trong đó có một hệ đối xứng loại 1 5.3 Bài tập Bài 1: Giải hệ phương trình 22 22 11 xy 49 xy 11 xy 5 xy ⎧ ++ + = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ++ + = ⎪ ⎩ Bài 2: Giải hệ phương trình 33 44 xy1(1) xy1(2 ⎧ += ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ ) 4 Từ (2) ta có |x và |y | 1≤ | 1≤ Nếu |x thì từ (1) suy ra ,tương tự ta có | 1≤ y0≥ x0≥ Nếu thì .Vô lý! 0x1<< 343 xx,yy>> Vậy chỉ có thể hoặc x0,y1== x1,y0 = = Bài 3: Giải hệ phương trình 11 22 y x 11 22 x y ⎧ + −= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ + −= ⎪ ⎩ VI. Hệ đẳng cấp bậc hai 6.1 Dạng : 22 22 ax bxy cy d a'x b'xy c'y d' ⎧ ++= ⎪ ⎨ + += ⎪ ⎩ 6.2 Cách giải : Xét có là nghiệm của hệ không x0,y0== Với không là nghiệm của hệ ta đặt x0,y0== xty = từ đó ta được một phương trình bậc hai theo t .Giải tìm t sau đó ta suy ra x,y 6.3 Bài tập Bài 1: Giải hệ phương trình 22 22 x3xyy1 3x xy 3y 13 ⎧ −+= ⎪ ⎨ − += ⎪ ⎩ Bài 2: Giải hệ phương trình 2 22 3x 2xy 160 x3xy2y8 ⎧ −= ⎪ ⎨ − −= ⎪ ⎩ Bài 3: Giải hệ phương trình 22 x2xy3y0 x|x| y|y| 2 ⎧ + −= ⎨ + =− ⎩ B. Một số phương trình và hệ phương trình không mẫu mực Bài 1: 1 x2 x 1 y2 y 1 z2 z ⎧ −= ⎪ ⎪ ⎪ −= ⎨ ⎪ ⎪ −= ⎪ ⎩ y z x Hệ này thoạt nhìn ta đã thấy đây là hệ hoán vị vòng quay nhưng với những cách đánh giá thông thường thì ta không thể tìm nghiệm bài toán này được .Bài này được giải như sau : Đặt xcotg, (0,), 2 π αα π α =∈≠ Ta thu được 2y cotg tg 2cotg2 α αα =−= Suy ra z cotg4 x cotg8 α α =⇔= Ta nhận được k cotg cotg8 7 π ααα =⇔= Kết hợp với điều kiện α ta có các nghiệm sau 24 x cotg ,y cotg ,z cotg 777 7 π πππ α =→= = = 224 x cotg ,y cotg ,z cotg 777 8 7 π ππ α =→=== π 336 xcotg ,ycotg ,zcotg 777 12 7 π ππ α =→= = = π 448 xcotg ,ycotg ,zcotg 777 16 7 π ππ α =→= = = π 5 5 10 20 x cotg ,y cotg ,z cotg 777 7 π ππ α =→= = = π 6 6 12 24 xcotg ,ycotg ,zcotg 777 7 π ππ α =→= = = π Bài 2: Giải phương trình 2 44 44 4x 2x x2x 33 − + +−= + Điều kiện 0x 2≤≤ Phương trình viết lại 444 44 4 x2x x2(2x) (2x)2x xx2x 33 3 ++−−+ ++−= + + Sử dụng BĐT 444 444 a2b b2c c2a abc 333 +++ ++= + + Ta suy ra 444 44 4 x2x x2(2x) (2x)2x xx2x 33 3 ++−−+ ++−≤ + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2x x1 = −⇔= Bài 3: Giải phương trình 3 4x 3x 2 + = Xét 3 f(x) 4x 3x 2=+− suy ra đồng biến ,suy ra phương trình có duy nhất một nghiệm 2 f'(x) 12x 3 0=+> f(x) Đặt 11 x(t ) 2t =− > , t0 Thay vào phương trình ta nhận được 3 3 1 t4 t − = Đặt ta được 3 Xt 0=> 2 X2 5 X4X10 X2 5(L) ⎡ =+ −−=⇔ ⎢ =− ⎢ ⎣ Từ đó ta tính được sau đó tính được t 3 3 11 x(25 2 25 =+− + ) Bài 4: Giải phương trình [...]... a,b sao cho hệ trên là hệ đối xứng loại 2 tức là : ⎧a = −2 a2 2ab −2 b2 − 1 = = = ⇔⎨ 4 −12 a b+5 ⎩b = 3 Vậy ta đặt 2x + 1 = −2y + 3 ≥ 0 ta thu được hệ đối xứng ⎧2x 2 − 6x − y + 4 = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪2y − 6y − x + 4 = 0 ⎩ ⎧(x − y)(2x + 2y − 5) = 0 ⇔⎨ 2 ⎩2x − 6x − y + 4 = 0 Đến đây thì việc giải phương trình hoàn toàn mang tính thủ tục Bài 4: Giải phương trình 4x + 9 7x 2 + 7x = 28 Bài 5: Giải phương trình 5 −... sin5α = cos3α 1− x2 = C Kỹ thuật đặt ẩn phụ để quy về hệ đối xứng loại hai trong bài toán có chứa căn Bài 1: Giải phương trình x + 3(2 − 3x 2 )2 = 2 Đặt y = 2 − 3x 2 ta thu được hệ đối xứng loại 2 ⎧ y = 2 − 3x 2 ⎪ ⎨ 2 ⎪ x = 2 − 3y ⎩ Đến đây thì công việc hoàn toàn đơn giản Bài 2: Giải phương trình x3 + 1 = 2 3 2x − 1 Đặt y = 3 2x − 1 ta thu được hệ đối xứng loại 2 ⎧ y 3 = 2x − 1 ⎪ ⎨ 3 ⎪ x = 2y − 1 ⎩... trong những bài toán trên việc đặt ẩn phụ hoàn toàn dễ dàng để có thể quy về hệ đối xứng loại hai ,nhưng trong những bài toán khó hơn việc đặt ẩn phụ do “phản xạ” hoàn toàn không áp dụng được.Vậy chúng ta phải làm thế nào? Chúng ta có thể hiểu rõ về “kỹ thuật đặt ẩn phụ về hệ đối xứng” trong ví dụ sau đây Bài 3: Giải phương trình 4x 2 + 2x + 1 + 6 = 12x Đặt 2x + 1 = ay + b với a, b là hằng số Ta được... Đến đây thì việc giải phương trình hoàn toàn mang tính thủ tục Bài 4: Giải phương trình 4x + 9 7x 2 + 7x = 28 Bài 5: Giải phương trình 5 − x + 1 + 2x 2 + x + 3 = 1 Bài 6: Giải phương trình 3 25 + x 2 + 3 = 3 Bài 7: Giải phương trình (x + 2) x 2 − x − 20 = 6x + 20 . Chuyên Đề Phương Trình & Hệ Phương Trình A. Các loại phương trình và hệ phương trình cơ bản I .Phương trình bậc nhất 1.1. : phương trình suy biến thành bậc 1 a0≠ : lập 2 b4acΔ= − 0Δ< : phương trình vô nghiệm 0Δ= : phương trình có nghiệm kép 12 b xx 2a ==− 0Δ>