Một số kỹ thuật đặc biệt giải hệ phương trình

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐẶC BIỆT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH A ĐẶT VẤN ĐỀ I/ Lời mở đầu Căn vào chủ trương đường lối, sách pháp luật Đảng nhà nước Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2015 – 2016 Trong trình giảng dạy, nhà trường tin tưởng giao cho dạy lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu học sinh khá, giỏi Chính việc giúp em nắm kiến thức phải bồi dưỡng em tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh đặc biệt coi việc bồi dưỡng cho em ôn thi đại học nhiệm vụ quan trọng số Trong nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hệ phương trình đóng vai trò quan trọng việc phân loại học sinh mức độ vận dụng cao Phần giải hệ phương trình phần nhiều vấn đề nhiều tập phong phú điển hình toán vận dụng cao định điểm đề thi đại học nhiều năm qua, đề tài chọn vấn đề số kỹ thuật đặc biệt giải hệ phương trình Từ lý chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học, với kinh nghiệm trình giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Một số kỹ thuật đặc biệt giải hệ phương trình’’ Trong chuyên đề xây dựng toán giải hệ phương trình theo nhiều góc độ khác mang tính phát giúp người đọc có nhìn tổng quan, có phân biệt rõ nét Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp kỹ để học sinh phát giải số hệ phương trình hay khó, thường làm phức tạp vấn đề hay không giải Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp học sinh có nhìn linh hoạt chủ động gặp số toán giải hệ phương trình II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Thực trạng vấn đề Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 Hiện gặp số toán tìm giải hệ phương trình, số học sinh chưa tìm cách giải có tìm cách giải thường làm phức tạp hóa toán nên khó kết thúc toán Hệ thực trạng Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán, không giải Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách chọn phương pháp cho phù hợp Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc toán B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Các giải pháp thực Khi tiếp cận toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng kiến thức phù hợp Sau giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp II Biện pháp tổ chức thực Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức bất đẳng thức bản, đẳng thức, cách phân tích Sau giáo viên chọn số toán điển hình để học sinh vận dụng Trong đề tài này, xin đưa số toán hệ phương trình hay thực khó khăn học sinh chưa tiếp cận Kiến thức toán có liên quan - Bất đẳng thức Côsi - Bất đẳng thức Buanhiacopski - Bất thức tam giác - Bất đẳng thức - Các tóan phân tích đa thức thành nhân tử - Tính đồng biến nghịch biến hàm số Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 Một số kỹ thuật thường gặp phương pháp giải a Kỹ thuật xét tổng hiệu Một phương trình hệ có dạng A + B = C Ta sử dụng phương pháp thấy C nhân tử (A-B) Dựa vào ta xét tổng hiệu để rút hợp lý đưa phương trình ẩn Ví dụ Giải hệ phương trình  y − 3x + + y + x + =  y + − x − = x − − y  Phân tích toán Nhận thấy phương trình đầu ta có A − B = ( y − 3x + 4) − ( y + x + 4) = −8 x có liên quan đến Lời giải Điều kiện: y − 3x + ≥ 0; y + x + ≥ 0; y ≥ − ; x ≥ y − 3x + − y + x + = Ta có: ( y − x + 4) − ( y + x + 4) −8 x = = −2 x y − 3x + + y + x +  y − 3x + + y + x + =  y = x2 − x ⇒ y − x + = − x ⇒ Suy ra:   x ≤  y − 3x + − y + x + = −2 x Thay vào phương trình thứ ta có: 5x2 − 5x + − x − + x − x + = ⇒ ( x − x + − ( x + 1)) + (2 x − x − 2) + x − x + = 1 ⇔ (4 x − x + 2)( + + 1) = 5x − 5x + + x + x + x − 2 1 + +1 > Vì x ≥ ⇒ 5x2 − 5x + + x + x + x − ⇒ 4x2 − x + = ⇒ x = ± 17 Vậy hệ có hai nghiệm ( + 17 + 17 − 17 − 17 ; );( ; ) 32 8 Ví dụ Giải hệ phương trình Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016  y + x + + − y = y +   x x = y ( x − 1) + x − y Phân tích toán Phương trình thứ hai có A − B = y( x − 1) − ( x − y) = x( y − x) rút gọn với C=x x Lời giải Điều kiện: y + x − ≥ 0; x ≥ 0; y ≤ 1; y ( x − 1) ≥ 0; x − y ≥ Từ phương trình ta có: y ( x − 1) − x − y = y ( x − 1) − ( x − y ) y ( x − 1) + x − y = x( y − x ) y − x = x x x Suy ra:  y ( x − 1) + x − y = x x x2 − x + y  ⇒ y ( x − x) = ( x − x) + y  y − x ⇒ y ( x − 1) = x  y ( x − 1) − x − y = x  ⇒ y = x2 − x Thế vào phương trình thứ ta có: x2 + x −1 + − x2 + x + = x2 − x + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : x + x − ≤ + ( x + x − 1) x2 + x ⇒ x2 + x −1 ≤ 2 − x + x + ≤ + (− x + x + 1) − x2 + x + ⇒ − x2 + x + ≤ 2 Suy : x + x − + − x + x + ≤ x + Vì x + ≤ x + + ( x − 1) ⇒ x + ≤ x − x + ⇒ x + x − + − x + x + ≤ x − x + Dấu đẳng thức xảy x = ⇒ y = Đối chiếu điều kiện hệ phương trình có nghiệm (1 ; 0) Ví dụ Giải hệ phương trình Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016  2( y + 24) x − x − + y − =0  2 y   5x + y − + − x + y =  Phân tích toán Trong phương trình thứ hai có A − B = (5 x + y − 5) − (1 − x + y ) = 6( x − 1) có nhân tử chung 6, ta thực theo tổng hiệu Lời giải Điều kiện x ≥ 1; y ≠ ± ;5 x + y − ≥ 0;1 − x + y ≥ (5 x + y − 5) − (1 − x + y ) Ta có : x + y − − − x + y = x + y − + − x + y = 6( x − 1) = x −1  x + y − − − x + y = x − ⇒ 1− x + y = − x Suy  x + y − + − x + y =  x ≤ ⇒ ⇒ y ≥ 4 y = ( x − 5) + 20 Từ phương trình đầu ta có x − x −1 + y − 2( y + 24) ( y − 5)(2 y + y + 9) = ( x − − 2) + ≥ 0; ∀y ≥ 5; x ≥ y2 −1 y2 −1 Đẳng thức xảy x = y = Đối chiếu điều kiện hệ có nghiệm x = y = b Kỹ thuật đánh giá giải hệ phương trình Ví dụ Giải hệ phương trình 1  + =  + xy  + 2x2 1+ y2    x(1 − x) + y (1 − y ) = Phân tích toán: Phương trình đầu đẳng thức đẹp mà dấu xẩy x = y Ta sử dụng Bunhiacopxki ta có ( Giáo viên: Mai Văn Ngọc 1+ 2x + 1 ) ≤ 2( + ) + 2x 1+ y2 1+ 2y THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 Sau ta xét hiệu : + x + + y − + xy ≤ 0;0 ≤ xy ≤ để chứng minh 1 + ≤ dấu x = y 2 1+ 2x 1+ y + xy 2 Lời giải Điều kiện ≤ x ≤ ;0 ≤ y ≤ Ta chứng minh: 1 + x2 + + xy ≤ 1+ y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ( 1+ 2x 1 ) ≤ 2( + ) + 2x 1+ y2 1+ 2y + Dấu đẳng thức xẩy 1+ 2x = ⇔ x = y ⇔ x = y ≤ x ≤ ;0 ≤ y ≤ 1+ y 2 Lại có : 1 2 + xy + y + xy + x + x y − 2(1 + x + y + x y ) + − = + x + y + xy (1 + x )(1 + y )(1 + xy ) xy − y + xy − x + x y − x y = (1 + x )(1 + y )(1 + xy ) = xy ( y − xy + x ) − 2( x − y ) (1 + x )(1 + y )(1 + xy ) = 2( x − y ) (2 xy − 1) ≤0 (1 + x )(1 + y )(1 + xy ) 2 Vì ≤ x ≤ ;0 ≤ y ≤ ⇒ ≤ xy ≤ Dấu đẳng thức xẩy x = y Vậy ta có : 1 + x2 + Giáo viên: Mai Văn Ngọc 1+ y2 ≤ x= y + xy dấu THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 Thế vào phương trình thứ hai ta có : x(1 − x ) = ± 73 ⇔ 162 x − 81x + = ⇔ x = 36 Từ hệ có hai nghiệm x = y = ± 73 36 Ví dụ Giải hệ phương trình  y + (4 x − 1) = x (8 x + 1)   40 x + x = y 14 x − Phân tích toán: Trước hết ta sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm sau: Từ phương trình ta có : y = 40 x + x vào phương trình đầu sử 14 x − 1 dụng SHIFT SOLVE ta thu x = ⇒ y = Lời giải Điều kiện: x ≥ 14 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 8x + x(8 x + 1) = x .1 ≤ Và y 14 x − ≤ 8x + 8x + +1 8x + ⇒ x(8 x + 1) ≤ y + 14 x − 8x +  2  y + (4 x − 1) ≤ Ta có :   40 x + x ≤ y + 14 x −  ⇒ y + (4 x − 1) + 2(40 x + x) ≤ 8x + + y + 14 x − Suy : 96( x − )2 ≤ ⇒ x = ⇒ y = ) Vậy hệ có nghiệm ( ; Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 Ví dụ Giải hệ phương trình  x + x − = − y − y −  6 x − y − 11 + 10 − x − x = Phân tích toán: Từ phương trình thứ hai ta rút y = x − 11 + 10 − x − x vào phương trình đầu sử dụng máy tính cầm tay ta nhẩm nghiệm x = 1; y = −3 Lời giải Điều kiện : − y − y − ≥ 0;10 − x − x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : − y2 − y − − y2 − y −1 x + x − = − y − y − ≤ ⇒ x + 2x − ≤ 2 −6 x + y + 11 = 2 10 − x − x + 10 − x − x − 2x − x2 ≤ ⇒ −6 x + y + 11 ≤  x + x + y + y − ≤ ⇒ x − x + y + y + 12 ≤ ⇒ 3( x − 1) + ( y + 3) ≤ Ta có :   x − 10 x + y + 15 ≤ Suy x = 1; y = −3 Vậy phương trình có nghiệm x = 1; y = −3 c Kỹ thuật hàm số Ví dụ Giải hệ phương trình  + 9.3x − y = (4 + x − y ).7 y − x  x  + = x + y − x + 2 +2 Phân tích toán Từ phương trình thứ ta đặt t = x − y đưa phương trình dạng f (u ) = f (v ) với hàm f (t ) nghịch biến ¡ Lời giải Điều kiện y − x + ≥ Đặt t = x − y , phương trình thứ trở thành + 3t + + 32t = (*) 7t + 2t Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Xét hàm số : f (u ) = Năm học 2015 - 2016 + 3u ¡ 7u u u + 3u g ( u ) = 4.( ) ; h ( u ) = ( ) Vì hàm nghịch biến ¡ nên f (u ) = u nghịch 7 biến ¡ Từ phương trình (*) ta có t + = 2t ⇔ t = ⇒ y = x − Thế vào phương trình thứ hai hệ ta có : x + = x + x − x + ⇔ x −1 = ( x − 1) + ( x − 1) + (**) Đặt: s = x − phương trình (**) trở thành  s = s + s + 4s = s + s + ⇔  ⇒ 4s − 4− s − 2s = −s  s + − s = Ta xét hàm số ϕ ( s ) = 4s − 4− s − s ¡ Ta có : ϕ '( s ) = (4 s + 4− s ).ln − ≥ 2(ln − 1) ≥ 0; ∀s ∈ ¡ Suy ϕ ( s ) đồng biến ¡ mà ϕ (0) = nên s = ⇒ x = ⇒ y = − Đối chiếu điều kiện hệ có nghiệm (1; − ) Ví dụ Giải hệ phương trình  x + y + ( x − 1) y + y =  2 8 y + x + = x + y + Phân tích toán Từ phương trình đầu ta phân tích thành nhân tử sau ( y + 1)( x + y − 1) = , có hai trường hợp y = −1 dễ dàng cho nghiệm hệ, trường hợp lại ta sử dụng hàm số đặc biệt để giải trọn vẹn toán Lời giải Từ phương trình thứ ta có:  y = −1 x + y + ( x − 1) y + y = ⇔ ( y + 1)( x + y − 1) = ⇔  x + 4y = Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 x = 2 *) Với y = −1 ⇒ x + = x + ⇔   x = ±2 Suy hệ có nghiệm (0; −1);(±2 2; −1)  −1 ≤ x ≤  *) Với x + y = ⇒  1  − ≤ y ≤ Phương trình thứ tương đương : (8 y − y + 1) + (4 x + − x ) = ⇔ g ( y ) + f ( x ) = Với g ( y ) = y − y + 1; f ( x) = x + − x Ta có f ( x) = f (0) = x∈[-1;1] g ( y ) = g ( ) = −4 1 y∈[- ; ] 2 Phương trình thứ hai suy x = 0; y = −   Vậy tập nghiệm hệ phương trình (0; −1);(±2 2; −1);(0; − )    Ví dụ Giải hệ phương trình  2 (2 x − 1)(2 y − 1) = xy   x + y + xy − x − y + 14 =  Phân tích toán Ở ta thấy phát lời giải khó khăn, ta sử dụng tích hai hàm hai biến tương ứng x, y phải dựa vào phương trình thứ hai để giới hạn miền x, y toán xử lý đẹp Lời giải 10 Coi phương trình thứ hai phương trình bậc hai ẩn y suy ≤ x ≤ Coi phương trình thứ hai phương trình bậc hai ẩn x suy ≤ y ≤ Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 10 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 Trên miền vừa tìm ta có phương trình thứ trở thành : x = 1 (2 x − )(2 y − ) = ⇔ f ( x) f ( y ) = f (2) f (1) ⇔  x y y =1 t Vì hàm số f (t ) = 2t − đồng biến (0; +∞) Vậy hệ có nghiệm (2 ;1) d Kỹ thuật phân tích thành nhân tử Ví dụ Giải hệ phương trình  xy + ( x − y )( xy − 2) + x = y + y   ( x + 1)[y + xy + x(1 − x)] = Phân tích toán Thay y = x vào phương trình thứ ta thấy hai vế nhau, ta tạo nhân tử chung ( x − y ) phần lại phức tạp kết hợp với phương trình thứ hai ta có biểu thức dương Lời giải Điều kiện x ≥ 0; y ≥ 0; xy + ( x − y )( xy − 2) ≥ Phương trình thứ tương đương xy + ( x − y )( xy − 2) − y + x − y = ⇔ ( x − y )( y + xy − 2) xy + ( x − y )( xy − 2) + y + x− y =0 x+ y x = y  y + xy − ⇔ y = không thỏa mãn hệ) + = 0(*) (vì  x+ y  xy + ( x − y )( xy − 2) + y *) Với y = x vào phương trình hai ta có : x = x =1  ( x − 1)( x − x − 4) = ⇔ ⇒  x = ± 17  x = + 17   2 Suy hệ có hai nghiệm x = y = 1; x = y = Giáo viên: Mai Văn Ngọc + 17 THPT Hoàng Lệ Kha 11 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 *) Từ phương trình hai ta có : y + xy = x − x + 4 2 = x +1+ + ( x − 1) − = ( x + − ) + ( x − 1) + > x +1 x +1 x +1 Suy vế trái (*) dương Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x = y = 1; x = y = + 17 Ví dụ Giải hệ phương trình  2( x − y − 1) = xy +  3  x − x + x − xy = y − y + y Phân tích toán Thay y = x vào phương trình thứ ta thấy hai vế nhau, ta tạo nhân tử chung ( x − y ) phần lại phức tạp sử dụng tam thức bậc hai ta có biểu thức không âm suy x, y thử lại phương trình đầu Lời giải Điều kiện xy + ≥ Phương trình thứ hai tương đương với y = x ( x − y )( x + xy + y + − x − y ) = ⇔   x + xy + y − x − y + = *) Với y = x vào phương trình đầu ta có x − x − = x + ⇔ 2( x − x + 1) − 4( x + 1) = ( x + 1)( x − x + 1) ⇔ − Đặt t = x +1 x +1 =7 (*) x − x +1 x − x +1 x +1 ; t ≥ x − x +1 t = −2 17 ± 349 Phương trình (*) trở thành 4t + 7t − = ⇔  ⇒ t = ⇒ x = t=  Suy hệ có nghiệm x = y = 17 ± 349 *) Ta có : Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 12 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 x + xy + y − x − y + = ⇔ x + ( y − 4) x + y − y + = Coi phương trình phương trình bậc hai ẩn x, ∆ x = −3( y − 2) ≤ suy y = ⇒ x = không thỏa mãn phương trình đầu Vậy hệ có hai nghiệm x = y = 17 ± 349 e Kỹ thuật rút Ví dụ Giải hệ phương trình  y − x =   y = x − x + Phân tích toán Từ phương trình hai ta có = y − x3 + x vào phương trình ta phương trình tích ( x + y )(2 x − xy + y − 1) = , y = − x ta xử lý dễ dàng, x − xy + y − = ta kết hợp với phương trình đầu ta hệ phản đối xứng Lời giải Từ phương trình hai ta có = y − x3 + x vào phương trình ta phương trình tích  y = −x ( x + y )(2 x − xy + y − 1) = ⇔  2  x − xy + y = *) Với y = − x vào phương trình đầu ta có x = −3 3 ⇒y=3 4 4 Suy hệ có nghiệm (− ; ) *) Với x − xy + y = kết hợp với phương trình đầu ta có hệ  x − xy + y =  3  y − x = Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 13 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 2  2t + 2ty + y = 2(t + y ) − 2ty = ⇔ Đặt x = −t ta có hệ :  3 2(t + y ) − 6ty (t + y ) =  2t + y = Giải hệ vô nghiệm 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm (− ; ) Ví dụ Giải hệ phương trình  2 ( y + 1) + y y + = x +   x + x2 − 2x + = + 2 x − y +  Phân tích toán Bài toán cho ta kỹ thuật khéo léo từ phương trình đầu ta có x − y + = ( y + + y ) vào phương trình thứ hai cho ta phương trình quen thuộc áp dụng hàm số ta rút x theo y Lời giải Điều kiện : x − y + ≥ Từ phương trình đầu ta có : x − y + = ( y + + y)2 Thế vào phương trình thứ hai ta có : ( x − 1) + ( x − 1) + = y + (2 y ) + Xét hàm số f (t ) = t + t + ¡ Ta có f '(t ) = + t t2 +1 > 0, ∀t ∈ ¡ Suy hàm số đồng biến ¡ nên ta có : x −1 = y ⇒ x = y + Thế vào phương trình đầu ta có : y = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm ( ; ) Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 14 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 Bài tập vận dụng Bài Giải hệ phương trình  x + x + y − y ( x + 1) + =  x + y + x − y + =  Bài Giải hệ phương trình  x + y =  2 2 x + y + x − y = y  Bài Giải hệ phương trình  x 12 − y + y (12 − x ) = 12   x − x − = y − Bài Giải hệ phương trình  x + y2 + x + y2 + = y +    ( x + 1) + 2( x + 1) x + = y Bài Giải hệ phương trình ( x − 1) + y = x (2 x + 1)   2 x − x + = y x + x   Bài Giải hệ phương trình  x + y + x + y =   x + y = 2 Bài Giải hệ phương trình  x − y = xy (1 − y )   (2 y + 1) x + x = +   Bài Giải hệ phương trình Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 15 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016  y − x + − xy + 12 − x =   2( x − y ) + 10 x − y + 12 − x = x + Bài Giải hệ phương trình  x2 + y x + xy + y + = x+ y     x xy + x + = xy − x − Bài 10 Giải hệ phương trình  x + x + ( y − 3) − x =  2  x + y + − x = Bài 11 Giải hệ phương trình  x y − y = 28  2  x y + xy + y = 18 Bài 12 Giải hệ phương trình (17 − 3x) − x + (3 y − 14) − y =  2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13  Bài 13 Giải hệ phương trình x− y 1− x + y = + 22 x − y +1 (1 + ).5   y + x + + ln( y + x ) = Bài 14 Giải hệ phương trình 3x + − 92 y +1 = 2( y − x )  ( x + y )2 + + x + y = 29 3 2 Bài 15 Giải hệ phương trình  x + x + y − y ( x + 1) + =   x + y + x − y + = Bài 16 Giải hệ phương trình Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 16 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016  x − x y = x − x + y +  3  x − y + x − 18 y − 15 = x + Bài 17 Giải hệ phương trình  x + + y + =   x + y − − − y = x + − x + Bài 18 Giải hệ phương trình  x + + xy + y =  y+2 log x =  Bài 19 Giải hệ phương trình 1 + x + y + = 4(2 x + y ) + x + y  ( x + 1) x − x + + x + xy = Bài 20 Giải hệ phương trình  x − y − x + y =   2( x + − y ) + y xy + y = 34 − 15 x Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 17 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 C KẾT QUẢ I Kết nghiên cứu Thông qua hệ thống toán trên, ta thấy gặp vấn đề trở nên đơn giản nhiều, dễ vận dụng, không phức tạp với học sinh Trong trình giảng dạy, nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh không tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn II Kiến nghị Hằng năm, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo, sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy cần tập hợp kỷ yếu khoa học Sở GD& ĐT tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh phụ huynh tham khảo Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 18 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ Trang I Lời mở đầu Trang II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trang B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .Trang I Các giải pháp thực Trang II Biện pháp tổ chức thực .Trang Kiến thức chuẩn bị Trang 2 Một số toán thường gặp phương pháp giải Trang 3 Bài tập vận dụng……………………………………………Trang15 C KẾT QUẢ Trang 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học 12 Nâng cao Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao Sách tập Đại số - Giải tích 12 Nâng cao Hàm số tập Tác giả: Phan Huy Khải Hàm số tập Tác giả: Trần Phương Báo toán học tuổi trẻ Các đề thi đại học môn toán từ 2002 - 2015 Nguồn khác: Internet XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Mai Văn Ngọc Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 19 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Giáo viên: Mai Văn Ngọc Năm học 2015 - 2016 THPT Hoàng Lệ Kha 20 ... hàm số Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2015 - 2016 Một số kỹ thuật thường gặp phương pháp giải a Kỹ thuật xét tổng hiệu Một phương trình hệ có... = Coi phương trình phương trình bậc hai ẩn x, ∆ x = −3( y − 2) ≤ suy y = ⇒ x = không thỏa mãn phương trình đầu Vậy hệ có hai nghiệm x = y = 17 ± 349 e Kỹ thuật rút Ví dụ Giải hệ phương trình. .. tập vận dụng Bài Giải hệ phương trình  x + x + y − y ( x + 1) + =  x + y + x − y + =  Bài Giải hệ phương trình  x + y =  2 2 x + y + x − y = y  Bài Giải hệ phương trình  x 12 − y