Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì heä coù nghieäm... 83 Höôùng Daãn Vaø Giaûi Toùm Taét.[r]
(1)79
Bài 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Daïng : (I) f(x,y) g(x,y)
= ⎧
⎨ =
⎩ với f(x,y) f(y,x)= g(x,y) g(y,x)=
2 Cách giải: Đưa hệ (I) hệ : F(S,P) (II)
G(S,P)
= ⎧
⎨ =
⎩ với S = x + y , P = xy
Giải hệ (II) ⇒S,P x,y nghiệm phương trình :
2
t −St P 0+ =
Điều kiện để (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm thỏa: S2−4P 0≥ II CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình : x2 y2 xy x y xy
⎧ + + =
⎪ ⎨
+ + =
⎪⎩
Giải Đặt s = x + y, p = xy, ta có:
Hệ s2 p s2 s 12 s
p
s p p s
⎧ − = ⎧ + − = ⎧ = −
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨
=
+ = = −
⎪ ⎪ ⎩
⎩ ⎩
(loại khơng thỏa s2−4p 0≥ )
s x x
p y y
= = =
⎧ ⎧ ⎧
∨⎨ ⇔⎨ ∨⎨
= = =
⎩ ⎩ ⎩ nghiệm (1, 2), (2, 1)
80
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình :
2
2
1
x y
x y
1
x y
x y
⎧ + + + = ⎪
⎪ ⎨
⎪ + + + =
⎪⎩
(ĐH Ngoại Thương TPHCM, Khối A, D năm 1997) Giải
Đặt
2
2
2
2
1
1 x u 2
u x
x x
1
v y y v
y y
⎧
⎧ = + + = −
⎪
⎪⎪ ⇔⎪
⎨ ⎨
⎪ = + ⎪ + = −
⎪ ⎪
⎩ ⎩
Heä u v 52 2 u v 52 u v
uv
u v 13 (u v) 2uv 13
+ = + =
⎧ ⎧ ⎧ + =
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ =
+ = + − =
⎪ ⎪ ⎩
⎩ ⎩
u,v
⇒ nghiệm phương trình : α − α + =2 5 6 0
u u
3 x
v v
= =
⎧ ⎧
⇔ α = ∨ = ⇒⎨ ∨⎨
= =
⎩ ⎩
* u = 2, v = 3:
1 x 1 x 1
x
x
3 5
1 y y
y 2 2
y
⎧ + = ⎧ = ⎧ =
⎪⎪ ⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨ = + ∨⎨ = −
⎪ + = ⎪⎩ ⎪⎩
⎪⎩
* u = 3, v = 2:
1 x 1
x 3 5
x x
2
3
1 y
y 2 y 1
y
⎧ + = ⎧ = ⎧
−
⎪⎪ ⎪ ⎪ =
⇔⎨ ⇔⎨ = − ∨⎨
⎪ + = ⎪⎩ ⎪⎩ =
⎪⎩
⇒ nghieäm heä: 1,3 ; 1,3
2
⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5,1 ; 5,1
2
⎛ + ⎞ ⎛ − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(2)81
Ví dụ 3:
Tìm giá trị a để hệ sau có nghiệm
2 2
x y 2(1 a)
(x y)
⎧ + = +
⎪ ⎨
+ =
⎪⎩
(ĐH Y Dược TPHCM năm 1998) Giải
Ta coù: x2 y22 2(1 a) (x y)22 2xy 2(1 a)
(x y) (x y)
⎧ + = + ⎧ + − = +
⎪ ⇔⎪
⎨ ⎨
+ = + =
⎪ ⎪
⎩ ⎩
xy a xy a
x y x y
= − = −
⎧ ⎧
⇔⎨ ∨⎨
+ = + = −
⎩ ⎩
Điều kiện hệ có nghiệm là:
(x y)h2 4xy 0+ − ≥ ⇔ −4 4(1 a) 0− ≥ ⇔ ≥a x,y
⇒ nghiệm phương trình : α − α + − =2 a
2 2 1 a 0
α + α + − =
Có biệt số: ' (1 a) a∆ = − − =
Và có nghiệm khác nhau: α = ±1 a, 'α = − ±1 a a > Nên nghiệm a =
x y 1,
⇒ α = = = ' x yα = = = −1
Tóm lại hệ có hai nghiệm: (1, 1); (-1, -1) a = Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình :
2
2
1
(x y)
xy
(x y ) 49
x y
⎧ ⎛ ⎞
+ + =
⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎪
⎨ ⎛ ⎞
⎪ + ⎜ + = ⎟
⎪ ⎜⎝ ⎟⎠
⎩
(ĐH Ngoại Thương Khối A năm 1999) Giải
Heä 2 2
1
x y
x y
1
x y 53
x y
⎧⎛ + ⎞+⎛ + ⎞= ⎪⎜⎝ ⎟⎠ ⎝⎜ ⎟
⎠ ⎪
⇔ ⎨
⎛ ⎞
⎪⎛ + ⎞ + + =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎩
Đặt
x u
x
y v
y
⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩
82
2 2
u v u v u v
uv 14
u v 53 (u v) 2uv 53
+ = + =
⎧ ⎧ ⎧ + =
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨
= −
+ = + − =
⎪ ⎪ ⎩
⎩ ⎩
u,v
⇒ nghiệm phương trình: x2 5x 14 0 u u
v v
= = −
⎧ ⎧
− − = ⇔⎨ = − ∨⎨ =
⎩ ⎩
Với
x 7 45 7 45
x x ; x
2
1
y y 1 y 1
y
⎧ + = ⎧ + ⎧ −
⎪⎪ ⇒⎪ = ⎪ =
⎨ ⎨ ⎨
⎪ + = − ⎪⎩ = − ⎪⎩ = − ⎪⎩
Với
1 x 1 x 1
x
x ;
7 45 45
1 y y
y 2 2
y
⎧ + = − ⎧ = − ⎧ = −
⎪⎪ ⇒⎪ ⎪
⎨ ⎨ = + ⎨ = −
⎪ + = ⎪⎩ ⎪⎩
⎪⎩
III BAØI TẬP ĐỀ NGHỊ
2.1 Cho hệ phương trình: x y 2a 12 2 2
x y a 2a
+ = −
⎧⎪ ⎨
+ = + −
⎪⎩
Định a để hệ có nghiệm (x, y) xy nhỏ 2.2 Cho hệ phương trình: (x 1)(y 1) m
xy(x y) 3m
+ + = +
⎧
⎨ + =
⎩
1 Định m để hệ có nghiệm
2 Định m để hệ có nghiệm phân biệt 2.3 Cho hệ phương trình: x y yx a 12 2
x y y x a
+ + = +
⎧⎪ ⎨
+ =
⎪⎩
Định a để hệ có nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > y >
2.4 Cho hệ phương trình: x y xy a2 2
x y xy 3a
+ + =
⎧⎪ ⎨
+ = −
⎪⎩
a Giải hệ với a
=
(3)83 Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt
2.1 Đặt s x y p xy
= + ⎧ ⎨ =
⎩ Heä
2 2
2
s 2a s 2a
s 2p a 2a 2p 3a 6a
s 4p s 4p
= − = −
⎧ ⎧
⎪ ⎪
⇔⎨ − = + − ⇔⎨ = − +
⎪ ≥ ⎪ ≥
⎩ ⎩
2
s 2a
2p 3a 6a
2
2 a
2
⎧ ⎪ = − ⎪⎪
⇔⎨ = − +
⎪
⎪ − ≤ ≤ +
⎪⎩
Đặt f(a) 3a2 3a 2,
= − + f '(a) 3a 3,= − f '(a) 0= ⇔ =a Bảng biến thiên:
Từ Bảng biến thiên⇒f(a)Min ⇔ = −a 22
2.2
1 Heä x y xy m
xy(x y) 3m
+ + = +
⎧
⇔ ⎨ + =
⎩ Đặt S = x + y, P = xy
S P m PS 3m
+ = + ⎧
⇔ ⎨ = ⎩ s
⇒ p nghiệm phương trình: α −2 (m 3)x 3m 0+ + =
2 S m S
(m 3)
P P m
= =
⎧ ⎧
∆ = − ≥ ⇒⎨ ∨⎨
= =
⎩ ⎩
* S m P
= ⎧ ⎨ =
⎩ x y nghiệm phương trình:
t −mt 0+ =
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ =1 m2−12 0≥ ⇔m≤ −2 m 3∨ ≥
84
* S P m
= ⎧ ⎨ =
⎩ x y nghiệm phương trình:
t − +3t m 0=
Phương trình có nghieäm ⇔ ∆ = −2 4m 0≥ ⇔m≤94
Tóm lại hệ có nghiệm m m m
⇔ ≤ − ∨ ≥ ∨ ≤
2 Để hệ có nghiệm phân biệt
2
0
m
0
∆ > ⎧
⇔⎨∆ > ⇔ < − ⎩
2.3 Heä S P a S a S
SP a P P a
+ = + = =
⎧ ⎧ ⎧
⇔⎨ = ⇔⎨ = ∨⎨ =
⎩ ⎩ ⎩
* Với S a P
= ⎧ ⎨ =
⎩ Điều kiện x > 0, y > laø: 2
S
P a
S
⎧ > ⎪
> ⇔ ≥ ⎨
⎪ − ≥ ⎩
* Với S P a
= ⎧ ⎨ =
⎩ Điều kiện x > 0, y > laø: 2
S
1
P 0 a
4
S 4P
⎧ > ⎪
> ⇔ < ≤ ⎨
⎪ − ≥
⎩
Đáp số: a a
≥ ∨ < ≤
2.4 x y xy a2 2 S P a
SP 3a
x y xy 3a
+ + =
⎧ ⎧ + =
⎪ ⇔
⎨ ⎨ = −
+ = −
⎪ ⎩
⎩ với
S x y P xy
= + ⎧ ⎨ = ⎩
a
S (loại)
7 P
S P
7 2
a :
5
2 SP S
(nhaän)
2
P
⎡⎧ = ⎪ ⎢⎨
⎧ + = ⎢ =
⎪
⎪ ⎢
⎪ ⎩
= ⎨ ⇔⎢
⎧
⎪ = ⎢⎪ =
⎪ ⎢
⎩ ⎨
⎢⎪ = ⎢⎩ ⎣
x, y nghiệm phương trình: x
2
(4)85
x x
1
y y 2
2
=
⎧ ⎧ =
⎪ ⎪
⇒⎨ ∨⎨
=
⎪ ⎪ =
⎩ ⎩
b S P a
SP 3a 8 + = ⎧
⎨ = −
⎩ s, p nghiệm phương trình: a 3a (1) α − α + − =
Phương trình có nghiệm
2
a 4(3a 8) 0 a a 8
⇔ ∆ = − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥
Với điều kiện đó, phương trình (1) có nghiệm:
2
1 a− a 12a 32 ,−2 +
α = 2 a a 12a 322
2
+ − +
α =
Choïn
2
a a 12a 32
S ,
2
− − +
= P a a 12a 322
2
+ − +
=
thì hệ có nghiệm
2
s 4p 0 (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (2)
⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ + − −
Choïn
2
a a 12a 32
S ,
2
+ − +
= P a a 12a 322
2
− − +
=
thì hệ có nghiệm
2
s 4p (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (3)
⇔ ≥ ⇔ − − ≥ − + − −
Từ (2) (3)⇒ −(a 2)(a 8)− ≥ − +a (a 4)(a 8) (4)− −
Vì (a 2)(a 8) a a
≤ ⎡
− − ≥ ⇔ ⎢
≥
⎣ (4) thỏa
Khi a∈(2,4] (a 2)(a 8) 0− − <
2 2
(4)⇔ −(a 2) (a 8)− ≤ +(a 4) (a 4)(a 8)− −
2 13 33 13 33
4a 13a a
8
− +
⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤
Kết hợp với điều kiện trên, ta thấy hệ có nghiệm 13 33
a
8
+
13 33a