Phương trình và hệ phương trình [www.VIETMATHS.com] hệ phương trình doi xung loai 1

Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì heä coù nghieäm... 83 Höôùng Daãn Vaø Giaûi Toùm Taét.[r]

79

Bài 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Daïng : (I) f(x,y) g(x,y)

= ⎧

⎨ =

⎩ với f(x,y) f(y,x)= g(x,y) g(y,x)=

2 Cách giải: Đưa hệ (I) hệ : F(S,P) (II)

G(S,P)

= ⎧

⎨ =

⎩ với S = x + y , P = xy

Giải hệ (II) ⇒S,P x,y nghiệm phương trình :

2

t −St P 0+ =

Điều kiện để (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm thỏa: S2−4P 0≥ II CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình : x2 y2 xy x y xy

⎧ + + =

⎪ ⎨

+ + =

⎪⎩

Giải Đặt s = x + y, p = xy, ta có:

Hệ s2 p s2 s 12 s

p

s p p s

⎧ − = ⎧ + − = ⎧ = −

⎪ ⎪

⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨

=

+ = = −

⎪ ⎪ ⎩

⎩ ⎩

(loại khơng thỏa s2−4p 0≥ )

s x x

p y y

= = =

⎧ ⎧ ⎧

∨⎨ ⇔⎨ ∨⎨

= = =

⎩ ⎩ ⎩ nghiệm (1, 2), (2, 1)

80

Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình :

2

2

1

x y

x y

1

x y

x y

⎧ + + + = ⎪

⎪ ⎨

⎪ + + + =

⎪⎩

(ĐH Ngoại Thương TPHCM, Khối A, D năm 1997) Giải

Đặt

2

2

2

2

1

1 x u 2

u x

x x

1

v y y v

y y

⎧

⎧ = + + = −

⎪

⎪⎪ ⇔⎪

⎨ ⎨

⎪ = + ⎪ + = −

⎪ ⎪

⎩ ⎩

Heä u v 52 2 u v 52 u v

uv

u v 13 (u v) 2uv 13

+ = + =

⎧ ⎧ ⎧ + =

⎪ ⎪

⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ =

+ = + − =

⎪ ⎪ ⎩

⎩ ⎩

u,v

⇒ nghiệm phương trình : α − α + =2 5 6 0

u u

3 x

v v

= =

⎧ ⎧

⇔ α = ∨ = ⇒⎨ ∨⎨

= =

⎩ ⎩

* u = 2, v = 3:

1 x 1 x 1

x

x

3 5

1 y y

y 2 2

y

⎧ + = ⎧ = ⎧ =

⎪⎪ ⎪ ⎪

⇔⎨ ⇔⎨ = + ∨⎨ = −

⎪ + = ⎪⎩ ⎪⎩

⎪⎩

* u = 3, v = 2:

1 x 1

x 3 5

x x

2

3

1 y

y 2 y 1

y

⎧ + = ⎧ = ⎧

−

⎪⎪ ⎪ ⎪ =

⇔⎨ ⇔⎨ = − ∨⎨

⎪ + = ⎪⎩ ⎪⎩ =

⎪⎩

⇒ nghieäm heä: 1,3 ; 1,3

2

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5,1 ; 5,1

2

⎛ + ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

81

Ví dụ 3:

Tìm giá trị a để hệ sau có nghiệm

2 2

x y 2(1 a)

(x y)

⎧ + = +

⎪ ⎨

+ =

⎪⎩

(ĐH Y Dược TPHCM năm 1998) Giải

Ta coù: x2 y22 2(1 a) (x y)22 2xy 2(1 a)

(x y) (x y)

⎧ + = + ⎧ + − = +

⎪ ⇔⎪

⎨ ⎨

+ = + =

⎪ ⎪

⎩ ⎩

xy a xy a

x y x y

= − = −

⎧ ⎧

⇔⎨ ∨⎨

+ = + = −

⎩ ⎩

Điều kiện hệ có nghiệm là:

(x y)h2 4xy 0+ − ≥ ⇔ −4 4(1 a) 0− ≥ ⇔ ≥a x,y

⇒ nghiệm phương trình : α − α + − =2 a

2 2 1 a 0

α + α + − =

Có biệt số: ' (1 a) a∆ = − − =

Và có nghiệm khác nhau: α = ±1 a, 'α = − ±1 a a > Nên nghiệm a =

x y 1,

⇒ α = = = ' x yα = = = −1

Tóm lại hệ có hai nghiệm: (1, 1); (-1, -1) a = Ví dụ 4:

Giải hệ phương trình :

2

2

1

(x y)

xy

(x y ) 49

x y

⎧ ⎛ ⎞

+ + =

⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎪

⎨ ⎛ ⎞

⎪ + ⎜ + = ⎟

⎪ ⎜⎝ ⎟⎠

⎩

(ĐH Ngoại Thương Khối A năm 1999) Giải

Heä 2 2

1

x y

x y

1

x y 53

x y

⎧⎛ + ⎞+⎛ + ⎞= ⎪⎜⎝ ⎟⎠ ⎝⎜ ⎟

⎠ ⎪

⇔ ⎨

⎛ ⎞

⎪⎛ + ⎞ + + =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎩

Đặt

x u

x

y v

y

⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩

82

2 2

u v u v u v

uv 14

u v 53 (u v) 2uv 53

+ = + =

⎧ ⎧ ⎧ + =

⎪ ⎪

⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨

= −

+ = + − =

⎪ ⎪ ⎩

⎩ ⎩

u,v

⇒ nghiệm phương trình: x2 5x 14 0 u u

v v

= = −

⎧ ⎧

− − = ⇔⎨ = − ∨⎨ =

⎩ ⎩

Với

x 7 45 7 45

x x ; x

2

1

y y 1 y 1

y

⎧ + = ⎧ + ⎧ −

⎪⎪ ⇒⎪ = ⎪ =

⎨ ⎨ ⎨

⎪ + = − ⎪⎩ = − ⎪⎩ = − ⎪⎩

Với

1 x 1 x 1

x

x ;

7 45 45

1 y y

y 2 2

y

⎧ + = − ⎧ = − ⎧ = −

⎪⎪ ⇒⎪ ⎪

⎨ ⎨ = + ⎨ = −

⎪ + = ⎪⎩ ⎪⎩

⎪⎩

III BAØI TẬP ĐỀ NGHỊ

2.1 Cho hệ phương trình: x y 2a 12 2 2

x y a 2a

+ = −

⎧⎪ ⎨

+ = + −

⎪⎩

Định a để hệ có nghiệm (x, y) xy nhỏ 2.2 Cho hệ phương trình: (x 1)(y 1) m

xy(x y) 3m

+ + = +

⎧

⎨ + =

⎩

1 Định m để hệ có nghiệm

2 Định m để hệ có nghiệm phân biệt 2.3 Cho hệ phương trình: x y yx a 12 2

x y y x a

+ + = +

⎧⎪ ⎨

+ =

⎪⎩

Định a để hệ có nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > y >

2.4 Cho hệ phương trình: x y xy a2 2

x y xy 3a

+ + =

⎧⎪ ⎨

+ = −

⎪⎩

a Giải hệ với a

=

83 Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt

2.1 Đặt s x y p xy

= + ⎧ ⎨ =

⎩ Heä

2 2

2

s 2a s 2a

s 2p a 2a 2p 3a 6a

s 4p s 4p

= − = −

⎧ ⎧

⎪ ⎪

⇔⎨ − = + − ⇔⎨ = − +

⎪ ≥ ⎪ ≥

⎩ ⎩

2

s 2a

2p 3a 6a

2

2 a

2

⎧ ⎪ = − ⎪⎪

⇔⎨ = − +

⎪

⎪ − ≤ ≤ +

⎪⎩

Đặt f(a) 3a2 3a 2,

= − + f '(a) 3a 3,= − f '(a) 0= ⇔ =a Bảng biến thiên:

Từ Bảng biến thiên⇒f(a)Min ⇔ = −a 22

2.2

1 Heä x y xy m

xy(x y) 3m

+ + = +

⎧

⇔ ⎨ + =

⎩ Đặt S = x + y, P = xy

S P m PS 3m

+ = + ⎧

⇔ ⎨ = ⎩ s

⇒ p nghiệm phương trình: α −2 (m 3)x 3m 0+ + =

2 S m S

(m 3)

P P m

= =

⎧ ⎧

∆ = − ≥ ⇒⎨ ∨⎨

= =

⎩ ⎩

* S m P

= ⎧ ⎨ =

⎩ x y nghiệm phương trình:

t −mt 0+ =

Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ =1 m2−12 0≥ ⇔m≤ −2 m 3∨ ≥

84

* S P m

= ⎧ ⎨ =

⎩ x y nghiệm phương trình:

t − +3t m 0=

Phương trình có nghieäm ⇔ ∆ = −2 4m 0≥ ⇔m≤94

Tóm lại hệ có nghiệm m m m

⇔ ≤ − ∨ ≥ ∨ ≤

2 Để hệ có nghiệm phân biệt

2

0

m

0

∆ > ⎧

⇔⎨∆ > ⇔ < − ⎩

2.3 Heä S P a S a S

SP a P P a

+ = + = =

⎧ ⎧ ⎧

⇔⎨ = ⇔⎨ = ∨⎨ =

⎩ ⎩ ⎩

* Với S a P

= ⎧ ⎨ =

⎩ Điều kiện x > 0, y > laø: 2

S

P a

S

⎧ > ⎪

> ⇔ ≥ ⎨

⎪ − ≥ ⎩

* Với S P a

= ⎧ ⎨ =

⎩ Điều kiện x > 0, y > laø: 2

S

1

P 0 a

4

S 4P

⎧ > ⎪

> ⇔ < ≤ ⎨

⎪ − ≥

⎩

Đáp số: a a

≥ ∨ < ≤

2.4 x y xy a2 2 S P a

SP 3a

x y xy 3a

+ + =

⎧ ⎧ + =

⎪ ⇔

⎨ ⎨ = −

+ = −

⎪ ⎩

⎩ với

S x y P xy

= + ⎧ ⎨ = ⎩

a

S (loại)

7 P

S P

7 2

a :

5

2 SP S

(nhaän)

2

P

⎡⎧ = ⎪ ⎢⎨

⎧ + = ⎢ =

⎪

⎪ ⎢

⎪ ⎩

= ⎨ ⇔⎢

⎧

⎪ = ⎢⎪ =

⎪ ⎢

⎩ ⎨

⎢⎪ = ⎢⎩ ⎣

x, y nghiệm phương trình: x

2

85

x x

1

y y 2

2

=

⎧ ⎧ =

⎪ ⎪

⇒⎨ ∨⎨

=

⎪ ⎪ =

⎩ ⎩

b S P a

SP 3a 8 + = ⎧

⎨ = −

⎩ s, p nghiệm phương trình: a 3a (1) α − α + − =

Phương trình có nghiệm

2

a 4(3a 8) 0 a a 8

⇔ ∆ = − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥

Với điều kiện đó, phương trình (1) có nghiệm:

2

1 a− a 12a 32 ,−2 +

α = 2 a a 12a 322

2

+ − +

α =

Choïn

2

a a 12a 32

S ,

2

− − +

= P a a 12a 322

2

+ − +

=

thì hệ có nghiệm

2

s 4p 0 (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (2)

⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ + − −

Choïn

2

a a 12a 32

S ,

2

+ − +

= P a a 12a 322

2

− − +

=

thì hệ có nghiệm

2

s 4p (a 2)(a 8) (a 4) (a 4)(a 8) (3)

⇔ ≥ ⇔ − − ≥ − + − −

Từ (2) (3)⇒ −(a 2)(a 8)− ≥ − +a (a 4)(a 8) (4)− −

Vì (a 2)(a 8) a a

≤ ⎡

− − ≥ ⇔ ⎢

≥

⎣ (4) thỏa

Khi a∈(2,4] (a 2)(a 8) 0− − <

2 2

(4)⇔ −(a 2) (a 8)− ≤ +(a 4) (a 4)(a 8)− −

2 13 33 13 33

4a 13a a

8

− +

⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤

Kết hợp với điều kiện trên, ta thấy hệ có nghiệm 13 33

a

8

+

13 33a