Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai - Chuyên đề đại số 10

Do đó ràng buộc thêm điều kiện đối với nghiệm của phương trình giúp chúng ta thuận lợi trong đánh giá từ đó giải quyết được bài toán.[r]

(1)

§8 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

➢ DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Phương pháp giải

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ Sau số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ

+ Sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ + Đặt ẩn phụ biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ 2 Các ví dụ minh họa

Loại 1: Sử dụng định nghĩa tính chất dấu giá trị tuyệt đối

*Lưu ý: Sau số loại toán phương trình, bất phương trình thức phép biến đổi tương đương

•

( )

( ) ( )

g x

f x g x

• ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

• ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

g x

f x g x

g x f x g x

•

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

g x f x g x

f x g x

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) 2x2 3x x2 2x b) x2 5x x3 3x

c) x2 5x x x2 x d) x2 3x x 12 x Lời giải

a) Ta có phương trình

2

2 2

2 2x

2 3

2 ( 1)

x x x

x x x x x x

1 2

2

1

3

0

1

x

x x

Vậy nghiệm phương trình 0;1;2;

x

(2)

b) Với x x2 5x ta có

Phương trình x2 5x 4 x3 3x 4 x3 x2 8x 8 0 Áp dụng BĐT côsi ta có x3 4 2 3 83 x3 6 ,x x2 2 2 2x

Suy x3 x2 8x 6x 2x 8x 2 x Do phương trình vơ nghiệm

Với 5 4 0

1 x

x x

x ta có

Phương trình x2 5x 4 x3 3x 4

3 2 0 0

x x x x (thỏa mãn)

Vậy nghiệm phương trình x c) Bảng xét dấu

x

x + + | + 5 4

x x + + + Từ ta có trường hợp sau

• Với x 1, ta có phương trình x2 5x x x2 x x (loại) • Với x 1, ta có phương trình x2 5x x x2 x

 x =

7 (thỏa mãn)

• Với x 4, ta có phương trình x2 5x x x2 x

2x 3x phương trình vơ nghiệm

• Với x 4, ta có phương trình

7

x x x x x x (loại)

Vậy phương trình cho có nghiệm

x

d) Ta có phương trình 2

3 1 12

x

x x x x

2

3

3 1 12 14

3

36

x

x x x x

x

x x

3

7 13 13

x

Vậy phương trình có nghiệm x 13 Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau

a) x2 x x b) x2 3x x2 3x

(3)

a) Với x ta có VT 0,VP suy bất phương trình nghiệm với x Với x ta có bất phương trình tương đương với

2

1

x x

x x x x x

x x x x

1

2

0 1 2

2

x

x x

x

x x

Vậy nghiệm bất phương trình x ( ; 2] [2; )

b) Với x2 3x 2 0 1 x 2 ta có VT 0,VP 0 suy bất phương trình vơ nghiệm

Với ta có 3 2 0

1

x

x x

x

Bất phương trình tương đương với x2 3x 2 x2 3x 2 x2 3x 2

2

0 x

x x

x

Đối chiếu với điều kiện

x

x suy nghiệm bất phương trình

3

x x

Vậy bất phương trình có nghiệm x ( ; 0) (3; )

c) Nếu x2 2 0 VT 0,VP 0 suy bất phương trình vơ nghiệm Do bất phương trình

2

2 2

2

3 2

x

x x x

2

2 2

2

7

3 2

x x x

x

x x x x

Vậy nghiệm bất phương trình x ( ; 7] [ 7; ) d) 2x2 5x x x

Với x ta có VT 0,VP suy bất phương trình nghiệm với x

Với x ta có 2x2 5x x 2x 0suy bất phương trình tương đương với

2

2x 5x x x 2x 6x x

2

2x 6x x 2(vì x 2x2 6x x (2x 4) 0)

2

2 3

2

x

x x

x

(4)

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

2 6 4

x x x m Lời giải

Ta có x2 x 4x m x2 x 4x m

Xét hàm số f x x2 x 6 4x

Ta có

2

5 3;2

; 2;

3

x x khi x

f x

khi x

x x

Bảng biến thiên x

2

f x 99

4

12

Từ bảng biến thiên ta có

Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt đồ thị hàm số f cắt đường thẳng y m bốn điểm phân biệt 12 99

4

m

Vậy 12 99

4

m giá trị cần tìm

Nhận xét: Nghiệm phương trình f x g m hoành độ giao điểm đồ thị hàm số

y f x đường thẳng y g m Từ suy

• Phương trình f x g m có nghiệm đường thẳng y g m cắt đồ thị hàm số y f x • Số nghiệm phương trình f x g m số giao điểm đường thẳng y g m đồ thị hàm số y f x

Do gặp tốn liên quan đến phương trình f x m, mà ta lập m ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải

Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 3 2 3 5 3 5

x x x x m m

Lời giải

Bất phương trình x2 3x 2 3x2 5x 3m2 5m Xét hàm số f x x2 3x 2 3x2 5x

Ta có  )

2

2 ( ;1] [2;

4 2 1;2

x x x

f x

x x x

(5)

x

4

f x 10

22

Từ ta có: maxf x f 10

Do bất phương trình cho có nghiệm 10 3m2 5m

2 145 145

3 10

6

m m m

Vậy 145 145

6 m giá trị cần tìm Nhận xét Cho hàm số y f x xác định D

• Bất phương trình f x k f x( k) có nghiệm D max

D f x k (minD f x k) với điều kiện tồn max

D f x (minD f x )

• Bất phương trình f x k f x( k) nghiệm với x  D

D f x k ( max

D f x k) với điều kiện tồn maxD f x (minD f x ) Loại 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 5: Giải phương trình bất phương trình sau

a) x2 4x x 12 b)

2

1 1

3

x

x x x

c) x4 2x2 4x 2x x2 Lời giải

a) Đặt t x ,t t2 x2 4x Bất phương trình trở thành 3 t2 4 t 12

2

3

3 24 8

3

t

t t

t

Kết hợp điều kiện t ta có t suy

2

x x

x

x x

Vậy bất phương trình có nghiệm x ; 5; b) ĐKXĐ: x

Bất phương trình 2

1

4

x x

x

(6)

Đặt 2

1

2

t x t x

x x

Ta có t x x x t

x x x

Bất phương trình trở thành t2 2 3t

2 3 2 0 1 2

t t t

Kết hợp với t suy t Do

2

1

2 1

1

x x

x x x x

x x

x (thỏa mãn)

Vậy bất phương trình có nghiệm x

c) Phương trình x2 2x x2 4x Đặt t x2 1 ,t 0

Phương trình trở thành t2 2x 5 t 4x 6 0

2

t x

t x t

t

Với t 2x ta có 2

2

1

2

1

x

x x

2

2 3

2

1

2

x

x x x

x

x x

Với t ta có

2

1

2 3

1

x

x x x

x

Vậy phương trình có nghiệm x 3;1 5;1 5; Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x2 2x m x có nghiệm Lời giải

Phương trình tương đương với

2 2

2 2 1 2 2 2 2 2 1

1

x x m x x x m x x m x x

x x

2

2 2 2 1 2 1 0(*)

1

x x m x x m

x

Đặt t x2 2x

, x t x 1 Phương trình (*) trở thành t2 2m 1 t m2 1 0

(**)

(7)

Đồ thị hàm số f t t2 2m t m2 [ 1; )cắt trục hồnh Ta có

2

b m

a

+ TH1: Nếu 1

2

m

m ta có Bảng biến thiên

x

2 m

f x

f

2

m f

Suy phương trình cho có nghiệm

2

2 2

0 1

2 2

m m m

f m m m

Kết hợp với điều kiện

m suy

2 m thỏa mãn yêu cầu toán

+ TH2: Nếu 1

2

m

m phương trình (**) trở thành

2 2 0

4

t t t có

2

t suy

2

m thảo mãn yêu cầu toán

+ TH3: Nếu 1

2

m

m ta có Bảng biến thiên

x

f x

f

Suy phương trình cho có nghiệm f

2

1 2m m m 2m 1 m

Kết hợp với điều kiện

m suy

2

m thỏa mãn yêu cầu toán

Vậy

4

(8)

Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình x x m x nghiệm với x Lời giải

Bất phương trình tương đương với x m x 1 Với x ta có bất phương trình ln với m Với x Đặt t x t

Bất phương trình trở thành

2

2 1 0 t

t mt m

t (*)

Suy bất phương trình ban đầu nghiệm với x bất phương trình (*) nghiệm với

2

0

1

0

t t

t m

t

Ta có

2 1 2

t t

t t , đẳng thức xảy t Suy

2

0

1

min

t t

t , m thỏa mãn yêu cầu toán Vậy m giá trị cần tìm

3 Bài tập luyện tập

Bài 4.113: Giải phương trình sau

a) 3x x2 2x b) | 2x2 7x | x

c) x2 3x x x2 3x d) 1

1 1

x

x x x

Bài 4.114: Giải bất phương trình sau

a) x2 5x x b) x2 x x

c) x x x d) 2x 3x x

e) 3

1

3

x x

Bài 4.115: Biện luận số nghiệm phương trình : x 1 x2 3x 2 5m 3 Bài 4.116: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:

2

2x 10x m 5x x

Bài 4.117: Tìm m để bất phương trình 2x2 3x 5m 8x 2x2 nghiệm với x

Bài 4.118: Cho bất phương trình x2 4x 3 |x 2 | 2m 2 0 a) Giải phương trình m

b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

Bài 4.119: Cho bất phương trình x2 2mx x m m2 a) Giải bất phương trình m

(9)

➢ DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1 Phương pháp giải

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu mục đích phải khử thức Sau số phương pháp thường dùng

+ Biến đổi tương đương( Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử)

Lưu ý: Đối với bất phương trình, bình phương hai vế khơng âm thu bất phương trình tương đương chiều

+ Đặt ẩn phụ + Đánh giá

2 Các ví dụ minh họa

Loại 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương

Lưu ý số phương trình, bất phương trình sử dụng phép biến đổi tương đương sau

Phương trình:

• ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x

f x g x

•

( ) ( ) ( )

( ) ( )

g x

f x g x

Bất phương trình:

• ( ) ( ) ( ) ( )

( )

f x g x

g x •

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x

f x g x g x

f x g x

•

2

( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

g x f x

f x g x g x

f x g x

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

a) x3 x 2x2 x b) 2x2 3x x2

c) x x 2x d) x 1 x

x x

Lời giải

a) Ta có phương trình

2

3

2

1 2

x x

x x x x

3

1 17 17

1 17 17 4 4

1

4

2 1 5

2

x

x x

x

(10)

1

2

x x

Vậy phương trình có nghiệm 5; 1;

2

x

b) Phương trình

2

3

2 3

x

x x x

4 2

3

8 10

x x

x x x x x x x

3

2

1

1 21

2 x x

x x

x

Vậy phương trình có nghiệm x c) ĐKXĐ:

2 x

Phương trình x 2x x 2 (1 )(1 )

x x x x x

2

2 (1 )(1 )

(2 1) (1 )(1 )

x

x x x

2

0

2

x

x x

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x

d) Phương trình

0

0 1

1 1 1

1 1

1

1 x

x x

x

x x

x x x

x x

2

1

1 1 2 1 0

1

1 x

x x x x

x x x

x x

2

1

1 1 5

1 2

2

1

x

x x

(11)

Vậy phương trình có nghiệm

x

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

a) 5x2 8x 5x x

b) x2 x 2x x 2x2 5x x Lời giải

a) ĐKXĐ:

5

3

5

1

x x

x

Phương trình 5x x 5x x ( 5x 1)( x 1)

4

5

x x (thỏa mãn điều kiện)

x

b) ĐKXĐ:

2

x x

x

Phương trình x 2 2x 1 x x 2 3x x2 3 2x 1 x 2x 1 0

2 3

x x x x x x x

2

( )( )

2

x

x x x x

x x

x

2

2 2

2 2 1 0

3 3

7 11

2

x x x x

x x

1

7

2

x

x x

Đối chiếu với điều kiện x suy

x thỏa mãn

x

(12)

ĐKXĐ:

3

3 2

2

3

x x

x

x x

2

5 x x 3x 3x 5x 35x 30

2

5 35 30

5

7

3

6

2

x x x x

x x

x x x x

2

5 3

1

7

2

x x x x

x x

2 7 6 0

6 x

x x

x (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x x

Nhận xét: Ở phương trình đầu (câu a) dễ thấy x 1,x nghiệm ta tìm cách làm xuất nhân tử chung x2 7x 6 Đối với 5 x 3 ta ghép thêm với x , sau trục thức ta có

2

25

5

x x

x x để có tử

2 7 6

x x

9

5 6 Hoàn toàn tương tự với đại lượng 3x Do ta tách lời giải

Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau

a) x 2(x2 1) b) (x 5)(3x 4) 4(x 1) c) 5x x 2x d) (x 3) x2 x2 Lời giải

a) Bất phương trình

2

2( 1)

1

2( 1) ( 1)

x x

2

1

2

x x

x

x x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 1;3

b) Bất phương trình

2 4( 1)

( 5)(3 4)

( 5)(3 4) 16( 1)

x

x x

x

(13)

2

1 5

4 4

1

3 3

5 1

1 1

4

13 51 13

x x

x

x x

5

1 4

3

1

x

x x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm ( ; 5] [ 4; 4)

S

c) ĐKXĐ:

5

1

2

x

x x

x

Bất phương trình 5x x 2x

2

x x x

2 4 4 2 6 4

x x x x (do x 2)

2 10 0 0 10

x x x

Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S [2;10) d) (x 3) x2 x2

ĐKXĐ: 4 0

2 x x

x

Nhận xét x nghiệm bất phương trình +) Với x 3: ta có

Bất phương trình x2 4 x 3

2 4 3 13

6

x x x

Kết hợp với điều kiệnx ta có tập nghiệm bất phương trình S 3; +) Vớix

Bất phương trình x2 4 x 3

2

3

4

x

x (I) 2

3

4

x

x x (II)

Ta có (I)

3

2

2 x

x x

(14)

(II)

3

3 13

6 13

6

x x

x

x x

Kết hợp với điều kiện x suy bất phương trình có tập nghiệm ( ; 13]

S

Vậy tập nghiệm bất phương trình ( ; 13] [3; )

S Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau a)

2 51

1

x x

x b)

2

2( 16)

3

x x

x

x x

c) 3

1

x

x x

Lời giải

a) * Nếu x x

Ta có bất phương trình 2

51

x

x x

x x x

2

1 52 52

x 25

x

x 52 x

* Nếu x ln VT

Vậy nghiệm tập bất phương trình cho S [1 52; 5) 1;

b) ĐKXĐ:

2 16

4

3

3 x x

x x

x

Bất phương trình 2(x2 16) x x

2(x 16) 10 2x kết hợp với điều kiện x ta có bất phương trình

10

4

x

x (I) 2 2

4

10

2( 16) (10 )

x x

(II)

Ta có 5

4 x

I x

x

2

4

10

20 66

2( 16) (10 )

x

II x

x x

4

10 34

10 34 10 34

x

(15)

Vậy tập nghiệm bất phương trình S 10 34;

c) ĐKXĐ: 3

1

x

Bất phương trình 2x 3 x (2x 3)(x 1) 4(2 2x 1) x 1 2x

2 2x x

(8 13)(7 )

0

2

7 13

(8 13)(7 )

9

x x

x x x

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: 13;

S

Loại 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 6: Giải bất phương trình sau a) x x x2 5x 28 b)

2

1

2

x x

c) 7x 7x 49x2 7x 42 181 14x

d) 3

2

x x

Lời giải

a) Bất phương trình x2 5x 4 5 x2 5x 28 Đặt t x2 5x 28,t 0 x2 5x 4 t2 24 Bất phương trình trở thành t2 24 5t

2 5 24 0 3 8

t t t

Suy x2 5x 28 x2 5x 36 x Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 9;4

b) ĐKXĐ: x2 2x x

Bất phương trình (x2 2x 3) x2 2x 3 1 x2 2x Đặt t x2 2x 3, t 0 x2 2x t2 3

Bất phương trình trở thành t3 2 t2 t3 t2 2 0

2

(t 1)(t 2t 2) t

Do ta có x2 2x 3 1 x2 2x 3 1

2 2 2 0 1 3 1 3

x x x

Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phương trình

1 3;1

(16)

c) ĐKXĐ: 7

7

x

x :

Đặt : t 7x 7x 6,t

2 7 7 7 6 2 7 7 7 6

t x x x x

2 14x 7x 7x t Bất phương trình trở thành t2 t 1 181

2 182 0 14 13

t t t

Ta có 7x 7x 13

2

12

49 42 84

12

6

x

x x x

x

x x

Đối chiếu với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phương trình [ ;6)6 S d) ĐKXĐ: x

Bất phương trình

4

x x

Đặt , 0 1 1

4

2

t x t t x x t

x x

x

Bất phương trình trở thành 3t 2 t2 1 7

2

3

2 3

2

t

t t t

t (do t 0)

Ta có 1

4

x x

2

8

4 36

8

x

x x

x

Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phương trình

8

0; ;

2

S

Ví dụ 7: Giải bất phương trình

a) x x2 4x x b) 2

2

3

1

1 x x

(17)

a) ĐKXĐ:

2 4x 1 0 2 3

2

0

x

x x

x

x x

x

Dễ thấy x nghiệm bất phương trình

Với x 0, bất phương trình tương đương với x x

x

Đặt t x ,t 0 t2 2 x

x

x , bất phương trình trở thành

2 6 3

t t

2

3

5

3

2

6

2 t t

t

t t

t t t

Từ ta có 25

2

x x

2

4

4 17 1

4

x

x x

x

Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho

S 0; [4; )

4

b) ĐKXĐ: x2 x Bất phương trình 2

2

1

1 x 1 x

2

2 2

1

x x

Đặt

2

x t

x ta có bất phương trình :

2 3 2 0

2 t

t t

t

*

2

1

0

1 1

x

x x

t x x

x x x

1

0

2

x

* 2 2

2

0

2 2

4(1 )

1

x x

t x x

x x

x

1

(18)

Vậy nghiệm bất phương trình cho là: 1; ;1

2

T

Ví dụ 8: Giải bất phương trình sau

a) x3 3x2 x 6x b) x3 4x2 5x 7x2 9x Lời giải

a) ĐKXĐ: x

Đặt y x 2, điều kiện y

Bất phương trình trở thành: x3 3xy2 2y3 0

2

x y

x y x y

x y

2

x x

Với 2

2 x

x x x

x x

Với

2

0

2

4( 2)

x

x x

x

x x

2

x

Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình cho 2 3;

S

b) Bất phương trình tương đương với x 1 7x2 8x 5 7x2 9x 4

3 3 2 2

1 9

x x x x x x

Đặt a x 1,b 7x2 9x 4, bất phương trình trở thành :

3 2 0

a a b b a b a ab b a b

2 1 0

a b a ab b a b(do a2 ab b2 0)

Suy x 37x2 9x x3 4x2 6x

2

1

2

5

1

5

x

x x x

x

Vậy tập nghiệm bất phương trình cho ; 5;5

2

S

Ví dụ 9: Cho phương trình x 1 x x x2 m a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Lời giải

ĐKXĐ: x

a) Giả sử phương trình cso nghiệm x0 tức ta có

0 0

(19)

0 0

1 x x x x m x0 nghiệm phương trình cho Do phương trình có nghiệm 0 0 0

2

x x x

thay vào ta có 2

m

Với 2

2

m ta có phương trình 2

2

x x x x (*)

Áp dụng BĐT cơsi ta có 1 1

2

x x

x x x x

Mặt khác x x 2 x x x x

Suy 2

2

x x x x , đẳng thức xảy

2

x

Do phương trình (*) có nghiệm

Vậy 2

2

b) Đặt t x 1 x t2 1 2 x 1 x Theo câu a ta có

2

1 x x x x

Suy t Phương trình trở thành

2

2 t

t m t t m(**)

Phương trình cho có nghiệm phương trình (**) có nghiệm thỏa mãn t Đồ thị hàm số y t2 2t 1; cắt đường thẳng y 2m

Xét hàm số y t2 2t 1 1; 2 Bảng biến thiên

t 1 2

y

2

0

Suy phương trình cho có nghiệm 2m 2 hay 1 2

2 m

Ví dụ 10: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x

3 x m x x Lời giải

ĐKXĐ: x

Chia hai vế phương trình cho x ta có

Bất phương trình tương đương với 24

1

x x

m

(20)

Đặt 4 1,

1

x

t t x

x x

Bất phương trình trở thành:3t2 m 2t 3t2 2t m (*)

Bất hương trình cho nghiệm với x (*) nghiệm t (0;1) 0;1

max

m f t với f t 3t2 2t Xét hàm số f t 3t2 2t

0;1 Bảng biến thiên

t

0

3

f t

0

Từ bảng biến thiên suy 0;1

1 max

3 f t

Bất phương trình cho nghiệm với x 1

m

Vậy

3

Loại 3: Phương pháp đánh giá

Đối với phương trình ta thường làm sau

Cách 1: Tìm nghiệm chứng minh nghiệm

Cách 2: Biến đổi đẳng thức đưa bất phương trình f x f x tổng bình phương

Cách 3: Với phương trình f x( ) g x( ) có tập xác định D Nếu ( ) ( )

( ) ( )

f x m x

g x m x , x D

( ) ( )

f x m x

f x g x

g x m x Ví dụ 11: Giải phương trình sau

a)

3 x x b)

3

1

x x x x x

c) x x x d) x x 2x 3x

Lời giải

a) ĐKXĐ: x

Ta thấy phương trình có nghiệm

x ta chứng minh nghiệm Thật

* Với

x ta có 6

3 x x

8

4

2

(21)

6

3 x x phương trình vơ nghiệm

* Với 2 x ta có

6

4

3 x x

8

4

2

x

Suy

3 x x phương trình vơ nghiệm

x

b) ĐKXĐ: 3

1

3 2

x x

x

x x x x

Dễ thấy x nghiệm phương trình

Với x ta có x x x3 3x 0, x phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x

c) Rõ ràng phương trình có nghiệm phải thỏa mãn 0

1

x

x (*)

Phương trình tương đương với x x x

Do x x 1 x x (**)

Từ (*) (**) phương trình có nghiệm phải thỏa mãn 1

x

Thử x vào thấy không nghiệm phương trình Vậy phương trình cho vơ nghiệm

d) ĐKXĐ: x

Phương trình tương đương với 2x x 4 x 3x Dễ thấy x nghiệm phương trình

Với x ta có 2x x 2x x

Và x 9x 9x2 x x 9x2 x 3x

Suy phương trình vơ nghiệm

Với x ta có 2x x 2x x

Và x 9x 9x2 x x 9x2 x 3x

Suy phương trình vơ nghiệm

Vậy phương trình cso nghiệm x Ví dụ 12: Giải phương trình sau a) x2 9x 28 x

b) 2x 2x x2

c) 20x 38 x 2x 12 2x2 5x Lời giải

a) ĐKXĐ: x

(22)

2

(x 5) ( x 2) (*)

Vì (x 5)2 ( x 2)2 với x nên

Phương trình (*) 5

1

x

b) ĐKXĐ: 1

1 2

x

Phương trình tương đương với 1 2x 1 2x 2 x2 2

2 4

2 4x 4x x 4x x

2

0

1

x

c) ĐKXĐ: 1

2

x

1 4 9 12 ( 1)(2 3) 12

x x x x x x x x

2 2

( x 2) ( 2x 3) (3 x 2x 3)

3 2

1

2x 3

x

x x

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ 13: Giải phương trình sau

a) x2 x x2 x x2 x

b)

2

( 1)

1

x x

x x x

c) x2 x x3 Lời giải

a) Giả sử PT có nghiệm x Theo bất đẳng thức cơsi ta có :

2

2 1

1.( 1)

2

x x x x

x x

2

2 1

1.( 1)

2

x x x x

x x

Cộng vế với vế ta x2 x 1 x2 x 1 x 1

Suy x2 x x x x

Thử lại thấy x nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x

(23)

2

1

1 [1; )

2

x

x x x

x x

Rõ ràng x không nghiệm phương trình, ta xét x Phương trình cho 2x2 x 1 x2 x 3 x x( 1)

(*) Áp dụng BĐT côsi ta có

2

2 , 3 ( 1)

2

x x

x x x x

Suy

2

3

(*) (*)

2

x x

VP x x VT

Đẳng thức xảy 1 0

x x x

Thử lại phương trình ta thấy

x nghiệm phương trình

x

c) ĐKXĐ: x3 x 32 Giả sử phương trình có nghiệm

Sử dụng bất đẳng thức cơsi, ta 1 2( 1) ( 1) 1.

6

x x x

x

Kết hợp với phương trình suy 2

x

x x

3 2

4(x 2) (3x 1) (x 3)(4x 3x 3) x Như ta có 32 x 3.

(**)

Ta có x2 x x (x 1)2 x(3 x) 0(đúng với đk (**)) x3 2x (x 3)(x2 x 1) 0(đúng với đk (**))

Suy 3x2 x 2x x3

Đẳng thức xảy x Thử lại ta thấy x nghiệm phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x

Nhận xét: Với điều kiện xác định phương trình việc đánh giá khó khăn, đơi khơng thể đánh giá miền biến lúc rộng khơng đảm bảo cho việc đánh giá Do ràng buộc thêm điều kiện nghiệm phương trình giúp thuận lợi đánh giá từ giải tốn

Ví dụ 14: Giải bất phương trình sau a)

2

6

x x

x x b)

3

2x 11x 21 4x Lời giải

a) ĐKXĐ : x2 6x 5 0 1 x 5

Ta có 2

2

1

6 3 4

x x x

(24)

Mặt khác x2 1 2x, dấu xảy x 1

suy x2 ,x x 1;5 (2) Từ (1) (2) ta có với x 1;5 ta có

2

6

x x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 1;5

b) Xét tam thức f x 2x2 11x 21, có a 0, 47 Suy f x 0, x

Do phương trình có nghiệm phải thỏa mãn 3 43 x 4 0 x 1 Áp dụng BĐT Côsi ta có :

3 3

3 4x 2.2 x 2 x x Kết hợp với phương trình suy 2x2 11x 21 x 3

2 x x

Thử x ta thấy nghiệm bất phương trình Vậy bất phương trình có nghiệm x 3 Bài tập luyện tập

Bài 4.120: Giải bpt sau :

2

a x x b x x x

c x x d x x x

Bài 4.121: Giải bất phương trình sau a) (x2 ) 2x x2 3x b)

2

(1 )

x

x x c) x2 3x (x 3) x2

Bài 4.122: Giải bpt sau :

2

) )

2

) ) 21

3

a x x b x x x

c x x x d x x x

x

e x x x f x

x Bài 4.123: Giải bất phương trình sau :

2

2 2

3

) x x )

a b x x x x x x

x

2

2 2

) 15 15 18 18 ) 1

4 x

c x x x x x x d x x

Bài 4.124: Giải bất phương trình sau:

a) 4(x 1)2 (2x 10)(1 )x b) x x x

c) 25 x2 x2 7x d) 2 1

2

x

x x

e)

2

3

2

x x

x f) 2

1

x x

x

(25)

g) x2 8x 15 x2 2x 15 4x2 18x 18 h) 9x2 16 2x 2 x >12x

Bài 4.125: Giải bất phương trình sau:

2 2

2

) 2 ) 3

3

) ) 2

2

a x x x x b x x x x

c x x x x d x x x x

2

5 1 35

) ) )

2 12

2

x x x

e x x f g x

x x x

x x

Bài 4.126: Giải phương trình sau:

a) x x x x2 8x b)

2

(2 1)

2

2 x

x x

c) 10x 3x 9x 2x d) x (x 1)2 x3

Bài 4.127: Giải phương trình sau

a) x2 2x 2x2 x 3x 3x2 b) 314 x3 x2 2x x

c) 3x x

x

Bài 4.128: Giải phương trình 2x 3 x 1 x2 11x 33 3x 5 Bài 4.129: Cho phương trình: 2x2 2 m 1 x m2 m x 1 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

Bài 4.130: Cho phương trình x2 m x2 3m a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm