Phuong trinh va bat phuong trinh quy ve bac hai

Các bất phương trình trên là các bất phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.. Phương pháp chung: Khử dấu giá trị tuyệt đối.. a Xét dấu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt

Tiết 77

0 3

x 5 x

6 x

5 x

2 x

2 x

3 x

7

Các bất phương trình trên có dạng gì ?

Nêu phương pháp giải tổng quát

d) ( x 2  2 x  1 ) 2  x 2  2 x  1  2  0 (4)

Các bất phương trình trên là các bất phương

trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp chung: Khử dấu giá trị tuyệt đối

a) Xét dấu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối (Dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối)

Bằng cách:

b) Bình phương .(Chú ý điều kiện để có BPT tương

đương) c) Đặt ẩn phụ (Đưa về BPT cơ bản đã biết cách giải)

Cách 1: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

(1)

)

; 2

3 ( ) 1

; ( x

0 3 x 5 x

2 2



















TH1 : Với (*) thì 5 x  3  5 x  3

5

3

x 

TH2 : Với

5

3

x  (**) thì 5x  3 3 5x

(1)

)

; 2

1 ( )

3

; (

x

0 3

x 5 x





















So với điều kiện (**) ta có: T2 = )

5

3

; 2

1 ( ) 3

;

Tập nghiệm của BPT (1) là : T = T1U T2 = ; )

2

3 ( ) 1

; 2

1 ( ) 3

; (     

So với điều kiện (*) ta có T1= ; )

2

3 ( )

1

; 5

3

/////////

5

3

/////////////////

-3 21

////////

5 3

///////////////////////////

0 )

3 x

5 x

2 )(

3 x

5 x

2 (

0 )

3 x

5 ( )

x 2 (

) 3 x

5 ( )

x 2 ( 3

x 5 x

2 )

1 (

2 2

2 2

2

2 2

2 2

































Ta có: 2x2  5x 30 x = 1 hay x =

2

3

3 x

0 3

x 5 x



x -3 1/2 1 3/2 2x 2

-5x+3

+ + + 0 - 0

+ 2x 2 +5x

-3

+ 0 - 0 +

+ +

VT (1) + 0 - 0 + 0

- 0 +

)

; 2

3 ( )

1

; 2

1 ( )

3

; (

Từ bảng xét dấu ta có:

Cách 2: Bình phương

0  3  x 5  2 x 2

(1)

b) x  x  2  x  5 x  6 (2)

Vì (2) có 2 vế không âm nên : (2)  x2 x 22  x2 5x62

0 )] 6 x

5 x

( ) 2 x

x )][(

6 x

5 x

( ) 2 x

x [( 2    2   2    2  



0 )

8 x

4 )(

4 x

6 x

2



0 )

2 x

)(

2 x

3 x

(



0 )

2 x

)(

2 x

3 x



x – 1 > 0



x > 1

Vậy BPT (2) có tập nghiệm là: T = ( 1; 2 )(2 ; ) 

Phương pháp giải: Bình phương , chuyển về BPT tích số

So với (*) ta có tập nghiệm của BPT (3) là: T = (-1 ; 5 )

Bình phương (chú ý điều kiện) Phương pháp giải:

(3)  x + 7 > 0 2

2

2 x 3x 2 )

7 x

)]

2 x

3 x

( ) 7 x

)][(

2 x

3 x

( ) 7 x

0 )

5 x

4 x

)(

9 x

2 x



0 5

x 4



 ( vì : x2-2x+9>0 )

0 5

x 4





 x (-1 ; 5 )

(**)

(*)

(**)

 x > -7

(x + 7 )2 – ( x2 – 3x + 2 )2 > 0

-7

///////////

////////////////////////// ////////////

0 2

1 x

2 x

) 1 x

2 x

Phương pháp : Đặt ẩn phụ, đưa về BPT dạng cơ bản

Đặt: t = x2  2x 1 , t 0 , (4) trở thành : t2 – t – 2 0

Ta có: t2 – t – 2 = 0  t = -1 hay t = 2



t 2 - t -

2 ///////// - 0 +

t //// 0 2

1 x

2

Suy ra: t 2 hay:  2  ( x2 – 2x – 1 )2 2 2

 (x2 – 2x + 1)(x2 – 2x – 3) 0  (x – 1 )2 (x2 – 2x – 3) 0

x (x-1)2

x2-2x-3



 -1 1 3  

+ 0 - - 0 +

+ + 0 + + (x-1)2(x2-2x-3) + 0 - 0 - 0 +

Tập nghiệm là: T = (- ; -1 ] {1} [3; + )   

Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :

2 x

4 x

3

c) 2 (x 1)(x  3)  11  x2  2x (3)

Các bất phương trình trên có dạng gì? Nêu phương pháp giải tổng quát

có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

** Phương pháp chung : Khử căn bậc hai

a) Bình phương b) Đặt ẩn phụ Bằng cách :

( với lưu ý về tập xác định của BPT và điều kiện

để có BPT tương đương )

a) x2  3 x  4  x  2 (1)

Phương pháp: Bình phương

Tập xác định của (1): D = (- ; -1] [4 ; + )  

(1)  x – 2 > 0

x2 – 3x – 4 < ( x – 2 )2

 x > 2

x < 8



x2 – 3x – 4 < x2 – 4x + 4

x > 2

So với tập xác định D , tập nghiệm của (1) là: T = [ 4 ; 8 )

/////////////////////////////// x

/////////////////////////// /////////////////////x

b) x  x 6 > x – 1 (2)

Phương pháp :

Tập nghiệm của (II): T2 = ( ; + )73  Tập nghiệm của BPT (2) là: T = T1UT2 = (- ; -3]U( ; + )  37 

 Tập nghiệm của (I): T1 = (- ; -3 ]

1 ///////////////////2

-3 ///////////////////////





x2 + x – 6 > x2 – 2x + 1

x 1



x 1



x >

3

/////////////////////// 3

7

/////////////////////////////////////

 x < 1

x -3 hay x 2 

B < 0

A 0

A > B2

B 0

 

B

A 

Áp dụng BĐT sau:

0

TH 1: x - 1 < 0

(I) x2 + x - 6 



TH 2: x – 1 0

x2 + x – 6 > ( x – 1)2

(II)

c) 2

x 2 x

11 )

3 x

)(

1 x

(      2  (3) Nhận xét: (x-1)(x+3)= x2+2x-3 và –x2- 2x = -(x2+2x)

Phương pháp: Đặt ẩn phụ

Tập xác định của BPT (3): D = (- ;-3] [1 ; + )  



(3) 2 (x 1)(x 3) > -x2 – 2x + 11 (*)

Đặt y = (x 1)(x 3) , y 0. Khi đó: -x2 – 2x + 11= 8 - y2



(*) trở thành : 2y > 8 – y2 y2 + 2y – 8 > 0  y < -4 hoặc y > 2

Do y 0  nên : y > 2



Từ đó: (x 1)(x 3) > 2 x2 + 2x – 3 > 4  x2 +2x-7>0

 x <  1 2 2 hoặc x >  1 2 2

So với tập xác định D ,ta có tập nghiệm của (3)

T = (- ; ) ( ; + ) 1 2 2  1 2 2