skkn cấp tỉnh ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

Người thực hiện: Ngô Thị HoàiChức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực môn:Toán

1.Mở đầu. 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3 2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 5 2.3.1.Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ

2.3.6 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] + v(x) khi biết đồ

2.3.7 Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài

PHẦN I MỞ ĐẦU.1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các đềthi tốt nghiệp THPT Quốc gia Đặc biệt trong những năm gần đây, tính đơn điệucủa hàm số có những nội dung hay, khó và có thể giải quyết các bài toán giảiphương trình, bất phương trình và hệ phương trình Với lượng kiến thức khá rộngvà cần sự tư duy nhiều hơn từ học sinh nên tính đơn điệu của hàm số là một trongnhững phần kiến thức quan trọng của học sinh THPT Quốc gia.

Tính đơn điệu của hàm số lớp 12 là một cách nhìn bao quát và sâu rộng của hàmsố so với cách nghiên cứu hàm số đồng biến, nghịch biến của lớp 10, 11 Dựa vàotính đơn điệu của hàm số thì ta có thể biết được hình dáng đồ thị, các khoảng đồngbiến , nghịch biến và các tính chất của đồ thị hàm số Trong những năm gần đây thìtính đơn điệu của hàm số trong chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính biếnthiên và vẽ đồ thị hàm số là phần học sinh đặc biệt quan tâm để đạt kết quả tốt kỳthi tốt nghiệp THPT Quốc gia

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các phương trình không mẫu mực,phương trình bậc cao, phương trình chứa căn thức là những bài toán khó đối vớihọc sinh phổ thông Khi giải các bài toán này nếu áp dụng các phép biến đổi thôngthường học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải toán Vì thế mà học sinhkhông làm được bài ,hoặc rất dài dòng trong các lời giải, mất nhiều thời gian có thểdẫn đến kết quả sai hoặc bế tắc trong quá trình hoàn thành lời giải bài toán Khi đóviệc “Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số “ là một công cụ rất hay, rất nhanh gọnđể giải quyết bài toán nói trên, đặc biệt là bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịchbiến trên một tập K, tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thịhàm số f’(x) Đặc biệt việc ứng dụng tính đơn điệu để giải các bài toán tìm m đểhàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K,tìm khoảng đơn điệu của hàm sốg(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x) giúp cho các bài toán đó trở nên một cáchnhẹ nhàng,dễ áp dụng và bài toán được giải nhanh chóng đồng thời phát triển thêmmột số bài bài tập áp dụng hình thức thi mới của Bộ giáo dục bắt đầu từ năm 2025 ,bài thi gồm 3 phần , phần 1: câu hỏi nhiều lựa chọn , phần 2: câu hỏi Đ- S , phần 3:câu hỏi trả lời ngắn

Vì vậy, tôi xin mạo muội viết lại đề tài “ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆUCỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN”, nhằm hỗ trợ cho học sinh có

thêm một tài liệu bổ sung, giúp các em học tốt hơn trong giải bài toán nâng cao,nhẹ nhàng hơn trong quá trình học toán cũng như ôn thi trong các kì thi THPT quốcgia, để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trítuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này.

Thêm một tài liệu để các giáo viên giảng dạy cho các em trong các kỳ thi, trong quátrình bồi dưỡng thêm cho các em trên lớp.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Trong số các bài toán cơ bản là tìm khoảng đồng biến, nghịch biến thì các học

sinh trung bình có thể làm được còn một số bài toán có tính chất tư duy như bàitoán vận dụng tìm giá m thoả mãn một số yếu tố thì học sinh thường thụ độngtrong việc tiếp cận bài toán, không chú trọng đến bản chất chất của bài toán ấy,một phần vì học sinh ngại bài toán khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưachú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.

Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp, kỹ năng để giải quyết các bàitoán tính đơn điệu hàm số một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm giảngdạy dạng toán này, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi được, tôi mạnh dạn nêu ra

đề tài “ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN’’ để

giúp học sinh và giáo viên tham khảo để đạt kết quả cao hơn trong học tập và tronggiảng dạy.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tính đơn điệu của hàm số và các bài toánứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịchbiến trên một tập K, tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thịhàm số f’(x) trong chương trình Toán THPT, sách giáo khoa toán 12 bộ kết nốimà trọng tâm là trong kì thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phân tích, tổng hợp, thu thập tài liệu và các thông tin.

- Phân tích, rút kinh nghiệm qua bài toán tính đơn điệu hàm số qua các đề thiĐại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia

1.5 Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm

Dựa theo cấu trúc thi mới của Bộ giáo dục bài thi gồm 3 phần : Phần 1: Câu hỏi nhiều lựa chọn

Phần 2: Câu hỏi Đ-S

Phần 3: Câu hỏi trả lời ngắn

Sáng kiến kinh nghiệm này cũng chia thành các dạng và các câu hỏi tương ứng với các phần trên

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

+ Hàm số y f x( ) nghịch biến (giảm) trên Knếu với mọi

+ Nếu '( ) 0,f x   x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

+ Nếu '( ) 0,f x   x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .

+ Nếu '( ) 0,f x   x K thì hàm số không đổi trên tập K.

Chú ý :

+ Nếu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả

thiết “ Hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếuhàm số yf x( ) liên tục trên đoạn a b và có đạo hàm '( ) 0,;  f x   x K trênkhoảng a b thì hàm số đồng biến trên đoạn ; a b ; 

+ Nếu '( ) 0,f x   x K( hoặc '( ) 0,f x   x K) và '( ) 0f x  tại một số hữu

hạn điểm của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K).

2.1.2 KỸ NĂNG

2.1.2.1 Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức P(x) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức P(x)không xác định

Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2.1.2.2 Xét tính đơn diệu của hàm y=f(x) trên tập xác định

Bước 1: Tim tập xác định D.Bước 2: Tính đạo hàm 'y f x'( ).

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình '( ) 0f x  hoặc những giá trị của x để cho

'( )

f x không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.Bước 5: Kết luận.

2.1.2.3 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biếntrên a b cho trước.; 

Cho hàm số y f x m( ; )có tập xác định K, khoảng a b;  K.+ Hàm số nghịch biến trên a b;   y' 0,  x ( ; )a b + Hàm số đồng biến trên a b;   y' 0,  x ( ; )a b  Chú ý :

- Đối với hàm số đa thức thì :

+ Hàm số nghịch biến trên a b;   y' 0,  x ( ; )a b + Hàm số đồng biến trên a b;   y' 0,  x ( ; )a b - Đối với hàm phân thức

ax by

cx d

 thì :

+ Hàm số nghịch biến trên a b;   y' 0,  x ( ; )a b + Hàm số đồng biến trên a b;   y' 0,  x ( ; )a b - Đối với hàm phân thức

Cho tam thức f x( ) ax 2 bx c a ( 0)

a)

0( ) 0,

af x   x R  

 

 b)

0( ) 0,

af x   x R  

 

c)

0( ) 0,

af x   x R  

 

 d)

0( ) 0,

af x   x R  

 

Chú ý : Nếu tìm bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

công tác, có chuyên môn vững vàng Giáo viên có tinh thần học hỏi, nâng cao chuyên môn, phương pháp giảng dạy, tích cực trong bồi dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo giúp đỡ học sinh yếu kém.

Trong quá trình giảng dạy và công tác ở trường tôi nhận thấy đa phần các em học sinh có ý thức học tập tốt, ngoan ngoãn.

2.2.2 Khó khăn

Trường THPT Hoằng Hóa 4 đóng trên địa bàn vùng nông thôn khó khăn về kinh tế, chất lượng đầu vào còn thấp ,đặc biệt là môn toán Việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình.

 Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi giải toán.

 Kết quả khảo sát ở một số lớp: 12A7, 12A10 trong phần giải bài tập toán về phần sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn Toán, chỉ có khoảng 50% - 60% học sinh hứng thú với bài toán này.

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.

Trong quá trình giảng dạy trên lớp, sau khi các em học xong tính đơn điệu của hàmsố tôi thực hiện ôn tập cho các em theo từng chủ đề Ví dụ như khi giải phươngtrình, bất phương và hệ bất phương trình, các em giải quyết các bài toán bằng cácphương pháp đã biết ở lớp 10, lớp 11 rất khó khăn, nhiều em không làm được hoặckhông đi đến kết luận cuối cùng Khi đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên ,dùngđạo hàm hay phương pháp hàm số để giải các bài toán trên thì việc giải bài toán trởnên nhẹ nhàng hơn Trong lớp các em cũng hăng say hơn trong việc học tập môntoán

Trong phần này chúng tôi sẽ đề cập đến các bài toán về ứng dụng sự biến thiên củahàm số để giải quyết một số bài toán

2.3.1 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị.

① Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f x¢ >( ) 0, " Îx K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

Nếu f x¢ <( ) 0, " Îx K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

Nếu f x¢ =( ) 0, " Îx K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

② Hình dáng đồ thị

Nếu hàm số đồng biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi lên.Nếu hàm số nghịch biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống.

Câu 1 (Mã 101 - 2023) Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A ( 1;0) B ( ;0) C (1; ) D (0;1) Lời giải

Xét mệnh đề B trên khoảng 2;0 đồ thị hướng đi xuống là hàm số

nghịch biến Mệnh đề B đúng.

Xét mệnh đề C sai về kí hiệu Mệnh đề C sai.

Xét mệnh đề D ta suy ra đồ thị hàm y| ( ) |f x từ đồ thị hàm y f x( ) ta thấy đồ thị hàm y | ( ) |f x có 7 cực trị Mệnh đề D đúng.

2.3.2 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước.

 Mệnh đề nào dưới đây

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 1.

D Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 1.

Lời giải

Tập xác định: \ 1 Ta có 2

B Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1.

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1.

D Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 2.

 

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0, 1;  ; hàm số nghịch

biến trên các khoảng   ; 1, 0;1 Vậy hàm số nghịch biến trên

khoảng   ; 2

Chọn A

Câu 7 (Mã 123 - 2023) Hàm số 2

B Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;  

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1.

Lời giải

Ta có D , 22

xy

C. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm

số trên bằng 2 85

 Bảng biến thiên:

Xét mệnh đề A dựa vào bảng biến thiên thì hàm số trên luôn có cực trị

2.3.3 Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó.

Câu 10 (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y  x3 mx2 4m9x , với m là5tham số Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng

  ; 

A 5 B 4. C 6 D 7

Lời giảiChọn D

 

TH1: m  Ta có: 1 y x là phương trình của một đường thẳng có hệ4số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên  Do đó nhận m  1

TH2: m  Ta có: 1 y 2x2  x là phương trình của một đường4Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên  Do đó loại m  1

TH3: m  Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng 1   ; 

  

Câu 12 (SGD&ĐT Bắc Giang - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m để hàm số

x my

 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Lời giải

TXĐ: D \4 , Ta có 

 

Đúng Sai

A Hàm số trên không có cực trị khi 2  m 2 x

B Hàm số trên đồng biến trên R với mọi m x

C Hàm số trên nghịch biến trên khoảng (1;4) khi

 Mệnh đề C đúng

Xét mệnh đề D

Hàm số đã cho đồng biến trên  khi và chỉ khi f x( ) 0,   x (Dấu ‘=’xảy ra tại hữu hạn điểm).

Ta có f x( ) 0,  x   ' 02

x m

 Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:Đúng Sai

A. Hàm số không có cực trị với mọi m x

B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xácđịnh của nó khi m ( 2;2).

C. Giá trị nguyên nhỏ nhất của m để hàm sốtrên nghịch biến trên từng khoảng xác địnhcủa nó bằng -2.

D. Tổng các giá trị nguyên của m để hàm sốnghịch biến trên từng khoảng xác định củanó bằng 0.

cx d

     

 Mệnh đề B là sai

Xét mệnh đề C để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó thì

m     m Giá trị nguyên nhỏ nhất là -1 Mệnh đề C sai

Xét mệnh đề D để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó thì

2.3.4 Bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K

Câu 17.(Đề Tham Khảo 2019) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m đểhàm số y x3  6x2 (4m 9)x nghịch biến trên khoảng( ; 1)4    là

A

3( ; ]

4  

B [0;) C ( ;0] D

3[ ; )

4 

Lời giảiChọn A

  

với g x( ) 3 x212x9Ta có '( ) 6g x  x12 0  x 2

Khi đó, ta có bảng biến thiên

Câu 18.(Mã 103-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

 nghịch biến trên khoảng (6; ?)

Lời giảiChọn C

x m

 đồng biến trên khoảng (0; )4

A m  hoặc 10   B m 2 m  0 C 1  m 2 D m  2

Lời giảiChọn A

cos (tan )

 

x m

 nghịch biến trên khoảng ( ; )2

 

 

 

 C m 3 D m 3.

cos 2 0,;: cos 2

A Hàm số trên đồng biến trên khoảng (0;2) khim  4 x

B Hàm số trên đồng biến trên R khi m  1 x

C Hàm số trên có độ dài khoảng nghịch biến bằng 2khi

 Mệnh đề A sai

Xét mệnh đề B ta có y' 3 x2 6x 4 m Để hàm số đồng biến trên R thì ' 0   3m 3 0  m Mệnh đề B đúng 1

Xét mệnh đề C, ta có y' 3 x2  6x 4 m Để hàm số trên có độ dài khoảng nghịch biến bằng 2 thì

|x  x | 2  (x x )  4x x  4 m4

Mệnh đề C đúng

Xét mệnh đề D Ta có.

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra m  thỏa yêu cầu bài toán.4

Vậy: ( ;4] thì hàm số đồng biến trên khoảng(2; Mệnh đề D đúng )Câu 22 Cho hàm số

x m

 ( mlà tham số thực) Xét tính đúng – sai của các

C Tổng các giá trị nguyên của m để hàm số trên

đồng biến trên khoảng (1;3) bằng 0.

D Có 3 giá trị nguyên của m để hàm số trên đồng

biến trên khoảng (0; )

Lời giải

Tập xác định D\ m

Ta có

cx d

      

mm

xf x

x  là nghiệm thì '( )f x đổi dấu qua x  Do đó để ( )1 f x đồng biến

trên R thì '( ) 0;f x   x R hay(*) nhận x  làm nghiệm (bậc lẻ).1

Suy ra 4m2 2m20 0

Vậy tổng các giá trị của m là

2 Đáp số :

Câu 24 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số

Hàm số đồng biến trên (0; khi và chỉ khi)2

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta có m  , suy ra các giá trị nguyên âm của tham số 4 mlà

A 2; B 2;1 C   ; 2 D 1;3

Lời giảiCách 1:

Ta thấy '( ) 0f x  với

  

 nên ( )f x nghịch biến trên 1;4 và  ; 1 suy ra ( )g x f( x) đồng biến trên ( 4; 1)  và 1; Khi đó

 

     

Ta có  f 2 x2 x f  2 x  f2 x

Để hàm số yf 2 x đồng biến thì  f 2 x 0 f2 x0