skkn cấp tỉnh phương pháp bước nhảy viete để giải một số bài toán số học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP BƯỚC NHẢY VIETE ĐỂ GIẢI MỘT... Phương trình nghiệm nguyên hay còn gọi là phương trình Điopha

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP BƯỚC NHẢY VIETE ĐỂ GIẢI MỘT

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20

Phương trình nghiệm nguyên hay còn gọi là phương trình Điophant là chủ

đề thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.Bài viết giới thiệu phương pháp: Bước nhảy Viete - một trong những phươngpháp thường được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trìnhDiophant

Để giúp học sinh chuyên toán có được một phương pháp mạnh để xử lýlớp phương trình Diophantine bậc hai trở lên Tôi hệ thống và minh họa các bàitoán số học sử dụng phương pháp bước nhảy Viete

Xuất phát từ những lý do trên, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp bước nhảy Viete trong giải các bài toán số học”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tác giả thiết kế và tổ chức dạy học cácbài toán số học sử dụng phương pháp bước nhảy Viete Phần đầu tổng hợp cáckiến thức cơ bản liên quan, phần tiếp theo tác giả tổng hợp các bài toán và lờigiải nhằm minh họa và luyện tập cho học sinh phương pháp bước nhảy Viete.Sáng kiến kinh nghiệm này là một chuyên đề mà tác giả viết để giảng dạy và bồidưỡng cho học sinh giỏi ở trường THPT chuyên

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm tập trung nghiên cứu các bài toán số học được xử

lí bằng phương pháp bước nhảy Viete

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tác giả đã phối hợp sử dụng các phươngpháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra, quan sát

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

1

II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Phương trình Markov x2 y2z2 3xyz, đây là phương trình cực kì nổitiếng, xuất hiện trong luận án tiến sĩ tại trường Đại học Saint Petersburg Năm

1879, Andrei Andreevich Markov (1856 - 1922) - nhà toán học nổi tiếng ngườiNga đã bảo vệ thành công luận án tiến sĩ tại trường đại học Saint Petersburg vớichủ đề: “Dạng toàn phương xác định dương” Luận án tiến sĩ của Markov đãgiải quyết được một số vấn đề khó trong “Lý thuyết số” và mở ra một hướngnghiên cứu trong toán học đó là: “Lý thuyết xấp xỉ Diophant” Phương trìnhMarkov đóng vai trò chủ đạo trong các nghiên cứu của Markov về dạng toánphương

Ta thấy rằng phương trình Markov có một nghiệm hiển nhiên là (1;1;1).Đặt

S  x y z x y z x  y z  xyz

là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Markov thì S O

Do vai trò của x y z, , trong phương trình là như nhau, không mất tính tổng quát

ta có thể giả sử x y z  Với ( , , )x y z S, ( ', ', ')x y z S ta định nghĩa

( , , ) ( ', ', ')x y z  x y z nếu x y z x   ' y z' ' Markov đã dùng ý tưởng “thôngminh” sau đây để chứng minh có vô hạn bộ số nguyên dương ( , , )x y z thỏa mãn

phương trình trên

Với mỗi nghiệm ( , , )x y z n n n S ta xây dựng bộ nghiệm mới như sau Ta coi x

là ẩn và các biến còn lại là các tham số thì rõ ràng phương trình bậc hai

Ta thấy ý tưởng của Markov trong chứng minh trên là coi một biến lànghiệm của tam thức bậc hai khi cố định các nghiệm còn lại để từ đó xây dựngnghiệm mới từ một nghiệm đã biết bằng hệ thức Viete Cụ thể ta xét phươngtrình Diophant là phương trình bậc hai đối với một biến nào đó, chẳng hạn:

2

0 ( , , , ) 01 2 n

x G x x x Nếu phương trình này có nghiệm ( , , , ) 0a a1 2 a  thì rõ ràng là n a là0

nghiệm của phương trình

2 ( , , , ) 0

Phương trình trên phải còn một nghiệm nữa là a Kết hợp với định lí Vi-'0ete với dữ kiện của đầu bài ta sẽ “xây dựng” ( ' , , , )a a0 1 a là nghiệm của n

phương trình trên

Ý tưởng đó chính là nội dung của phương pháp “Bước nhảy Viete”, mộtphương pháp thường được sử dụng trong các bài toán số học liên quan đếnphương trình Diophant Ý tưởng sử dụng phương pháp bước nhảy Viete xuấthiện trong nhiều bài toán số học hay và khó trong các kỳ thi học sinh giỏi quốcgia và quốc tế

Định nghĩa 1 Nếu phương trình bậc hai ax2bx c 0,a0 có hainghiệm x và 1 x thì 2

2

x là hai nghiệm của phương trình t2  St P  0

Nhận xét

+ Định lý Viete cho thấy, ta không cần quan tâm tới giá trị của x và 1 x2

mà vẫn tính được hai giá trị tổng và tích của chúng, từ đó ta có những đánh giácần thiết

+ Cũng từ định lý Viete ta nhận thấy nếu một phương trình bậc hai

ax bx c  a có một nghiệm x thì nó sẽ có thêm một nghiệm 1 x nữa.2

+ Có thể mở rộng định lý cho đa thức bậc n bất kì Cho phương trình

n

n n

Bước 1 Cố định một giá trị nguyên mà đề bài cho, rồi giả sử tồn tại một

cặp nghiệm thỏa mãn một vài điều kiện mà không làm mất tính tổng quát củabài toán

Bước 2 Dựa vào định lý Viete để tìm các mối quan hệ và sự mâu thuẫn,

từ đó tìm được kết luận của bài toán

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình dạy học sinh đội tuyển lớp 12 chuyên Toán 2, các bàitoán sử dụng bước nhảy Viete, tôi thấy rằng các em có trí nhớ tốt, tiếp thunhanh, có thể ghi nhớ nhanh chóng các cách giải bài toán Có những bạn có khảnăng tự đọc tài liệu, phân dạng được các dạng toán và nhớ được cách giải cácbài toán Tuy nhiên, khi yêu cầu các em giải thích các kết quả được đưa ra trongbài, các em lại không giải thích được, mà chỉ nhớ cách giải về mặt hình thức.Như vậy, các em không hiểu bản chất, dẫn đến chưa thể áp dụng vào giải các bàitoán khác và có các kết luận chưa chính xác Các em không hiểu thứ tự của các

bộ số, khi được hỏi “Em hiểu ( , , ) ( ', ', ')x y z  x y z thế nào?”; “Em hiểu ( , , )x y znhỏ nhất như thế nào?” hay “Giải thích tại sao nghiệm x' là số nguyên dương?”,học sinh không đưa ra được câu trả lời, mặc dùng viết lại được các bước giải

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề

Để khắc phục những hạn chế trên của học sinh khi giải các bài toán số học

sử dụng phương pháp bước nhảy Viete và rèn luyện cho học sinh khả năng vậndụng định lý Viete để giải một số bài toán số học, đồng thời tạo cho học sinhyêu thích và hứng thú với những bài toán chuyên Tôi đã tiến hành hệ thống, sắpxếp lại các bài toán số học sử dụng phương pháp bước nhảy Viete Sau đó tổchức cho học sinh tìm hiểu bài toán, xác định hướng giải, tìm tòi, khám phá đểgiải bài toán Trong quá trình dạy học, tôi đặt ra các tình huống có vấn để các

em phát hiện, giải quyết vấn đề từ đó các em hiểu được bản chất của vấn đề, rènluyện cho các em khả năng tự phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề trong họctoán, giúp các em phát triển tư duy sáng tạo Từ việc hiểu bản chất, tự mình đặt

ra câu hỏi và trả lời được câu hỏi nêu ra đã giúp các em say mê với các bài toánchuyên, yêu thích và hứng thú với các bài toán Các em tự mình tìm tòi nhữngbài toán hay, chuyên đề hay, để đọc, để nghiên cứu, để khám phá

Sau đây là hệ thống bài tập được tổng hợp, hệ thống, thiết kế để tổ chứcdạy học cho học sinh

Ví dụ 1, sau đây, chính là bài toán khó nhất kì thi IMO năm 1988, và chỉ

có 11 học sinh cho lời giải hoàn chỉnh của bài toán Trong số 11 học sinh giảiđược bài toán đó, Việt Nam chúng ta có một đại diện chính là Giáo sư Ngô BảoChâu Đây là bài toán nổi tiếng và điển hình minh họa cho phương pháp bướcnhảy Viete

Ví dụ 1 (IMO 1988) Cho a b, là các số nguyên dương thỏa mãn

Lời giải

+ , khi đó theo phương pháp đã đề cập ở trên, ta cố định k, sau

đó xét tất cả các cặp ( , )a b nguyên dương thỏa mãn phương trình

2 2

1

k ab

+

=

+Hay có nghĩa là xét tập  

01

Nhận xét Trong bài toán, ta đã sử dụng nguyên lí cực hạn: Trong tập hợp các số

nguyên dương thì luôn tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất Mệnh đề trên khôngnhững hữu dụng trong các lớp bài toán này mà còn trong nhiều bài toán, tổ hợp

Giả sử k là số nguyên dương sao cho phương trình (1) có nghiệm nguyêndương Cố định k và xét tập hợp

Nếu k =1, phương trình (1) có nghiệm nguyên dương x= = =y z 3.

Nếu k =2, thì từ kz £ ta được 0 3 z = , khi đó ta có 0 1 2

0 0

(x - y ) + = mâu1 0thuẫn

Nếu k =1, phương trình (1) có nghiệm nguyên dương x= = =y z 1.

Vậy với k Î {1;3} thì phương trình có nghiệm nguyên dương.

Nhận xét

Bài toán này giúp chúng ta trả lời câu hỏi “Nếu tổng bình phương của ba

số nguyên dương chia hết cho tích của chúng thì thương của tổng bình phương của ba số đó và tích của ba số sẽ nhận các giá trị bằng bao nhiêu?”

Trong bài toán nay, ta đã “ngầm” thiết lập một quan hệ thứ tự trên S, đólà: nếu ( , , )x y z Î S x y z;( ', ', ')Î S thì

( , , )x y z >( ', ', ')x y z Û x y z+ + > + +x' y' z'sau đó dựa vào nguyên lý sắp thứ tự tốt: “Một tập hợp khác rỗng bất kì của các

số tự nhiên bao giờ cũng có phần tử bé nhất” để chỉ ra ( , , )x y z là nghiệm nhỏ0 0 0

nhất theo quan hệ thứ tự nói trên Nhờ phương pháp bước nhảy Viete ta đã xâydựng được nghiệm ( , , )x y z từ nghiệm 1 0 0 ( , , )x y z để từ đó thiết lập được quan0 0 0

hệ “x1³ x0³ y0³ z0” Từ đó, với định lý về dấu của tam thức bậc hai ta tìmđược các giá trị k thỏa mãn điều kiện bài toán Bằng cách làm tương tự ta có thểgiải quyết được bài toán trong Kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2002

Ví dụ 3 (VMO 2002) Xác định tất cả các số nguyên dương n để phương trình

( ; ; ; )x y u v là nghiệm nguyên dương của phương trình

(1) mà tổng x0+y0+u0+ có giá trị nhỏ nhất và không mất tính tổng quát tav0

giả sử x0³ y0 ³ u0 ³ v0 (*) Dễ thấy

(i) (y0+u0+v0)2 chia hết cho x 0

(ii) x là nghiệm nguyên dương của tam thức bậc hai0

2

0 0 0 1

Với n =2, phương trình (1) có nghiệm nguyên dương x = = = =y u v 2.

Với n =3, phương trình (1) có nghiệm nguyên dương x = =y 2,u = =v 1.

Với n =4, phương trình (1) có nghiệm nguyên dương x = = = =y u v 1.

Vậy tất cả các giá trị nguyên dương n cần tìm là x Î {1;2;3;4}.

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị k sao cho phương trình (x y z  )2 kxyz cónghiệm nguyên dương

Lời giải

Ta gọi k là giá trị cần tìm và ( , , )x y z là nghiệm nguyên dương của phương0 0 0

trình (x y z  )2 kxyz có x0 y0z0 nhỏ nhất Khi đó không mất tính tổngquát, ta có thể giả sử x0 y0 z0 Phương trình được viết dưới dạng

cũng là nghiệm của phương trình trên, suy ra ( , , )x y z là nghiệm của phương1 0 0

trình đầu Ngoài ra ta cũng suy ra được x nguyên dương, hay nói cách khác1

1 0 0

( , , )x y z là nghiệm nguyên dương của phương trình đầu Từ tính nhất nhỏ nhất

của x0 y0 z0 ta có được x1x0, suy ra

(y z )

x x





Từ bất đẳng thức thứ 2 ta có y0 z0 x0, áp dụng bất đẳng thức thứ nhất tađược ky z0 0 4x0 Chia 2 vế của

1) Với k 1 phương trình có nghiệm, chẳng hạn (9;9;9)

2) Với k 2 phương trình có nghiệm, chẳng hạn (4;4;8)

3) Với k 3 phương trình có nghiệm, chẳng hạn (3;3;3)

4) Với k 4 phương trình có nghiệm, chẳng hạn (2;2;4)

5) Với k 5 phương trình có nghiệm, chẳng hạn (1;4;5)

6) Với k 6 phương trình có nghiệm, chẳng hạn (1;2;3)

7) Với k 8 phương trình có nghiệm, chẳng hạn (1;1;2)

8) Với k 9 phương trình có nghiệm, chẳng hạn (1;1;1)

Bây giờ ta cần chứng minh rằng trường hợp k 7 phương trình không cónghiệm nguyên dương Thật vậy, giả sử với k 7 thì phương trình đã cho cónghiệm nguyên dương ( ; ; )x y z có các tính chất như trên Khi đó ta có0 0 0

là một phương trình bậc hai ẩn T có một nghiệm là a Gọi nghiệm còn lại là 0 a1

, theo công thức Viete ta có

2

a a  kb và a a0 1k b( 03 1)

Từ đây ta có a  và 1 a  Nếu 1 0 a  , thì từ các hệ thức Viete, ta có 1 0 b 0 1

và a0 2k , ta được (2 ,1)k là một cặp số thỏa mãn điều kiện bài toán Nếu

a  akb k b  

là phương trình bậc hai đối với ẩn a nên ta vẫn áp dụng được phương phápbước nhảy Viete để xác định được nghiệm của bài toán Chú ý rằng khi tìmđược ( , ) (2 , )a b0 0  k k thì ta phải tìm a vì 1 ( , )a b cũng là nghiệm, nếu không1 0

sec dẫn đến việc làm mất nghiệm (8k3 1,2 )k của bài toán

Ví dụ 6 (Taiwan MO 1998) Cho m>n là các số nguyên dương lẻ và n -2 1chia hết cho m2- n2+1 Chứng minh rằng m2- n2+1 là một số chínhphương

2

(x +y ) =k x y(4 +1)

Xét phương trình bậc hai ẩn x là 2 2

x - k- y x y+ - k = Khi đó x0 làmột nghiệm của phương trình trên Như vậy theo định lí Viete thì phương trình

có một nghiệm nữa là x1, lúc này ta có

Điều này mâu thuẫn vì x1 là nghiệm của phương trình

+ Nếu x =1 0, khi đó từ x x0 1 =y20- k ta được y02- k= Þ0 k=y20 là sốchính phương

a) Chứng tỏ rằng có vô số giá trị nguyên dương N để phương trình trên cónghiệm nguyên dương (nghĩa là mỗi nghiệm gồm bốn số nguyên dương x y z t, , ,)

b) Giả sử N 4 (8k m7) với k m, là các số nguyên không âm Chứng minh

rằng khi đó phương trình trên không có nghiệm nguyên dương

Chú ý rằng khi hoán vị bốn số a b c Nabc, , , ta lại được nghiệm ( , , , )x y z t của1 1 1 1

phương trình (1)

b) Giả sử phương trình (1) có nghiệm nguyên dương, chọn ( , , , )x y z t là0 0 0 0

nghiệm nguyên dương của (1) sao cho tổng x0 y0 z0t0 là số nguyên dươngnhỏ nhất Không mất tính tổng quát, giả định rằng x0 y0 z0 t0

Ta sẽ chứng minh với N 7 thì nghiệm nguyên dương của phương trình (1) với

x y z t nếu có phải có dạng (*) như trên

Theo giả thiết t là nghiệm của phương trình bậc hai 0

t  Nx y z t x  y z  N  (3)Phương trình (3) có nghiệm thứ hai t thỏa mãn:1

là nghiệm (*) của phương trình (1)

Với N 4 (8k m7) 7 , áp dụng kết quả trên thì N x2 y2z2 Do đó nếuchứng minh được phương trình x2 y2 z2 4 (8k m7) không có nghiệmnguyên dương thì phương trình (1) cũng không có nghiệm nguyên dương

+ Khi k 0 ta có x2  y2 z2 8m7 hay x2  y2 z2 7(mod8).Trong ba số x y z, , phải có một số lẻ hoặc cả ba số lẻ Nếu số a lẻ thì

hay x2 y2z2 0(mod 4) Trong ba số x y z, , phải có một số chẵn hoặc ba sốchẵn Nếu có một số chẵn, còn hai số a b, lẻ thì a2b2 2(mod 4), suy ra

2 2 2 7(mod8)

x  y z  Nếu x y z, , đều là số chẵn đặt x2 ,x y1 2 ,y z1 2z1

thì (*) tương đương với x2 y2 z2 4 (8k1 m 7)

    Sau k lần biến đổi như thế

ta có x2 y2z2 8m7, nhưng phương trình này vô nghiệm nguyên dươngnhư khi xét k 0

Ví dụ 8 (IMO 2007) Cho trước a và b là hai số nguyên dương Chứng minhrằng nếu số 4ab  1 là ước số của (4a 2 1)2 thì a b

Lời giải

Theo giả thiết thì 4ab 1| (4a2  1)2 nên ta có

4ab 1| (4b a  1)  (4ab 1)(4a b 2ab a )a  2ab b (a b ) Đặt

số 4ab  1 là ước của (a b )2 Sau đó sử dụng phản chứng kết hợp với phươngpháp bước nhảy Viete và nguyên lý sắp thứ tự tốt ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 9 Cho a b, là các số nguyên dương với ab 1 Giả sử rằng ab  1 chiahết a2b2 Chứng minh rằng

51

Do đó k b .( 0 1) 1 Nếu b  theo chứng minh trên thì 0 1 k b .( 0 1) 3 1  , vì vậy

ta phải có b  Khi đó 0 1 a0 a1 k và a a0 1 k 1, suy ra a a0 1 a0 a1 1 0hay (a0  1)(a1 1) 2 mà a1a0 nên a0 2,a13, từ đây ta được