skkn cấp tỉnh hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận đại lượng tỉ lệ nghịch

Đây là dạng toán mà nhiều học sinh gặp khókhăn trong việc đi tìm lời giải, đặc biệt là dạng “có lời văn”, bởi lẽ ngoài việcnắm được những kiến thức cơ bản, các bước làm thì các em còn ph

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NÔNG CỐNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 7 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, ĐẠI LƯỢNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I PHẦN MỞ ĐÂÙ

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi toán học hình thànhcho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,… Cùngvới sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổimới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy học toán nóiriêng, trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động

tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học,nhằm nâng cao năng lực phát hiện giải quyết vấn đề, hình thành kĩ năng vậndụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn

Đối với học sinh lớp 7, các em được học về dạng toán: “Đại lượng tỉ lệthuận - Đại lượng tỉ lệ nghịch” Đây là dạng toán mà nhiều học sinh gặp khókhăn trong việc đi tìm lời giải, đặc biệt là dạng “có lời văn”, bởi lẽ ngoài việcnắm được những kiến thức cơ bản, các bước làm thì các em còn phải phân tích

để hiểu rõ về nội dung đề bài (cho gì và yêu cầu làm gì), phải chuyển được từ

“ngôn ngữ thực tế” thành “ngôn ngữ Toán” Do vậy các em hay nhầm lẫn giữahai bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch Đây là trở ngại lớn cho ý trívươn lên trong học tập của các em

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy Toán tại trường THCS, tôi thấy cònnhiều học sinh chưa hiểu rõ, khắc sâu được những kiến thức cũng như phương

pháp giải dạng toán về: “Đại lượng tỉ lệ thuận - Đại lượng tỉ lệ nghịch” Vậy

làm thế nào để khắc sâu kiến thức cho học sinh? Làm thế nào để học sinh chủđộng, hứng thú khi giải các bài dạng toán này? Có biện pháp gì để học sinh cóđộng cơ học tập, say mê tìm tòi sáng tạo, vận dụng kiến thức đã học vào thực tếcũng như việc giải các bài toán có nội dung thực tế ?…Với mong muốn tìm ra

những đáp án đó, đã thúc đẩy tôi chọn và nghiên cứu đề tài:“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến:“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một

số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch”là:

Giáo viên có thêm kinh nghiệm trong việc áp dụng phương pháp giảng dạycho từng dạng bài, đặc biệt là dạng toán có lời văn về “Đại lượng tỉ lệ thuận –Đại lượng tỉ lệ nghịch” cho học sinh lớp 7

Học sinh nhận dạng và phân loại được bài toán về “Đại lượng tỉ lệ thuận –Đại lượng tỉ lệ nghịch”, nắm vững được phương pháp làm của mỗi dạng, biếtkhai thác các cách giải cũng như phát triển bài toán, đồng thời biết được mốiliên hệ giữa toán học với thực tế, qua đó xây đắp lòng say mê với môn học, cóđộng cơ học tập đúng đắn Bên cạnh đó, chỉ ra một số sai lầm học sinh hay mắcphải khi giải bài tập dạng này và cách khắc phục những sai lầm đó

3 Đối tượng nghiên cứu

a, Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ

thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch trong chương trình Toán 7 ,SGK 2018

b, Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ

nghịch trong chương trình Toán 7 ,SGK 2018 cả 3 bộ sách giáo khoa: Cánh

diều; Chân trời sáng tạo; Kết nối tri thức với cuộc sống

4 Phương pháp nghiên cứu

em hay nhầm giữa đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch, do đó các emrất ngại dạng toán này Vậy nên để có thể giải thành thạo dạng toán này thì trướchết các em phải đọc thật kĩ đề bài, để có thể chuyển được từ “ngôn ngữ thực tế”thành “ngôn ngữ toán”, từ đó hiểu được bài toán thuộc dạng nào (tỉ lệ thuận hay

tỉ lệ nghịch)

Bên cạnh đó, xuất phát từ “nội dung thực tế” của một số bài toán, học sinhthấy được tầm quan trọng của toán học với thực tế, đồng thời hình thành và pháttriển các năng lực cho học sinh như: năng lực tính toán, sử dụng ngôn ngữ, giaotiếp, hợp tác, năng lực suy luận, tư duy logic Đây cũng là một trong những địnhhướng đổi mới chương trình giáo dục phổ thông – định hướng phát triển nănglực học sinh

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh nắm được phương pháp giải cácbài toán về “Đại lượng tỉ lệ thuận – Đại lượng tỉ lệ nghịch” dạng toán có lời vănmột cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điều này,đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ năng đọc kĩ, phân tích bài toán,đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượnghọc sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đãhọc và các cách giải khác, để giúp học sinh học tậptốt bộ môn

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Tế Nông là một xã cách xa trung tâm huyện, đời sống của nhân dân còngặp nhiều khó khăn, đa số các em ngoài việc học, còn phải phụ giúp gia đìnhtrong các công việc đồng áng, vì vậy thời gian dành cho học tập ít, do đó ảnh

hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập Bên cạnh đó nhiều em còn có bố mẹ

đi làm ăn xa, việc quan tâm tạo điều kiện cho học hành của các em còn hạn chế

Do đặc thù của bộ môn là khó, nó đòi hỏi người học phải có tính cần cù,nhẫn nại nên có một bộ phận học sinh không đáp ứng được Đặc biệt ở một số

em còn có "lỗ hổng" kiến thức cơ bản từ các lớp dưới, lại không được sự quantâm đúng mức của phụ huynh, nên từ đó nảy sinh tâm lí chán học Do đó khôngthể chủ động tiếp thu các kiến thức được

Là dạng toán có đề bài bằng một đoạn văn và thường kết hợp giữa cácngôn ngữ thực tế với ngôn ngữ toán, các dữ kiện ràng buộc lẫn nhau nên họcsinh phải có khả năng suy luận tốt, tư duy logic thì mới hiểu được mối liên quangiữa các đại lượng Trong khi đó đối với học sinh lớp 7 thì khả năng suy luận,

tư duy logic của nhiều em còn hạn chế, do đó các em rất “sợ” dạng toán này Vìthế mà chất lượng giáo dục của bộ môn chưa cao Học sinh chưa tích cực, tựgiác trong học bài ở nhà, ở lớp chưa tích cực xây dựng bài

Bên cạnh đó, vì thời gian dạy trên lớp hạn hẹp nên giáo viên không thể dạyhết cho học sinh các dạng bài tập về dạng toán này được

Qua tìm hiểu về công tác giảng dạy môn toán 7 phần: “Đại lượng tỉ lệthuận- Đại lượng tỉ lệ nghịch” của các đồng nghiệp và qua thực tế giảng dạycủa bản thân, trong 2 năm gần đây, cho thấy nhiều học sinh còn “sợ” dạng toánnày, do vậy mà kết quả giảng dạy đạt được trong 2 năm học gần đây như sau:

3 Các giải pháp giải quyết vấn đề

Giải toán là một hoạt động trí tuệ khó khăn, phức tạp, việc hình thành kĩnăng giải toán, đặt biệt là dạng toán có lời văn khó hơn nhiều, bởi lẽ ngoài việcvận dụng những kiến thức và làm theo mẫu thì ở dạng này các em còn phảinghiên cứu kĩ đề để phân tích được nội dung đề, chỉ ra được mối quan hệ giữacác đại lượng trong bài… Qua kinh nghiệm giảng dạy cũng như tham khảo ýkiến của các đồng nghiệp, bản thân đã thực hiện đề tài này với các biện phápchính sau:

Để mỗi giờ dạy đạt được kết quả tốt nhất theo tôi đó là giáo viên phảinghiên cứu bài giảng thật kĩ, chuẩn bị hệ thống câu hỏi, bài tập phù hợp với cácđối tượng học sinh.

Hệ thống lý thuyết cụ thể, tóm tắt các định nghĩa, tính chất và các kiến thứcliên quan

Phân tích kĩ các bài tập “mẫu” cho học sinh, qua đó các em nắm vững đượcphương pháp làm mỗi dạng bài tập

Chia học sinh thành các nhóm nhỏ, tổ chức cho các em thảo luận theonhóm để hình thành kiến thức hoặc để tìm ra phương pháp giải bài tập hay.Sau mỗi dạng bài tập cần giao bài tập dạng tương tự để các em được luyệnthêm, từ đó củng cố, khắc sâu kiến thức

Giáo viên thường xuyên kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của các em,

kể cả việc trình bày bài để kịp thời uốn nắn, sửa lỗi (từng lời giải, cách viết phéptính, cách trình bày một bài toán, ) Đây là một việc làm không khó nhưng nóđòi hỏi ở giáo viên sự tận tâm, tận tụy, chịu khó trong công việc

Với mỗi bài toán cần giúp HS nắm chắc các bước cơ bản khi giải toán nhưsau:

Bước 1: Nghiên cứu kĩ đề bài:

- Trước hết cần đọc thật kĩ đề bài

- Tìm hiểu rõ các thuật ngữ quan trọng để biết được bài toán cho biết điều

gì, phải tìm cái gì? Và bài toán thuộc dạng nào ?

Bước 2 Tóm tắt bài toán:

- Tóm tắt bằng sơ đồ, bằng bảng hoặc ngôn ngữ, kí hiệu ngắn gọn, qua đó

để thiết lập quan hệ giữa các đại lượng trong bài, giữa “cái đã cho” và “cái cầntìm”

Bước 3: Phân tích bài toán để lập kế hoạch giải bài toán

- Xác định trình tự giải bài toán, thông thường xuất phát từ yêu cầu của bàitoán đến các yếu tố đã cho

- Xác lập mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho với yêu cầu bài toán phải tìm.Bước 4 Thực hiện cách giải và trình tự giải

Bước 5 Khai thác bài toán (Bước này dành cho HS khá giỏi) Sau khi giảixong bài toán cần suy nghĩ xem:

- Còn có thể giải bài toán bằng cách khác không?

- Từ bài toán này có thể phát triển thành bài toán khác không? Cách giảichúng như thế nào?

Bước 6 Rèn kĩ năng tính toán thành thạo, chính xác

Bước 7 Tiến hành giải bài tập minh họa về “Đại lượng tỉ lệ thuận – Đạilượng tỉ lệ nghịch” dạng toán có lời văn từ dễ đến khó, từ đơn giản nâng dần lênphù hợp với nhận thức của học sinh, cụ thể:

* Nội dung chủ yếu: Đề tài nghiên cứu với các dạng bài tập chính sau:

- Dạng 1: Đại lượng tỉ lệ thuận

- Dạng 2: Đại lượng tỉ lệ nghịch

* Kiến thức cần nhớ

1 Đại lượng tỉ lệ thuận

Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y =

kx (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k

Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

- Tỉ số hai giá trị tương ứng luôn không đổi ( k

x

y x

y x

2 1

1

y

y x

x

 ;

3

1 3

1

y

y x

Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ) (y1x1y2x2  a)

- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giátrị tương ứng của đại lượng kia (

1

2 2

1

y

y x

x

 ;

1

3 3

1

y

y x

y a

x

1 1



- Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Tóm tắt bài toán (xác định hai đại lượng tỉ lệ thuận, các số liệu liên quan)

- Xác định tương quan tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng

- Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và các kiến thức liên quan

và thực hiện các bước giải

Ví dụ 1(Bài tập 10/66-SBT Toán 7 tập 1): Để làm nước mơ, người ta

thường ngâm mơ theo công thức: 2kg mơ ngâm với 2,5kg đường Hỏi cần baonhiêu kilôgam đường để ngâm 5kg mơ?

Phân tích:

- Các đối tượng có trong bài? (khối lượng mơ và đường để ngâm mơ)

- Số liệu đã biết ? (2kg mơ ngâm với 2,5kg đường)

- Số liệu cần tìm ? (khối lượng đường để ngâm 5kg mơ?)

Hướng dẫn: Xét xem “khối lượng mơ” và “khối lượng đường” để ngâm

mơ có mối tương quan gì bằng các gợi ý:

- Khối lượng mơ càng nhiều thì khối lượng đường để ngâm mơ cần nhiềuhay ít?

- Mối quan hệ giữa “khối lượng mơ” và “khối lượng đường” ?

Giải

Gọi x(kg) là khối lượng đường dùng để ngâm 5kg mơ

Vì khối lượng mơ và khối lượng đường để ngâm mơ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên: 22,55x  6 , 25

2

5 , 2 5





x

Vậy để ngâm 5kg mơ cần 6,25kg đường

Ví dụ 2 (Bài tập 3a/74-KTCB và NC Toán 7 tập 1): Biết 3 lít nước biển

chứa 105g muối Hỏi 13 lít nước biển đó chứa bao nhiêu gam muối ?

Phân tích: Ta có thể phân tích bài toán như sau:

Nước biển Lượng muối

Hướng dẫn: Để giải bài này ta cần xét xem:

- Lượng nước biển và lượng muối có trong nước biển có quan hệ gì ?

- Nhiều nước biển thì lượng muối thu được nhiều hơn hay ít hơn ? Vì sao?

- Nước biển và lượng muối trong nước biển đó có quan hệ gì ?(là hai đạilượng tỉ lệ thuận, vì nhiều nước biển thu được nhiều muối và ngược lại) Tuynhiên GV cần lưu ý HS cụm từ: “nước biển đó”

Giải

Gọi x(g) là lượng muối chứa trong 13 lít nước biển

Vì lượng nước biển và lượng muối chứa trong nước biển là hai đại lượng tỉ

lệ thuận nên: 1053 13x  455

3

105 13





x

Vậy 13 lít nước biển đó chứa 455g muối

Nhận xét: Thông qua các bài tập cơ bản này, học sinh được khắc sâu các

tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận

- HS có thể tìm x bằng cách dựa vào tính chất 2 để lập tỉ lệ thức 2x,5 52(Ví dụ1) và 133 105x (Ví dụ 2) từ đó suy ra giá trị của x

Bài tập vận dụng (Bài 2/66-KTCB và NC chọn lọc Toán 7 tập 1)

Cứ xay 100kg thì thu được 64kg gạo Hỏi xay 6 thúng thóc như thế thì thuđược bao nhiêu kilôgam gạo? Biết rằng mỗi thúng thóc nặng 20000g ?

Hướng dẫn: Để giải bài này ta cần xét xem:

- Mỗi thúng thóc nặng 20000g bằng bao nhiêu kilôgam ? 6 thúng thócnhư thế nặng bao nhiêu kilôgam ?

- Cứ xay 100kg thóc thì thu được 64kg gạo, vậy xay 6 thúng thóc như thếthì thu được bao nhiêu kilôgam gạo?

- Nhiều thóc đem xay thì thu được lượng gạo nhiều hơn hay ít hơn ? Suy rakhối lượng thóc đem xay và khối lượng gạo thu được có quan hệ gì ?

GV cần lưu ý HS: cụm từ: “thóc như thế”và các giá trị của cùng một đạilượng phải cùng đơn vị đo (phải đổi 20000g = 20kg)

Ví dụ 3 (Nguồn Internet): Số bài tập làm được trong một buổi học của ba

bạn An, Bảo, Ngọc tỉ lệ với các số 2; 3; 4 Tính số bài tập mỗi bạn làm đượctrong buổi học đó, biết rằng tổng số bài tập cả ba bạn buổi đó làm được là 27bài

Phân tích: Học sinh cần xác định được:

- Bài toán này thuộc dạng nào ?

- Đối tượng tham gia ? (ba bạn An, Bảo, Ngọc)

- Các đại lượng trong bài ?

- Số liệu đã biết ? (tổng số bài tập cả ba bạn làm được và số bài tập giảiđược của ba bạn tỉ lệ với 2; 3; 4)

- Số liệu cần tìm ? (Số bài tập mỗi bạn làm được trong buổi học đó)

- Làm thế nào để tìm được số bài tập mỗi bạn làm được ?(áp dụng tính chấtdãy tỉ số bằng nhau để giải)

Hướng dẫn:

- Nếu gọi số bài tập bạn An, Bảo, Ngọc làm được lần lượt là x, y, z thì x, y,

z có quan hệ gì với 2; 3; 4 ? (x, y ,z tỉ lệ với các số 2; 3; 4 )

- Khi đó ta có dãy tỉ số nào ? (

4 3 2

z y x

Nhận xét: Thông qua bài tập cơ bản này học sinh được khắc sâu hơn về

cách giải bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, đặc biệt với đối tượng học sinh yếu,kém

Khai thác bài toán: Cũng hỏi như trên nhưng với điều kiện:

1 Bạn Ngọc làm được nhiều hơn bạn An 4 bài tập

2 Bạn An và bạn Ngọc làm được nhiều hơn bạn Bảo 9 bài tập

Bài tập vận dụng (Bài 13 trang 67-SBT Toán 7 tập 1): Ba đơn vị kinh

doanh góp vốn theo tỉ lệ 3; 5; 7 Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền lãi nếutổng số tiến lãi là 450 triệu đồng và tiền lãi được chia theo tỉ lệ thuận với số vốn

đã đóng?

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có số đo các góc lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5 Tính

số đo các góc của tam giác ABC

Phân tích:

- Đối tượng tham gia ? (số đo mỗi góc của một tam giác)

- Số liệu đã biết ? (số đo các góc của một tam giác tỉ lệ với 3; 4; 5)

- Số liệu cần tìm ? (Số đo mỗi góc của tam giác ABC)

- Số liệu liên quan ? (Tổng số đo ba góc của tam giác ABC bằng 1800)

3

z y

x



 (x, y, z lần lượt là số đo mỗi góc của tam giác ABC))

- Làm thế nào để tìm được x, y, z? (áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằngnhau)

- Từ 3x 4y 5z ta đã tìm được x,y,z chưa ? Vì sao? (chưa, vì chưa chỉ rađược quan hệ giữa số đo ba góc của tam giác)

- Ở ví dụ này chưa cho biết về quan hệ giữa ba góc của tam giác, do đó tacần chỉ ra được mối quan hệ giữa 3 góc của tam giác (áp dụng định lí tổng bagóc của một tam giác ta tìm được số đo các góc của tam giác đó)

Giải

Gọi số đo mỗi góc của tam giác ABC lần lượt là: x, y, z

Vì số đo các góc của tam giác lần lượt tỉ lệ với 3;4;5 nên: 3x 4y 5z

và tổng số đo ba góc của một tam giác bằng 1800 nên x + y + z = 1800

 x = 450; y = 600; z = 750

Vậy số đo ba góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là: 450; 600; 750

Nhận xét: Với những bài chưa cho đủ các yếu tố cần thiết để giải ta cần

phân tích kĩ và vận dụng các kiến thức liên quan (bài này HS cần vận dụng kiếnthức về tổng ba góc của một tam giác) Và lưu ý cụm từ “tỉ lệ” tức là “tỉ lệthuận”

Bài tập vận dụng: Cho học sinh làm bài toán sau:

Bài 1: Cho tam giác MNP có số đo các góc lần lượt tỉ lệ với 1;2;3 Hỏi tam

giác MNP là tam giác gì? Vì sao?

Bài 2: Tính độ dài các cạnh của một tam giác, biết chu vi là 45cm và độ dài

các cạnh của tam giác tỉ lệ với 3; 5; 7

Hướng dẫn:

Bài 1 Tương tự như Ví dụ 4, ta tìm được số đo ba góc của tam giác, từ đó

kết luận được dạng của tam giác đó

Bài 2 Nếu gọi độ dài mỗi cạnh của tam giác ABC lần lượt là x, y, z thì x,

y, z có quan hệ gì với 3; 5; 7? Khi đó ta có dãy tỉ số nào ?

- Từ chu vi của tam giác đó là 45cm, ta có biểu thức nào? Để tính chu vicủa tam giác ta làm như thế nào? (lập dãy tỉ số bằng nhau, rồi áp dụng tính chấtdãy tỉ số bằng nhau, lưu ý cần nhớ công thức tính chu vi của một tam giác)

Ví dụ 5: (Bài tập 66 – Nâng cao và một số chuyên đề Toán 7)

Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích là 300m2, độ dài hai cạnh tỉ lệ với3; 4 Tính chiều rộng, chiều dài của khu vườn đó?

Phân tích:

- Đối tượng tham gia ? (độ dài hai cạnh của hình chữ nhật)