skkn cấp tỉnh hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp thpt quốc gia môn toán hiệu quả với chủ đề phát triển các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

Khigặp các dạng toán “viết phương trình đường thẳng trong không gian thỏa mãn điềukiện nào đó” học sinh thường gặp không ít khó khăn vì không tìm được các mốiquan hệ biện chứng giữa các

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Giải pháp thực hiện……… 4

2.3.1 Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán viết PTĐT trong không gian 4

2.3.2 Phương pháp chung để giải bài toán viết PTĐT trong không gian 4

2.3.3 Một số biện pháp để tổ chức thực hiện……… 4

2.3.4.Một số dạng bài toán về viết PTĐT trong không gian ……… 4

2.4 Hiệu quả sáng kiến……… ……… 20

3 Kết luận ……… 22

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học công cụ Tuy, nó không trực tiếp sản xuất ra vật chất nuôi sống con người nhưng là một môn khoa học công cụ nên bất kỳ một môn khoa học cũng cần phải có Toán học

Tuy nhiên, để học tốt bộ môn Toán học không phải là chuyện đơn giản Cóngười học rất nhiều, rất chăm nhưng chỉ giải được các bài toán thông thường, đơngiản, quen thuộc mà thôi Còn đứng trước một bài toán mới thì rất lúng túng, khókhăn Phải chăng tư duy toán học còn hạn chế hay chưa có sự suy nghĩ, địnhhướng, linh hoạt áp dụng kiến thức, định lí vào giải toán.

Trong chương trình Toán THPT hình học không gian nói riêng và hình họckhông gian tọa độ nói chung có vai trò hết sức quan trọng chiếm một phần hai tổngthời gian của chương trình hình học Không những thế, đây còn là phần kiến thứcquan trọng trong các kỳ thi THPT Quốc gia

Trường Phổ Thông Nguyễn Mộng Tuân tiền thân là trường bán công nên khichuyển sang công lập tuyển sinh được số học sinh khá giỏi cũng không nhiều, chủyếu là những học sinh học lực trung bình và gia đình các học sinh của nhà trườngchủ yếu làm nông nghiệp nên điều kiện kinh tế khó khăn không được đầu tư chohọc tập nhiều nên chất lượng học tập không cao Hơn nữa, trong quá trình giảngdạy, tôi nhận thấy đa số học sinh rất ngại học môn Hình học vì nó trừu tượng vàcần có khả năng tư duy cao, nhất là phần kiến thức hình học trong không gian Khigặp các dạng toán “viết phương trình đường thẳng trong không gian thỏa mãn điềukiện nào đó” học sinh thường gặp không ít khó khăn vì không tìm được các mốiquan hệ biện chứng giữa các đối tượng đề bài đã cho hoặc không biết hướng giảiquyết hoặc không tìm được hướng giải quyết

Kì thi THPT Quốc gia năm 2024 đang đến gần Với hình thức thi mà BộGiáo Dục đề ra, lượng kiến thức môn Toán của bài thi cũng khá nhiều Bám sát vàthực hiện hướng dẫn của Bộ Giáo dục và Đào tạo sau nhiều năm giảng dạy và ônluyện thi THPT Quốc gia môn toán cho học sinh khối 12 , tôi đã nhận thức đượctầm quan trọng của việc nắm chắc cấu trúc đề thi và các mảng kiến thức sẽ có trongbài thi Việc thi theo hình thức trắc nghiệm tuy không đòi hỏi tỉ mỉ cách trình bàynhưng mỗi bài thi môn toán 50 câu thời gian làm bài 90 phút thì yêu cầu học sinhphải nắm vững kiến thức mới làm bài được nhanh, và hiêụ quả nhât Trong bài thimôn toán phần câu hỏi của kiến thức hình tọa độ trong không gian cũng chiếmđáng kể , đặc biệt phần kiến thức này khi làm bài thi không được hỗ trợ làm nhanhbằng máy tính bỏ túi nhiều như phần kiến thức khác và để đưa ra được đáp án củanhiều bài toán phần này học sinh cũng phải nắm vững lý thuyết ,phương pháp giải

và làm gần như giống bài tự luận

Để các em có thể nắm vững kiến thức cơ bản và phương pháp giải các dạngbài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ nói riêng , giúp các

em hiểu ra rằng phần hình học không gian tọa độ không phải là khó, từ đó gây nênhứng thú học tập cho các em ,cải thiện chất lượng học tập và đạt kết quả cao trongcác kì thi Và đây cũng là tài liệu học tập giúp các em ôn tập trong kỳ thi THPTQuốc gia Tôi xin giới thiệu tới các đồng nghiệp và các em học sinh sáng kiến kinh

nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn

Toán hiệu quả với chủ đề: phát triển các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích của sáng kiến này là người viết muốn :

- Trang bị cho học sinh phương pháp giải các bài toán viết phương trình đườngthẳng

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nângcao khả năng tư duy, sáng tạo khi giải toán

- Nâng cao chất lượng giáo dục môn toán của nhà trường

- Phát triển ở học sinh những năng lực phẩm chất trí tuệ góp phần tích cực vào việcgiáo dục tư tưởng đạo đức thẩm mỹ của người công dân

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là học sinh lớp 12A1trường PT Nguyễn Mộng Tuân

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, đề thi của Bộ các năm gần đây,

đề thi thử các trường, hồ sơ chuyên môn,…)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của HS thông qua trao đổi trựctiếp)

- Phương pháp thực nghiệm

1.5 Điểm mới của sáng kiến

- Nội dung của sáng kiến đã nêu lên tương đối đầy đủ các bài toán thườnggặp về viết phương trình đường thẳng trong không gian và đưa ra được phươngpháp giải cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm vững được kiến thức

- Sau các bài toán, ví dụ cụ thể có đưa ra nhận xét, củng cố và phát triển bàitoán, suy ra kết quả mới, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt vàsáng tạo ,phòng tránh những sai lầm khi làm các bài toán viết phương trình đườngthẳng

- Trích dẫn một số bài toán trắc nghiệm viết phương trình đường thẳng cótrong các đề minh họa, đề thi THPT Quốc gia môn toán các năm của Bộ Giáo Dụcxuất hiện trong các dạng toán

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề

Trong chương trình Hình học 12, bài toán viết phương trình đường thẳngtrong không gian là bài toán hay và không quá khó Để làm tốt bài toán này đòi hỏi

học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, các mối quan hệ như giữađường thẳng với đường thẳng, giữa mặt phẳng với mặt phẳng Là dạng toánchiếm tỷ lệ nhiều trong kỳ thi THPT quốc gia nên yêu cầu học sinh phải làm tốtđược dạng toán này là hết sức cần thiết.

Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinh tương đốiđầy đủ những kiến thức căn bản về phần phương pháp tọa độ trong không giancũng như những kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng trong không gian.Tuy nhiên phần thời gian luyện tập cho bài phương trình đường thẳng trong khônggian không có nhiều do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều và tiếp cậnvới nhiều dạng toán về viết phương trình đường thẳng, trong khi đó các đề thiTHPT Quốc gia có những dạng toán phong phú, đa dạng Khi gặp các dạng toán

“viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện nào đó” học sinh thường gặpkhông ít khó khăn vì không tạo ra được các mối quan hệ biện chứng giữa các đốitượng đề bài đã cho hoặc không biết hướng giải quyết hoặc không tìm được hướnggiải quyết

Trong quá trình giảng dạy giáo viên luôn khắc sâu tới học sinh: để viết đượcphương trình đường thẳng thì phải xác định hai yếu tố: điểm đi qua và vectơ chỉphương của đường thẳng Yếu tố VTCP của đường thẳng thông thường đề bài chodưới dạng phải khai thác các dữ liệu của đề bài Khi đó ngoài việc sử dụng các kiếnthức đã học trong SGK học sinh còn phải chú ý đến quan hệ vuông góc, quan hệsong song giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa đường thẳng với đường thẳng rồikết hợp với tọa độ của điểm theo phương trình tham số của đường thẳng vào bàitoán Khi đó việc giải bài toán hình học sẽ đơn giản hơn và được “đại số hóa” nênhọc sinh sẽ tiếp cận nhanh hơn và cách giải bài toán gọn gàng hơn

Với mong muốn các em học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và phươngpháp giải một số dạng toán về viết phương trình đường thẳng trong không gian tọa

độ, giúp các em hiểu ra rằng phần hình học không gian tọa độ không phải là khó, từ

đó gây nên hứng thú học tập cho các em và nâng cao chất lượng học tập Đây cũng

là tài liệu học tập giúp các em ôn tập trong các kỳ thi THPT Quốc gia

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Để viết được phương trình đường thẳng cần phải có hai yếu tố: điểm đi qua

và VTCP của đường thẳng Học sinh thường gặp không ít khó khăn ở khâu tìmVTCP của đường thẳng Học sinh thường lúng túng khi áp dụng mối quan hệ songsong, vuông góc của đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng và

từ đó xâu chuỗi dữ kiện đề bài để tìm được VTCP của đường thẳng Trong sángkiến này với từng dạng toán Tôi đã đưa ra phương pháp giải, hướng dẫn chi tiết đểcủng cố cho các em các kiến thức cơ bản và các dạng toán thường gặp về viếtphương trình đường thẳng Học sinh sẽ tiếp cận bài toán đơn giản hơn, dễ nhớ và từ

đó hình thành tư duy tự học, tự giải quyết vấn đề

2.3 Giải pháp thực hiện:

2.3.1 Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán viết PTĐT trong không gian

- Học sinh cần nắm chắc được một số kiến thức như định nghĩa VTCP,PTTS, PTCT của đường thẳng; tích có hướng của hai vec tơ

- Học sinh cần có thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ;kỹ năng : lập luậnvấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề và ghi nhớ một số bài toán cơbản

2.3.2 Phương pháp chung để giải bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

Trong bài toán viết phương trình đường thẳng d thì phương pháp chung

nhất là đi xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và toạ độ một điểm thuộc

đường thẳng sau đó dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83 SGK Hình học

12) để viết phương trình đường thẳng.

2.3 3 Một số biện pháp để tổ chức thực hiện:

2.3.3.1 Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của giáo viên:

- Thực hiện trong phạm vi một số buổi ôn tập, phụ đạo và ôn thi THPT Quốcgia với các dạng bài toán ở mức độ vừa phải Giáo viên đưa ra các bài toán, phươngpháp giải , các ví dụ mẫu và những nhận xét để khắc sâu kiến thức cho học sinh.Chỉ ra cho học sinh thấy được mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng đề bài đãcho Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài giải ởmức độ đơn giản Làm các bài tập trắc

- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinhkhá hơn ở mức độ những bài toán cao hơn

2.3.3.2 Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của giáo viên:

Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của họcsinh, làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên

2.3.4 Một số dạng bài toán về viết phương trình đường thẳng trong không gian

Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x0 ; y0 ; z0 ) và

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d, biết đường thẳng d

đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương u=(2; -1; 0)

Bài giải: Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương u

=(2; -1; 0) có phương trình tham số là:

1 2 2 3

Ví dụ tương tự 1: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2023) Viết phương trình tham

số của đường thẳng d, biết đường thẳng d đi qua điểm M(2; 1; -1) và có vectơ chỉphương u=(1; -2; 3)

Nhận xét: Đây là dạng viết PTTS của đường thẳng đơn giản nhất Đối với

bài toán này,học sinh chỉ cần áp dụng định nghĩa PTTS của đường thẳng là viết được PT tham số của đường thẳng.

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương u= AB

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 1; 2; 3) và B (5; 4; 4).

Ví dụ tương tự 2 ( ĐỀ THI KS LẦN 2 NĂM 2023– SỞ THANH HÓA)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A( 1;2 3 - ) và B( 3; 1;1 - )?

-Nhận xét: Đối với dạng toán này, để viết được phương trình của đường

thẳng (PT tham số hoặc chính tắc) thì học sinh cần tìm VTCP của đường thẳng Việc tìm VTCP của đường thẳng trong bài toán này đơn giản, không gây khó khăn cho học sinh.

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng đã cho.

Bước 2: Đường thẳng cần tìm có VTCP u n

Bước 3: Áp dụng như bài toán 1.

Ví dụ 3: Cho 3 điểm A(1; 0; 2), B(0; 3; 2), C(1; 4; -1) Lập phương trình

đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A

Bài giải:

Ta có:AB

=(-1; 3; 0), AC

= (0; 4; -3)Gọi n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Ví dụ tương tự 3 ( ĐỀ THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm

(2;3; 0)

A và vuông góc với mặt phẳng ( ) :P x 3y z 5  0?

A

1 3 3 1

Nhận xét: Đối với dạng toán này thì việc tìm VTCP của đường thẳng phức

tạp hơn một chút Học sinh cần nắm được kiến thức: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng đó sẽ nhận VTPT của mặt phẳng làm một VTCP của mình Ở bài này học sinh sẽ được rèn thêm kỹ năng tìm VTPT của mặt phẳng thông qua tích có hướng của 2 véctơ.

Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với đường thẳng d’ (hoặc song song với hai mặt phẳng cắt nhau).

Ví dụ 4: Cho 3 điểm A(1; 0; 2), B(3; -1; 0), C(-1; 1; -2) Lập phương trình

đường thẳng d đi qua A và song song với BC

Bài giải:

Đường thẳng BC có VTCP là BC   ( 4; 2; 2) 

.Đường thẳng d song song với BC nên nhận BC

là VTCP

Đường thẳng d đi qua A(1; 0; 2) nhận BC  ( 4; 2; 2) 



làm VTCP nên có phươngtrình tham số là:

1 4 2

Ví dụ tương tự 4 ( ĐỀ THPT QG 2017)Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho ba điểm A(0; 1;3)  , B(1;0;1), C ( 1;1; 2) Phương trình nào dưới đây là

PTCT của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC?

A

2 1 3

A

1 2 3

3 2

x y

Nhận xét: Đối với dạng toán ở VD4 thì đơn giản hơn ở VD5.

Ở VD4 học sinh cần hiểu được hai đường thẳng song song với nhau thì đường thẳng này nhận VTCP của đường thẳng kia làm một VTCP của mình.

và từ đó viết được PT đường thẳng cần tìm.

Đối với bài toán 3, 4 học sinh được rèn luyện thêm kỹ năng tính tích có hướng của hai véctơ.

Bài toán 5: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với

2 đường thẳng d1; d2 (không song song và không trùng nhau).

Phương pháp:

Bước 1: Tìm VTCP u u 1, 2

của d 1 , d 2 Bước 2: Tìm VTCP của đường thẳng d: uu u1 , 2 



 

   

Bước 3: Áp dụng bài toán 1.

Ví dụ 6: Viết phương trình chính tắc của d đi qua M(1; 1; 5) và vuông góc

với cả hai đường thẳng d1:

1

2 2 3

Đường thẳng d đi qua M(1; 1; 5) và có VTCP u= (1; -1; 1) nên ta có phương trìnhchính tắc là: d: 1 1 5

x y z



Ví dụ tương tự 6 (ĐỀ THPT QG 2017) Trong KG với hệ tọa độ Oxyz, cho

điểm M ( 1;1;3) và hai đường thẳng : 1 3 1

Nhận xét: Đối với dạng bài toán này Học sinh cũng hay gặp và lúng túng

khi tìm cách giải nhưng thực chất bài này không có gì là khó Để giải được bài

, như vậy bài toán này không còn khó khăn với học sinh nữa.

Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Chuyển d 1 , d 2 về dạng tham số (nếu như d 1 , d 2 chưa ở dạng tham số).

thỏa mãn các phương trình của d 1 , d 2

 B(1+t; 3+2t; -2+t), C(2+3t’; 1-t’; 1-2t’)

Vì d qua A và cắt d1, d2 lần lượt tại B và C nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng

ïï = íï

-ï =- + ïïî

Viết phương trình đường thẳng d đi qua

M(-1; 1; 3) và cắt hai đường thẳng d1, d2

Nhận xét: Đối với bài toán này học sinh sẽ nhiều em hoang mang khi tìm

cách giải, không biết sẽ giải bài này như thế nào? Có nhiều cách giải nhưng ở đây Tôi hướng dẫn các em cách giải như trên (theo tôi là ngắn gọn) Đối với cách giải này chúng ta chủ yếu sử dụng kiến thức tọa độ điểm, điều kiện để 3 điểm thẳng hàng và kỹ năng tính toán nó cũng đơn giản hơn.

Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1, d2.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt là giao điểm của d 1 , d 2 với (P).

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): y + 2z = 0 và hai đường

Vì B d’  B(2-t’; 4+2t’; 1); vì B (P)  4 + 2t’ + 2 = 0  t’ = -3

 B(5; -2; 1)

Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d và d’

chính là đường thẳng AB Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận véc tơ

Tìm được tọa độ điểm H và tọa độ vectơ AH

Ví dụ 9: Viết phương trình đường thẳng  qua A(2; 1; - 3) cắt đường thẳng

t y

t x

4

2 1

3

) (t  R và vuông góc với đường thẳng d2:

t y

t x

5 3

4 1

) (t  R

t y

t x

2 3

2 1

2 (t  R)

Ví dụ tương tự 10 (ĐỀ THPT QG 2018 MÃ 102) Trong không gian Oxyz, cho điểm A2;1;3 và đường thẳng : 1 1 2

Bước 2:  song song với mặt phẳng (P) nên              AB n               p

Từ đó tìm được tọa độ điểm

B và xác định được VTCP của 

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng  đi qua A và có VTCP AB

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường

thẳng  đi qua điểm M(1;1;-2), song song với mặt phẳng (P): x-y-z-1 = 0 và cắt