Ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic
Ta bắt đầu bằng khái niệm ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic. Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ bảo toàn độ đo) Cho 2 không gian xác suất ( 1 ;
F 1 ; P 1 ), ( 2 ; F 2 ; P2) và phép biến đổi T : 1 ! 2 được gọi là:
(i) đo được nếu với mọi B 2 2 F 2 thì T 1 B 2 2 F 1 :
(ii) bảo toàn độ đo nếu T là đo được và
P 1 (T 1 (B 2 )) = P 2 (B 2 ); 8B 2 2 F 2 : Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ ergodic) Phép biến đổi bảo toàn độ đo T : ! trên không gian xác suất ( ; F; P) được gọi là ergodic nếu với B 2 F mà
Có một số cách phát biểu khác về tính Ergodic Các định lý sau sẽ trình bày một số điều kiện tương đương của của tính Ergodic. Định lý 1.3 Giả sử T : ! là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất ( ; F; P) Khi đó, các khẳng định sau tương đương:
(ii) Với bất kỳ B 2 F mà P(T 1 B B) = 0 thì P(B) = 0 hoặc P(B) = 1;
(iii) Với mọi A 2 F mà P(A) > 0 thì P(S 1 n=1 T n A) = 1;
(iv) Với mọi A; B 2 F thỏa mãn P(A) > 0; P(B) > 0 thì tồn tại n > 0 sao cho P(T n A \ B) > 0:
Chứng minh Chứng minh (i) ) (ii): Cho B 2 F mà P(T 1 B B) = 0.
Trước hết ta xây dựng một tập B 1 sao cho T 1 B 1 = B 1 và P(BB 1 ) = 0. Với mỗi n 0, ta có P(T n B B) = 0 Thật vậy, vì
[ [ nên cùng với giả thiết T là ánh xạ bảo toàn độ đo ta có
Từ nhận xét trên ta biết rằng với mỗi n 0 ,
1 = T T i B là dãy giảm theo n và mỗi tập trên n=0 i=n i=n đo với B nên (B )= (B): Hơn nữa, có cùng độ (B B) = 0 và do đó
Do đó ta đã chỉ ra một tập B 1 thỏa mãn T 1 B 1 = B 1 và P(B 1 B) = 0: Từ tính ergodic ta có hoặc P(B 1 ) = 0 hoặc P(B 1 ) = 1 và do đó P(B) = 0 hoặc P(B) = 1:
Chứng minh (ii) ) (iii): Cho A 2 F và P(A) > 0 Đặt A 1 = S 1 n=1 T n A; ta có
Kết hợp với P(T 1 A 1 ) = P(A 1 ) nên P(T 1 A 1 A 1 ) = 0: Từ giả thiết (ii) ta được P(A 1 ) = 0 hoặc P(A 1 ) = 1 Ta không thể có P(A 1 ) = 0 vì T 1 A A 1 và P(T 1 A) = P(A) > 0 Do đó P(A 1 ) = 1.
Chứng minh (iii) ) (iv): Cho P(A) > 0; P(B) > 0 Theo giả thiết (iii) ta có P n=1 T nA 1 = 1 nên
Chứng minh (iv) ) (i): Giả sử B 2 F và T 1 B = B Nếu 0 < P(B) < 1 thì 0 = P(B \ ( n B)) = P(T n B \ ( n B)); 8n 1: Điều này mâu thuẫn với (iv): Vậy ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.4 Giả sử T : ! là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất ( ; F; P) Khi đó, các khẳng định sau tương đương:
(ii) Nếu f là hàm đo được và (f T )(!) = f(!); 8 ! 2 thì f = c h.c.c,
(iii) Nếu f là hàm đo được và (f T )(!) = f(!) h.c.c thì f = c h.c.c,
(iv) Nếu f là hàm khả tích bậc 2 và (f T )(!) = f(!); 8 ! 2 thì f = c h.c.c,
(v) Nếu f là hàm khả tích bậc 2 và (f T )(!) = f(!) h.c.c thì f = c h.c.c.
Chứng minh Chứng minh (i) ) (ii): Giả sử T là ergodic, f là đo được và f T = f h.c.c Với mỗi k 2 Z và n > 0 đặt
Do đó theo mục (ii) Định lý 1.3 có P( (k; n)) = 0 hoặc P( (k; n)) = 1 Với
1 S là hợp rời nhau nên tồn tại k n : P( (k n ; n)) = 1: mỗi n 2 N, k2 Z (k; n) Đặt Y = (k n ; n) thì P(Y ) = 1 và f liên tục trên Y nên f = c h.c.c. n=1 minh (iv) ) (i): Giả sử E 2 F và T 1E = E Khi đó 1 2 L2( P )
E và (1 E T )(!) = 1 E (!); 8 ! 2 Theo giả thiết (iv) ta có 1 E = c h.c.c nên
) , nhiên Ta có điều phải chứng minh.
Định lý hồi qui Poincaré
Định lý 1.5 (Định lý hồi qui Poincaré) Giả sử T : ! là phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất ( ; F; P) Cho tập hợp E 2 F với P(E)
> 0: Khi đó, hầu chắc chắn các phần tử thuộc E hồi quy thường xuyên vô hạn lần về E dưới một số dương lần phép lặp bởi T ; tức là tồn tại tập F E với P(F ) = P(E) sao cho với mỗi ! 2 F , tồn tại một dãy các số tự nhiên n 1 < n 2 < mà T n i 2 F với mọi i.
Chứng minh Đặt C n := ! 2 : T j (!) 2= E; 8j n Hiển nhiên
Do đó để chứng minh định lý ta chỉ cần chỉ ra C n 2 F và P(C n ) = 0 với mọi n 1: Dễ có
Hơn nữa j n T j (E) = T n j 0T j (E) ; kết hợp với tính bảo toàn độ đo,[
Ta có điều phải chứng minh.
Định lý Birkhoff
Tiếp theo ta trình bày một số kết quả quan trọng được sử dụng trong chứng minh định lý Birkhoff. Định lý 1.6 (Định lý ergodic cực đại) Giả sử U : L 1 (P) ! L 1 (P) là toán tử tuyến tính dương (tức là với f 0 thì U f 0) và jjUjj 1 Với mỗi số tự nhiên N và hàm f 2 L 1 (P); đặt f 0 = 0; f n = f + U f + + U n 1 f và
Chứng minh Hiển nhiên F N 2 L 1 (P) Với mỗi 0 n N, F N f n Kết hợp điều này với U là toán tử tuyến tính dương, ta có U F N U f n : Từ đó,
= F N (!): Điều này dẫn đếnf FN U F N trên A = !:FN(!)>0 nên
Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.7 Giả sử T : ! là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất ( ; F; P) Với mỗi 2 R và g 2 L 1 (P), đặt
Chứng minh Xét trường hợp A = Đặt f = g thì
P(B ): Trong trường Áp dụng Định lý 1.6 có f d > 0 nên gdP hợp tổng quát, áp dụng cách chứng minh trên cho j A ta có
Tiếp theo ta trình bày định lý Birkhoff mà đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết ergodic. Định lý 1.8 (Định lý Birkhoff cho thời gian rời rạc) Giả sử ( ; F; P) là không gian xác suất và ánh xạ T : ! là phép biến đổi bảo toàn độ đo và f 2 L 1 (P) Khi đó, 1 n P 1 f(T i (!)) hội tụ h.c.c tới hàm số khả tích f 2 L 1 (P) n i=0
Trước khi đi vào chứng minh chi tiết Định lý 1.8, ta xét 2 hệ quả quan trọng của định lý như sau.
Hệ quả 1.9 (Định lý Von Neumann về tính ergodic trong không gian L p ) Giả sử 1 p < 1 và T là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất ( ; F; P) Khi đó, nếu f 2 L p (P) thì tồn tại hàm f 2 L p (P) sao cho f T = f h.c.c và n 1 1 X f(T i !) ni=0
Chứng minh Cho hàm số g bị chặn và đo lý Birkhoff thì f (!) ! 0: p được Khi đó g 2 L p (P) và theo định
Sử dụng Định lý hội tụ bị chặn có
Suy ra, với mọi > 0, tồn tại N( ; p) : với mọi n > N và k > 0 thì n 1 1 X g(T i !) n i=0
Cho f 2 L p (P) và S n (f)(!) = n i =0f(T i !): Ta sẽ chứng minh Sn(f) là p
: Với > 0 bất dãy Cauchy trong L ( ) với chú ý Pn( ) f kì, chọn g 2 L p (P) sao cho kf gk p < 4 thì kSnf S n+kfk p kS n f S n gk p + kS n g S n+k gk p + kS n+k g S n+k fk p
Do đó tồn tại f 2 L p (P) sao cho kS n f f k p ! 0:
Hệ quả 1.10 Giả sử T là phép biến đổi bảo toàn độ đo của không gian xác suất ( ; F; P) Khi đó, T là ergodic nếu và chỉ nếu với mọi A; B 2 F
Chứng minh Giả sử T là ergodic Áp dụng định lý Birkhoff cho f = 1 A ,
Nhân cả hai vế với 1 B ta có
=0 Áp dụng định lý hội tụ bị chặn,
Ngược lại, giả sử T 1 E = E với E 2 F: Đặt A = B = E trong giả thiết hội tụ, ta có
Chứng minh Định lý 1.8 Với f 2 L 1 (P) như giả thiết, đặt f (!) = lim sup1 n 1 f(T i (!)); f (!) = lim inf1 n 1 f(T i (!)):
Ta chứng minh n + 1 n a n+1 (!) f T = f và f T = f Thật vậy, với a n (!) 1 n 1
Ta cần chứng minh f = f h.c.c và tính khả tích của f : Với ; 2 R, đặt
! : f (!) < f (!) ; 2 Q cho nên ta chỉ cần chứng minh P(E ; ) = 0 nếu < : Dễ có điều kiện
T 1E ; = E ; tương đương với T E ; = E ; Áp dụng Hệ quả 1.7 cho:
Nếu ta thay tương ứng f; ; bởi f; ; với lưu ý ( f) = f , ( f) = f ta cũng có
Tóm lại P(E ; ) P(E ; ) nhưng vì < nên P(E ; ) = 0: Vậy f = f h.c.c và
Sử dụng bổ đề Fatou cho dãy hàm g n (!) =
Z Z g n dP và nlim gn(!) = nlim 1 n 1
Với mỗi > 0 đủ bé, ta có D k n \B n k = D k n : Hơn nữa điều kiện T 1 D k n = D k n tương đương với điều kiện T D n = D n : Áp dụng Hệ quả 1.7 ta có k k
Lấy tổng theo k 2 N ta có
Vì điều này đúng với mọi n 1 ta có
Z f dP Z f dP: Áp dụng các bước trên với f tương ứng f ta cũng có
Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 1.11.(i) Định lý Birkhoff đúng trong trường hợp tổng quát ( ; F;
P) là không gian đo và P là độ đo - hữu hạn.
(ii) Nếu T là ergodic, áp dụng điều kiện (iii) của Định lý 1.4 thì f = c h.c.c.
(iii) Nếu T là ergodic, với mọi hàm đo được f, n 1 Z P n!1 n i=0 lim 1
Sau đây ta sẽ phát biểu một mở rộng của định lý Birkhoff được sử dụng cho chương sau Trước hết ta định nghĩa dòng các phép biến đổi bảo toàn độ đo. Định nghĩa 1.12 Cho (St)t2R là một nhóm các phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất ( ; F; P), tức là, St+s(!) = St(Ss(!)); 8t; s 2 R:
Khi đó (St)t2R được gọi là một dòng nếu với mọi ánh xạ đo được f(!) trên thì ánh xạ f(St!) cũng đo được trên không gian tích Descartes R: Định lý 1.13 (Định lý Birkhoff cho dòng) Giả sử ( ; F; P) là không gian xác suất, (S t ) t2R là một dòng các phép biến đổi độ đo và f 2 L 1 ( ; F; P).
Khi đó giới hạn sau t!1 t Z
1 f(S !)du := f (!); tồn tại với xác suất bằng 1 Hơn nữa f (S t !) = f (!) và
Ta cần tới định lý về phép thế biến sau trong chứng minh định lý Birkhoff cho dòng. Định lý 1.14 Cho các không gian đo ( ; F); ( 0 ; F 0 ) và ánh xạ T là ánh xạ F=F 0 - đo được Giả sử là độ đo trên F và f : ( 0 ; F 0 ) ! (R; B(R)) là ánh xạ F 0 =B(R)- đo được Nếu f là hàm không âm thì
0 trong đó T 1 là độ đo ảnh trên F 0 Khi đó f là hàm khả tích với T 1 nếu và chỉ nếu f T là hàm khả tích với và
Chứng minh Nếu f = 1 A 0 thì f T = 1 T 1 A 0 và
Bởi tính chất tuyến tính của tích phân, (1.2) đúng với hàm đơn giản không âm Nếu f là hàm không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản không âm ff n g n2N
16 sao cho 0 f n " f nên 0 f n T " f T và áp dụng Định lý hội tụ đơn điệu ta có
(1.2) Với hàm f khả tích bất kì, vì jfj = f + f nên (1.2) đúng Cuối cùng nếu thay thế f bởi f1 A 0 , (1.2) chính là (1.3).
Nhận xét 1.15 Nếu f 2 L 1 ( ; F; P), bằng phép đổi biến, tính bảo toàn độ đo của dòng S t ! tương đương với
Chứng minh Định lý Birkhoff cho dòng Không mất tính tổng quát, giả sử rằng
F = ( ) fĐặt 1 = R 0 ( ) u Vì u là hàm B R B R - đo được và 1là hàm F B R - đo được và định lý Fubini có
Hơn nữa S 1 là phép biến đổi bảo toàn độ đo P và S 1 n = S n nên n 1 n 1 1 n k=0 f 1 (S
X X0 0 Áp dụng Định lý 1.8 cho thời gian rời rạc, giới hạn n lim 1 Z f(S u !)du n!1 n
0 tồn tại P- hầu chắc chắn Ta thấy rằng với n < t < n + 1 n t n+1
Kết hợp với P là độ đo xác suất nên giới hạn (1.1) tồn tại Do đó đẳng thức
( h ) t!1 h Z t+h ( u ) = t!1 t + h Z t+h ( u ) = ( ) fS ! = lim 1 f S ! du lim 1 f S !du f !
0 h đúng với P- h.c.c Áp dụng lần nữa Định lý 1.8 cho thời gian rời rạc
Ta có điều phải chứng minh.
Nhiễu sinh ra tự đồng bộ trên hệ rẽ nhánh Pitchfork
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu kết quả về hiện tượng nhiễu sinh ra hiện tượng đồng bộ hóa trên hệ rẽ nhánh Pitchfork trong [2] ở Mục 2.2 Để phát biểu và chứng minh kết quả đó, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả về tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên ở Mục 2.1.
Hệ động lực ngẫu nhiên
Hệ động lực ngẫu nhiên
Trong mục này chúng ta xét thời gian I = R hoặc I = R + và -đại số trên I là
-đại số Borel, kí hiệu bởi B(I). Định nghĩa 2.1 (Hệ động lực Metric) Giả ( ; ; ) t2I là họ các phép biến sử (t) đổi bảo toàn độ đo từ không gian xác suất F P vào chính nó Khi đó
; F; P; (t) t 2R được gọi là hệ động lực Metric nếu thỏa mãn các điều kiện sau.
(i) (t; !) 7!(t; !) là ánh xạ đo được,
(ii) (0; ) = id (id là ánh xạ đồng nhất từ vào chính nó),
(iii) Tính chất dòng (nửa dòng): (t + s) = (t) (s); với mọi t; s 2 R.
Ví dụ 2.2 Cho không gian chính tắc các quỹ đạo:
Trên , ta xác định metric cảm sinh bởi tôpô của các tập mở compact sau d(!; !) := 1 1 j! !j n
Kí hiệu blà -đại số Borel của không gian b b
Cho quá trình ngẫu nhiên W t : ! R; ! 7!!(t), t 2 R Khi đó tồn tại độ đo Wiener P sao cho quá trình ngẫu nhiên fW t g t2R là chuyển động Brown một chiều Sau đây, ta định nghĩa hàm chuyển thời gian: t!( ) = !( + t)!(t); t 2 R:
Khi đó, ( ; F; P; ( t ) t2R ) là một hệ động lực metric với họ các biến ngẫu nhiên fWtg t2R là chuyển động Brown, xem [5]. Định nghĩa 2.3 (Hệ động lực ngẫu nhiên) Cho ( ; F; P; (t) t2I ) là một hệ động lực Metric với thời gian t Một hệ động lực ngẫu nhiên (RDS) trên không gian đo được (R; B(R)) liên kết với hệ động lực Metric ( ) là một ánh xạ
(t; !; x) 7! ’(t; !; x) thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Tính đo được: ’ là B(I) F B(R)=B(R)- đo được.
(ii) Tính đồng chu trình: Các ánh xạ ’(t; !) := ’(t; !; ) : R ! R lập nên một chu trình trên ( ), tức là, chúng thỏa mãn
’(0; !) = id R (ánh xạ đồng nhất trên R);
’(t + s; !) = ’(t; s !) ’(s; !); 8s; t 2 I; ! 2 : Định nghĩa 2.4 (Tích chéo) Cho hệ động lực ngẫu nhiên ’ Khi đó ánh xạ
(!; x) 7!( t !; ’(t; !; x)) =: (t)(!; x); t 2 I; là một hệ động lực đo được trên ( R; F B(R)) và được gọi là tích chéo.
Cho hệ động lực ngẫu nhiên ’, sinh ra một tích chéo Giả sử độ đo xác suất trên ( R; F B(R)) là bất biến với , tức là (t) = với mọi t 2 I Gọi : R ! ; (!; x) = ! là phép chiếu vào Vì(t) = (t) nên
Do đó marginal của là - bất biến Tiếp theo ta sẽ định nghĩa một độ đo sao cho= P. Định nghĩa 2.5 (Độ đo bất biến) Cho hệ động lực ngẫu nhiên ’, một độ đo xác suất trên ( R; F B(R)) được gọi là độ đo bất biến với hệ động lực ngẫu nhiên ’, hay ’- bất biến, nếu nó thỏa mãn
(ii) = P: Định nghĩa 2.6 Giả sử là độ đo xác suất trên ( R; F B(R)) với marginal P trên ( ; F) Ta gọi hàm ( ) : B(R) ! [0; 1] là độ đo mẫu của tương ứng với P nếu
(i) với mọi B 2 B(R); ! 7! ! (B) là F- đo được,
(ii) B 7! !(B) là độ đo xác suất trên (R; B(R)), h.c.c.
R Định nghĩa 2.7 (Quá khứ, tương lai của hệ động lực ngẫu nhiên) Cho hệ động lực ngẫu nhiên đo được ’ trên (R; B(R)) với thời gian 2 chiều.
Ta gọi - đại số con F F là quá khứ của ’ nếu nó thỏa mãn với mọi t 0
Tương tự F + F được gọi là tương lai của ’ nếu nó thỏa mãn với mọi t 0
Ta có thể xây dựng Fbé nhất như sau
F + = ’(t; ; x) : t 0; x 2 R : Định nghĩa 2.8 (Độ đo Markov) Cho hệ động lực ngẫu nhiên đo được ’ với thời gian 2 chiều và quá khứ F và tương lai F + : Một độ đo xác suất trên
( R; F B(R)) với marginal P trên là F - đo được hoặc F + - đo được, tức là đo
( ; F) sao cho độ đo mẫu ! 7! ! E( jF ) = , h.c.c, được gọi là độ
Tiếp theo ta sẽ trình bày định nghĩa về quá trình Markov phục vụ cho phần sau. Định nghĩa 2.9 Cho là độ đo xác suất trên không gian (R; B(R)) với bộ lọc tự nhiên (F) t 0 Cho X = fX t ; F t ; t 0g là quá trình liên tục, tương thích nhận giá trị thực Quá trình này được gọi chuyển động Brown với phân phối ban đầu nếu
2 với 0 s < t, gia số X t với kì vọng 0 và phương sai
Xs là độc lập với Fs và có phân phối chuẩn t s.
Gọi P 0 là độ đo Wiener trên (C[0; 1); B(C[0; 1))) Khi đó P 0 và
X t (!) := !(t) và bộ lọc tự nhiên là một quá trình Brown bắt đầu tại 0 Với x 2
R ta định nghĩa độ đo xác suất P x
Khi đó, P x và X t (!) = !(t) và bộ lọc tự nhiên là quá trình Brown bắt đầu tại x Ta định nghĩa P như sau
B Định nghĩa 2.10 (Quá trình Markov) Cho là độ đo xác suất trên (R;
B(R)) Một quá trình X = fX t ; F t ; t 0g trên không gian xác suất ( ; F; P ) được gọi là quá trình Markov với phân phối ban đầu nếu
Tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên
Định nghĩa 2.11 Một ánh xạ K : ! 2 R nhận giá trị tập con của R được gọi là đo được nếu với mỗi x 2 R thì ánh xạ từ ! R, ! 7!d(x; K(!)) là ánh xạ đo được Trong đó, n o d(A; B) = sup inf d(x; y) : y 2 B : x 2 A là nửa metric Hausdorff.
Một ánh xạ nhận giá trị tập đóng, đo được được gọi là một tập đóng ngẫu nhiên.
Một tập ngẫu nhiên K được gọi bất biến (chặt) ’- forward nếu với mọi t > 0,
Chú ý 2.12 (i) Tập đóng ngẫu nhiên không phụ thuộc vào việc chọn metric d Hơn nữa với mọi tập đóng ngẫu nhiên khác rỗng ! ! K(!) tồn tại dãy đo được k n : ! R; n 2 N sao cho K(!) = k n (!) : n 2 N
(ii) Trong trường hợp tổng quát, giao bất kì các tập đóng ngẫu nhiên thì chưa chắc là một tập đóng ngẫu nhiên Tuy nhiên nếu (K t ) t2I là một dãy giảm
T các tập compact ngẫu nhiên thì K = lim K t = K t là một tập đóng t2 I t ngẫu nhiên. Định nghĩa 2.13 Cho một tập đóng ngẫu nhiên K, tập hợp
(K; !) = K(!) = ’(s; s!)K( s!); t 0 s t được gọi là tập- giới hạn của K Theo định nghĩa trên K (!) là tập đóng.
Tương tự như định nghĩa tập - giới hạn trong tất định ta cũng có định nghĩa tương đương sau n o n!1
Tập - chuyển của một tập - giới hạn là
’(t n ; t n + t!; x n !) n!1 yg: Nhận xét sau chứng minh hoàn toàn tương tự như trong trường hợp tất định, trong đó ta sử dụng giả thiết về tính liên tục của ’(t; !; x).
Nhận xét 2.14 Tập- giới hạn của một tập đóng ngẫu nhiên K là bất biến.
Chứng minh Với y 2 cho y = lim ’(t n ; n!1
K(!), tồn tại các dãy t n ! 1 và x n 2 K( t n !) sao t n !; x n ) Với t > 0 điều này dẫn đến
= lim ’(t ~ n ; ~ t !; x n ); n!1 t n với t~ n = t + t n ! 1 và x n 2 K( t n !) = K( t ~ n t!): Do đó từ định nghĩa tập - chuyển mà ta có ’(t; !; y) 2 K( t !):
Ngoài cách chứng minh trên, ta còn có cách chứng minh thuần "tất định" như sau
Chứng minh Nhận xét 2.14 Với mọi BR; t 0 và ! 2 ;
= ’( ;t!; K( t(!)) = K ( t !): s t s Ở đây ta sử dụng f A f(A ) với hàm f bất kì, và f(A) f(A) với f là hàm bị chặn lần lượt tương ứng với hai kí hiệu tập con.
T T Định nghĩa 2.15 (Tập hút ngẫu nhiên) Một tập ngẫu nhiên A được gọi là hút tập ngẫu nhiên B nếu d(’(t; t !; B( t!)); A(!!)) t!1 0; h:c:c: Định nghĩa 2.16 (Tập hấp thụ ngẫu nhiên) Nếu 2 tập ngẫu nhiên A; B sao cho P- h.c.c tồn tại thời điểm t B (!) mà với mọi t t B (!)
’(t; t !; B( t!)) A(!); thì A được gọi hấp thụ B, và t B được gọi thời điểm hấp thụ.
Nhận xét 2.17 Nếu một tập ngẫu nhiên A hút tập ngẫu nhiên B thì
B A; h:c:c: Điều ngược lại chưa chắc đúng Nó chỉ đúng trong trường hợp A hấp thụ B.
Chứng minh Vì A hút B, theo định nghĩa ta có với mọi > 0, tồn tại thời điểm
= ( (!)) sao cho d(’(t; t !; B( t!)); A(!)) < với mọi t > Cùng với nhận xét d(A; B) = d(A; B), ta có d s ’(s; s !; B( s !)) ; A(!) = d s ’(s; s!; B( s!)); A(!)
Mệnh đề sau đưa ra một số tính chất của một tập -giới hạn B của tập ngẫu nhiên B trong trường hợp tồn tại một tập compact ngẫu nhiên A hấp thụ B.
Mệnh đề 2.18 Giả sử A; B là hai tập ngẫu nhiên mà A hấp thụ B, và A là tập compact P- h.c.c Khi đó P- hầu chắc chắn
(i) B(!) khác rỗng, và B(!) A(!), do đó nó là tập compact.
(ii) B(!) là bất biến chặt.
Chứng minh Từ giả thiết A hấp thụ B, tồn tại thời điểm t B (!) sao cho với mọi t t B (!) :
Do đó với dãy (t n ) n 2N tiến tới vô cùng và dãy (b n ) n2N B( t n !) thì với n đủ lớn sao cho t n t B (!) ta có
Vì A(!) là tập compact nên với dãy ’(t n ; t n !; b n ) như trên tồn tại dãy con hội tụ tới điểm y 2 X:
Chứng minh (i): Với mọi dãy t n và b n xác định như trên, ta có điểm giới hạn y = lim ’(t n ; t n!; b n ) thỏa mãn y 2 B(!) nên B(!) 6= ; Hơn nữa
A(!); nên B (!) là tập con đóng của một tập compact nên nó là tập compact
Chứng minh (ii): Từ Nhận xét 2.14 và từ định nghĩa tính bất biến chặt, ta chỉ cần chứng minh với mọi s 0 thì B( s !) ’(s; !) B (!): Thật vậy, giả sử y 2 B ( s !) với s 0 Khi đó y = lim ’(t n ; t n +s!; b n ) với các dãy n!1 t n ! 1 và b n 2 B( t n +s!), cho nên y = lim ’(s; !)’(t n s; t n + s!; b n ): n!1
Với n đủ lớn t n s t B (!) đặt k n := ’(t n s; t n + s!; bn) 2 A(!):
Khi đó ta trích ra được một dãy con kn j hội tụ tới u 2 B (!) Vì ’(t; !) là hàm liên tục nên y = lim n!1’(s; !)’(tn s; t n +s!; bn)
Chứng minh (iii): Nếu B (!) không hút B thì từ định nghĩa tồn tại > 0, dãy t n ! 1 và dãy b n 2 B ( t n !) sao cho với mọi n 2 N d ’(tn; t n !; b n ); B(!) :
Nhưng dãy ’(t n ; t n !; b n ) n2N có dãy con hội tụ tới một điểm trong cùng với tính liên tục của hàm ’(t; !) mẫu thuẫn với giả thiết phản chứng.
Mệnh đề sau đưa ra một số tính chất của một tập - giới hạn của một tập compact ngẫu nhiên A mà hấp thụ một tập ngẫu nhiên B nào đó.
Mệnh đề 2.19 Giả sử A; B là các tập ngẫu nhiên sao cho A là compact P-h.c.c và A hấp thụ B Khi đó và A hút B.
Chứng minh Lấy y 2 B(!) thì theo định nghĩa y = lim ’(tn; với các dãy tn ! 1 và bn 2 B( t !): Chọn T 0 và đặt n!1 n t !; bn) n
’(tn; t n !; bn) = ’(T; T !)’(tn T; t n !; bn); và t n + T t B ( T !) Kết hợp với chú ý b n 2 B( t n !) = B( (t n T ) T !) nên dãy k n := ’(t n T; t n!; bn) = ’(tn T; ( t n T ) T!; bn) 2 A( T !):
’(t n ; t n!; bn) 2 ’(T; T !; A( T !)) ’(t; t !; A( t !)); t T hay y 2 A(!) Vì B(!) khác rỗng bởi tính chất (i) của Mệnh đề 2.18 nên
A(!) khác rỗng Định nghĩa 2.20 (Tập hút toàn cục) Giả sử ’ là một hệ động lực ngẫu nhiên và tồn tại một tập compact ngẫu nhiên ! 7!A(!) thỏa mãn các điều kiện sau:
(ii) A hút mọi tập bị chặn tất định B X:
Khi đó A được gọi là tập hút toàn cục của ’. Định lý 2.21 Giả sử ’ là một hệ động lực ngẫu nhiên và giả thiết rằng tồn tại một tập compact ngẫu nhiên ! 7!K(!) hấp thụ mọi tập đóng tất định B R Khi đó tập có dạng
B R là một tập hút toàn cục của ’ Hơn nữa, A là đo được với F nếu I là thời gian rời rạc, và nó là đo được với F (tương ứng với P) nếu I là liên tục.
Chứng minh Với tập đóng B R bất kì, theo tính chất (i) của Mệnh đề 2.18 ta có B K và B là tập compac nên A là tập compact Vì ! 7!S
B R là bất biến chặt theo tính chất (ii) của Mệnh đề 2.18 và vì ’ là ánh xạ liên tục
(’(A) ’(A)) suy ra tính bất biến của A Hơn nữa A là bất biến chặt được suy ra tiếp từ tính compact của nó. Để chứng minh tính đo được, chú ý rằng với bất kì x 2 R và mọi tập tất định
(t; !) 7!d(x; ’(t; t!; B) = inf d(x; ’(t; t !; y) : y 2 B ; là ánh xạ đo được nhờ tính khả ly của R và liên tục của ’ Với mọi0 t ( t ) = t t )) d x;[
Nếu thời gian I là rời rạc, ta có ngay tính đo được của B Với thời gian liên tục
I, chú ý rằng với 2 R bất kì
! : inf d(x; ’(t; trong đó là phép chiếu chính tắc từ I vào Tính đo được của ánh xạ
! 7!d(x; [ t ’(t; t !; B)) tương ứng với P-đầy đủ của F Lấy giao
0 t trên thuộc các tập đếm được bị chặn, chẳng hạn 2 N, thì B là tập đo được.
Và vì A có thể lấy trên hợp đếm được các tập bị chặn B, ta có điều phải chứng minh.
Tính duy nhất của tập hút ngẫu nhiên
Giả sử ’ là hệ động lực ngẫu nhiên trên R với tập hút ngẫu nhiên A Ta muốn chỉ ra với mọi > 0 tồn tại một tập compact tất định K R sao cho A đồng nhất với tập- giới hạn của K với xác suất không nhỏ hơn 1 : Hơn nữa, nếu là ergodic, thì tồn tại tập compact K R sao cho A = K với xác suất 1:
Mệnh đề 2.22 Giả sử ! 7!I(!) là tập bất biến chặt, tức là, với mọi t 0
Khi đó, P ! : I(!) D(!) P ! : I(!) D(!) ; hay, viết gọn,
P(I D) P(I D); với tập ngẫu nhiên bất kì D 2 F B(R):
Chứng minh F ! : I !) D(!) : Đặt: n = = ( n : n 2 N Áp dụng định lý hồi quy Poincaré
1.5 cho họ f n 2 Ng 1 (dấu bằng suy ra từ tính bảo toàn độ đo của 1) dẫn đến
N2 N n N thỏa mãn P(F 1 ) P(F ) Với mỗi ! 2 F 1 thì I( n !) D( n !) kể từ n 2 N nào đó trở đi, nên theo tính bất biến chặt của I,
N2 N s N Điều này có nghĩa rằng F 1 ! : I(!) D(!) , hay
Ta có điều phải chứng minh Hệ quả 2.23 Giả sử ’ là RDS liên kết với dòng ergodic Nếu I là tập bất biến chặt thì P(I D ) = 1 với mọi D 2
Chứng minh Giả sử D là tập ngẫu nhiên mà P(I D) > 0: Đặt
Với mỗi ! 2 F , vì I là bất biến chặt và tập D cũng bất biến( theo Chú ý 2.14), ta có
Từ đó F t 1 F; với mọi t 0 nên P(F t 1 F n F ) = 0 Khi đó F là tập con của - đại số của các tập - bất biến Mệnh đề 2.1.3 dẫn đến
Vì là ergodic, mọi tập có độ đo dương sẽ có độ đo đủ hay P(I D ) 1:
Hệ quả 2.24 Giả sử ’ là RDS và I là tập compact bất biến chặt Khi đó với mọi > 0 tồn tại một tập compact tất định K R mà
Khi là ergodic thì tồn tại tập compact tất định K sao cho P(I K) = 1 và điều này cũng đúng với mọi tập compact tất định K sao cho P(I K) 6 0:
Chứng minh Vì I(!) là tập compact ngẫu nhiên nên với mọi > 0 tồn tại tập compact tất định K = K
P(I K) P(I K) 1 : Khi là ergodic thì kết luận P(I K ) = 1 với mọi tập K mà P(I K) 6= 0 suy ra trực tiếp từ Hệ quả 2.23
Hệ quả 2.25 Giả sử ’ là RDS có tập hút toàn cục ! 7!A(!) hút các tập compact Khi đó mọi tập ngẫu nhiên compact bất biến chặt ! 7!I(!) thỏa mãn
Chứng minh Theo Bổ đề 2.24, với mọi > 0 cho trước tồn tại tập compact K = K R sao cho P(I K ) 1 : Hơn nữa vì A hút K nên K A (theo mục (i) của Mệnh đề 2.18) hay P( K A) = 1 Từ đó
33 Điều này đúng với> 0 bất kì nên I A h.c.c.
Hệ quả 2.26 Giả sử ’ là RDS Nếu A 1 và A 2 là các tập hút ngẫu nhiên hút các tập compact tất định thì A 1 = A 2 ; h.c.c Do đó một tập hút ngẫu nhiên thì tồn tại duy nhất h.c.c.
Chứng minh Từ Bổ đề 2.24 suy ra P(A 1 A 2 ) = 1 và P(A 2 A 1 ) = 1 Ta có điều phải chứng minh.
Hệ rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính
Hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên
Tiếp theo ta chứng minh phương trình (2.1) sinh ra RDS Với mỗi ! 2 và giá trị ban đầu x t 0 = x 0 và T > 0, ta nói rằng hàm liên tục x( ; !; x 0 ) : [t 0 ; T ] ! R là nghiệm của phương trình (2.1) nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân sau x t := x(t; !; x 0 ) = x 0 + Z
Với c > 0, xét quá trình ngẫu nhiên Ornstein-Uhlenbeck dz t = cz t dt + dW t : (2.2)
Bằng phương pháp biến thiên hằng số, ta biết rằng phương trình trên có nghiệm duy nhất cho bởi
0 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên z := R
0 nghiệm của phương trình (2.2), tức là, e cs dWs Khi đó t 7!z ( t!) là z ( t !) = z (!) c Z
Thật vậy, với nhận xét W s ( t !) = ( t !)(s) = !(t + s) !(t) ta có
= e ct Z e cs dW s = e ct Z e cs d W s + Z 0 e cs dW t
Bằng phép thế biến y t = x(t; !; x 0 ) z ( t !), ta chỉ ra rằng y t thỏa mãn phương trình tích phân sau dy t = h( t !; y t )dt; h( t !; y t ) = x t x t 3 + cz ( t !):
Phương trình (2.3) chính là RDE cần tìm Định lý sau phát biểu về tính chất đồng chu trình của nghiệm phương trình RDE vừa tìm được. Định lý 2.27 Hàm số liên tục (t; !; y) được gọi là nghiệm của phương trình RDE nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân y t := (t; !; y 0 ) = y 0 + Z
0 t h( s !; (s; !; y 0 ))ds; với mọi t 2 I(!; y 0 ) là miền tồn tại cực đại và y(t 0 ) = y 0 Khi đó (t; !; y 0 ) là một đồng chu trình.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh (t; !; y) thỏa mãn tính chất đồng chu trình, tức là thỏa mãn các tính chất sau:
Chứng minh (i): Giả sử t 2 I( s !; (s; !)y0): Khi đó t
+ Z h u !; (u s; s!; (s; !; y 0 )) du: s Định nghĩa hàm số k(u; !; y ) := 8 (u; !; y 0 ); 0 u s;
Vậy t + s 2 I(!; y 0 ) và bởi tính duy nhất nghiệm ta có
Chứng minh (ii): Giả sử t + s 2 I(!; y 0 ) Khi đó,
0 t h( u s !; (u + s; !; y 0 ))du: Đặt ! := s!(y 0 ) = (s; !; y 0 ) và (u; !; y 0 ) := (u + s; !; y 0 ) ta có g(t; !; y 0 ) = y 0 + Z
0 t h( u !; (u; !; y 0 ))du; tức là, t 2 I(!; y 0 ) = I( s !;(s; !; y 0 )) và vì tính tồn tại duy nhất nghiệm, (t;
Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.28 Hệ động lực ngẫu nhiên x : R 0 + R ! R cho bởi x(t; !; x 0 ) := (t; !; y 0 ) + z ( t !); sinh bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.1).
Chứng minh Vì là nghiệm của phương trình (2.3) nên x(t; !; x 0 ) = (t; !; y 0 ) + z ( t !)
Ta có điều phải chứng minh.
2.2.2 Tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh
Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên
Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ dùng trong chứng minh sự tồn tại của tập hấp thụ. Định nghĩa 2.29 ( Biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ) Một biến ngẫu nhiên R : ! R được gọi là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ nếu , lim 1 ln + R( t !) = 0; P hầu chắc chắn: t! 1 jtj Một tập D 2 F B(R) được gọi là tăng dưới hàm mũ nếu tồn tại biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ R sao cho P- hầu chắc chắn thì
D(!) B R(!) (0); trong đó D(!) = x 2 R : (!; x) 2 D là tập ngẫu nhiên compact.
Nhận xét 2.30 Ta chứng minh được nếu RDS có tập hút ngẫu nhiên, thì RDS x t cũng có tập hút ngẫu nhiên Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của tập hút ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên z ( t !) là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ và các nhận xét sau.
Nhận xét 2.31 Trị tuyệt đối của nghiệm của phương trình (2.3) bị chặn bởi nghiệm của phương trình
_ = t (!) trong đó quá trình ngẫu nhiên ( (t)) t2R được chọn trước Hơn nữa với mỗi giá trị ban đầu 0 2 R thì nghiệm của phương trình (2.4) là t
Bổ đề 2.32 Tồn tại biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ ( t ) t2R sao cho j (t; !; y)j 2 2 (t; !; jyj 2 ); (2.6) dẫn đến nghiệm (t; !; y) của phương trình (2.3) tồn tại với mọi t 0:
Chứng minh Thay x t = y t + z ( t !) vào phương trình (2.3) ta có y t = (y t + z ( t !)) + cz ( t !) (y t + z ( t !)) 3 : Đặt r t = 1 y t 2 , tính toán trực tiếp ta có 2 r t = y t y t = y t (y t + z ( t !)) + cy t z ( t !) (y t + z ( t !)) 3 y t
Khi đó với mọi t 0 và y 2 R thì 2 j (t; !; y)j 2 (t; !; jyj 2 ), trong đó
~ 2 ~ t 7!(t; !; jyj ) = t là nghiệm của phương trình vô hướng sau
~ = jyj 2 và các hàm số a t ; b t ; c t định nghĩa bởi với giá trị ban đầu t0 a ! c p z ! p z !
3; t ( ) :=( + ) 2j ( t )j + 2j ( t bt(!) := 2 + 2jz ( t!)j 2 ; p c t (!) := 6 2jz ( t !)j: là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ, tất cả các quá trình ngẫu nhiên và (c t ) t2R cũng là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ Chú ý s
4 4 2 4 4 : là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ Vậy nghiệm t của phương trình (2.4) thỏa mãn (2.5) Ta có điều phải chứng minh Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại của tập hấp thụ. Định lý 2.33 Với mọi 2 R; 0 thì RDS sinh bởi (2.1) có tập hấp thụ compact Do đó kết hợp với Định lý 2.21 dẫn đến sự tồn tại duy nhất tập hút compact ! 7!A ; (!) = [a ; (!); a + ; (!)]:
Chứng minh Cho D 2 F B(R) tăng dưới hàm mũ Khi đó tồn tại biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ R : ! R + sao cho D(!) B R(!) (0) Theo bổ đề trên, với mọi x 2 D( t !) ta có
0 j (t; t!; y)j 2 2~ t(t; t!; R( t!)) 2e t R( t!) + 2 Z t e s s(!)ds; trong đó ta sử dụng (2.5) ở bất đẳng thức cuối Vì ( t ) t2R là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ, nên R 0 e s s (!)ds tồn tại Ngược lại, vì R là biến ngẫu nhiên tăng dưới hàm mũ nên lim e t R( t!) = 0: Đặt t!1s
Khi đó, P- h.c.c, tồn tại thời điểm T > 0 sao cho
(t; t!; D( t!)) B r(!) (0); 8t T: Điều này có nghĩa rằng B r(!) (0) là tập hấp thụ.
Nhận xét 2.34 Với mọi 2 R + thì phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm với mọi giá trị ban đầu và nghiệm tồn tại với mọi thời điểm dương bằng cách sử dụng các điều kiện Lipschitz và đơn điệu của Định lý tồn tại và duy nhất
42 nghiệm của [7] với K n = 2n 2 (3n 2 + ) 2 và K 3 = 3 : Khi đó (2.1) định nghĩa một hệ động lực ngẫu nhiên ’ (phụ thuộc vào và ) với không gian trạng thái là đường thẳng thực và tham số thời gian một chiều I = R + ;
R + R !R; biến (t; !; x) thành nghiệm của phương trình (2.1) với điều kiện giá trị ban đầu x(t 0 ) = x 0 , có quỹ đạo là (Ws) s2R :
2.2.3 Độ đo dừng của hệ rẽ nhánh Pitchfork và số mũ Lyapunov Định lý 2.35 Với mọi 2 R; > 0 thì nửa nhóm Markov sinh bởi (2.1) có duy nhất độ đo xác suất bất biến trên R và giải phương trình Fokker- Plank ta có hàm mật độ p(x) = c exp 1 2 x2 2 x 4 :
Chứng minh Gọi : R + 0 R ! R; (t; !; x) 7!D x ’(t; !; x) là hệ động lực tuyến tính thỏa mãn (0; !; x) =id (ánh xạ đồng nhất) và
Khi đó là đồng chu trình tuyến tính trên dòng các tích chéo ( t ) t2R + 0 xác định trên R cho bởi t(!; x) := ( t !; ’(t; !; x)):
( ; ) là hệ động lực ngẫu nhiên tuyến tính, với hệ động lực ergodic ( t ) t2R thay thế bởi ( t)t2R + 0 : Ta thu được một độ đo xác suất ergodic cho tích chéo( t)t2R + 0 bằng cách chỉ ra tồn tại tương ứng một-một giữa độ đo dừng cho nửa nhóm Markov liên kết với (2.1) và một độ đo bất biến của ( t)t2R + 0
Trước hết ta giải phương trình Fokker- Planck tìm hàm mật độ cho phân phối dừng duy nhất của phương trình (2.1), ở đây hệ số định hướng là x x 3 và
2 hệ số khuếch tán là 2 Ta có
Vì hàm phân phối là dừng nên p(x; t) = p(x), viết lại phương trình trên
Tích phân 2 vế ta được
2 @x từ đó tìm được nghiệm của phương trình trên cho bởi p(x) = c exp 2 x 2 2x 4 :
1 1 Độ đo dừng dẫn tới độ đo bất biến của ( t) t2R 0 + trên R theo nghĩa sau: Xét giới hạn
!:= lim ’(t; t!) ; t!1 tồn tại P- hầu chắc chắn và là độ đo ngẫu nhiên F 0 - đo được, tức là, với mọi
B 2 B(R) thì ! 7! ! (B) là F 0 - đo được Từ đó ta định nghĩa độ đo Markov trên ( R; F B(R)) bởi
2 C , là bất biến với ( t ) t2R +0 Ngược lại, độ đo dừng cho bởi
Tính duy nhất của độ đo dừng với hàm mật độ p(x) dẫn đến độ đo bất biến là ergodic Ta có điều phải chứng minh
Tiếp theo ta chỉ ra rằng hệ tuyến tính được định nghĩa như (2.8) thỏa mãn điều kiện khả tích sup ln + k (t; !; x)k 2 L 1 ( ):
Từ đó ta có thể tính số mũ Lyapunov cho RDS tuyến tính ( ; ).
Khi đó P- hầu chắc chắn các ! 2 và mọi x 2 R ta có k (t; !; x)k exp Z 0 t
+(’(t; !; x))ds ; 8t 0; và hệ động lực tuyến tính thỏa mãn điều kiện khả tích
Chứng minh Áp dụng trực tiếp vào bài toán rẽ nhánh Pitchfork ta có j
R 0 t 1 j j j j R x 2 p(x)dx: sup ln + (t; !; x) d (!; x) + 3 với p(x) là hàm mật độ cho bởi (2.7) Vậy hệ động lực tuyến tính thỏa mãn điều kiện khả tích
Xét bài toán (2.1) cùng với hệ động lực (2.8) ta có
(t; !; x) = exp Z 0 Áp dụng định lý Birkhoff cho dòng ở đây ta chọn hàm f(!; x) = 3x 2 ta tính được số mũ Lyapunov của hệ động lực ngẫu nhiên tuyến tính ( ; ) t
Ta chỉ ra số mũ Lyapunov luôn âm Thật vậy,
2.2.4 Hiện tượng đồng bộ hóa của hệ rẽ nhánh Pitchfork Định lý sau đây trình bày kết quả chính của luận văn. Định lý 2.37 Giả sử ’ là RDS sinh ra bởi một phương trình vi phân ngẫu nhiên trên R sao cho nửa nhóm Markov liên kết có duy nhất một độ đo xác suất bất biến Giả sử ! 7!D(!) là tập compact ngẫu nhiên bất biến chặt
P -h.c.c mà đo được với F 0 Khi đó D chỉ gồm một điểm P- h.c.c. cũng đo được với fW t : t 0g Đặt x + (!) = max D(!) và x (!) = min D(!) ta thu được hai biến ngẫu nhiên đo được với fW t : t 0g và hiển nhiên
46 x x + (để kiểm tra tính đo được của x + và x , ta chọn một dãy đếm được
! ! k n (!) đo được với F t 0 và thỏa mãn k n (!) : n 2 N = D(!) như trong mục (i) của Chú ý 2.12.) Khi đó x + = sup k n và x = inf k : Hơn nữa, n n n
D là bất biến chặt nên với mọi t > 0
Tính đo được với F t 0 của x + và xdẫn đến hai độ đo xác suất ngẫu nhiên
= + và = là độ đo Markov bất biến Khi đó + d (!) và
! x d (!( ) !) ! x (!) R x (!) P đó R x (!) P là bất biến với nửa nhóm Markov sinh bởi phương trình (2.1) Do các độ đo bất biến này là duy nhất nên hàm phân phối của x + và x tìm được thông qua giải phương Fokker-Plank cũng là duy nhất Kết hợp với tính bảo toàn với x = x + = x : thứ tự của ’ và x x + h.c.c thì x + = x h.c.c Tức là D(!) = x(!) h.c.c Áp dụng Định lý 2.37 cho RDS sinh bởi phương trình (2.1) ta có các kết quả sau.
Hệ quả 2.38 Với mọi 2 R và > 0 thì tập hút ngẫu nhiên ! 7!A ; (!) cho bởi Định lý 2.21 chỉ gồm một điểm hầu chắc chắn, A ; (!) = A(!) = a(!) :
Hơn nữa độ đo ngẫu nhiên ! = a(!) là độ đo Markov bất biến và = E ,
R tức là (B) = ! (B)dP(!), là độ đo bất biến duy nhất liên kết với nửa nhóm
Markov với hàm mật đo cho bởi (2.7).
Chứng minh Cố định 2 R và > 0 Theo Định lý 2.21, tập hút ngẫu nhiên
A = A ; là bất biến chặt, compact h.c.c và đo được với F 0 ; Nửa nhóm
Markov có độ đo bất biến duy nhất nhờ giải phương trình Fokker- Planck Áp dụng Định lý = A ! A(!)
2.37 dẫn đến tập A gồm một điểm h.c.c, A(!) = a(!) Tính
47 và ! 7!a(!) là F 0 - đo được, ! 7! ! là độ đo Markov, do đó = E là bất biến với nửa nhóm Markov.
Hệ quả 2.39 Với mọi 2 R và > 0, độ đo bất biến Markov ! 7! a(!) , với
A ; = a(!) là tập hút, hơn nữa nó còn là độ đo bất biến duy nhất của RDS sinh bởi SDE (2.1).
Chứng minh Vì RDS sinh bởi phương trình 2.1 có tập hút toàn cục ! 7!A(!) nên mọi độ đo xác suất bất biến ! 7! ! của RDS có giá là tập hút, tức là,
(A) = Z ! (A(!))dP(!) = 1 bởi [8] Do đó, với tập hút toàn cục A chỉ chứa duy nhất một điểm, A(!) a(!) , độ đo Dirac ! 7! a(!) là độ đo bất biến duy nhất của RDS.
Hệ quả 2.40 Hai nghiệm bất kì của SDE (2.1) hội tụ tới nhau theo tốc mũ với mọi giá trị của tham số 2 R:
Chứng minh Suy ra trực tiếp từ số mũ Lyapunov < 0.
KẾT LUẬN Các kết quả đạt được của đề tài:
- Trình bày khái niệm Hệ động lực ngẫu nhiên, tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên và chứng minh tính duy nhất của tập hút ngẫu nhiên.
- Trình bày hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên và chỉ ra cách tìm tập hút ngẫu nhiên với hệ này Bằng cách sử dụng định lý Birkhoff và định lý nhân tính Oseledet ta chỉ ra được số mũ Lyapunov và độ đo dừng của hệ.
- Trình bày được hiện tượng đồng bộ hóa của hệ rẽ nhánh Pitchfork.
Các hướng nghiên cứu tiếp theo
- Nghiên cứu cấu trúc của tập hút ngẫu nhiên cho các Hệ động lực sinh bởi các Phương trình Vi phân ngẫu nhiên phức tạp hơn.