(Luận văn thạc sĩ) nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ thống đơn giản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNG NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNG NHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Đoàn Thái Sơn Hà Nội - 2021 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tòi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình PGS.TSKH Đồn Thái Sơn Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, Ngày 20 tháng năm 2022 Học viên Lê Bá Dũng ii - LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Đồn Thái Sơn, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cơ, anh chị, bạn bè Viện Tốn học giúp đỡ, góp ý tạo điều kiện q trình học tập, nghiên cứu để tơi thực tốt luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, Ngày 20 tháng năm 2022 Học viên Lê Bá Dũng iii Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ bảo toàn độ đo ánh xạ ergodic 1.2 Định lý hồi qui Poincaré 1.3 Định lý Birkhoff Nhiễu sinh tự đồng hệ rẽ nhánh Pitchfork 2.1 18 Hệ động lực ngẫu nhiên 18 2.1.1 Hệ động lực ngẫu nhiên 18 2.1.2 Tập hút hệ động lực ngẫu nhiên 23 2.1.3 Tính tập hút ngẫu nhiên 30 2.2 Hệ rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính 33 2.2.1 Hệ động lực ngẫu nhiên sinh rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên 34 iv 2.2.2 Tập hút ngẫu nhiên hệ động lực ngẫu nhiên sinh rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên 38 2.2.3 Độ đo dừng hệ rẽ nhánh Pitchfork số mũ Lyapunov 42 2.2.4 Hiện tượng đồng hóa hệ rẽ nhánh Pitchfork 45 Kết luận 48 MỞ ĐẦU Đối tượng luận văn nghiên cứu tác động nhiễu trắng vào hệ rẽ nhánh Pitchfork Cụ thể, ta xét họ phương trình vi phân thường (ODEs) x = x x ; x R; tham số hóa R Điểm x = điểm cân với Nó điểm cân ổn định < Với > khơng điểm ổn p định xuất hai điểm cân Trường hợp biết đến tên gọi rẽ nhánh Pitchfork Nghiệm phương trình (1) nổ lùi lại theo thời gian Do sinh nửa dịng thay dịng Nhắc lại kiến thức tập hút tồn cục cho nửa dịng tất định [1], với cố định, hệ (1) có tập hút toàn cục, họ tập hút A ; R, cho A=A = 8f0g , với > > > : Với = tập hút toàn cục gồm điểm f0g Với < dịng tác động vào giá trị ban đầu khiến chúng hội tụ tới điểm với tốc độ mũ theo thời gian Đặc biệt, với hai nghiệm tốn giá trị ban đầu khác chúng bất khả phân biệt sau khoảng thời gian Với > 0, khoảng cách hai nghiệm xuất phát từ hai giá trị ban đầu với p dấu khác hội tụ tới số thực dương , ban đầu chúng gần Xét họ phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDEs) sau dx = ( x x )dt + dWt R (Wt)t2R q trình Wiener Phương trình (2) sinh Hệ động lực ngẫu nhiên Trong luận văn ta nhắc lại khái niệm tập hút toàn cục Hệ động lực ngẫu nhiên Tập hút đồng thời tập compact ngẫu nhiên, tức là, ánh xạ ! 7!A(!) nhận giá trị tập compact không gian trạng thái X = R Hơn bất biến, liên thông hút tập tất định bị chặn Với R phương trình có tập hút ngẫu nhiên tập compact + A(!) = A (!) = [a (!); a (!)]; với biến ngẫu nhiên ! 7!a (!): Ta chứng minh với R a (!) + = a (!) h.c.c Do tập hút ngẫu nhiên A gồm điểm Điều có nghĩa nghiệm phương trình (2) hội tụ tới dấu Khi ta nói nhiễu ngẫu nhiên sinh tượng đồng hóa Các kết nghiên cứu giới thiệu chứng minh công bố [2] H Crauel F Flandoli Cấu trúc luận văn sau: Chương 1: Chương dành để nhắc lại số định nghĩa, định lý tính chất quan trọng lý thuyết Ergodic phục vụ cho luận văn Chương 2: Nội dung phần trình bày tính chất nhiễu sinh tượng đồng hóa cho hệ rẽ nhánh Pitchfork Trong trình nghiên cứu luận văn, thân cố gắng nhiên khó tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương giới thiệu số khái niệm ánh xạ bảo toàn độ đo, ánh xạ ergodic, giới thiệu chứng minh định lý Birkhoff ergodic Các kết khác lý thuyết ergodic đọc thêm [3] [4] 1.1 Ánh xạ bảo toàn độ đo ánh xạ ergodic Ta bắt đầu khái niệm ánh xạ bảo toàn độ đo ánh xạ ergodic Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ bảo toàn độ đo) Cho không gian xác suất ( 1; F1; P1), ( 2; F2; P2) phép biến đổi T : ! gọi là: (i) đo với B2 F2 T B2 F1: (ii) bảo toàn độ đo T đo P1(T (B2)) = P2(B2); 8B2 F2: Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ ergodic) Phép biến đổi bảo tồn độ đo T : ! khơng gian xác suất ( ; F; P) gọi ergodic với B F mà T B = B P(B) = P(B) =