(Luận văn thạc sĩ) bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không gian giao hoán vào vành chia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khơi BÀI TỐN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUN KHƠNG GIAO HỐN VÀO VÀNH CHIA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khơi BÀI TỐN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUN KHƠNG GIAO HỐN VÀO VÀNH CHIA Chun ngành : Đại số lý thuyết số Mã số :8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỞNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Bài tốn nhúng đẳng cấu miền ngun khơng giao hốn vào vành chia” tơi thực hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Bùi Tưởng Trí Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết từ nguồn sách, tạp chí, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Tác giả luận văn Phạm Đình Khơi LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tơi Quý Thầy Cô cung cấp cho kiến thức chuyên sâu, giúp trưởng thành học tập nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi lời biết ơn đến tất Q Thầy Cơ tận tình giảng dạy suốt thời gian học trường Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tưởng Trí Thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt thời gian thực luận văn Đặc biệt, học Thầy phương pháp làm việc khoa học am hiểu thấu đáo riêng Thầy Xin phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng Bảo vệ Luận văn Thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá luận văn Tôi xin phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô công tác Phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Sở Giáo dục Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập, thực luận văn Cuối cùng, xin khắc sâu công ơn Cha Mẹ, cảm ơn người thân, bạn bè ủng hộ, động viên giúp đỡ suốt khóa học TP Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2020 Phạm Đình Khơi MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Một số định nghĩa tính chất vành giao hoán .3 1.1.1 Định nghĩa nhóm 1.1.2 Luật giản ước 1.1.3 Đại số 1.1.4 Đại số nửa nhóm 1.1.5 Định nghĩa vành 1.1.6 Định nghĩa ideal 1.1.7 Khái niệm ideal nguyên tố 1.1.8 Khái niệm ideal cực đại 1.1.9 Mệnh đề 1.2 Địa phương hóa vành giao hốn toán nhúng đẳng cấu .7 1.2.1 Định nghĩa vành địa phương 1.2.2 Địa phương hóa vành giao hốn Chương VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HÓA KHƠNG GIAO HỐN 14 2.1 Một số khái niệm vành khơng giao hốn 15 2.1.1 Miền ngun (khơng giao hốn) 15 2.1.2 Vành chia 15 2.1.3 Nửa nhóm (khơng giao hốn) 15 2.1.4 Nửa nhóm tự 15 2.1.5 Đại số nửa nhóm kH vành khơng giao hốn có đơn vị 17 2.2 Bổ đề 17 2.3 Định lí 19 2.4 Định lí 21 Chương MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU GỢI MỞ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN 23 3.1 Vấn đề bổ sung thứ tự H .23 3.2 Tựa - đồng thức (Quasi – identities) 23 3.3 Một số định nghĩa định lý liên quan địa phương hóa vành khơng giao hoán 24 3.3.1 Mệnh đề 27 3.3.2 Ví dụ 27 3.4 Những điều kiện cần cho khả nhúng miền R vào vành chia .29 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 IBN RS U (R ) D A N H M Ụ C C Á C K Í H I Ệ U : Tập số tự nhiên : Tập số nguyên : Tập số hữu tỉ : Tập số thực : Tập số phức : Tổng : Địa phương hóa miền nguyên R tập nhân S : Nhóm phần tử khả nghịch vành R : Đồng cấu vào trường k MỞ ĐẦU Như biết vành giao hốn (có đơn vị) miền ngun nhúng đẳng cấu vào trường (trường thương nó) Bài tốn hồn tồn tương tự cho vành khơng giao hốn khả nhúng miền ngun khơng giao hốn vào vành chia liệu có đơn giản hay khơng Vì vành giao hốn (có đơn vị) vành khơng giao hốn (có đơn vị) có vài nét khác nên việc nhúng đẳng cấu từ miền ngun giao hốn vào trường ln làm việc nhúng đẳng cấu từ miền ngun khơng giao hốn vào vành chia lại khơng đơn giản Chính vậy, tơi chọn đề tài để đưa toán mà miền ngun khơng giao hốn khơng thể nhúng đẳng cấu vào vành chia qua ví dụ tiếng Mal’ Cev Luận văn gồm ba chương : _ Chương 1: Những kiến thức Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa tính chất biết đại số giao hoán đại số khơng giao hốn, sau giới thiệu đơi nét việc địa phương hóa vành giao hốn _ Chương : Vấn đề địa phương hóa vành khơng giao hốn Chương trình bày đơi nét việc địa phương hóa vành khơng giao hốn đưa câu trả lời phủ định cho câu hỏi: “ phải miền ngun khơng giao hốn nhúng vào vành chia khơng giao hốn” thơng qua ví dụ tiếng Mal’ Cev _ Chương 3: Một số hướng nghiên cứu gợi mở liên quan đến toán Phần mở rộng trình bày số vấn đề gợi mở làm tiền đề cho nghiên cứu cho việc tìm điều kiện cần đủ để nhúng đẳng cấu từ miền ngun khơng giao hoán vào vành chia Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương nhắc lại số khái niệm, tính chất biết đại số giao hốn đại số khơng giao hốn có liên quan Sau giới thiệu đơi nét việc địa phương hóa vành giao hốn, dẫn đến số tính chất cần thiết cho chương sau 1.1 Một số định nghĩa tính chất vành giao hốn 1.1.1 Định nghĩa nhóm Cho G tập hợp khác rỗng, G trang bị phép tốn hai ngơi * * : Gx G → G (x , y ) a) x*y Nếu phép tốn * thỏa tính chất kết hợp, tức : (x * y )* z = x * ( y * z ) (G, *) gọi nửa nhóm b) Nếu nửa nhóm G có thêm phần tử trung hòa, tức : e G : x G : x * e = e * x = x (G, *) gọi vị nhóm c) Trong vị nhóm, phần tử khác phần tử trung hòa khả nghịch, tức : x G , y G : x * y = y * x = e (G, *) trở thành nhóm 1.1.2 Luật giản ước a) Một phần tử a (G, *) có tính chất giản ước trái : b, c G:a*b=a*c b=c b) Một phần tử a (G, *) b, c G : b* a = c * a b=c có tính chất giản ước phải :