1302 NHÓM CON CỦA NHÓM NHÂN TRONG VÀNH CHIA QUATERNION THỰC.docx

TẠP CHÍ KHOA HỌCHO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINHJOURNAL OF SCIENCE Tập 16, Số 12 (2019): 975-981Vol 16, No 12 (2019): 975-981 ISSN: 1859-3100 Website: Bài báo nghiên cứu NHÓM CON CỦA NHÓM NHÂN TRONG VÀNH CHIA QUATERNION THỰC Lê Văn Chua Trường Đại học An Giang Tác giả liên hệ: Lê Văn Chua – Email: lvchua.tag@moet.edu.vn Ngày nhận bài: 06-11-2019; ngày nhận sửa: 27-11-2019; ngày duyệt đăng: 29-11-2019 TÓM TẮT Cho Η vành chia quaternion thực Η* = Η \ {0} nhóm nhân Η Một nhóm N Η* gọi gần chuẩn tắc tồn dãy nhóm * N = N £ Nn £ N £ n-2£ N £ N £ N1 = Η n-1 cho với £ i < n, Ni+1 nhóm chuẩn tắc Ni Ni+1 có số hữu hạn N Trong báo này, chúng tơi chứng minh nhóm gần chuẩn tắc Η* i nhóm chuẩn tắc Từ khóa: vành chia; vành chia quaternion thực; nhóm gần chuẩn tắc Giới thiệu Cho G nhóm Một nhóm N G gọi chuẩn tắc G tồn dãy nhóm N = N  N n  Nn-1  n-2N  N  N2 = G, N gần chuẩn tắc G tồn dãy nhóm N =N £N £N ££N £N £N =G n n-1 cho với £ i < n, n-2 Ni+1 nhóm chuẩn tắc Ni Ni+1 có số hữu hạn Ni Dãy nhóm gọi dãy gần chuẩn tắc N G (Hartley, 1989) Nếu r số nhỏ thỏa mãn dãy r gọi chiều dài N G Theo định nghĩa trên, ta dễ dàng nhận thấy nhóm chuẩn tắc nhóm nhóm gần chuẩn tắc Lớp nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng qt nghiên cứu Wehfritz (1993) Gần đây, tác giả Nguyen, Mai Bui (2017) chứng minh rằng, D vành chia với tâm vô Cite this article as: Le Van Chua (2019) Subgroups of the multiplicative group of the division ring of real quaternions Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 16(12), 975-981 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 975981 hạn n số nguyên dương lớn nhóm gần chuẩn tắc GLn (D ) chuẩn tắc Tuy nhiên, với n = 1, tức với nhóm nhân GL (D ) = vành chia D D* kết khơng cịn Cụ thể có nhiều lớp vành chia chứa nhóm gần chuẩn tắc không chuẩn tắc Greenfield (1978) xây dựng nhóm chuẩn tắc (do gần chuẩn tắc) vành chia, không chuẩn tắc Các tác giả Trinh, Mai Bui (2019) xây dựng ví dụ nhóm gần chuẩn tắc vành chia, không chuẩn tắc khơng chuẩn tắc Trong báo này, chúng tơi chứng minh nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân vành chia quaternion thực chuẩn tắc Các kí hiệu báo kí hiệu thường dùng Chẳng hạn, D vành chia Z (D) kí hiệu tâm D, tức Z(D) gồm phần tử giao hốn với phần tử cịn lại D, tập hợp D* = D \ {0} nhóm nhân D Giả sử G nhóm D* Ta nói G nhóm trung tâm G Í Z (D ) Vành chia quaternion thực Trong phần này, trình bày số kết liên quan tới vành chia quaternion thực sử dụng Mục Tập tất quaternion thực kí hiệu Η= {a + bi + cj + dk | a,b,c,d Î }, i = j = k = -1 ri = ir, rj = jr, với r Ỵ  Chú ý rk = kr ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j Ta có Z (Η) =  Η không gian véc tơ chiều  với S = {1,i, j,k } sở Η  Giả sử a = a + bi + cj + b = x + yi + zj phần tử Η Khi dk + tk ab = (a + bi + cj + dk )(x + yi + zj + tk ) (bx + ay - dz + ct)i + (cx + dy + az -bt ) j + (dx - cy + bz + at ) k = ax - by - cz - dt + Do tọa độ véc tơ ab sở S éax -by - cz - dt ù éa -b -c -d ù éx ù II ú I úI ú bx + ay - dz + ct ú Ib ú Iy ú -d a c ú =ú I I úI ú éI abú ù =I I ë ûS cx + dy + az -bt c d ú Iz ú -b a I ú úI ú II úú dx -cy + bz + at d -c b a t úû Ië úû Ië úû ëI hai Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Ta gọi a = a - bi - cj Tập 16, Số 12 (2019): 975981bi + cj Η Khi liên hợp a = a + - dk + dk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua éa -b -c -d ù é a ù éa + b + c + d ù ú úI ú I II b a -d ú ú I -b ú I c ú I úI ú=I éaa ù = ëI úû S Ic da -b ú I -c ú I I d -c b a éI a b c IIë -b a d úû S Do N (a) = I -c -d a I -d c -b ëI ú ú úI ú I ú úI ú I -d dúû ùIë éẳûù éIặ + b + c +úûd ù ú úI ú I ú -c ú Ib ú I úI ú=I éaa ù = I ëI b ú Ic ú úI ú úI ú a d úû Ië úû ú I I I Ië 0 aa = aa = a2 + b2 + c2 Chuẩn ú ú ú úû a Ỵ Η định nghĩa + d2 aa Ta có éx y II -y x é ba ù = I z t t ùéa ù úI ú -z ú I -b ú úI ú=I I-z -t x -y ú I-c ú ú II ú ú I -t z -y x -d Ië úû Ië úû Theo trên, ta có é ax -by - cz -dt ù I ú é ù II a - dy ay +az dz+ - bt ctúú = I-I-bx Ië cx ú -dx + cy -bz - at ëI úû S é ax -by -cz -dt ù II ú -bx -ay + dz -ct ú ú I-cx -dy -az + bt ú ú ú I -dx + cy -bz -at Ië úû úû S Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua úû ëI Điều chứng tỏ ab = ba Ta có N (ab) = ab ab = abba = aN (b)a a = aaN (b) N = N (a)N (b) với a, b Ỵ Η Chú ý rằng, a Ỵ Η* a-1 = N (a -1 ) Do ( a) N N (a ) f -1 ỗ a ữ a) ( 2 ỗNỗ (a)ữữ= =N N a = N a = N ( a ) = N (a ) ữứ ( ) ốỗ ( ) Tp Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Đặt G0 = {a Ỵ Η* | N (a) Tập 16, Số 12 (2019): 975981 =1 } Rõ ràng Ỵ G Với a b thuộc G , ta có ( N ab -1 ) ( ) = N (a ) N b -1 = N (a ) N (b )-1 = ⋅ 1-1 = ab -1 Ỵ G Vậy G nhóm Η* 0 Với a Ỵ G0 g Ỵ Η* , ta có ( N gag -1 ) ( ) = N (g ) ⋅ ⋅ N (g ) = N (gg ) = N (g ) N (a ) N g -1 -1 -1 = N (1) = Do gag -1 Ỵ G Vậy G nhóm chuẩn tắc Η* Chú ý i Ỵ G , i khơng thuộc nhóm khơng trung tâm Η* Vậy G , G 0 nhóm chuẩn tắc khơng trung tâm nhóm nhân * Η vành chia quaternion thực Η Trong báo này, ta cần đến kết sau chứng minh Greenfield (1978) Định lí 2.1 Cho Η vành chia quaternion thực Giả sử N G nhóm Η* Khi (i) G nhóm chuẩn tắc Η* G trung tâm G É G (ii) Nếu N nhóm chuẩn tắc G G nhóm chuẩn tắc Η* N nhóm chuẩn tắc Η , nghĩa là, N  G  Η* N  Η* * Nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân vành chia quaternion thực Trong mục này, ta chứng minh nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân vành chia quaternion thực nhóm chuẩn tắc Để đến kết luận báo này, trước hết, ta nhắc lại khái niệm lõi nhóm nhóm Lõi nhóm N nhóm G định nghĩa Core G (N )  = aNa -1 a ỴG Chú ý CoreG (N ) nhóm chuẩn tắc lớn G chứa N Hơn nữa, số é G : N ù hữu hạn éG : Core hữu hạn Nếu N nhóm G (I N )ù ú Ië úû ë û Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 975é ù chuẩn tắc có số hữu hạn G, nghĩa I G : N ú 981thì an Ỵ với a Ỵ G ë û =n N Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Lê Văn Chua Tiếp theo, ta cần nhắc đến khái niệm đồng thức nhóm Giả sử G nhóm với tâm Z (G) tập hợp tất phần tử a Ỵ cho a giao hốn với phần G tử g ỴG, x1 , x2 ,, x n biến khơng giao hốn Một biểu thức có dạng w (x , x ,,x ) = a x m1a x m2 a x mt a n i1 i2 t it gọi đơn thức suy rộng G, t+1 aj Ỵ G, ij Ỵ {1, 2,,n}, với j = 1, 2,,t - 1, điều kiện ij = ij +1 m j m j +1 < kéo theo aj+1 Ï Z (G), (Golubchik, & Mikhalev, 1982; Tomanov, 1985) Giả sử N nhóm G Ta nói w = đồng thức N N thỏa đồng w = G thức 1 w (c1,c2 ,,cn ) = với c ,c , ,c Ỵ N Các tác giả Nguyen, Mai Bui (2017) chứng minh kết sau: Mệnh đề 3.1 Cho D vành chia với tâm F vơ hạn N nhóm gần chuẩn tắc nhóm nhân D * Khi đó, N thỏa đồng thức D* N trung tâm Bây ta phát biểu chứng minh kết báo Định lí 3.2 Cho Η vành chia quaternion thực Giả sử N nhóm khơng trung tâm Η* Khi điều kiện sau tương đương: (i) N nhóm gần chuẩn tắc Η* (ii) N nhóm chuẩn tắc Η* (iii) N nhóm chuẩn tắc Η* (iv) N chứa G0 Chứng minh Trước hết, ta chứng minh (iv)  (iii) Giả sử N chứa G Khi N nhóm chuẩn tắc Η* Định lí 2.1(i) Hiển nhiên (iii)  (ii)  (i) Bây giờ, ta chứng minh (i)  (iv) Giả sử * N = N < N