Vành con tối đại trong vành artin giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ————————————– Hàng Tiến Thọ VÀNH CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH ARTIN GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tòi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Mỵ Vinh Quang Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan TP Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 11 năm 2020 Học viên Hàng Tiến Thọ LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Mỵ Vinh Quang người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Tin học, đặc biệt thầy cô chuyên ngành Đại số lý thuyết số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dạy bảo tơi tận tình suốt q trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn thạc sĩ Trong luận, hẳn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong muốn nhận nhiều đóng góp quý báu đến từ quý thầy cô, ban cố vấn bạn đọc để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn TP Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 11 năm 2020 Học viên Hàng Tiến Thọ Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phần tử nguyên, phần tử đại số 1.2 Đặc số vành 1.3 Tập nhân vành thương 1.4 Sự phân tích nguyên sơ 1.5 Module Artin 1.6 Sơ lược vành tối đại Sự tồn vành tối đại vành Artin giao hoán 2.1 Sơ lược vành Artin 2.2 Vành tối đại vành Artin địa phương 12 2.3 Vành tối đại vành tích trực tiếp hữu hạn vành 21 2.4 Trường khơng có vành tối đại 27 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 LỜI MỞ ĐẦU Cho R vành giao hốn, có đơn vị Vành S R gọi vành tối đại R không tồn vành thực R nằm S R Trong lý thuyết vành, biết ideal tối đại vành giao hốn, có đơn vị ln ln tồn Tuy nhiên, kết tương tự vành tối đại chưa Lúc này, có câu hỏi đặt là: “Đối với lớp vành vành tối đại ln tồn tại?” Đây câu hỏi thú vị thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Chính vậy, tơi định chọn đề tài “Vành tối đại vành Artin giao hoán” làm đề tài luận văn thạc sĩ với mong muốn tìm hiểu thêm tồn vành tối đại lý thuyết vành Nội dung luận văn tìm hiểu nghiên cứu tồn vành tối đại số lớp vành quan trọng ví dụ vành Artin, trường, tích trực tiếp vành, Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận hai chương Chương 1: Các kiến thức Nội dung chương trình bày số kết vành trường phần tử nguyên, phần tử đại số, đặc số vành, phân tích nguyên sơ, sơ lược vành tối đại, để chuẩn bị cho chương Chương 2: Vành tối đại vành Artin giao hốn Chương chương luận văn Chương nghiên cứu tồn vành tối đại lớp vành Artin giao hoán đặc biệt vành Artin địa phương, trường, tích trực tiếp hữu hạn vành Từ mơ tả tất lớp vành Artin giao hốn có vành tối đại, đưa điều kiện cần đủ để vành có vành tối đại Một số kết quan trọng chương Định lý 2.2.12, 2.3.8, 2.4.11, 2.4.14 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày ngắn gọn số kiến thức vành trường phần tử nguyên miền nguyên, phần tử đại số trường, đặc số vành, đặc số trường, phân tích nguyên sơ sơ lược số tính chất vành tối đại Các kiến thức áp dụng cho chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [8], [9] Trong luận văn này, ta quy ước vành nhắc đến vành giao hốn có đơn vị 1.1 Phần tử ngun, phần tử đại số Định nghĩa 1.1.1 (xem [3], trang 74) Cho A, B hai miền nguyên A ≤ B Phần tử b ∈ B gọi nguyên A tốn đa thức f (x) ∈ A[x], f (x) đơn khởi nhận b làm nghiệm, tức ∃a0 , a1 , a2 , , an−1 ∈ A : bn + an−1 bn−1 + · · · + a1 b + a0 = Ta nói B nguyên A phần tử B nguyên A Nếu A trường phần tử b nguyên A gọi phần tử đại số A Nếu b không phần tử đại số trường A b gọi phần tử siêu việt A Hơn B gọi mở rộng đại số A B trường phần tử B đại số A Định lý 1.1.2 (xem [3], trang 76) Cho tháp miền nguyên A ≤ B ≤ C Nếu C nguyên A C nguyên B Định lý 1.1.3 (xem [3], trang 77) Cho A, B miền nguyên A ≤ B Phần tử b ∈ B nguyên A A[b] A - module hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.4 (xem [3], trang 81-82) Cho A, B hai miền nguyên A ≤ B Khi tập hợp phần tử thuộc B nguyên A lập thành vành B chứa A, kí hiệu AB gọi bao đóng nguyên A B Như AB = {b ∈ B|b nguyên A} Nếu A, B trường AB gọi bao đóng đại số A B Định nghĩa 1.1.5 (xem [3], trang 84) Cho D miền nguyên K trường thương D gọi đóng nguyên DK = D 1.2 Đặc số vành Định nghĩa 1.2.1 (xem [2], trang 14) Cho R vành r ∈ R Với số nguyên dương n, ta định nghĩa nr = r + r + · · · + r n phần tử r Đặc số vành R, kí hiệu charR, số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn n1 = (hay nr = với r ∈ R) Nếu không tồn số nguyên dương n thỏa nr = ta nói R có đặc số Nếu charR = R chứa vành số nguyên Z, có dạng Z · = {n1|n ∈ Z} Nếu charR = r R chứa Zr = {0, 1, , r − 1} Định lý 1.2.2 (xem [2], trang 14) Đặc số miền nguyên hoặc p với p số nguyên tố Đặc biệt, trường hữu hạn đặc số số ngun tố Định nghĩa 1.2.3 (xem [2], trang 14) Cho F trường, giao tất trường F trường gọi trường nguyên tố F Định lý 1.2.4 (xem [2], trang 15) Cho F trường Nếu charF = trường nguyên tố F đẳng cấu với trường số hữu tỉ Q Nếu charF = p, p nguyên tố, F đẳng cấu với Zp Định lý 1.2.5 (xem [2], trang 15) Cho R vành giao hốn có đơn vị có đặc số p ngun tố Đặt q = pn q q (α + β) = αq + β q , (α − β) = αq − β q 1.3 Tập nhân vành thương Định nghĩa 1.3.1 (xem [1], trang 36) Cho vành A vành giao hốn có đơn vị = Mọi tập S ⊂ A gọi tập nhân A nếu: i) ∈ S; ii) ∀x, y ∈ S ⇒ xy ∈ S Cho tập nhân S vành A Trên tập A × S, ta có (a, s) ∼ (a , s ) ⇔ ∃t ∈ S : (as − a s)t = Ta có ∼ quan hệ tương đương A × S Kí hiệu tập thương A × S/ ∼ S −1 A a Kí hiệu lớp tương đương phần tử (a, s) s Định nghĩa 1.3.2 (xem [1], trang 36) Trên S −1 A xác định phép cộng nhân: a b a b at + bs • Phép cộng: ∀ , ∈ S −1 A : + = ; s t s t st a b a b ab • Phép nhân: ∀ , ∈ S −1 A : · = s t s t st Khi S −1 A trở thành vành giao hốn có đơn vị gọi vành thương vành A theo tập nhân S Định nghĩa 1.3.3 (xem [1], trang 40) Cho p ideal nguyên tố vành A Tập S = A \ p tập nhân A Vành thương S −1 A kí hiệu Ap Khi vành Ap vành địa phương với ideal tối đại tập hợp S −1 p := p : p ∈ p, s ∈ S gọi địa phương hóa vành A theo ideal nguyên tố p s Định lý 1.3.4 (xem [1], trang 62) Cho A, B vành thỏa A ⊆ B B nguyên A p ideal nguyên tố A Khi tồn ideal q B cho q ∩ A = p 1.4 Sự phân tích nguyên sơ Định nghĩa 1.4.1 (xem [1], trang 50) Một ideal q vành A gọi nguyên sơ q = A xy ∈ q x ∈ q tồn số nguyên dương n cho y n ∈ q Nói cách khác, q nguyên sơ A/q = ước A/q lũy linh Mệnh đề 1.4.2 (xem [1], trang 50) Cho q a ideal vành A a ⊆ q Khi q nguyên sơ q/a nguyên sơ vành A/a Mệnh đề 1.4.3 (xem [1], trang 50) Nếu q ideal nguyên sơ vành A r(q) ideal nguyên tố nhỏ tất ideal nguyên tố A chứa q Định nghĩa 1.4.4 (xem [1], trang 51) Cho q ideal nguyên sơ vành A Nếu p = r(q) q gọi p - nguyên sơ Mệnh đề 1.4.5 (xem [1], trang 51) Nếu r(a) tối đại a nguyên sơ Đặc biệt, lũy thừa ideal tối đại m m - nguyên sơ Mệnh đề 1.4.6 (xem [1], trang 51) Nếu q1 , q2 , , qn p - nguyên sơ q = p - nguyên sơ n i=1 qi Định nghĩa 1.4.7 (xem [1], trang 51-52) Một phân tích nguyên sơ ideal a vành A biểu diễn a dạng giao hữu hạn ideal nguyên sơ a= n i=1 qi Nếu tất r(qi ) phân biệt không qi chứa giao lại, nghĩa ∀i = 1, n, j=i qj ⊆ qi , phân tích ngun sơ gọi tối tiểu Định lý 1.4.8 (xem [1], trang 52) Cho a ideal có phân tích nguyên sơ a = n i=1 qi phân tích nguyên sơ tối tiểu a Đặt pi = r(qi ), i = 1, 2, , n Khi pi ideal nguyên tố xuất tập ideal r(a : x) (x ∈ A) khơng phụ thuộc vào phân tích ngun sơ a Định nghĩa 1.4.9 (xem [1], trang 52) Những ideal nguyên tố pi gọi liên kết với a Những phần tử tối tiểu tập {p1 , , pn } gọi ideal nguyên tố cô lập liên kết với a Hệ 1.4.10 (xem [1], trang 54) Những thành phần nguyên sơ qi ứng với ideal nguyên tố cô lập pi xác định a 1.5 Module Artin Mệnh đề 1.5.1 (xem [1], trang 74) Cho R - module A Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương: i) Mọi dãy giảm module A1 ⊇ A2 ⊇ A dừng (nghĩa tồn số tự nhiên n cho An = An+1 = ); ii) Mọi họ khác rỗng module A có phần tử tối tiểu Định nghĩa 1.5.2 (xem [1], trang 74) R - module A thỏa hai điều kiện Mệnh đề 1.5.1 gọi module Artin f g Mệnh đề 1.5.3 (xem [1], trang 75) Cho → A → − B→ − C → dãy khớp R - module Khi B R - module Artin A C R - module Artin Hệ 1.5.4 (xem [1], trang 75) Module module thương module Artin module Artin Định nghĩa 1.5.5 (xem [1], trang 89) Một vành A gọi vành Artin A - module Artin Mệnh đề 1.5.6 (xem [1], trang 89) Cho A vành Artin, a ideal A Khi A/a vành Artin Hai mệnh đề công cụ quan trọng để chúng tơi trình bày kết vành Artin trình bày mục sau Mệnh đề 1.5.7 Cho A vành a1 , a2 , , an ideal A Xét đồng cấu n φ : A −→ (A/ai ) i=1 thỏa φ(x) = (x + a1 , , x + an ) Khi đó: n i) Nếu , aj nguyên tố với i = j n = i=1 ; i=1 22 i) P ideal nguyên tố R P có dạng P = P1 × R2 P = R1 × P2 P1 , P2 tương ứng ideal nguyên tố R1 , R2 ; ii) M ideal tối đại R M có dạng M = M1 × R2 M = R1 × M2 M1 , M2 tương ứng ideal tối đại R1 , R2 Chứng minh i) Dễ dàng kiểm tra P1 × R2 , R1 × P2 ideal nguyên tố R Ngược lại giả sử P ideal nguyên tố R1 × R2 Ta có (1, 0)(0, 1) = (0, 0) ∈ P ⇒ (1, 0) ∈ P (0, 1) ∈ P • Nếu (1, 0) ∈ P ∀r1 ∈ R1 , (r1 , 0) = (r1 , 0)(0, 1) ∈ P Đặt P2 = {r2 ∈ R2 |(0, r2 ) ∈ P } Dễ dàng kiểm tra P2 ideal nguyên tố R2 Bây ta chứng minh P = R1 × P2 Với (r1 , r2 ) ∈ R1 × P2 (r1 , r2 ) = (r1 , 0) + (0, r2 ) ∈ P Ngược lại giả sử (r1 , r2 ) ∈ P , (r1 , 0) ∈ P nên (0, r2 ) = (r1 , r2 ) − (r1 , 0) ∈ P Do r2 ∈ P2 tức (r1 , r2 ) ∈ R1 × P2 Vy P = R1 ì P2 ã Nếu (0, 1) ∈ P chứng minh tương tự ta P = P1 × R2 ii) Vì ideal tối đại ideal nguyên tố nên M phải có dạng M = M1 × R2 M = R1 × M2 với M1 , M2 tương ứng ideal nguyên tố R1 , R2 Hơn nữa, M1 , M2 phải ideal tối đại Thật vậy, M1 khơng tối đại tồn ideal B cho M1 B R1 Khi M = M1 × R2 B × R2 R1 × R2 = R Điều mâu thuẫn với tính tối đại M Chứng minh tương tự với M2 Như ta điều cần chứng minh 23 Mệnh đề 2.3.3 Cho R1 , R2 hai vành Khi R = R1 × R2 có vành tối đại điều kiện sau thỏa mãn: i) R1 R2 có vành tối đại; R1 ∼ R2 Cụ thể hơn, tồn = I1 I2 R1 ∼ R2 Rj , j = 1, cho = M1 M2 Rj , j = 1, cho ii) Tồn ideal Ij ideal tối đại Mj Chứng minh Ta ý R1 , R2 ảnh R qua toàn cấu chiếu nên i) thỏa R1 hiển nhiên R có vành tối đại Nếu ii) thỏa, ta đặt T = I1 R ∼ R1 R2 × = I1 × I2 I1 I2 nên R ∼ = T × T I1 × I2 Theo Bổ đề 2.3.1, ta suy đại R có vành tối đại R có vành tối I1 × I2 Ta xét chiều lại, cho S vành tối đại R Đặt J1 = R1 × {0}; J2 = {0} × R2 S R R ∼ Nếu J1 ⊆ S vành tối đại Mà = R2 nên R2 có vành J1 J1 J1 tối đại Lập luận tương tự với J2 ⊆ S ta có R1 có vành tối đại i) thỏa mãn Bây ta giả sử J1 J2 không nằm S Do tính tối đại S nên R = S + J1 = S + J2 Khi R S + J1 ∼ S R2 ∼ = ; = = J1 J1 S ∩ J1 R S + J2 ∼ S R1 ∼ = = = J2 J2 S ∩ J2 Đặt J1 = J1 ∩ S = S1 × {0}, S1 R1 ; J2 = J2 ∩ S = {0} × S2 , S2 R2 24 Ta có J1 + J2 = S1 × S2 ideal S Ta chứng minh J1 + J2 ideal thực S Nếu J1 + J2 = S S = S1 × S2 Do Si vành thực Ri , i = 1, Ta lại có S = S1 × S2 R1 × S2 , S1 × R2 R điều mâu thuẫn với S vành tối đại R Do J1 + J2 ideal thực S S ảnh đồng cấu J1 + J2 dẫn đến S ∼ = J1 + J2 Khi S ∼ R ∼ S ∼ R ∼ = = R2 = = R1 Điều J1 J1 J2 J2 R1 ∼ R2 = I1 I2 với I1 ideal R1 , I2 ideal R2 Do khẳng định ii) thỏa mãn Khi tồn ideal tối đại M1 R1 , M2 R2 hiển nhiên thỏa mãn R1 ∼ R2 cách tương ứng = M1 M2 Hệ 2.3.4 Cho R1 , , Rn , (n ≥ 2) vành Khi R = R1 × R2 × × Rn có vành tối đại điều kiện sau thỏa mãn: i) ∃i ∈ {1, 2, , n} : Ri có vành tối đại; ii) Tồn ideal tối đại Mi Ri Mj Rj (i = j) cho (Tồn ideal phân biệt M N R thỏa Ri ∼ Rj = Mi Mj R ∼ R = ) M N Chứng minh Nếu i) ii) thỏa mãn hiển nhiên R có vành tối đại Ta chứng minh chiều ngược lại cách tiến hành quy nạp theo n Với n = ta chứng minh Mệnh đề 2.3.3 Giả sử khẳng định hệ với n − 1, đặt R = R1 × R2 × × Rn Nếu R1 T = R2 × × Rn có vành tối đại theo giả thiết quy nạp ta điều cần chứng minh Nếu R1 T khơng có vành tối đại theo Mệnh đề 2.3.3 tồn ideal tối R1 ∼ T đại M1 R1 M T cho Mặt khác theo Bổ đề 2.3.2 = M1 M M = R2 × R3 × × Ri−1 × Mi × Ri+1 × × Rn Trong Mi ideal tối đại Ri , i ≥ T ∼ Ri Do ta kết thúc chứng minh = M Mi 25 Từ kết vành tích trực tiếp hữu hạn vành kết có vành Artin địa phương tìm hiểu mục 2.2 Chúng tơi trình bày điều kiện để vành Artin giao hốn có vành tối đại Mệnh đề 2.3.5 Cho R vành Artin khơng đếm có đặc số Khi R có vành tối đại R có ideal tối đại M thỏa R/M có vành tối đại Chứng minh Theo Định lí 2.1.10, ta đặt R ∼ = n Ri với Ri vành Artin địa i=1 phương Giả sử R có đặc số (hoặc khơng đếm được), tương ứng Ri có đặc số (hoặc khơng đếm được) với ≤ i ≤ n Theo Mệnh đề 2.2.7, Ri có vành tối đại, suy R có vành tối đại Cũng theo Mệnh đề 2.2.7 Mi ideal tối đại Ri Ri /Mi có vành tối đại Do ta đặt M = R1 × × Ri−1 × Mi × Ri+1 × × Rn R/M ∼ = Ri /Mi có vành tối đại Ví dụ xét đến trường hợp vành Artin vơ hạn khơng trường đếm có đặc số khác Ví dụ 2.3.6 Cho n ≥ {Fi }ni=1 họ trường vô hạn không đẳng cấu với n khơng có vành tối đại Khi theo Hệ 2.3.4 R = Fi vành Artin vơ i=1 hạn khơng có vành tối đại (Chú ý R vành đếm có đặc số khác khơng) Chứng minh Do Fi , i = 1, n khơng có vành tối đại nên không thỏa i) Đồng thời Fi trường nên không tồn ideal tối thỏa điều kiện ii) Vậy R vành tối đại Hệ 2.3.7 Cho R vành Artin khơng có vành tối đại Khi tồn số tự nhiên m1 , m2 , , mn số nguyên tố p1 , p2 , , pn cho R nguyên n Zpi mi Cụ thể hơn, R có đặc số m = R nguyên Zm i=1 Chứng minh Theo Định lí 2.1.10, ta đặt R ∼ = n Ri Ri vành Artin địa i=1 phương Do R khơng có vành tối đại nên Ri khơng có vành tối đại với i Theo Mệnh đề 2.2.8, Ri nguyên Zpi mi với pi số nguyên tố mi số tự n n ∼ nhiên Khi R = Ri nguyên Zp ni i i=1 i=1 26 Để chứng minh phần cịn lại ta ý n Zm ⊆ i=1 n n Zpi mi ⊆ Ri ∼ =R i=1 n Zpi mi nguyên Zm (do i=1 Zpi mi hữu hạn) i=1 Vậy R nguyên Zm Định lý kết phần Định lý nêu lên đặc trưng cần có vành Artin có vành tối đại Định lý 2.3.8 Cho R vành Artin Khi R có vành tối đại R thỏa điều kiện sau: i) Tồn ideal tối đại M thỏa R/M có vành tối đại; K[x] ii) Tồn ideal tối đại M ideal I cho M ⊆ I R/I ∼ với K = (x2 ) trường; iii) Tồn ideal tối đại M N phân biệt R cho R/M ∼ = R/N Chứng minh Do R vành Artin nên theo Định lí 2.1.10, ta đặt R ∼ = n Ri với Ri i=1 vành Artin địa phương với ideal tối đại Mi Theo Hệ 2.3.4, R có vành tối đại tồn i ∈ {1, 2, , n} cho Ri có vành tối đại (và điều kiện i) ii) thỏa mãn theo Định lí 2.2.12) tồn ideal phân biệt M N R thỏa mãn R/M ∼ = R/N Kết tiếp theo, chúng tơi trình bày mối liên hệ vành tối đại Artin với vành chứa Chúng ta ý S vành tối đại Noether vành R R vành Noether (thật với α ∈ R \ S S[α] = R bổ đề Hilbert ta có điều phải chứng minh) Điều dẫn đến câu hỏi S vành tối đại Artin vành R R có vành Artin hay không? Định lý 2.3.9 Cho S vành tối đại Artin vành R Khi R vành Artin Chứng minh Ta có P = (S : R) ideal S R Hơn P ideal nguyên tố S (theo Bổ đề 2.2.10) Xét dãy khớp −→ P −→ R −→ R/P −→ 27 Do P S - module Artin nên P R - module Artin Do theo Mệnh đề 1.5.3 để chứng minh R vành Artin (tức R R - module Artin) ta chứng minh R/P R - module Artin Rõ ràng trường K = S/P vành tối đại vành L = R/P Khi với α ∈ L \ K α2 ∈ K α ∈ K[α2 ], nghĩa α nguyên K trường hợp Do theo Định lý 1.1.3 K[α] K - module hữu hạn sinh Điều kết hợp với L = K[α] với α ∈ L \ K K trường dẫn đến L không gian véc-tơ hữu hạn chiều trường K hay R/P R - module Artin Như R vành Artin 2.4 Trường khơng có vành tối đại Các kết mục giúp mô tả đầy đủ trường khơng có vành tối đại Kết mục Định lý 2.4.11 Định lý 2.4.14 Để thuận tiện việc nghiên cứu mục trước tiên chúng tơi trình bày số tính chất trường hữu hạn Định lý 2.4.1 Cho F trường hữu hạn Khi đó: i) F có đặc số p nguyên tố; ii) F ∗ nhóm cyclic; iii) Mọi mở rộng hữu hạn F mở rộng đơn; iv) Mọi mở rộng đại số F mở rộng tách Chứng minh i) Giả sử p khơng số ngun tố Khi p = p1 p2 với < p1 , p2 < p Mà = p.1 = (p1 p2 ).1 = (p1 1)(p2 1) Suy (p1 1) = p2 = 0, p1 p p2 p Điều vơ lí Vậy p số nguyên tố ii) Đặt |F ∗ | = q − gọi α phần tử có cấp lớn m ≤ q − tất phần tử F ∗ Do F ∗ nhóm giao hốn hữu hạn nên xm = 1, ∀x ∈ F ∗ Như phần tử F ∗ nghiệm đa thức xm − 1, đa thức có m nghiệm Do m = |F ∗ | = q − hay F ∗ nhóm cyclic iii) Gọi E mở rộng hữu hạn F , E ∗ nhóm cyclic nên E ∗ = (α) E = F (α) Do E mở rộng đơn F 28 iv) Do F tách nên mở rộng đại số F tách Bổ đề 2.4.2 Nếu F trường hữu hạn [E : F ] = d |E| = |F |d Chứng minh Gọi {α1 , α2 , , αd } sở E F Khi phần tử E biểu diễn dạng a1 α1 + a2 α2 + · · · + ad αd , với ∈ F Mặt khác, hệ số có |F | cách chọn nên |E| = |F |d Do trường hữu hạn có đặc số p chứa trường đẳng cấu với Zp nên theo bổ đề ta có hệ sau: Hệ 2.4.3 Nếu F trường hữu hạn có đặc số p F có pn phần tử, với n số nguyên dương Định lý 2.4.4 i) Mọi trường hữu hạn có số phần tử pn với số nguyên dương n ii) Với số nguyên q = pn tồn trường Fq (sai khác đẳng cấu) có số phần tử q vừa tập nghiệm fq (x) = xq − x vừa trường phân rã fq (x) Zp Chứng minh Ta biết trường hữu hạn có đặc số p có pn phần tử Bây chứng minh tồn (sai khác đẳng cấu) trường có pn phần tử với số nguyên tố p số nguyên dương n Đặt q = pn gọi S trường phân rã đa thức fq (x) = xq − x Zp Gọi R tập nghiệm fq (x) S, α, β ∈ R αq = α β q = β Suy q (α ± β) = αq ± β q = α ± β αβ −1 q = αq (β q )−1 = αβ −1 Do α ± β ∈ R αβ −1 ∈ R Điều dẫn đến R trường R = S Hơn nữa, fq (x) = qxq−1 − = −1 29 nên đa thức fq (x) nghiệm bội S |S| = q Như tồn trường hữu hạn S có q = pn phần tử với số nguyên tố p số nguyên dương n Và từ ta kí hiệu trường Fq Giả sử F trường có q = pn phần tử, F ∗ nhóm giao hốn có cấp q − phần tử α ∈ F ∗ thỏa αq−1 = Như phần tử α ∈ F nghiệm đa thức fq (x) = xq − x Do đa thức có xác q nghiệm, F tập nghiệm fq (x) nên trường phân rã fq (x) Zp Do hai trường phân rã fq (x) đẳng cấu với nên ta kết luận hai trường hữu hạn có q phần tử đẳng cấu với Như ta điều phải chứng minh Định lý 2.4.5 Trường Fpn có trường có số phần tử pd với d|n Điều cho tất trường Fpn Chứng minh Nếu F ≤ Fpn tồn số nguyên dương d thỏa d|n |F | = pd Mặt khác, ta có d d|n ⇒ pd − 1|pn − ⇒ xp −1 n − 1|xp −1 − ⇒ fpd (x)|fpn (x) fpn (x) phân rã Fpn nên fpd (x) phân rã Fpn Như Fpn chứa trường phần rã fpd (x), suy Fpn chứa trường có pd phần tử Hơn Fpn chứa nhiều trường vậy, đa thức fpd (x) có nhiều pd nghiệm Fpn Ta biết Fpn mở rộng đại số Fp với số nguyên dương n Do bao đóng đại số Fp phải chứa Fpn Do n!|(n + 1)! nên Fpn! ≤ Fp(n+1)! hợp Fp = ∞ n=1 Fpn! mở rộng trường Fp chứa Fpn với n ≤ Định lý 2.4.6 Trường F p bao đóng đại số Fp Chứng minh Mọi phần tử F p nằm Fpn! , F p đại số Fp Giả sử E mở rộng đại số Fp F p ≤ E Gọi α ∈ E có đa thức tối tiểu p(x) Fp Nếu deg p(x) = d p(x) phân rã Fpd , mà Fpd nằm F p nên α ∈ F p Do E ≤ F p hay E = F p Vậy F p khơng có mở rộng đại số thực ta điều phải chứng minh Tiếp theo chúng tơi trình bày kết trường khơng có vành tối đại Từ Định lí 2.2.4 ta có hệ sau: 30 Hệ 2.4.7 Cho E trường vành tối đại Khi E đại số Fp với p số nguyên tố Tiếp theo mô tả đầy đủ trường khơng có vành tối đại Định nghĩa 2.4.8 Cho N tập số tự nhiên T ⊆ N Khi T gọi F G - tập E = n∈T Fpn trường F p , Fpn trường F p có pn phần tử p số nguyên tố Hơn nữa, T phải thỏa mãn T ⊆ T ⊆ N E= n∈T Fpn = n∈T Fpn T = T Định nghĩa 2.4.9 Cho T1 ⊂ T2 hai F G - tập Khi T1 gọi F G - tập tối đại T2 không tồn F G - tập thực nằm T1 T2 Định lý 2.4.10 Luôn tồn song ánh bảo toàn thứ tự từ tập hợp F G - tập N đến tập hợp trường F p Chứng minh Gọi T , F tập hợp F G - tập N tập hợp trường F pn Xét ánh xạ ϕ : T −→ F thỏa ϕ(T ) = n∈T Fpn , ∀T ∈ T Ta chứng minh ϕ song ánh bảo tồn thứ tự • Chứng minh ϕ đơn ánh Giả sử ∀T, T ∈ T , Fpn = n∈T Fpn n∈T Khi E := Fpn = n∈T ∪T Fpn = n∈T Fpn n∈T Mà T, T ⊆ T ∪ T T, T F G - tập nên T = T ∪ T = T Vậy ϕ đơn ánh • Chứng minh ϕ tồn ánh Với E ∈ F Đặt T = {n ∈ N : Fpn ⊆ E} Ta chứng minh ϕ(T ) = E Dễ thấy theo định nghĩa tập T n∈T Fpn ⊆ E Ngược lại, với a ∈ E a đại số Fp Gọi k = |Fp (a) : Fp | Khi theo Bổ đề 2.4.2 ta có |Fp (a)| = pk Và Định lý 2.4.4 nên Fp (a) = Fpk Do Fp (a) ⊆ E nên Fpk ⊆ E hay k ∈ T Mặt khác a ∈ Fpk nên E ⊆ n∈T ϕ(T ) = E Do ϕ tồn ánh Fpn Suy E = n∈T Fpn Vậy T F G - tập 31 • Chứng minh ϕ bảo tồn thứ tự Ta có: ∀T, T ∈ T , T ⊆ T ⇔ Fpn ⊆ n∈T Fpn ⇔ ϕ(T ) ⊆ ϕ(T ) n∈T Vậy ϕ song ánh bảo toàn thứ tự Định lý hai định lý mục này, giúp xác định xác trường khơng có vành tối đại Định lý 2.4.11 Một trường F khơng có vành tối đại tồn số nguyên tố p cho F = Fp F trường vô hạn F p cho F = n∈T Fpn , T F G - tập khơng có F G - tập tối đại Chứng minh Giả sử F khơng có vành tối đại Khi ta có F = Fp Nếu F = Fp theo Hệ 2.4.7 nên F đại số Fp Suy F ⊂ F p Ta có ∀α ∈ F, α đại số Fp Đặt Fp (α) = Fpkα Khi F = cho F = n∈T α∈F Fpnα Vậy F trường vơ hạn F p Fpn , T F G - tập khơng có F G - tập tối đại Định lí 2.4.11 cho ta thấy để xác định xác trường khơng có vành tối đại ta cần phải xác định F G - tập khơng có F G - tập tối đại Hai kết giúp xác định xác F G - tập Chúng ta biết nhóm Fp∗n −1 (nhóm nhân phần tử khác khơng trường Fpn ) nhóm cyclic cấp pn−1 Hơn với nhóm giao hốn G chứa hai phần tử có cấp m, n chứa phần tử có cấp [m, n], bội chung nhỏ m, n Từ điều hình thành đặc trưng F G - tập Mệnh đề 2.4.12 Tập T ⊆ N F G - tập T thỏa điều kiện sau: i) ∈ T ; ii) Nếu n ∈ T , d|n d ∈ T ; iii) Nếu m, n ∈ T [m, n] ∈ T 32 Chứng minh Cho T F G - tập, i) ii) hiển nhiên Đặt E= Fpn n∈T trường F p tương ứng với T Nếu n, m ∈ T , đặt α ∈ Fp∗n , β ∈ Fp∗m phần tử E có bậc pn − 1, pm − tương ứng Khi E có phần tử cấp γ có cấp [pn − 1, pm − 1] Mặt khác γ đại số Fp nên gọi k bậc đa thức min(γ, Fp ) Khi k = [Fp (γ) : Fp ] ⇒ |Fp (γ)| = pk ∗ k Như (Fp (γ)) nhóm cyclic cấp pk−1 hay γ p −1 = Do [pn − 1, pm − 1]|pk − Suy pn − 1|pk − 1, pm − 1|pk − Như n|k, m|k Dẫn đến [m, n]|k Vì Fpk = Fp (γ) ⊆ E Nên ta kết luận k ∈ T [m, n] ∈ T Chiều ngược lại hiển nhiên Ví dụ 2.4.13 T ⊆ N F G - tập hữu hạn T chứa ước số nguyên dương n Gọi P tập tập số nguyên tố Khi T = {n ∈ N : ước nguyên tố n nằm P } ∪ {1} Định lý 2.4.14 Cho T F G - tập Khi T khơng có F G - tập tối đại với q số nguyên tố T q n ∈ T với n ∈ N Hơn nữa, T khơng có F G - tập tối đại T có dạng T = {n ∈ N : ước nguyên tố n nằm tập cố định P } ∪ {1} Với P tập số nguyên tố 33 Chứng minh Cho T F G - tập có tính chất Ta chứng minh T khơng có F G - tập tối đại Giả sử S T F G - tập tối đại T Lấy n ∈ T \ S mk m2 n = pm / S nên tồn ≤ r ≤ k cho p2 · · · pk phân tích n Do n ∈ r pm / S Đặt r ∈ S1 = S ∪ {mptr : m ∈ S, t ≤ mr } Ta chứng minh S1 F G - tập i) Dễ thấy ∈ S1 ∈ S ii) Với k ∈ S1 l|k Khi k ∈ S l ∈ S S F G - tập, k ∈ /S giả sử k = mptr với m ∈ S, t ≤ mr l|k nên l = m1 ptr1 với m1 ∈ S, m1 |m t1 ≤ t Tóm l ∈ S1 iii) Với k, l ∈ S1 k, l ∈ S [k, l] ∈ S, k l khơng nằm S ta có [k, l] = mptr với m ∈ S, t ≤ mr Vậy [k, l] ∈ S1 Như S1 F G - tập S S1 T (chú ý pm r ∈ T với m) Điều mâu thuẫn với tính tối đại S Vậy T khơng có F G - tập tối đại Ngược lại, cho T khơng có F G - tập tối đại Giả sử q ∈ T số nguyên tố thỏa mãn với n ≥ q n ∈ / T n số nguyên dương nhỏ thỏa tính chất Do T F G - tập nên ta có q m ∈ / T với m ≥ n Đặt S = {x ∈ T : x = q t y, ≤ t ≤ n − 2, y ∈ T, (q, y) = 1} Ta chứng minh S F G - tập i) Dễ thấy ∈ S ii) Với k ∈ S hay k = q t1 y1 , ≤ t1 ≤ n − 2, y1 ∈ T, (q, y1 ) = l|k Khi l = q t2 y2 , ≤ t2 ≤ t1 , y2 |y1 , (q, y2 ) = Do l ∈ S iii) Với k, l ∈ S thỏa k = q t1 y1 l = q t2 y2 với ≤ t1 , t2 ≤ n − y1 , y2 ∈ T Khi [k, l] = q max{t1 ,t2 } [y1 , y2 ] ∈ S Như S F G - tập tối đại Hơn S F G - tập tối đại T Thật vậy, gọi S1 F G - tập thỏa S ⊆ S1 ⊆ T Nếu S = S1 tồn q n−1 y ∈ S1 \ S, y ∈ T, (y, q) = Vì S1 F G - tập nên q n−1 ∈ S1 q n−1 z ∈ S1 với 34 z ∈ T , (z, q) = Mặt khác (z, q) = nên z ∈ S ⊆ S1 Như S1 = T hay S F G - tập tối đại T (mâu thuẫn T khơng có F G - tập tối đại) Vậy ta điều phải chứng minh Phần lại định lý hiển nhiên Hệ 2.4.15 Cho T F G - tập Khi T khơng có F G - tập tối đại với t ∈ T tn ∈ T với n ∈ N Ví dụ 2.4.16 N F G - tập khơng có F G - tập tối đại, F p khơng có vành tối đại với số nguyên tố p Tiếp theo tìm hiểu tính đếm tập hợp tất F G - tập khơng có F G - tập tối đại Mệnh đề 2.4.17 Cho A tập hợp tất F G - tập khơng có F G - tập tối đại Khi A không đếm Chứng minh Cho p1 , p2 , , pn , dãy số nguyên tố, nghĩa p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, Ta định nghĩa ánh xạ ∞ φ : A −→ Xi i=1 Trong Xi = {0, 1} với i xác định sau: với A ∈ A ta đặt φ(A) =< an >, an = pn ∈ / A an = pn ∈ A rõ ràng φ song ánh Vậy |A| = 2ℵ0 Hệ 2.4.18 Cho {Fi : i ∈ I} họ trường khơng có vành tối đại có đặc số với (sai khác đẳng cấu) Khi |I| = 2ℵ0 Cụ thể, tập hợp tất trường khơng có vành tối đại (sai khác đẳng cấu) tập có lực lượng 2ℵ0 35 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số vấn đề sau: - Trình bày điều kiện cần đủ để vành Artin địa phương tồn vành tối đại - Trình bày điều kiện cần đủ để vành Artin tồn vành tối đại thông qua tích trực tiếp hữu hạn vành Artin địa phương - Mơ tả trường khơng có vành tối đại Qua trình bày, thấy vành tối đại vành ảnh hưởng lớn đến cấu trúc thân vành Trong luận văn chúng tơi đề cập đến vành tối đại vành Artin giao hốn Hiện cịn nhiều vấn đề thú vị vấn đề mở vành tối đại vành Chúng hi vọng tiếp tục nghiên cứu vấn đề thời gian 36 Tài liệu tham khảo [1] M F Atiyah, I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, AddisonWesley, 1969 [2] Steven Roman, Field Theory, Graduate Texts in Mathematics 158, Springer - Verlag, NewYork, 1995 [3] Saban Alaca, Kenneth S.Williams, Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge University Press, NewYork, 2004 [4] A Azarang, On maximal subrings, (FJMS) 32 (2009) 107-118 [5] A Azarang, O.A.S Karamzadeh, On the existence of maximal subrings in commutative artinian rings, J Algebra Appl (5) (2010) 771-778 [6] A Azarang, O.A.S Karamzadeh, On Maximal Subrings of Commutative Rings, Algebra Colloquium (2011) [7] A Azarang, O A S Karamzadeh, Which fields have no maximal subrings?, Rendiconti del Seminario matematico della Università di Padova (2011) [8] D Ferrand, J.-P Olivier, Homomorphismes minimaux danneaux, J Algebra 16 (1970) 461- 471 [9] David E Dobbs, Jay Shapiro, A classification of the minimal ring extensions of certain commutative rings, Journal of Algebra 308 (2007) 800-821 ... vành tối đại Sự tồn vành tối đại vành Artin giao hoán 2.1 Sơ lược vành Artin 2.2 Vành tối đại vành Artin địa phương 12 2.3 Vành tối. .. tồn vành tối đại lớp vành Artin giao hoán đặc biệt vành Artin địa phương, trường, tích trực tiếp hữu hạn vành Từ mơ tả tất lớp vành Artin giao hốn có vành tối đại, đưa điều kiện cần đủ để vành. .. trình bày tồn vành tối đại lớp vành Artin giao hoán đặc biệt vành Artin địa phương, vành tích trực tiếp hữu hạn vành, trường, Từ mô tả tất lớp vành Artin giao hốn có vành tối đại, đưa điều kiện