Vành giao hoán

Nguyễn Thị Kiều Nga em đã mạnh dạn thựchiện khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Vành giao hoán." Đề tài chủ yếu nghiên cứu những tính chất đặc trưng của vànhgiao hoán như iđêan và môđun trê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Thị Kiều Nga

Hà Nội - Năm 2016

em hoàn thành khóa luận này.

Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiệnthuân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận

Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế Hơn nữa do lầnđầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránhkhỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng gópquý báu của thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiệnhơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viênVương Thị Bích Thùy

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị KiềuNga khóa luận "Vành giao hoán" được hoàn thành không trùng vớibất kỳ đề tài nào khác

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viênVương Thị Bích Thùy

Mục lục

1.1 Vành, vành con, vành giao hoán 3

1.2 Miền nguyên, trường 5

1.3 Iđêan 6

1.4 Vành thương 7

1.5 Đồng cấu vành 8

1.6 Môđun, môđun con, môđun thương 10

1.7 Đồng cấu môđun 13

1.8 Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự 15

2 Iđêan trên vành giao hoán 17 2.1 Iđêan sinh bởi các phần tử 17

2.2 Các phép toán của iđêan 17

2.3 Căn của iđêan 23

2.4 Iđêan cực đại 25

2.5 Iđêan nguyên tố 29

2.6 Phổ nguyên tố, đa tạp của iđêan 29

2.7 Iđêan nguyên sơ 36

2.8 Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố, iđêan

nguyên sơ 39

2.9 Iđêan đối cực đại 42

3 Môđun trên vành giao hoán 47 3.1 Dãy khớp 47

3.2 Môđun Noether và môđun Artin 52

3.3 Môđun tự do 60

3.4 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 67

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một ngành rất quan trọng trong toán học Nó không chỉ

là cơ sở cho nhiều ngành Toán học khác mà còn có ứng dụng trongmột số ngành khoa học và kĩ thuật Nó góp phần thúc đẩy sự pháttriển của Toán học hiện đại Tuy nhiên để đi sâu nghiên cứu môn Đại

số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về cấu trúc đại số

Kiến thức của Đại số rất phong phú và trừu tượng, nó được xâydựng và phát triển từ những cấu trúc đại số cơ bản như: nhóm, vành,trường, môđun, Trong đó vành là một phần kiến thức quan trọngcủa Đại số hiện đại Vì vậy với niềm say mê Toán học và sự hướngdẫn tận tình của TS Nguyễn Thị Kiều Nga em đã mạnh dạn thựchiện khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Vành giao hoán."

Đề tài chủ yếu nghiên cứu những tính chất đặc trưng của vànhgiao hoán như iđêan và môđun trên vành giao hoán cụ thể là: iđêannguyên tố, iđêan cực đại, iđêan nguyên sơ, iđêan đối cực, môđun tự

do, môđun Noether, môđun Artin, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu kho học đồng thờimuốn đi sâu, tìm tòi, nghiên cứu về những tính chất đặc trưng củavành giao hoán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu những tính chất đặc trưng của vành giao hoán

4 Phương pháp, phương tiện.

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung củakhóa luận được chia làm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Iđêan trên vành giao hoán

Chương 3 Môđun trên vành giao hoán

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viênVương Thị Bích Thùy

(ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm.

(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng tức là với các phần tửtùy ý x, y, z ∈ X ta có

x(y + z) = xy + xz(y + z)x = yx + zx

Tính chất 1.1 Cho X là một vành Khi đó ta có tính chất sau

a, x.0 = 0.x = 0 với mọi x ∈ X

b, Nếu X có ít nhất 2 phần tử thì 0 6= 1

c, (−x)y = x(−y) = −xy.

d, (x − y)z = xz − yz

e, Bằng quy nạp ta có:

(x1 + x2 + · · · + xn)y = x1y + x2y + · · · + xny,x(y1 + y2 + · · · + yn) = xy1+ xy2 + · · · + xyn

f, (nx)y = x(ny) = nxy

Với mọi n ∈ Z, với mọi x, y, z ∈ X, với mọi x1, , xn, y1, , yn ∈ X

Ví dụ

1, Tập hợp các ma trận vuông cấp n, n > 1 cùng với phép cộng vàphép nhân ma trận là một vành có đơn vị

2, Zn cùng với phép toán (+) và (.) xác định: x+y = x + y và x.y = xy

(i) A là một vành con của X

(ii) Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A

(iii) Với mọi x, y ∈ A thì x − y ∈ A, xy ∈ A

Ví dụ

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

1, Bộ phận {0} chỉ gồm có phần tử không và bộ phận X là hai vànhcon của X

2, Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m chotrước là một vành con của vành các số nguyên Z

1.1.3 Đặc số của vành

Định nghĩa 1.3 Cho X là một vành có đơn vị 1 Nếu tồn tại một sốnguyên dương n nhỏ nhất sao cho n.1 = 0, thì ta nói vành X có đặc

số n Trường hợp ngược lại, thì ta nói X có đặc số 0 Đặc số của vành

X được kí hiệu là: char(X) hoặc ch(X)

1.1.4 Vành giao hoán

Định nghĩa 1.4 Cho X là một vành X gọi là một vành giao hoánnếu phép nhân có tính chất giao hoán

1.2 Miền nguyên, trường

Trong toàn bộ chương này vành X là một vành giao hoán

Chú ý: Vành X không tồn tại phần tử nào là ước của không thì X

là vành không có ước của không hay với mọi a, b ∈ X, a 6= 0, b 6= 0 thì

ab 6= 0

Định nghĩa 1.7 Phần tử u ∈ X được gọi là phần tử khả nghịch nếu

u là ước đơn vị tức là tồn tại v ∈ X sao cho 1 = uv

Định nghĩa 1.8 Với a, a0 ∈ X ta nói a, a0 liên kết với nhau nếu tồntại u khả nghịch sao cho a = ua0 hoặc a0 = ua

Nếu a, a0 liên kết với nhau thì ta kí hiệu a ∼ a0 hoặc a0 ∼ a

Định nghĩa 1.9 Cho a, b ∈ X, a được gọi là ước thực sự của b nếu

a là ước của b, a khác khả nghịch và a không liên kết với b

Định nghĩa 1.10 Phần tử a ∈ X là phần tử bất khả quy nếu a khác

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

+ I gọi là iđêan trái của X nếu với mọi x ∈ X, a ∈ I thì xa ∈ I.+ I gọi là iđêan của X nếu I vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải.Điều kiện tương đương Cho X là vành, I ⊂ X, I 6= ∅ Các điềukiện sau tương:

(i) I là iđêan của X

(ii) Với mọi a, b ∈ I thì a − b ∈ I, với mọi x ∈ X, a ∈ I thì xa ∈ I và

(x + A) + (y + A) = x + y + A,(x + A)(y + A) = xy + A

Khi đó X/A cùng với 2 phép toán (+) và (.) ở trên lập thành 1 vành

và gọi là vành thương của X theo iđêan A

Ví dụ Cho X là vành, {0}, X là 2 iđêan của X nên tồn tại 2 vànhthương:

X/{0} = {x + 0|x ∈ X} = X,

X/X = {x + X|x ∈ X} = {X}.

Tính chất 1.3 Cho vành giao hoán X, I là iđêan của X

(a) Nếu J là iđêan của X sao cho J ⊇ I thì J/I là một iđêan của vànhthương X/I

(b) Mỗi iđêan của vành thương X/I đều có dạng K/I với K là iđêancủa X thỏa mãn K ⊇ I Tồn tại duy nhất iđêan K của X thỏa mãnđiều kiện

(a) Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành

(b) Cho f: X → Y là một đồng cấu vành, A là vành con của X, B làiđêan của Y Khi đó f(A) là vành con của Y và f−1(B) là iđêan của

X

Đặc biệt: Cho f: X → Y đồng cấu vành

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

Hạt nhân của f kí hiệu Kerf, xác định bởi:

Kerf = {x ∈ X|f(x) = 0Y}

Ảnh của X, kí hiệu là Imf, xácđịnh bởi:

Imf = {f(x)|x ∈ X}

Khi đó

+ Imf là vành con của Y

+ Kerf là iđêan của X

(c ) Đồng cấu vành f: X → Y là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0X}.Đồng cấu vành f: X → Y là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = Y (d) Định lí cơ bản của đồng cấu vành

Cho f: X → Y là đồng cấu vành; A và B là các iđêan của X và Ysao cho f(A) ⊃ B Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành

f: X/A → Y/B sao cho f.PA = PB.f với PA: X → XA; PB: Y → Y/B

là 2 toàn cấu chính tắc, tức biểu đồ sau giao hoán:

Hệ quả 1.1 (i) Cho f : X → Y là đồng cấu vành, A = Kerf Khi

đó tồn tai duy nhất f : X/A → Y sao cho fp = f với p: X → X/Kerf

là toàn cấu chính tắc.

(ii) Nếu f là đồng cấu vành thì X/Kerf ∼= Imf

(iii) Nếu f là toàn cấu vành thì X/Kerf ∼= Y

1.6 Môđun, môđun con, môđun thương

1.6.1 Môđun

Định nghĩa 1.16 Cho R là vành có đơn vị 1, M là một nhóm cộngAbel Khi đó M được gọi là R - môđun trái (hay môđun trái trên R)nếu tồn tại ánh xạ ( gọi là tích vô hướng trên R) là f : R × M → M,(a, x) 7→ ax thỏa mãn các điều kiện sau

(ab)x = a(bx)(a + b)x = ax + bya(x + y) = ax + ay1.x = x

Với với mọi a, b ∈ R, với mọi x, y ∈ M

Tương tự, một môđun phải trên R hay R - môđun phải là một nhómAbel cộng cùng với một ánh xạ f : M × R → M, (x, a) 7→ xa thỏamãn các điều kiện:

x(ab) = (xa)bx(a + b) = xa + xb(x + y)a = xa + ya

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

+ Cho R là vành có đơn vị thì R là R-môđun

+ Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một môđun trên K vàngược lại

Tính chất 1.5 Cho M là R-môđun Với mọi a, b ∈ R, x, y ∈ M tacó:

Định nghĩa 1.17 Cho M là R-môđun, N 6= ∅, N ⊂ M, N được gọi

là R-môđun con của M nếu nó là một R-môđun đối với các phép toáncảm sinh trên M

Điều kiện tương đương Cho M là R-môđun, N 6= ∅, N ⊂ M Cácđiều kiện sau tương đương:

i, N là R-môđun con của M

ii, ∀x, y ∈ N, α ∈ R thì x + y ∈ N, αx ∈ N

iii, ∀x, y ∈ N, α, β ∈ R thì αx + βy ∈ N

Ví dụ.

1, Cho M là R-môđun thì {0} và M là các môđun con của M

2, Nếu M là R-không gian vectơ thì M là R-môđun Các không gianvector con của M là các môđun con của M

Tính chất 1.6 (i) Giao của một họ các môđun con của M là mộtmôđun con của M

(ii) Cho M là R-môđun, S ⊂ M Giao của tất cả các môđun con của

M chứa S là một môđun con của M chứa S và gọi là môđun con sinhbởi tập S Kí hiệu: hSi

(iii) Nếu S là hữu hạn và S là tập sinh của M thì M gọi là hữu hạnsinh

(iv) Hệ sinh của môđun M gọi là hệ sinh cực tiểu nếu nó không chứathực sự bất kì hệ sinh nào khác của M

Đặc biệt: Nếu S = {s1, s2, , sm} là tập sinh của M thì

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

Khi đó M/N là R-môđun gọi là môđun thương của M theo môđuncon N của nó

Ví dụ Cho M là R-môđun thì {0} và M là các môđun con của M.Khi đó tồn tại các môđun thương M/M và M/{0}

+ f gọi là đơn cấu nếu f là đồng cấu môđun và f đơn ánh

+ f gọi là toàn cấu nếu f là đồng cấu môđun và f là song ánh.+ f gọi là đẳng cấu nếu f là đồng cấu môđun và f là song ánh.+ Nếu tồn tại một đẳng cấu môđun M → M thì ta nói hai môđun đóđẳng cấu với nhau Kí hiệu M ' N

Điều kiện tương đương Cho M và N là các R - môđun Ánh xạ

f: M → N là R đồng cấu môđun khi và chỉ khi với mọi α, β ∈ R,

x, y ∈ M thì

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)

a, Tích của các đồng cấu môđun là một đồng cấu môđun.

b, Cho f: M → N là R-đồng cấu môđun; A, B là môđun con của M

và N Khi đó f(A) là môđun con của N và f−1(B) là môđun con của

M Đặc biệt

+ Imf là môđun con của N

+ Kerf là môđun con của M

Trong đó

Kerf = {x ∈ M | f(x) = 0N} = f−1(0N) gọi là hạt nhân của đồngcấu môđun

Imf = f (M) = {f(x) | ∀x ∈ M} gọi là ảnh của đồng cấu môđun

c, Cho f: M → N là R-đồng cấu môđun Khi đó:

+ f(0M) = 0N

+ f(−x) = −f(x) Do đó f(x − y) = f(x) − f(y)

+ f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0M}

+ f là toàn cấu khi và chí khi Imf = f(M) = N

d, Định lí cơ của đồng cấu môđun

Cho f: N → M là R-đồng cấu môđun A, B lần lượt là các môđun của

N và M sao cho f(A) ⊂ B, pA: N → N/A; pB: M → M/B là các toàncấu chính tắc Khi đó tồn tại duy nhất R-đồng cấu f: N/A → M/B

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

sao cho fpA = pBf tức biểu đồ sau giao hoán:

Hệ quả 1.2 a, Cho f : N → M là R - đồng cấu môđun, A = Kerf,

pA : N/A → M là toàn cấu chính tắc Khi đó tồn tại duy nhất R đồng cấu f : N → N/Kerf sao cho fp = f, tức biểu đồ sau giao hoán:

b, Cho f : N → M là R - đồng cấu môđun Khi đó N/Kerf ' Imf

c, Cho f : N → M là R - toàn cấu môđun Khi đó N/Kerf ' M

(ii) ≤ có tính chất phản xứng tức với mọi u, v ∈ V mà u ≤ v, v ≤ uthì u = v.

(iii) ≤có tính chất bắc cầu tức mọi u, v, w ∈ V nếu u ≤ v, v ≤ w thì

u ≤ w

Khi đó ta viết (V, ≤) được gọi là sắp thứ tự

+) Tập sắp thứ tự (V, ≤) được gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu vớimọi u, v ∈ V luôn có u ≤ v hoặc v ≤ u

Định nghĩa 1.20 Cho X là tập sắp thứ tự với tập A ⊂ X, A đượcgọi là một xích của X nếu A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận của

X lập thành tập sắp thứ tự toàn phần Khi đó nếu A = {a1, , an},không giảm tính tổng quát ta có thể viết a1 ≤ a2 ≤ an

Bổ đề 1.1 (Kuratowski-Zorn) Cho tập sắp thứ tự (X, ≤) Nếu mỗixích của X đều có cận trên thì X chứa ít nhất một phần tử cực đại

Chương 2

Iđêan trên vành giao hoán

2.1 Iđêan sinh bởi các phần tử

Cho X là vành giao hoán

Định nghĩa 2.1 Cho U là tập con của vành X Giao của tất cả cáciđêan của X chứa U là iđêan nhỏ nhất của X chứa U và gọi là iđêancủa X sinh bởi U Kí hiệu: hUi Nếu U là tập con hữu hạn của X thì

ta nói I = hUi là iđêan hữu hạn sinh của X

Chú ý:

1, hUi là iđêan nhỏ nhất của X chứa U

2, Cho X là vành giao hoán và tập U ⊆ X

+ Nếu U = {ui|i = 1, n} thì hUi = {Pn

i=1xiui|n ∈ N, xi ∈ X, ui ∈ U}.+ Nếu U = ∅ thì U = h∅i = {0}

2.2 Các phép toán của iđêan

2.2.1 Tổng các iđêan

Định nghĩa 2.2 Cho (Iλ)λ∈I là họ các iđêan của vành giao hoán R.Tổng các iđêan của họ đã cho kí hiệu P

x = na1 + mb1 = dn1a1 + dm1b1 = d(n1a1 + m1b1) ∈ dZ

Suy ra nZ + mZ ∈ dZ (1)

+) Với mọi y ∈ dZ luôn tồn tại y1 ∈ Z sao cho y = dy1

Do d = (m, n) nên luôn tồn tại p, q ∈ Z sao cho d = mp + nq Khi đó

y = (mp + nq)y1 = mpy1 + nqy1 ∈ nZ + mZ

Suy ra dZ ⊂ nZ + mZ (2)

Từ (1) và (2) có dZ = nZ + mZ

Mệnh đề 2.1 Cho R là vành giao hoán, (Iλ)λ∈I là họ các iđêan của

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

H = {ab | a ∈ I, b ∈ J}

hay IJ = {P aibi|ai ∈ I, bi ∈ J, phép lấy tổng là hữu hạn }

Mệnh đề 2.2 Cho I và J là hai iđêan của vành giao hoán R Khiđó:

Chứng minh Theo định nghĩa tích 2 iđêan thì

IJ = hHi = h{ab | a ∈ I, b ∈ J}i

Mà theo (2.1) ta có hHi = {Pn

i=1

rihi | ri ∈ R, hi ∈ H} Trong trườnghợp này, hi = aibi với ai ∈ I, bi ∈ J Do I, J đều là iđêan của vành giaohoán R nên riai ∈ I và ribi ∈ J suy ra (riai)bi ∈ H và ai(ribi) ∈ H.Suy ra mọi phần tử x ∈ hHi đều được biểu diễn x = ab với a ∈ I, b ∈ JVậy hHi = IJ = {Pn

b, (IJ)K = I(JK) = hHi với H = {abc | a ∈ I, b ∈ J, c ∈ K}

Chứng minh a, Ta dễ dàng có IJ = JI (do R là vành giao hoán).Bây giờ ta đi chứng minh IJ ⊆ I ∩ J Thật vậy

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

b, Ta chứng minh (IJ)K = I(JK) = hHi Thật vậy do (2.1) ta có:

i=1aibi)cj ∈ hHi với ai ∈ I, bi ∈ J, cj ∈

K, i = 1, n, j = 1, m Suy ra (IJ)K ⊆ hHi (1)

Lại có x ∈ hHi thì x = Pn

i=1

aibici với ai ∈ I, bi ∈ J, ci ∈ K, i = 1, n.Hay x = Pn

i=1

(aibi)ci ∈ (IJ)K Suy ra hHi ⊆ (IJ)K (2)

Từ (1) và (2) suy ra (IJ)K = hHi

Tương tự ta chứng minh được rằng I(JK) = hHi

Định nghĩa 2.4 (Tích của họ các iđêan) Cho I1, , In là một

họ các iđêan của vành giao hoán R Khi đó tích các iđêan đã cho, kíhiệu là Qn

i=1

Ii là một iđêan của R sinh bởi tập

L = {a1a2 an | ai ∈ Ii, i = 1, n}

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

định nghĩa thương I : J là một iđêan của R xác định bởi

2.3 Căn của iđêan

Định nghĩa 2.7 Cho I là iđêan của vành giao hoán X, căn của I,

kí hiệu là Rad(I) hoặc √I xác định bởi:

Rad(I) = {x ∈ X | ∃n ∈ N : xn ∈ I}

Khi đó Rad(I) là một iđêan của X

Tính chất 2.2 Cho I1, I2, , In là các iđêan của X, ta có

vuut

- Với mọi a ∈ √I1 ∩ I2 luôn tồn tại m ∈ N để am ∈ I1 ∩ I2

Tồn tại m ∈ N sao cho am ∈ I1 và am ∈ I2 hay a ∈ √I1 và a ∈ √I2,suy ra a ∈ √I1 ∩√I2

- Với mọi b ∈ √I1 ∩ √I2 suy ra b ∈ √I1 và b ∈ √I2 Suy ra tồntại t, k ∈ N để bt ∈ I1, bk ∈ I2 Giả sử k ≥ t; k = t + q Khi đó

bk = bt+q = btbq ∈ I1 (do bt ∈ I1) Lại có bk ∈ I2 Như vậy tồn tại

k ∈ N để bk ∈ I1 ∩ I2 suy ra √I1 ∩√I2 ⊆ √I1 ∩ I2

Vậy √I1 ∩√I2 = √

I1 ∩ I2.+ Giả sử (∗) đúng với n − 1 tức ta có

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

2.4 Iđêan cực đại

Định nghĩa 2.8 Cho A là iđêan của vành giao hoán X, A đươc gọi

là iđêan cực đại của X nếu A 6= X và nếu tồn tại iđêan B của X mà

B ⊃ A, B 6= A thì B = X

Ví dụ Z là vành giao hoán có 3Z là iđêan cực đại

Định lý 2.1 Cho X là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan cực đạicủa X nếu và chỉ nếu X/I là trường

Chứng minh (⇒) I là iđêan cực đại của X nên X/I là vành giao hoán

Định lý 2.2 Cho X là vành giao hoán không tầm thường thì X luôn

có ít nhất một iđêan cực đại

Chứng minh Gọi Ω là tập tất cả các iđêan thực sự của X Do Xkhông tầm thường nên {0} là iđêan thực sự của X suy ra Ω 6= ∅

+ Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên Ω và iđêancực đại của X chính là phần tử cực đại của tập sắp thứ tự bộ phận(Ω, ⊆).

+ Cho ∆ là tập con sắp thứ tự toàn phần của Ω Đặt J = S1∈∆I, rõràng J 6= ∅ vì 0 ∈ J

+ Với mọi a ∈ J, r ∈ X thì ra ∈ J

+ Với a, b ∈ J luôn tồn tại I1, I2 ∈ ∆ sao cho a ∈ I1, b ∈ I2

Do (Ω, ⊆) sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1 ⊆ I2 hoặc I2 ⊆ I1.Không mất tính tổng quát ta giả sử I1 ⊆ I2, khi đó a − b ∈ I2 ⊆ J

Do vậy J là iđêan của X và là iđêan thực sự(vì với mọi I ∈ Ω : 1 /∈ Isuy ra 1 /∈ J) Suy ra J ∈ Ω, vì vậy J là cận trên của ∆ trong Ω Ápdụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận (Ω, ⊆) luôn có phần tửcực đại nên X luôn có ít nhất một iđêan cực đại

Hệ quả 2.1 Cho X là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của X Khi

đó luôn tồn tại một iđêan cực đại M của X sao cho M ⊇ I

Chứng minh Do I là iđêan thực sự của vành X nên vành thương X/I

Hệ quả 2.2 Cho X là vành giao hoán và a ∈ X Khi đó a là một đơn

vị của X nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan cực đại M của X thì a /∈ M.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

Chứng minh (⇒) Giả sử a là đơn vị của vành giao hoán X thì hai = XNếu a ∈ M với M là iđêan cực đại nào đó của X suy ra M = X Điềunày mâu thuẫn với giả thiết M là iđêan cực đại

Vậy a không thuộc iđêan cực đại nào của X

(⇐) a /∈ M với mọi M là iđêan cực đại của X

Giả sử a không là đơn vị của X, khi đó hai là iđêan thực sự của X.Theo hệ quả(2.1) vừa nêu thì tồn tại iđêan cực đại M của X sao chohai ⊆ M Điều này mâu thuẫn với giả thiết đã cho nên giả sử sai.Vậy a là đơn vị của X

Định nghĩa 2.9 Một vành giao hoán X có duy nhất một iđêan cựcđại được gọi là vành địa phương

+ Nếu M là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phương X thì X/M

là trường và được gọi là trương các thương của X

Bổ đề 2.1 Cho X là vành giao hoán thì X là vành địa phương nếu

và chỉ nếu tập hớp gồm các phần tử khác đơn vị của X là một iđêan.Chứng minh (⇒) Giả sử X là vành địa phương với iđêan cực đại duynhất M Theo hệ quả (2.2) thì M là tập chứa các phần tử đơn vị củaX

(⇐) Giả thiết rằng tập các phần tử khác đơn vị của X là I và I làiđêan của X.Gọi đơn vị của X là 1 Do 0 ∈ I nên 0 6= 1 suy ra Xkhông tầm thường Theo trên thì X có ít nhất một iđêan cực đại.Theo hệ quả(2.2) thì M không chứa đơn vị của X nên M ⊆ I ⊂ X(1 /∈ I vì 1 là đơn vị của X) Do M là iđêan cực đại của X nên I = M.Như vậy X có ít nhất một iđêan cực đại và iđêan cực đại nào cũng

bằng I, nghĩa là X có duy nhất một iđêan cực đại.Vậy X là vành địaphương.

Định nghĩa 2.10 Cho X là vành giao hoán, căn Jacobson của X kíhiệu là JacX, là giao của tất cả các iđêan cực đại của X.Khi đó:+ JacX là một iđêan của X

+ Ta quy ước Jac({0})={0}

Chú ý: Khi X là vành địa phương thì Jac(X) chính là iđêan cực đạiduy nhất của X

Bổ đề 2.2 Cho X là vành giao hoán và r ∈ X, r ∈ Jac(X) nếu vàchỉ nếu với mọi a ∈ X thì (1 − ra) là một đơn vị của X

Chứng minh (⇒) Giả thiết r ∈ Jac(X) Giả sử tồn tại a ∈ X sao cho(1 − ra) không là đơn vị của X

Theo hệ quả (2.2) sẽ tồn tại một iđêan cực đại M nào đó của X saocho (1 − ra) ∈ M Lại có r ∈ M do r ∈ Jac(X) suy ra ra ∈ M Do đó

1 = (1 − ra) + ra ∈ M hay 1 ∈ M suy ra M = X, mâu thuẫn với giảthiết M là iđêan cực đại nên giả sử sai

(⇐) Giả thiết với mỗi a ∈ X thì (1 − ra) là đơn vị của X, M là iđêancực đai của X Ta chỉ ra rằng r ∈ M

Giả sử r /∈ M thì M ⊂ M + hri ⊆ X Do M là iđêan cực đại nên

M + hri = X suy ra tồn tại b ∈ M, a ∈ X thỏa mãn: 1 = b + ar Suy

ra 1 − ar = b ∈ M hay 1 − ar không là đơn vị Mâu thuẫn với giảthiết nên r /∈ M sai Do đó r ∈ M Mà M là iđêan cực đại bất kì nên

r ∈ Jac(X)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

2.5 Iđêan nguyên tố

Định nghĩa 2.11 Cho A là iđêan của vành giao hoán X A được gọi

là iđêan nguyên tố của X nếu A 6= X và nếu xy ∈ A thì x ∈ A hoặc

y ∈ A

Định lý 2.3 Cho X là vành giao hoán có đơn vị I là iđêan nguyên

tố của X nếu và chỉ nếu X/I là một miền nguyên

Chứng minh (⇒) I là iđêan nguyên tố của X thì X/I là vành giaohoán có đơn vị Đặt x = x + I Giả sử xy = 0 hay (x + I)(y + I) =

I ⇔ xy + I = I ⇔ xy ∈ I Suy ra x ∈ I hoặc y ∈ I hay x + I ∈ Ihoặc y + I ∈ I hay x = 0 hoặc y = 0 Vậy X/I là miền nguyên

(⇐) Giả sử X/I là miền nguyên, I là iđêan của X

Nếu có xy ∈ I thì xy = x.y = 0 Do X/I là miền nguyên nên x = 0hoặc y = 0 hay x ∈ I hoặc y ∈ I Vậy I là iđêan nguyên tố của X.Định lý 2.4 Cho I, J là hai iđêan của vành giao hoán X thỏa mãn

J ⊇ I Khi đó J là iđêan nguyên tố của X nếu và chỉ nếu iđêan J/I

là iđêan nguyên tố của vành thương X/I

Chứng minh J là iđêan nguyên tố của X nên X/J là miền nguyên.Lại có X/I/J/I ∼= X/J (Theo hệ quả định lí cơ bản tổng quát của đồngcấu vành) Mà X/J là miền nguyên nên X/I/J/I là miền nguyên VậyJ/I là iđêan nguyên tố

2.6 Phổ nguyên tố, đa tạp của iđêan

2.6.1 Phổ nguyên tố

Định nghĩa 2.12 Cho X là vành giao hoán Phổ nguyên tố (hay gọitắt là phổ) của X là tập hợp gồm tất cả các iđêan nguyên tố của X.Phổ nguyên tố của X kí hiệu: Spec(X).

Định lý 2.5 Cho I là một iđêan của vành giao hoán có đơn vị X và

S là tập con nhân đóng của X sao cho I ∩ S = ∅ Khi đó tập

ψ = {J là iđêan của X|J ⊇ I, J ∩ S = ∅} có ít nhất một phần tử cựcđại và các phần tử cực đại của ψ là iđêan nguyên tố của X

Chứng minh ψ = {J là iđêan của X|J ⊇ I, J ∩ S = ∅} là tập sắpthứ tự bộ phận cùng với quan hệ bao hàm Rõ ràng I ∈ ψ nên ψ 6= ∅.Cho (∂, ⊆) là tập con sắp thứ tự toàn phần khác ∅ của ψ Khi đó tađặt Q = S

J∈∂

J là một iđêan của X thỏa mãn:

Q ⊇ I, Q ∪ S = ∅

Do ∂ là sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm nên với mọi

J1, J2 ∈ ∂ ta luôn có hoặc J1 ⊆ J2 hoặc J2 ⊆ J1 Suy ra Q là căn trêncủa ∂ trong ψ Áp dụng bổ đề Zorn: ψ có ít nhất một phần tử cựcđại Gọi P là phần tử cực đại bất kì của ψ Do P ∩ S = ∅, 1 ∈ S nên

1 /∈ P và P 6= X Với a, a0 ∈ X/P ta phải chỉ ra aa0 ∈ P Thật vậy/

a /∈ P suy ra I ⊆ P ⊂ P + hai Do P là phần tử cực đại của ψ nên(P + hai) ∩ S 6= ∅

Suy ra tồn tại s ∈ S, r ∈ X và u ∈ P sao cho s = u + ra Tương tự

ta có tồn tại s0 ∈ S, s 6= s0, r0 ∈ X và u0 ∈ P sao cho s0 = u0 + r0a0.Nhưng ss0 = (u + ra)(u0+ r0a0) = (uu0+ rau0+ ur0a0) + (rar0a0) Vì S

là tập con nhân đóng của X nên ss0 ∈ S

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

2.6.2 Đa tạp của iđêan

Định nghĩa 2.13 Cho I là iđêan của X Tập hợp

V ar(I) = {P ∈ SpecX|P ⊇ I}

gọi là đa tạp của iđêan I

Tính chât 2.3 Cho X là vành giao hoán có đơn vị

a, Cho I và J là các iđêan của X Khi đó:

Chứng minh Ta có: V ar(I) = {P ∈ spec(X)|P ⊇ I}

+ Cho a ∈ √I và P ∈ V ar(I) Vì a ∈ √I Suy ra tồn tại n ∈ N để

an ∈ I ⊆ P Do P ∈ spec(X) ⇒ a ∈ P ⇒ a ∈ T

P ∈V ar(I)

P.Vậy √I ⊆ T

P ∈V ar(I)P.(∗)

+ Ngược lại, cho b ∈ T

P ∈V ar(I)

P Giả sử b /∈ √I Đặt S = {bh|h ∈ N} làtập con nhân đóng của X Do định lí (2.5) tồn tại một iđêan nguyên

tố P0 của X sao cho

Định lý 2.6 Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán X Khi đó

V ar(I) có ít nhất một phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm

Một phần tử cực tiểu của V ar(I) được gọi là iđêan nguyên tố cựctiểu chứa I hoặc iđêan nguyên tố cực tiểu của I

Chứng minh Theo hệ quả (2.1) luôn tồn tại một iđêan cực đại M của

X chứa I Từ định lí (2.1) và (2.3) suy ra một iđêan cực đại luôn làiđêan nguyên tố Do đó M là iđêan nguyên tố nên M ∈ V ar(I), suy

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Bích Thùy

của V ar(I) theo quan hệ bao hàm

- Để chứng minh định lý này ta sử dụng bổ đề Zorn để chỉ ra tập(V ar(I), ≺) tồn tại ít nhất một phần tử cực đại hay V ar(I) luôn cóphần tử cực tiểu với quan hệ bao hàm.Thật vậy, cho Ω ⊂ V ar(I), Ω 6=

∅ và (Ω, ≺) là tập sắp thứ tự toàn phần Đặt Q = T

P ∈Ω

, Q là iđêanthực sự của X (do Ω 6= ∅)

Ta chứng minh: Q ∈ Spec(X) Thật vậy, cho a ∈ X/Q, b ∈ X sao cho

ab ∈ Q Ta cần chỉ ra b ∈ Q Cho P ∈ Ω suy ra tồn tại P1 ∈ Ω sao cho

a /∈ P1 Do (Ω, ≺) sắp thứ tự toàn phần suy ra P1 ≺ P hoặc P ≺ P1

hay P1 ⊇ P hoặc P ⊇ P1 Không mất tổng quát giả sử P1 ⊂ P Vì

ab ∈ Q suy ra ab ∈ P1 Lại có a /∈ P1 nên b ∈ P1 ⊆ P (do P1 làiđêan nguyên tố) Do P là phần tử bất kì của Ω nên b ∈ Q Suy ra

Q ∈ Spec(X), có Q ⊇ I nên Q ∈ V ar(I)

Q = T

P ∈ΩP ⇒ Q ⊆ P (∀P ∈ Ω) ⇒ P ≺ Ω(∀P ∈ Ω)

Do đó Q là cận trên của (Ω, ≺) nên theo bổ đề Zorn thì (V ar(I), ≺)luôn có ít nhất một phần tử cực đại hay V ar(I) luôn có ít nhất mộtphần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm

Hệ quả 2.4 Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán X Kí hiệutập Min(I) là tập tất cả các iđêan nguyên tố cực tiểu của I

Khi đó ta có √I = T

P ∈Min(I)

P.Chứng minh Do bổ đề (2.3) ta có TP ∈V ar(I)P = √

Φ = {P0 ∈ spec(X)|P ⊇ P0 ⊇ I}

Vì luôn có P ∈ Φ nên Φ 6= ∅ Tập (Φ, ≺) là tập sắp thứ tự từng phần(với quan hệ ≺ được định nghĩa ở trên) Lập luận tương tự như chứngminh trên ta có tập Φ luôn có phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm

và đó cũng là iđêan nguyên tố cực tiểu của I Suy ra tồn tại một iđêannguyên tố cực tiểu P0 của I sao cho P0 ⊆ P với mọi P ∈ V ar(I)

Bổ đề 2.4 Cho P là iđêan nguyên tố của vành giao hoán X và

I1, , I2 là các iđêan của X Các điều kiện sau tương đương:

(i) Tồn tại j để P ⊇ Ij với 1 ≤ j ≤ n

(ii) P ⊇ Tn

i=1

Ii(iii) P ⊇

n

Q

i=1

Ii.Chứng minh (i ⇒ ii) Hiển nhiên

Định lý 2.7 (Định lý tránh nguyên tố)

Cho X là vành giao hoán Các khẳng định sau là đúng