Lý thuyết module trên vành giao hoán

Lời nói đầuHọc phần Lý thuyết module được đưa vào giảng dạy ở Khoa Toán - Lý - Tin,Trường Đại học Tây bắc từ năm 2003 với thời lượng 5 đơn vị học trình, và đến năm 2010 nhà trường chuyển

NGUYỄN ĐÌNH YÊN

LÝ THUYẾT MODULE TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

TÂY BẮC - 2011

.

Mục lục

Mục lục 3

Lời nói đầu 5

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE 7 1.1 Định nghĩa và các ví dụ 7

1.2 Module con 10

1.3 Module thương 13

1.4 Module xoắn 13

1.5 Đồng cấu module 14

1.5.1 Định nghĩa đồng cấu module 14

1.5.2 Hợp thành của hai đồng cấu 16

1.5.3 Ảnh và hạt nhân 17

Bài tập 23

2 TÍCH VÀ TỔNG TRỰC TIẾP, MODULE TỰ DO, DÃY KHỚP 27 2.1 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp 27

2.2 Module tự do 35

2.3 Dãy khớp 40

Bài tập 46

3 HÀM TỬ HOM VÀ HÀM TỬ TENXƠ 51 3.1 Module các đồng cấu 51

3.2 Hàm tử Hom 53

3.3 Tích tenxơ 61

3.4 Hàm tử tenxơ 68

Bài tập 73

4 MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT 75 4.1 Module phẳng 75

4.2 Module xạ ảnh 77

3

4.3 Module nội xạ 82

4.4 Module chia được 87

4.5 Module Noether 90

4.6 Module Artin 94

4.7 Vành và module các thương 95

Bài tập 100

Hướng dẫn giải bài tập 104

Chương 1 104

Chương 2 110

Chương 3 120

Chương 4 125

Tài liệu tham khảo 132

Lời nói đầu

Học phần Lý thuyết module được đưa vào giảng dạy ở Khoa Toán - Lý - Tin,Trường Đại học Tây bắc từ năm 2003 với thời lượng 5 đơn vị học trình, và đến năm

2010 nhà trường chuyển đổi cơ chế đào tạo từ kết hợp niên chế với học phần sangđào tạo theo hệ thống tín chỉ, thì thời lượng của học phần là 3 tín chỉ, với yêu cầutăng cường tính tự học, tự kiểm tra của sinh viên trong quá trình tích lũy kiến thức.Tài liệu này được biên soạn trên cơ sở các bài giảng về Lý thuyết module trênvành giao hoán ở Khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc, với mục đích bổsung thêm tài liệu học tập cho sinh viên Đại học Sư phạm ngành Toán Nội dungcủa sách bao gồm bốn chương

Chương 1 Đại cương về module và đồng cấu module, chương này trìnhbày các khái niệm và tính chất cơ bản về module, module con, module thương, tổng

và giao các module con, hệ sinh, module xoắn, đồng cấu và các định lý đẳng cấumodule

Chương 2 Tích và tổng trực tiếp, module tự do và dãy khớp, chươngnày gồm các vấn đề: xây dựng tích trực tiếp, tổng trực tiếp, dãy khớp, dãy khớp chẻ

ra và chứng minh các tính chất của chúng Ngoài ra chương này cũng trình bày cácvấn đề cơ bản của lớp các module tự do theo trình tự giống như khi khảo sát cáckhông gian véc tơ

Chương 3 Hàm tử Hom và hàm tử tenxơ, Trong chương này chúng ta đixây dựng các khái niệm module các đồng cấu, tích tenxơ của hai module, hàm tửHom, hàm tử tenxơ và chứng minh các tính chất cơ bản của chúng, với một lưu

ý rằng mặc dù "hàm tử" là một khái niệm trong lý thuyết phạm trù mà chúng takhông trực tiếp định nghĩa, nhưng để cho gọn gàng trong cách nói ta lấy tên chương

là hàm tử hom và hàm tử tenxơ, chắc là điều đó không ảnh hưởng gì đến thứ tựtrình bày và nội dung các kiến thức của chương

Chương 4 Một số module đặc biệt, Chương này trình bày các vấn đề cơbản mở đầu về các lớp module đặc biệt: module phẳng, module xạ ảnh, nội xạ,module chia được, module Noether, Artin và module các thương

Hệ thống bài tập cuối mỗi chương được biên soạn khá phong phú bao gồm cácbài tập để sinh viên luyện tập, tự kiểm tra việc lĩnh hội kiến thức và những bài tậpcho sinh viên tham gia vào việc phát triển những hiểu biết về lý thuyết

Để giảm bớt các khó khăn ban đầu trong việc tự học và tự kiểm tra của sinh

5

viên, vành cơ sở của module được nhắc đến luôn giả thiết là giao hoán có đơn vị

1 6= 0 Hệ thống kiến thức cơ bản được chọn lựa một cách tối thiểu, các mệnh đề,định lý được chứng minh tỉ mỉ, chi tiết Ngoài ra cuối sách có hướng dẫn giải hầuhết các bài tập của các chương, để sinh viên tiện đối chiếu trong quá trình tự học

Hy vọng rằng với cách trình bày như vậy tài liệu này sẽ góp phần nâng cao hiệuquả học tập của sinh viên

Tác giả chân thành cám ơn các đồng nghiệp trong bộ môn Đại số khoa Toán

-Lý - Tin Trường Đại học Tây bắc đã đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trong quá trìnhbiên soạn tài liệu này Đặc biệt chúng tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu,Phòng Đào tạo và Quản lý khoa học, Khoa Toán - Lý - Tin đã tạo điều kiện thuậnlợi để chúng tôi hoàn thành giáo trình này

Cuối cùng, do kinh nghiệm khoa học cũng như thời gian còn nhiều hạn chế, chắcrằng tài liệu vẫn còn chứa một số lỗi khác Tác giả mong muốn tiếp tục nhận đượccác ý kiến đóng góp phê bình của các đồng nghiệp và các bạn sinh viên

Sơn la, ngày 15 tháng 7 năm 2012

Tác giả

1.1 Định nghĩa và các ví dụ

Khái niệm module trên một vành là một sự mở rộng của khái niệm không gianvectơ trên một trường Nói rõ hơn là nếu trong định nghĩa khái niệm K−không gianvéc tơ ta thay trường K bởi vành K thì ta được định nghĩa của K− module Từchính sự mở rộng này mà lớp các module chứa lớp các nhóm aben (vì mỗi nhómaben có thể coi như module trên vành số nguyên Z) Ngoài ra mỗi một vành lạicũng có thể coi là một module trên chính nó Qua đó ta thấy cấu trúc module cókhả năng thống nhất các cấu trúc nhóm aben, vành và không gian véc tơ Vì vậy cóthể nói khái niệm module là một trong các khái niệm cơ bản và quan trọng của đại

số hiện đại

Để tạo điều kiện thuận lợi cho người mới bắt đầu làm quen với lý thuyết module,

ta luôn giả thiết rằng vành cơ sở R luôn là một vành giao hoán có đơn vị 1 6= 0

Định nghĩa 1.1 Một nhóm cộng abel M cùng với một ánh xạ gọi là phép nhân với

vô hướng

R × M −→ M(a, x) 7−→ ax7

thỏa mãn các điều kiện sau:

(M1) a(x + y) = ax + ay(M2) (a + b)x = ax + bx(M3) (ab)x = a(bx)(M4) 1x = x

Với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ M gọi là một module trên R hay còn gọi làR−module Nếu vành R đã rõ ràng và không sợ nhầm lẫn thì ta gọi tắt là module.Vành R gọi là vành cơ sở, các phần tử của R gọi là các vô hướng

Ví dụ 1.1 1 Mỗi K−không gian vectơ V là một K−module

2 Mỗi nhóm cộng abel M là một Z−module với phép nhân với vô hướng xácđịnh bởi

4 Giả sử R là một vành và n là số tự nhiên khác 0 Khi đó tập tích Decaster

Đặc biệt, khi n = 1 ta có R là một R−module

5 Tập hợp Matm×n(R) các ma trận cấp m × n với các phần tử thuộc vành R làmột R−module với phép cộng các ma trận cùng cấp và phép nhân vô hướngchính là phép nhân một phần tử của R với ma trận

6 Giả sử K là một vành con của vành R thì R là K−module với phép cộng,phép nhân với vô hướng chính là phép cộng, nhân của chính vành R

7 Nói riêng, vành đa thức R[x] là một R−module

1.1 Định nghĩa và các ví dụ 9

8 Giả sử M là một R−module, S là một tập bất kì Ta gọi E là tập tất cả cácánh xạ từ S vào M Khi đó E là một R−module với hai phép toán cộng vàphép nhân với vô hướng được xác định như sau: với mọi f, g ∈ E, mọi s ∈ S,mọi k ∈ R

(f + g)(s) = f (s) + g(s)(kf )(s) = kf (s)

9 Giả sử f : R −→ S là một đồng cấu vành bảo toàn đơn vị Khi đó với mỗiS−module M sẽ có một cách tự nhiên cấu trúc R−module với phép nhân với

vô hướng được định nghĩa như sau: với mọi a ∈ R, x ∈ M đặt ax = f(a)x

Sau đây là một số tính chất đơn giản của module

Giả sử M là R−module Khi đó ta có:

Tính chất 1.1

0x = 0, ∀x ∈ Ma0 = 0, ∀a ∈ R

Chứng minh Ta có 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, thực hiện luật giản ước trong nhóm

M thì ta được 0x = 0 Tương tự a0 = a(0 + 0) = a0 + a0, thực hiện luật giản ước

Lưu ý rằng trong một R−module, từ đẳng thức ax = 0 không suy ra được a = 0hoặc x = 0 như trong không gian véc tơ

Tính chất 1.2 a(−x) = (−a)x = −ax Với ∀a ∈ R, ∀x ∈ M

Chứng minh Ta có 0 = a.0 = a(x+(−x)) = ax+a(−x) Từ đó ta có a(−x) = −ax.Tương tự, 0 = 0x = (a + (−a))x = ax + (−a)x Từ đó ta có (−a)x = −ax 

Từ tính chất 1.2 và định nghĩa của module ta dễ dàng suy ra tính chất sau:Tính chất 1.3 Với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ M ta có

a(x − y) = ax − ay; (a − b)x = ax − bx

Tương tự như không gian vectơ, khi cho một module thì ta cũng có các kháiniệm module con, module thương, đồng cấu module, khái niệm độc lập tuyến tính,phụ thuộc tuyến tính, hệ sinh và cơ sở Nhưng thay vì trường K là vành R, nênkhông phải bất cứ module nào cũng có cơ sở và tính chất của các khái niệm cũng

có sự thay đổi Chúng ta sẽ lần lượt xem xét các vấn đề đó

1.2 Module con

Định nghĩa 1.2 Một tập con khác rỗng N của một R−module M được gọi làmodule con của M nếu và chỉ nếu nó là một R−module đối với phép toán của Mthu hẹp vào N

Mệnh đề 1.1 (Điều kiện tương đương)

Giả sử M là một R−module, N là một tập con khác rỗng của M Khi đó N làmodule con của M khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn

1 x + y ∈ N với mọi x, y ∈ N

2 ax ∈ N với mọi x ∈ N; a ∈ R

Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên

Điều kiện đủ: Giả sử N là tập con của R−module M thỏa mãn các điều kiện(1) và (2) Khi đó với mọi x, y ∈ N có x và −y thuộc N suy ra x − y ∈ N và do đó

N là một nhóm con của nhóm cộng Abel M, nói riêng N là một nhóm cộng Aben.Điều kiện (2) xác định một ánh xạ

R × N −→ N(a, x) 7−→ ax

Do các điều kiện trong định nghĩa của một module được thỏa mãn trong M, nêncũng thỏa mãn trong N Vậy N là một R−module và do đó là module con của M.

Hệ quả 1.1 Một bộ phận N 6= ∅ của R−module M là một module con của M nếu

và chỉ nếu với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ N đều có ax + by ∈ N

Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên

Điều kiện đủ: Giả sử N ⊂ M thỏa mãn ax + by ∈ N với mọi a, b ∈ R và với mọi

x, y ∈ N Ta chọn b = 0 thì ta được ax ∈ N, ∀x ∈ N, ∀a ∈ R Ta lại chọn a = b = 1thì được x + y ∈ N, ∀x, y ∈ N Như vậy các điều kiện của mệnh đề 1.1 được thỏa

Ví dụ 1.2 1 Giả sử M là một R−module Khi đó M và {0} là các module concủa M Chúng được gọi là các module con tầm thường

2 Vành R được xem như một R−module thì các module con của R chính là cácideal của R

3 Nếu M là một nhóm cộng abel, ta xem nó như là một Z−module, thì cácmodule con của M chính là các nhóm con của M

Mệnh đề 1.2 Giả sử M là một R−module và {Ni}i∈I là một họ các module concủa M Khi đó N = T

i∈I

Ni là một module con của M

1.2 Module con 11Chứng minh Ta có 0 ∈ Ni với ∀i ∈ I nên 0 ∈ T

i∈I

Ni = N, vậy N 6= ∅ Mặt khácvới mọi x, y ∈ N có x, y ∈ Ni; ∀i ∈ I, do Ni là module con của M nên với mọi

Nếu < S >= M thì S được gọi là tập sinh hay hệ sinh của M

Nếu hệ sinh S của M chỉ gồm hữu hạn phần tử thì M được gọi là module hữuhạn sinh hay là module có kiểu hữu hạn

Đặc biệt nếu hệ sinh S chỉ gồm một phần tử là s thì M gọi là module xiclic và

s gọi là phần tử sinh Ta viết M =< s > hay M = Rs

Để mô tả module con sinh bởi một bộ phận S, ta cần một số khái niệm sau:Giả sử I là một tập chỉ số tùy ý khác tập rỗng và (xi)i∈I là một họ phần tử củavành cơ sở hoặc của module Tập con I0 = {i ∈ I| xi 6= 0} gọi là giá của họ phần tử(xi)i∈I.Nếu I0 là tập hữu hạn thì ta nói họ phần tử (xi)i∈I có giá hữu hạn Khi đó

ta định nghĩa tổng của họ phần tử (xi)i∈I như sau:

Vì I0 là tập hữu hạn nên tổng ở vế phải của (1.1) là có nghĩa

Giả sử (xi)i∈I là một họ phần tử của R−module M Phần tử x ∈ M gọi là một

tổ hợp tuyến tính của họ (xi)i∈I nếu tồn tại họ phần tử (ai)i∈I của R với giá hữuhạn sao cho

x =X

i∈I

Khi đó ta nói x biểu thị tuyến tính qua các phần tử của họ (xi)i∈I và ai gọi làcác hệ tử trong R của x.

Chú ý về mặt thuật ngữ, ta nói họ phần tử (xi)i∈I "có giá hữu hạn" cùng nghĩavới cách nói "xi = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn i ∈ I."

Bây giờ ta có thể mô tả module con sinh bởi một tập nhờ định lí sau:

Định lý 1.1 Giả sử M là một R−module và S 6= ∅ là một bộ phận của M Modulecon của M sinh bởi S là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của

S với hệ tử trong R Tức là

< S >=

(X

Định nghĩa 1.4 Cho (Mi)i∈I là một họ các module con của M Khi đó module concủa M sinh bởi tập S = S

Mi là module con bé nhất của M chứa tất

cả các module con Mi Từ đó suy ra Mi+ M = M, Mi+ 0 = Mi và

s∈S

asxs,trong mỗi tổ hợp tuyến tính P

s∈S

asxs, ta nhóm tất

1.3 Module thương 13

cả các phần tử cùng thuộc Mi với nhau và đặt là xi.Khi đó tổng P

s∈S

asxs được viếtthành P

i∈I

Mi dưới dạng P

i∈I

xi là không duy nhất,tức là có thể có đẳng thức P

x − x′ ∈ N, do đó a(x − x′) = ax − ax′ ∈ N điều này kéo theo ax + N = ax′+ N

Dễ dàng kiểm tra được nhóm cộng abel M/N cùng với phép nhân với vô hướngnhư trên là một R−module Module M/N được gọi là module thương của M trên

N Phần tử x + N ∈ M/N thường được ký hiệu bởi x

1.4 Module xoắn

Định nghĩa 1.5 Cho R là một miền nguyên, M là R−module Phần tử x ∈ Mđược gọi là phần tử xoắn nếu tồn tại λ ∈ R − {0} sao cho λx = 0 Module M gọi làmodule xoắn nếu mọi phần tử của M đều là phần tử xoắn M gọi là module khôngxoắn nếu M không có phần tử xoắn khác 0

Nếu ta ký hiệu τ(M) là tập tất cả các phần tử xoắn của M, thì M là modulexoắn khi và chỉ khi τ(M) = M và M là module không xoắn khi và chỉ khi τ(M) = 0

Ví dụ 1.3 1 Z−module Z là module không xoắn

2 Z−module Zn là module xoắn

3 Mọi module con của module xoắn (không xoắn) đều là module xoắn (khôngxoắn)

Chú ý rằng, khái niệm "module xoắn" và "module không xoắn" không phải làhai khái niệm phủ định nhau.

Mệnh đề 1.3 Giả sử R là một miền nguyên và M là R−module Khi đó ta có:

1 τ(M) là một module con của M

2 M/τ(M) là module không xoắn

Chứng minh 1 Ta có τ(M) 6= ∅ vì 0 ∈ τ(M) Mặt khác, với mọi x, y ∈ τ(M) vàvới mọi a, b ∈ R thì tồn tại các phần tử khác không λ, µ ∈ R sao cho λx = µy = 0

Vì R là một miền nguyên nên λµ 6= 0 và ta có

λµ(ax + by) = λµax + λµby = µa(λx) + λb(µy) = 0suy ra ax + by ∈ τ(M) Vậy τ(M) là một module con của M

2 Với mọi x ∈ τ M/τ(M)
thì tồn tại 0 6= λ ∈ R sao cho

1.5.1 Định nghĩa đồng cấu module

Định nghĩa 1.6 Cho M và N là các R−module Khi đó ánh xạ f : M −→ N đượcgọi là ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu R−module nếu f thỏa mãn đồng thời hai điềukiện sau:

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ M

f (ax) = af (x), ∀a ∈ R, ∀x ∈ M

Một đồng cấu R−module còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không cần thiếtphải chỉ rõ vành cơ sở

Đồng cấu f được gọi là tự đồng cấu của M nếu N = M

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (tương ứng là toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơnánh (tương ứng là toàn ánh, song ánh) Khi f là đẳng cấu thì ta nói M đẳng cấuvới N và ta viết M ∼= N

1.5 Đồng cấu module 15Nhận xét 1.3 1 Hai điều kiện nêu trong định nghĩa 1.6 tương đương với mộtđiều kiện sau:

f (ax + by) = af (x) + bf (y); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ MThậy vậy, nếu f là một đồng cấu thì với mọi a, b ∈ R; x, y ∈ M ta có

f (ax + by) = f (ax) + f (by) = af (x) + bf (y)Ngược lại, nếu có f(ax + by) = af(x) + bf(y); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M thì

f (x + y) = f (1x) + f (1y) = 1f (x) + 1f (y) = f (x) + f (y)và

f (ax) = f (ax + 0y) = af (x) + 0f (y) = af (x)

là một đồng cấu và được gọi là phép vị tự tỉ số a.

5 Giả sử N là module con của R−module M Khi đó ánh xạ:

là một đơn cấu và được gọi đơn cấu chính tắc hay phép nhúng chính tắc

1.5.2 Hợp thành của hai đồng cấu

Mệnh đề 1.4 Nếu f : M −→ N, g : N −→ U là những đồng cấu R−module thìhợp thành của chúng là gf cũng là một đồng cấu R−module Hơn nữa nếu f, g lànhững đẳng cấu thì gf cũng là đẳng cấu; Ánh xạ ngược f−1 của đẳng cấu f cũng

là một đẳng cấu

Chứng minh Với ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M ta có

gf (ax + by) = g f (ax + by)
= g af(x) + bf(y)

= ag f (x)
+ bg f (y)
= agf (x) + bgf (y)Điều này chứng tỏ gf là một đồng cấu R−module

Nếu f, g là các song ánh thì gf cũng là song ánh Tức là nếu f, g là các đẳngcấu thì gf là đẳng cấu

Nếu f là đẳng cấu thì trước hết f−1 là song ánh Hơn nữa ta có: với ∀a, b ∈R; ∀x, y ∈ N thì tồn tại duy nhất x′, y′ ∈ M sao cho f(x′) = x, f (y′) = y suy ra

x′ = f−1(x), y′ = f−1(y) Do đó ta có f (ax′+ by′) = af (x′) + bf (y′) = ax + by hay

là f−1(ax + by) = ax′+ by′ = af−1(x) + bf−1(y) Vậy f−1 là một đẳng cấu 

Mệnh đề 1.5 Giả sử f : M −→ N là đồng cấu R−module U, V tương ứng làmodule con của M, N Khi đó ta có:

1 f(U) là module con của N

2 f−1(V ) = {x ∈ M| f (x) ∈ V } là module con của M

Chứng minh 1 Ta có f(U) 6= ∅ vì 0 ∈ U nên f(0) ∈ f(U)

Với mọi x, y ∈ f(U) luôn tồn tại u, v ∈ U sao cho x = f(u), y = f(v) Vì f làđồng cấu, do đó với mọi a, b ∈ R ta có ax + by = af(u) + bf(v) = f(au + bv)

Vì U là module con của M nên au + bv ∈ U, suy ra ax + by = f(au + bv) ∈ f(U).Vậy f(U) là module con của N

Nhận xét 1.4 Vì mỗi đồng cấu f : M −→ N là một đồng cấu nhóm cộng nên ta

có f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = 0 và f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = N.Định lý 1.3 Giả sử f : M −→ N là R−đồng cấu module Khi đó hai tính chấtsau là tương đương

1 f là đơn cấu

2 f giản ước được bên trái, nghĩa là với mọi đồng cấu g1, g2 : L −→ M thỏamãn đẳng thức fg1 = f g2 đều kéo theo g1 = g2

Chứng minh (1 ⇒ 2) Giả sử f là đơn cấu và fg1 = f g2 với g1, g2 : L −→ M

là các đồng cấu Khi đó ta có ∀x ∈ L, fg1(x) = f g2(x) do f là đơn cấu nên suy ra

g1(x) = g2(x) Điều này chứng tỏ g1 = g2

(2 ⇒ 1) Giả sử f giản ước được bên trái và f(x) = f(x′) suy ra f (x − x′) = 0.Đặt L = R(x − x′) và g1 : L −→ M là phép nhúng chính tắc còn g2 : L −→ M

là đồng cấu không Khi đó dễ thấy fg1 = f g2, Do f giản ước được bên trái nên

g1 = g2 Từ đó suy ra x − x′ = g1(x − x′) = g2(x − x′) = 0 hay x = x′.Vậy f là đơn

Định lý 1.4 Giả sử f : M −→ N là đồng cấu module Khi đó hai tính chất sau làtương đương.

1 f là toàn cấu

2 f giản ước được bên phải, nghĩa là mọi đồng cấu g1, g2 : N −→ L thỏa mãnđẳng thức g1f = g2f đều kéo theo g1 = g2

Chứng minh 1 ⇒ 2 Vì f là toàn cấu nên với mọi y ∈ N luôn tồn tại x ∈ M

để f(x) = y Do đó g1(y) = g1f (x) = g2f (x) = g2(y), suy ra g1 = g2

2 ⇒ 1 Đặt L = N/Imf và g1 : N −→ L là phép chiếu chính tắc còn

g2 : N −→ L là đồng cấu không Khi đó dễ thấy g1f = g2f = 0 Thực hiện giản ước

f ở bên phải ta được g1 = g2 và suy ra L = 0, hay N = Imf Vậy f là toàn cấu Định lý 1.5 (Định lý đồng cấu tổng quát)

Giả sử M, N, L là các R−module và f : L −→ M, g : L −→ N là các R−đồngcấu module, trong đó f là toàn cấu Khi đó

1 Tồn tại duy nhất đồng cấu h : M −→ N sao cho biểu đồ sau là giao hoán

2 h là đơn cấu nếu và chỉ nếu Kerf = Kerg

3 h là toàn cấu nếu và chỉ nếu g là toàn cấu

Chứng minh 1 (=⇒) Giả sử có đồng cấu h : M −→ N sao cho g = hf Khi đóvới mọi x ∈ Kerf có f(x) = 0 nên suy ra g(x) = hf(x) = h f(x)
= h(0) = 0 Do

đó x ∈ Kerg Vậy Kerf ⊆ Kerg

(⇐=) Giả sử Kerf ⊆ Kerg Khi đó với mọi y ∈ M thì tồn tại x ∈ L sao cho

y = f (x) (do f là toàn cấu) Ta đặt h : M −→ N xác định bởi mỗi y ∈ M chotương ứng với g(x) hay h(y) = g(x) Khi đó:

• h là một ánh xạ, thật vậy

Với mọi y1 = f (x1), y2 = f (x2) ∈ M, nếu y1 = y2 thì f(x1) = f (x2) suy

ra f(x1 − x2) = f (x1) − f (x2) = 0 từ đó x1 − x2 ∈ Kerf ⊆ Kerg suy rag(x1) − g(x2) = g(x1− x2) = 0 hay g(x1) = g(x2) và do đó h(y1) = h(y2)

1.5 Đồng cấu module 19

• h là một đồng cấu, thật vậy

Với mọi a, b ∈ R và với mọi y1, y2 ∈ M thì tồn tại x1, x2 ∈ L sao cho y1 =

f (x1), y2 = f (x2) Do f là một đồng cấu nên ay1 + by2 = f (ax1 + bx2) Từ

đó, theo cách xác định của ánh xạ h ta có h(ay1 + by2) = g(ax1 + bx2) =ag(x1) + bg(x2) = ah(y1) + bh(y2)

• g = hf vì với x ∈ L đặt y = f (x) ∈ M thì g(x) = h(y) = h f (x)
= hf(x)

• hlà duy nhất vì nếu còn có đồng cấu h′ : M −→ N sao cho g = h′f = hf thì

từ giả thiết f là toàn cấu nên giản ước được bên phải suy ra h′ = h

2 Ta có x ∈ Kerg khi và chỉ khi g(x) = hf(x) = h f(x)
= 0 hay f(x) ∈ Kerh

Từ đó ta có Kerh = 0 tương đương f(x) = 0 hay là x ∈ Kerf Do đó Kerg ⊆ Kerf.Kết hợp với giả thiết Kerf ⊆ Kerg thì ta có Kerf = Kerg

3 Do f là toàn cấu nên ta có h là toàn cấu khi và chỉ khi h(M) = N hay

hf (L) = N tương đương g(L) = N Điều này chứng tỏ h là toàn cấu khi và chỉ khi

Định lý 1.6 (Định lí đồng cấu module) Giả sử f : M −→ N là một đồng cấuR−module và p : M −→ M/Kerf là toàn cấu chính tắc Khi đó tồn tại duy nhấtmột đơn cấu h : M/Kerf −→ N sao cho biểu đồ sau giao hoán

Tiếp tục áp dụng phần 3 của Định lí 1.5 thì h là đẳng cấu khi và chỉ khi f là

Hệ quả 1.3 Giả sử f : M −→ N là một đồng cấu module Khi đó ta luôn cóM/Kerf ∼= Imf

Định lý 1.7 (Tính chất phổ dụng của module thương)

Giả sử N là module con của module M và p : M −→ M/N là toàn cấu chínhtắc Khi đó với mỗi đồng cấu f : M −→ P sao cho N ⊆ Kerf, thì tồn tại duy nhấtmột đồng cấu h : M/N −→ P sao cho f = hp Nghĩa là biểu đồ sau là giao hoán

M/Nf

Chứng minh Định lí được suy ra trực tiếp từ định lí đồng cấu tổng quát Định lý 1.8 (Định lí đẳng cấu thứ nhất)

Nếu N, P là các module con của R−module M thì ta có đẳng cấu sau

(N + P )/N ∼= P/(N ∩ P )Chứng minh Ta xét đồng cấu

f : P −→ (N + P )/N

p 7−→ p + NKhi đó với mọi x + N ∈ (N + P )/N thì tồn tại n ∈ N, p ∈ P sao cho

Giả sử N, P là các module con của R−module M sao cho N ⊂ P Khi đó ta cóđẳng cấu

M/P ∼= (M/N)/(P/N)Chứng minh Xét tương ứng

Định lý 1.10 (Tính chất phổ dụng của hạt nhân và đối hạt nhân)

1 Trong biểu đồ các đồng cấu module sau:

L

g

nếu gf = 0 và i là phép nhúng chính tắc thì tồn tại duy nhất một đồng cấu

h : L −→ Kerf sao cho ih = g Nghĩa là biểu đồ sau là giao hoán

L

gh

2 Trong biểu đồ các đồng cấu module sau

Chứng minh 1 Vì fg = 0 nên Img ⊂ Kerf Do đó ta đặt tương ứng h : L −→ Kerfxác định bởi h(x) = g(x) Rõ ràng ta có h(x) = g(x) = ih(x) Suy ra g = ih

2 Vì gf = 0 nên Imf ⊂ Kerg Theo định lí 1.7 về tính chất phổ dụng của modulethương M/Imf = Cokerf, thì tồn tại duy nhất đồng cấu h : Cokerf −→ P sao cho

Bài tập

Cũng như quy ước ban đầu, các bài tập đưa ra dưới đây được xét với vành cơ

sở luôn giao hoán và có đơn vị 1 6= 0

⊲ 1.1 Cho R là một vành, M là một Z−module và HomZ(M, M) là vành các tựđồng cấu của nhóm cộng aben M Chứng minh rằng M là R−module khi và chỉ khitồn tại một đồng cấu vành ϕ : R −→ HomZ(M, M) sao cho ϕ(1) = 1M

⊲ 1.2 Chứng minh rằng trong 8 tiên đề của định nghĩa module, gồm 4 tiên đề vềnhóm cộng giao hoán và 4 tiên đề (M1) − (M4), ta có thể bỏ đi tiên đề giao hoáncủa phép cộng Nói cách khác, tiên đề này được suy ra từ 7 tiên đề còn lại

⊲ 1.3 Cho M là R−module, A là một ideal của R Chứng minh rằng với x ∈ Mthì Ax = {ax| a ∈ A} là module con của M

⊲ 1.4 Giả sử M là một R−module, N là module con của M và I là một ideal của

R Ta ký hiệu

N : I =x ∈ M | ax ∈ N với mọi a ∈ I Ann(M/N) =a ∈ R | a(x + N) = N với mọi x ∈ M Chứng minh rằng

1 N : I là một module con của M chứa N

2 Ann(M/N) là một ideal của R

3 N : I = M khi và chỉ khi I ⊆ Ann(M/N)

⊲ 1.5 Cho M là R−module và x ∈ M Ký hiệu Ann(x) = {a ∈ R | ax = 0} gọi làlinh hóa tử của phần tử x hay cái triệt của x

1 Chứng minh rằng Ann(x) là một ideal của R

⊲ 1.6 Giả sử M là R−module, phần tử x ∈ M được gọi là tuần hoàn nếu và chỉnếu Ann(x) 6= 0 Chứng minh rằng nếu R là miền nguyên thì M là module xoắnkhi và chỉ khi mọi phần tử của M đều tuần hoàn.

⊲ 1.7 Cho I là một tập con khác rỗng của R và S là tập con khác rỗng củaR−module M Ta ký hiệu:

Chứng minh rằng IS là module con của M nếu I là một ideal của R hoặc S là mộtmodule con của M Đặc biệt RS là module con của M sinh bởi S

⊲ 1.8 Cho R là một miền nguyên và M là một R−module sinh bởi tập S Chứngminh rằng M là một module xoắn nếu và chỉ nếu các phần tử của S là các phần tửxoắn

⊲ 1.9 Cho f, g : M −→ N là các đồng cấu R−module Chứng minh rằng tập

A = {x ∈ M| f (x) = g(x)} là một module con của M

⊲ 1.10 Một R−module M khác 0 được gọi là module đơn nếu nó chỉ có hai modulecon là 0 và chính nó Chứng minh rằng nếu M là một module đơn và f : M −→ N

là một đồng cấu thì:

1 Imf là module con đơn của N

2 Nếu Imf 6= 0 thì f là đơn cấu

3 Nếu N cũng là module đơn thì hoặc f là đồng cấu không, hoặc f là đẳng cấu

⊲ 1.11 Giả sử M là một R−module khác 0 Chứng minh rằng các mệnh đề sau làtương đương:

1 M là module đơn

2 Mọi đồng cấu khác không f : M −→ N luôn là đơn cấu

3 Mọi đồng cấu khác không g : N −→ M luôn là toàn cấu

⊲ 1.12 Giả sử N là module con của R−module M Chứng minh rằng:

1 Nếu M hữu hạn sinh thì M/N cũng hữu hạn sinh

2 Nếu M/N và N đều hữu hạn sinh thì M là hữu hạn sinh

⊲ 1.13 Giả sử M1, M2 là các module con của R−module M Chứng minh rằng nếu

M1+ M2 và M1 ∩ M2 là hữu hạn sinh thì M1 và M2 cũng hữu hạn sinh

⊲ 1.14 Giả sử M1, M2 là các module con của R−module M Chứng minh rằng

M1∪ M2 là module con của M khi và chỉ khi M1 ⊂ M2 hoặc M2 ⊂ M1

1.5 Đồng cấu module 25

⊲ 1.15 Chứng minh rằng mỗi đồng cấu module là duy nhất xác định bởi ảnh củamột tập sinh Nghĩa là nếu S là tập sinh của R−module M và f, g : M −→ N làcác đồng cấu module sao cho f(s) = g(s) với mọi s ∈ S thì f = g

Tuy nhiên, không phải mọi ánh xạ ϕ : S −→ N đều có thể mở rộng thành đồngcấu từ M vào N Tìm điều kiện để ϕ mở rộng được thành đồng cấu từ M vào N

⊲ 1.16 Giả sử M, M′ là các R−module và N, N′ tương ứng là module con của

M, M′.Giả sử M ∼= M′ và N ∼= N′ thì có kết luận M/N ∼= M′/N′ được hay không?

⊲ 1.17 Chứng minh luật modular: nếu A, B, C là các module con của R−module

M với B ⊂ C, thì

(A + B) ∩ C = (A ∩ C) + BCho ví dụ chứng tỏ rằng đẳng thức

(A + B) ∩ C = (A ∩ C) + (B ∩ C)nói chung không đúng khi bỏ đi giả thiết B ⊂ C

⊲1.18 Ta gọi một module con của R−module M là tối đại nếu N 6= M và nó khôngchứa trong một module con thực sự nào của M Chứng minh rằng mỗi R−module

M 6= 0 hữu hạn sinh đều chứa ít nhất một module con tối đại

⊲ 1.19 Giả sử M là một R− module và N là module con thực sự của M Chứngminh rằng với mỗi a ∈ M \ N luôn tồn tại module con tối đại P của M chứa N màkhông chứa a

⊲ 1.20 Chứng minh rằng trong Z−module Q các số hữu tỷ không có module contối đại

⊲ 1.21 Giả sử f : M −→ N là một toàn cấu R−module và P là một module concủa M Chứng minh rằng:

1 Nếu P ∩ kerf = 0 thì f|P : P −→ N là một đơn cấu

2 Nếu P + kerf = M thì f|P : P −→ N là một toàn cấu

⊲ 1.22 Giả sử ϕ : M −→ N là một đồng cấu R−module và U, V tương ứng là cácmodule con của M, N Chứng minh rằng:

⊲ 1.24 Giả sử M, N là các R−module và f : M −→ N là một đồng cấu Chứngminh rằng nếu P là một module con của N thì tương ứng

f : M/f−1(P ) −→ N/P

x + f−1(P ) 7→ f (x) + P

là một đơn cấu R−module Hơn nữa, nếu f là một toàn cấu thì f là một đẳng cấu

⊲ 1.25 Giả sử M là một R−module, khi đó với mỗi a ∈ R ta có một ánh xạ

f : M −→ M cho bởi fa(x) = ax với mọi x ∈ M Chứng minh rằng

1 fa là một tự đồng cấu của M

2 fab= fafb và fa+b= fa+ fb

3 Nếu a là phần tử khả nghịch thì fa là một tự đẳng cấu

——————————————————————————————————

Chương 2

TÍCH VÀ TỔNG TRỰC TIẾP,

MODULE TỰ DO, DÃY KHỚP

Trong lí thuyết module có hai hướng nghiên cứu là phân tích các module chotrước thành các module con đặc biệt đơn giản hơn để từ đó khảo sát, nghiên cứu.Hướng thứ hai là xây dựng các module mới từ hệ các module đã cho mà tổng vàtích trực tiếp là các module như vậy, chúng có khả năng biến một hệ các modulecho trước tùy ý thành một hệ các module con của cùng một module Còn dãy khớp

là một công cụ để khảo sát và tìm hiểu các thông tin về module Chương này xâydựng tích trực tiếp, tổng trực tiếp, dãy khớp, dãy khớp chẻ ra và chứng minh cáctính chất cơ bản của chúng Ngoài ra chương này cũng trình bày các vấn đề cơ bảncủa lớp các module tự do theo trình tự giống như khi ta khảo sát các không gianvéc tơ

cùng với phép cộng và nhân với vô hướng theo thành phần như sau:

(xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi+ yi)i∈I

a(xi)i∈I = (axi)i∈I

là một R−module, module này được gọi là tích trực tiếp của họ module (Mi)i∈I.Nếu Mi = M với mọi i ∈ I thì ta kí hiệu Q

• f là đồng cấu vì với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ M thì:

f (ax + by) = (fi(ax + by))i∈I = (afi(x) + bfi(y))i∈I

= a (fi(x))i∈I + b (fi(y))i∈I = af (x) + bf (y)

• Với mọi x ∈ M và mọi j ∈ I ta có pjf (x) = pj(fi(x))i∈I = fj(x) suy ra

pjf = fj với mọi j ∈ I

• Nếu tồn tại đồng cấu g : M −→ Q

i∈I

Mi sao cho pjg = fj thì với mọi x ∈ M

có pjg(x) = fj(x) = pjf (x) Điều này chứng tỏ thành phần thứ i của f (x) vàcủa g(x) là trùng nhau Do đó f(x) = g(x); ∀x ∈ M Vậy f = g 

2.1 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp 29Mệnh đề và định nghĩa 2.1 Giả sử (Mi)i∈I và (Ni)i∈I là các họ R−module và{fi : Mi −→ Ni | i ∈ I} là một họ các đồng cấu Khi đó ánh xạ

là một đồng cấu module, đồng cấu này được gọi là tích trực tiếp của họ các đồngcấu module (fi)i∈I Kí hiệu Q

Với mọi a, b ∈ R và với mọi (xi)I, (yi)I ∈ Q

Mi và được gọi là tổng trựctiếp ngoài của họ (Mi)I Kí hiệu L

Định lý 2.2 (Tính chất phổ dụng của tổng trực tiếp) Cho ϕk : Mk −→L

Chứng minh Trước hết ta thấy nếu (xi)I ∈L

I

(Mi) thì fi(xi)I
∈ L

I

(Ni) do đótương ứng f là một ánh xạ Bây giờ ta lặp lại phép chứng minh của mệnh đề 2.1trong đó, các tích trực tiếp được thay bằng tổng trực tiếp, thì thu được kết quả là

f là một đồng cấu có ảnh và hạt nhân thỏa mãn

fi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) khi và chỉ khi fi

là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) với mọi i ∈ I Nhận xét 2.4 Đồng cấu f xác định như trên là duy nhất làm cho biểu đồ sau làgiao hoán với mọi k

2.1 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp 33

4 M là tổng trực tiếp trong của họ các module con (Mi)I

Chứng minh (1 =⇒ 2) Do f là đẳng cấu nên với mỗi x ∈ M tồn tại duy nhất(xi)I ∈L

I

Mi sao cho f((xi)I) = x suy ra x =P

I

xi.(2 =⇒ 3) Vì mỗi x ∈ M đều có dạng x = P

I

Mi ⊂ M ta thu được M = P

I

Mi.Mặt khác, sự biểu diễn x = P

I

Mi Mặt khác tổngtrực tiếp ngoài M = L

ϕipi là có nghĩa vì theo định nghĩa tổng trực tiếp ngoài thì với mỗi

x ∈ M, ϕipi(x) = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn i ∈ I Từ ϕi là nhúng chính tắc nên

ta có thể đồng nhất Mi với ϕi(Mi) Khi đó M là tổng trực tiếp trong của các Mi.Chính vì lẽ đó khi nói đến tổng trực tiếp ta không chỉ quan tâm đến module tổng

mà còn phải lưu ý đến các ánh xạ nhúng và chiếu ϕi, pi

Định nghĩa 2.3 (Hạng tử trực tiếp) Module con N của module M được gọi làhạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại module con P của M sao cho M = N L P

Module M 6= 0 được gọi là module không phân tích được nếu và chỉ nếu M chỉ cóhai hạng tử trực tiếp là 0 và chính nó

Ví dụ 2.1 1 Giả sử M là R−không gian vectơ hữu hạn chiều với cơ sở {xi}n

i=1

thì hiển nhiên ta có M =Ln

i=1

Rxi.Dễ thấy rằng mọi không gian vectơ con của

M đều có không gian con phụ

2 Xét Z−module Z, ta có mọi module con của nó đều có dạng mZ, với m ∈ N.Nếu m 6= 0, m 6= 1 thì có mZ không là hạng tử trực tiếp Thật vậy, nếu

Z= mZL nZ thì từ mn ∈ mZ ∩ nZ = 0 suy ra n = 0 và do đó mZ = Z tức

là m = 1 Điều này mâu thuẫn

Định lý 2.4 Giả sử M là R−module, N là module con của M Khi đó các điềukiện sau là tương đương

1 N là hạng tử trực tiếp của M

2 Tồn tại đồng cấu ϕ : M −→ M sao cho ϕ2 = ϕ và Imϕ = N

3 Tồn tại đồng cấu ψ : M −→ N sao cho ψ(x) = x với mọi x ∈ N

Chứng minh (1 =⇒ 2) Giả sử M = N L P Khi đó mỗi x ∈ M đều biểu diễnđược duy nhất dưới dạng x = n + p với n ∈ N, p ∈ P Từ đó ta có ánh xạ

ϕ : M −→ M

n + p 7−→ n

Dễ dàng kiểm tra được ϕ là một đồng cấu thỏa mãn các điều kiện trong 2

(2 =⇒ 3) Vì Imϕ = N nên ϕ cảm sinh một đồng cấu ψ : M −→ N xác định bởiψ(x) = ϕ(x) với mọi x ∈ M (ϕ và ψ chỉ khác nhau ở tập đích) Với ∀x ∈ N = Imϕ,tồn tại y ∈ M sao cho ϕ(y) = x suy ra ψ(x) = ϕ(x) = ϕ(ϕ(y)) = ϕ(y) = x

(3 =⇒ 1) Đặt P = Kerψ, thì có N ∩ P = 0 Thật vậy, nếu x ∈ N ∩ P thì x ∈ N

2.2 Module tự do 352.2 Module tự do

Định nghĩa 2.4 (Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính) Cho M làmột R−module và S là một tập con của M Ta nói rằng

1 S là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu từ hữu hạn phần tử phân biệt tùy ý(nếu có) x1, x2, · · · , xn∈ S thỏa mãn đẳng thức a1x1+ a2x2 + · · · + anxn = 0(ai ∈ R, i = 1, 2, · · · , n) luôn kéo theo a1 = a2 = · · · = an= 0

2 S không độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính Điều đó cónghĩa là S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu tồn tại hữu hạn phần

tử phân biệt x1, x2, · · · , xn∈ S thỏa mãn đẳng thức a1x1+a2x2+· · ·+anxn= 0,(ai ∈ R, i = 1, 2, · · · , n) với ít nhất một phần tử ai 6= 0

Chú ý 2.2 1 Các đẳng thức về tổng hữu hạn trong định nghĩa trên thườngđược viết dưới dạng P

3 Mọi tập chứa phần tử 0 luôn phụ thuộc tuyến tính vì 1.0 = 0

4 Nếu tập S là độc lập tuyến tính thì không có phần tử nào của S biểu thị tuyếntính qua các phần tử còn lại của S

5 Tập ∅ là tập độc lập tuyến tính Vì không tồn tại hữu hạn phần tử phân biệt

x1, x2, · · · , xn ∈ Sđể thỏa mãn đẳng thức a1x1+ a2x2+ · · · + anxn = 0, ai ∈ Rvới ít nhất ai 6= 0

Định nghĩa 2.5 Tập sinh S của module M được gọi là tối tiểu nếu mọi tập conthực sự của S đều không phải là tập sinh của M

Tập con S của M được gọi là tập độc lập tuyến tính tối đại nếu S là tập độc lậptuyến tính và mọi tập con của M thực sự chứa S đều phụ thuộc tuyến tính

Tập con S của module M được gọi là cơ sở của M nếu S là tập sinh và độc lậptuyến tính

M được gọi là module tự do nếu nó có một cơ sở

Mệnh đề 2.2 Giả sử M là R−module Khi đó S là cơ sở của M nếu và chỉ nếuvới mỗi x ∈ M đều biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua các phần tử của S.Chứng minh Nếu S là cơ sở của M thì S là tập sinh độc lập tuyến tính của M,nên mọi phần tử của M đều biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua các phần

tử của S

Ngược lại, nếu mỗi phần tử của M biểu thị tuyến tính một cách duy nhất quacác phần tử của S thì rõ ràng S là hệ sinh độc lập tuyến tính và do đó S là cơ sở

Ví dụ 2.2 1 R−module R là một module tự do với cơ sở S = {1}.

2 Z−module Zn,với n > 1 không có cơ sử vì mọi tập con S 6= ∅ của nó đều phụthuộc tuyến tính, do với ∀x ∈ S đều có nx = 0 Vậy Z−module Zn không làmodule tự do

3 Module 0 có cơ sở là tập rồng ∅ nên là module tự do

4 Z−module Q không có cơ sở Thật vậy, mọi tập gồm hai phần tử khác không

x, y của Q, x = m

n, y =

p

q đều phụ thuộc tuyến tính vì (np)x − (mq)y = 0

Do đó Z−module Q nếu có cơ sở thì đó là tập chỉ gồm một phần tử Nhưngmọi tập gồm một phần tử đều không là tập sinh Vậy Z−module Q không làmodule tự do

5 R−module Rn là module tự do với cơ sở là {e1, e2, · · · , en} gọi là cơ sở chínhtắc, (trong đó e1 = (1, 0, · · · , 0), e2= (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 0, 1))

6 Tổng quát hơn, ta xét R(I) =L

I

Ri, Ri = R, ∀i ∈ I là R−module tự do với cơ

sở là {ei}i∈I gọi là cơ sở chính tắc, trong đó ei = (ak)k∈I, ak=

Module R(I) được gọi là module tự do sinh bởi tập I Ta có thể xem I là cơ

sở của R(I) bởi phép nhúng i 7−→ ei

Định lý 2.5 (Tính chất phổ dụng) Giả sử S là cơ sở của R−module tự do M,

và N là một R−module tùy ý Khi đó mỗi ánh xạ f : S −→ N đều mở rộng đượcmột cách duy nhất thành một đồng cấu g : M −→ N

Chứng minh Mệnh đề hiển nhiên đúng khi S = ∅, vì lúc đó M = 0 Giả sử S 6= ∅,

ta xét tương ứng

g : M −→ NX

2.2 Module tự do 37bởi vì với ∀a, b ∈ R và x, y ∈ M : x = P

Hệ quả 2.1 Giả sử M là R−module tự do với cơ sở S = (xi)I và (yi)I là một họphần tử tùy ý của R−module N Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu ϕ : M −→ Nsao cho ϕ(xi) = yi với ∀i ∈ I

Chứng minh Áp dụng định lí 2.5 cho ánh xạ

f : S −→ N

xi 7−→ yi

Hệ quả 2.2 Hai R−module tự do có các cơ sở cùng lực lượng thì đẳng cấu vớinhau

Chứng minh Giả sử M và N là các R−module tự do có cơ sở tương ứng là(xi)I, (yi)I Theo hệ quả 2.1 thì tồn tại duy nhất các đồng cấu ϕ : M −→ N và

ψ : N −→ M sao cho ϕ(xi) = yi và ψ(yi) = xi với ∀i ∈ I Khi đó ϕψ và ψϕtương ứng là các ánh xạ đồng nhất trên các cơ sở (xi)I, (yi)I Do đó ϕψ = idN và

Hệ quả 2.3 Giả sử M là một R−module tự do với cơ sở S Khi đó ta có đẳng cấu

M ∼= R(S)Chứng minh Theo mục 6 của ví dụ 2.2 thì R(S) là một R−module tự do có cơ sởchính tắc {es}s∈S có cùng lực lượng với cơ sở S của M Vậy theo hệ quả 2.2 thì ta

Định lý 2.6 Hai cơ sở bất kì của một R−module tự do luôn có cùng lực lượng.Chứng minh Trong tập các ideal của vành R luôn tồn tại ideal tối đại Thật vậy,nếu (Bi)i∈I là một họ các ideal thực sự của R được sắp thứ tự tuyến tính (theoquan hệ thứ tự bao hàm) thì B = S

I

Bi cũng là một ideal thực sự của R (vì 1 6∈ B)

Rõ ràng B là một cận trên của họ (Bi)i∈I, do đó theo bổ đề Zorn thì R có idealtối đại A Do A tối đại nên K = R/A là một trường Giả sử (xi)I là một cơ sở củaR−module tự do M Khi đó ta có M = L

I

Rxi và AM =

P

s∈I

aixi| ai ∈ A

(trong

đó (ai)I có giá hữu hạn) là module con của M Dễ dàng kiểm tra được rằng M/AM

là một R/A−module, hay M/AM là một K−không gian vectơ Giả sử {xi}i∈I làmột cơ sở của M Với mỗi a ∈ R và x ∈ M, kí hiệu a = a + A; x = x + AM Khi đó

ta có: hệ {xi}I là một cơ sở của K−không gian véc tơ M/AM Thật vậy, rõ ràng{xi}I là một hệ sinh của M/AM, ngoài ra nó độc lập tuyến tính vì nếu có đẳngthức P

Do {xi}i∈I là cơ sở của M nên từ đẳng thức trên suy ra ai = bi với mọi i ∈ I và do

đó ai = bi = 0 với mọi i ∈ I Vì các cơ sở của một không gian vectơ có cùng lựclượng nên các cơ sở của R−module tự do cũng có cùng lực lượng Chú ý 2.3 Trong định lí 2.6, ta đã sử dụng Bổ đề Zorn là một mệnh đề tươngđương với tiên đề chọn và cũng tương đương với tiên đề sắp thứ tự tốt Chúng đượcphát biểu như sau:

• Tiên đề chọn: Nếu E là một tập khác tập ∅ thì với mỗi tập con A khác tập ∅của tập E, luôn chọn được một phần tử a ∈ A

• Tiên đề sắp thứ tự: Mọi tập hợp đều có thể sắp thứ tự tốt

• Bổ đề Zorn: Giả sử E là một tập sắp thứ tự Nếu mỗi tập con sắp thứ tựtuyến tính trong E đều có cận trên trong E thì E có phần tử tối đại

Vì vậy, bổ đề Zorn thường được sử dụng như một tiên đề

Định lý trên là cơ sở để chúng ta có thể định nghĩa khái niệm hạng của module,một khái niệm mở rộng khái niệm chiều của không gian véc tơ

Định nghĩa 2.6 Cho M là một R−module tự do Ta gọi lực lượng của một cơ sởcủa M là hạng của M và được ký hiệu là r(M)

Nhận xét 2.5 1 Nếu M là K−không gian vectơ, S là bộ phận khác rỗng của

M thì ba điều kiện sau là tương đương

2.2 Module tự do 39

(a) S là cơ sở của M

(b) S là tập độc lập tuyến tính tối đại

từ đẳng thức a(1, 0) + b(0, 1) = 0 luôn suy ra a = b = 0

Mặt khác, với (x, y) ∈ Q2thì không phải lúc nào cũng biểu thị tuyến tính đượcqua (S) Chẳng hạn, (x, y) =1;2

3

6= a(1, 0) + b(0, 1) với ∀a, b ∈ Z, nghĩa là

S không phải là hệ sinh Do đó S không là cơ sở của Z−module Q2 Nhưng

S không thể bổ sung để trở thành một cơ sở Thật vậy, với mọi (x, y) ∈ Q2,khác (0, 0) với x = p

Mặt khác, nếu m và n là hai số nguyên tố cùng nhau và đều lớn hơn 1 thì tồntại các số nguyên u, v để nu + mv = 1 Vì vậy S = {n, m} là một hệ sinh củaZ−module Z, nhưng S là hệ phụ thuộc tuyến tính vì mn − nm = 0 Cả haitập con {n}, {m} đều không phải là hệ sinh của Z Nghĩa là S là hệ sinh tốitiểu nhưng không là cơ sở

Định lý 2.7 Mỗi R−module đều đẳng cấu với một module thương của mộtR−module tự do

Chứng minh Giả sử R−module M có tập sinh S = {si}i∈I.Khi đó ta có module

mở rộng được thành toàn cấu g : R(I) −→ M.Từ đó M ∼= R(I)/Kerg 

Hệ quả 2.4 Module M hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với thương củamodule Rn, n ≥ 0 nào đó

2.3 Dãy khớp

Định nghĩa 2.7 1 Một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) các đồng cấu R−module

· · · → M −→ Nf −→ P → · · ·gđược gọi là khớp tại N nếu Imf = Kerg Dãy được gọi là dãy khớp nếu nókhớp tại mọi module khác với hai đầu (nếu có) của dãy

2 Dãy khớp dạng 0 → M −→ Nf −→ P → 0 được gọi là dãy khớp ngắn.g

3 Dãy khớp ngắn 0 → M −→ Nf −→ P → 0 được gọi là chẻ ra nếu và chỉ nếugImf = Kerg là hạng tử trực tiếp của N

Ví dụ 2.3 1 Giả sử N là module con của M, i : N −→ M là phép nhúngchính tắc và p : M −→ M/N là phép chiếu chính tắc Khi đó ta có dãy khớpngắn sau:

Mệnh đề 2.3 Cho đồng cấu f : M −→ N Khi đó ta có:

1 Dãy 0 → M −→ Nf là khớp khi và chỉ khi f là đơn cấu

2 Dãy M −→ N → 0 là khớp khi và chỉ khi f là toàn cấu.f

3 Dãy 0 → M −→ N → 0 là khớp khi và chỉ khi f là đẳng cấu.f

Chứng minh Mệnh đề 2.3 được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 2.7