Định thức trên vành giao hoán và định thức dieudonne

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH An Thị Thúy Nga ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN VÀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNE Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Bùi Xuân Hải - người thầy tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Q thầy Trường, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn học, mơn Đại số - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy chúng tơi suốt khóa học tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Qua đây, xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè giúp đỡ suốt thời gian học tập thực luận văn TP HCM, ngày 27 tháng năm 2013 An Thị Thúy Nga MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán 1.3 Một số tính chất định thức vành giao hoán 1.4 Một số định lý khai triển định thức vành giao hoán .8 1.5 Điều kiện để ma trận vành giao hoán khả nghịch 12 1.6 Một số phương pháp tính định thức vành giao hốn 13 1.6.1 Phương pháp dùng định nghĩa 13 1.6.2 Phương pháp khai triển 14 1.6.3 Phương pháp biến đổi định thức dạng tam giác 15 1.6.4 Phương pháp quy nạp 15 1.7 Hệ phương trình tuyến tính vành giao hoán 16 CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC DIEUDONNE 22 2.1 Một số khái niệm 22 2.2 Định nghĩa định thức Dieudonne 26 2.3 Một số tính chất định thức Dieudonne 26 2.4 Sự tồn định thức Dieudonne 29 2.5 Một số kết suy từ định nghĩa tính chất định thức Dieudonne 32 2.6 Một số phương pháp tính định thức Dieudonne 36 2.6.1 Phương pháp 36 2.6.2 Phương pháp 36 2.7 So sánh định thức vành giao hoán định thức Dieudonne .37 2.7.1 Một số tính chất giống hai định thức 37 2.7.2 Một số tính chất khác hai định thức 38 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 BẢNG KÍ HIỆU a, b = {a, a + 1, a + 2, , b}, a, b ∈và a < b R* - Nhóm nhân vành R AT - Ma trận chuyển vị ma trận A M n (R) - Vành ma trận vuông cấp n vành R GL n (R) - Nhóm tuyến tính tổng qt bậc n vành R E n (R) - Nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n vành R [a, b ] = a −1 b −1ab - Giao hoán tử phần tử a b nhóm G [H , K ]- Nhóm G sinh tất giao hoán tử dạng [a, b] với a ∈ H , b ∈ K ( H , K tập khác rỗng G MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính nói chung Lý thuyết định thức nói riêng xây dựng trường Trường cấu trúc trọn vẹn nên việc xây dựng định thức có nhiều kết đa dạng phong phú Tuy nhiên thay đổi trường cấu trúc đại số khác, mà cụ thể vành giao hốn có đơn vị vành chia kết biết cịn đúng, hay thay đổi Mặt khác, định thức vành giao hốn nghiên cứu dựa tính giao hốn phép nhân phần tử Còn định thức Dieudonne nghiên cứu vành chia Sự khác biệt vành giao hoán vành chia dẫn đến khác biệt hai định thức Trên số lý chọn đề tài “Định thức vành giao hoán định thức Dieudonne” để nghiên cứu tìm hiểu Luận văn tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức vành giao hốn định thức Dieudonne, sau so sánh điểm giống khác hai định thức Bố cục luận văn chia làm chương: Chương - Định thức vành giao hoán Chương - Định thức Dieudonne Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý q thầy bạn Xin chân thành cảm ơn CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Xét X = 1) Mỗi phần tử s ∈ Sn n biểu diễn ma trận loại 2× n dòng thứ nhất, phần tử X xếp theo thứ tự (thường 1, 2,…, n), dòng thứ hai gồm ảnh dòng thứ qua song ánh s 2) Với số nguyên k ≥ 2, phép hoán vị s ∈ Sn gọi k - chu trình có chiều dài k tồn phần tử phân biệt i1 , i2 , , ik ∈ X cho s (i1 ) = i2 ; s (i2 ) = i3 ; ; s (ik −1 ) j ∉{ik , i2 , , ik } Khi ta viết s = (i1 với chu trình s = (i1 i2 ik ) t = Hai {i1 , i2 , ,ik }∩ { j1 , j2 , , jl } = ∅ Mỗi - chu trình gọi chuyển vị Như vậy, chuyển vị có dạng s = (i j) với ≤ i ≠ j ≤ n Định lý 1.1.2 Mọi phép hoán vị phân tích thành tích chu trình rời Cách phân tích nhất, sai khác đổi chỗ chu trình Bổ đề 1.1.3 Mọi chu trình phân tích thành tích chuyển vị Cách phân tích khơng Định lý 1.1.4 Mọi phép hốn vị phân tích thành tích chuyển vị Cách phân tích khơng tính chẵn lẻ số chuyển vị Chú ý 1.1.5 Xét phép hoán vị s Gọi k số chuyển vị phân tích s thành tích chuyển vị Đặt sgn (s ) = (−1)k Theo Định lý 1.1.4, sgn (s ) không phụ thuộc vào cách phân tích s - Nếu sgn (s ) = s phân tích dạng tích số chẵn chuyển vị Ta nói s hoán vị chẵn - Nếu sgn (s ) = −1 s phân tích dạng tích số lẻ chuyển vị Ta nói s hoán vị lẻ - Với phép hoán vị s t, ta có ( ) sgn s − = sgn (s ) sgn ( st ) - Với s k - chu trình, ta có sgn s=1 Vậy s phân tích dạng tích chuyển vị nên sgn (s ) = 1, s hốn chẵn 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán Xét R vành giao hốn, có đơn vị Định nghĩa 1.2.1 Cho R vành giao hốn, có đơn vị Cho A aij vuông cấp ma trận n R Định thức ma trận A R , kí hiệu detA xác định hay A detA sgn s a 1s a s .a ns n s Sn 1.3 Một số tính chất định thức vành giao hốn Tính chất 1.3.1 Cho A ma trận vuông cấp n R AT ma trận chuyển vị ma trận A Khi ng minh Giả sử A detA T detA aij A T bij bij aji , i , j 1, n Khi ta có detA T sgn s b1s b2 s bns n s Sn sgn s a a s11 .a s22 snn s Sn sgn s a1s 1 a2 s ans n s Sn sgn t a 1t a 2t2 .a nt n t Sn detA Tính chất 1.3.2 Trong định thức đổi chỗ hai dòng cho định thức đổi dấu Chứng minh Đặt A aij , giả sử ma trận A đổi dòng i dòng j i , j n ta ma trận A aij Khi detA s Sn Với s Sn , đặt t Khi đó, sgn t Sn cho sgn s a 1s ti s j t j si tk sk, k i , j .a a a js i is j a ns n 1t .a i t i .a j t j .a nt n Do sgn t a1t t i a j t j ant n detA t Sn - sgn t a .a 1t .a it i j t j .a nt n t Sn - detA Tính chất 1.3.3 Nếu ma trận vng A có hai dịng detA Tính chất 1.3.4 Cho ma trận vng A aij cấp n R Nếu nhân vào dòng thứ i ma trận A với k R định thức ma trận nhận định thức A nhân với k Chứng minh Giả sử ma trận A tất hệ số dòng i nhân lên k lần, dòng khác giữ nguyên ta nhận ma trận A aij Khi detA kdetA Hệ 1.3.5 Nếu ma trận vng A có dịng bội k R dịng khác detA Tính chất 1.3.6 Cho ma trận vng A có tính chất aij i i 1, n detA Chứng minh detA sgn s a .a 1s .a is i ns n s Sn sgn s a b 1s is i c .a is i ns n s Sn sgn s a 1s s Sn detB detC Tính chất 1.3.7 Nếu cộng vào dịng ma trận vng A bội k R dịng khác định thức khơng đổi Chứng minh Áp dụng tính chất 1.3.3 tính chất 1.3.4 1.4 Một số định lý khai triển định thức vành giao hoán Định nghĩa 1.4.1 Cho A aij ma trận vuông cấp n R Với i , j ta gọi Aij i j detA i; j Định nghĩa 2.5.1 Tập hợp SL n K A GL n K detA nhóm GL n K , gọi nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n K Hiển nhiên E n K SL n K Ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại, nghĩa thực tế SL n K E n K Bổ đề 2.5.2 Cho c Chứng minh Với n a, b : aba b , với a, b K* Khi đó, n 2, d c En K , xét dãy phép biến đổi sau: d2 a 1d1 d2 a a d2 ab a d2 d1 Kết cho thấy d c tích phép co sơ cấp Vậy d c d1 E2 K Với n : Dùng phép biến đổi áp dụng cho ô cấp phía ma trận đơn vị, ta suy d c E n K 0 0 c Định lý 2.5.3 Với n GL n K SL n K , SL n K E n K Ngoài ra, SL n K GL n K K* Chứng minh Với A SL n K , theo Định lý 2.1.8 ta viết A B.d m , B En K,m K* Khi đó, detA detB.detd m , suy 1.m hay m Do đó, m c1 cm (các ci i 1, m giao hoán tử) Vì vậy, ta có d m d c1 d cm 33 mà d ci K Do SL n K En K i 1, m , suy d ( m )∈ E n (K ), kéo theo A En đó, E n K Mặt khác, ta ln có E n K SL n K Vậy SL n K En K Xét ánh xạ: det : GL n K A K* detA Do det A.B detA.detB với A, B GL n K nên ánh xạ đồng cấu nhóm Mặt khác, m K* , ta có det d m m Do đó, det toàn cấu Mặt khác, SL n K Ker det GL n K Do đó, GL n K SL n K K* Định lý 2.5.4 Cho trận vuông Khi đó, det A detB.detD detA detB Chứng minh Nếu B ma trận suy biến dịng phụ thuộc tuyến tính, nên dịng A phụ thuộc tuyến tính Trong trường hợp này, , cơng thức thỏa mãn Giả sử B ma trận khơng suy biến Khi đó, áp dụng phép biến đổi loại (E) ma trận B (và ma trận A ) để đưa B dạng d m , kéo theo detB Đặt A m Đưa m dấu định thức ta có detA mdet Ir C Dùng phép biến đổi loại (E) đưa D Nếu D suy biến A suy biến cơng thức thỏa mãn Nếu D khơng suy biến dùng phép biến đổi loại (E) để đưa D dạng d h Khi detA Từ suy detA m h detB.detD 34 Như biết, định thức vành giao hốn có tính tuyến tính dòng cột Còn định thức Dieudonne tính chất tuyến tính khơng cịn thỏa mãn Tuy nhiên, ta chứng minh tính chất gần giống Gọi K ′ = K * , K* giao hốn tử nhóm nhân K* phần tử khác a ∈ K* vành chia K Khi phần tử viết dạng a = aK′ Định nghĩa tổng phần tử a b { a + b := aK ′ + bK ′ = ak1 + bk k1 , k ∈ K′ } a + b = a + b a = a, ∀ a ∈ K* , tập hợp tổng phần tử a b Khi đó, a + b ∈ a + b, kéo theo ( a + b ) c ⊆ ac + bc Lưu ý rằng, K trường kéo theo Nếu ta xét định thức hàm số dòng đó, chẳng hạn An , ta coi dịng cịn lại khơng thay đổi Kí hiệu hàm D An Khi đó, ta có kết sau: Định lý 2.5.5 D An An D An D An Chứng minh Vì véc tơ dòng A1 , , An , An phụ thuộc tuyến tính nên tồn tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường r A1 r n An l An m An Nếu l m n dịng định thức phụ thuộc tuyến tính nên định thức Do bao hàm thức hiển nhiên thỏa mãn Nếu, chẳng hạn l khơng làm tính tổng qt, giả sử l Thay dòng cuối ma trận A r A1 r n An An m An , nhận D An D m An m D An m D An Làm ma trận có dịng A1 , , An 1, An An , nhận r A1 rn An An An 35 m An An m An , suy D An An D An m An D An1 m D An Do đó, ta có m D An 1.D Anm D AnD An D An 2.6 Một số phương pháp tính định thức Dieudonne Dựa vào định nghĩa số tính chất định thức Dieudonne ta trình bày hai phương pháp tính định thức Dieudonne sau 2.6.1 Phương pháp Phương pháp dựa vào phép biến đổi loại (E) (E’), kết hợp với số tính chất để đưa định thức dạng tam giác, sau định thức Dieudonne tích phần tử đường chéo Ví dụ 2.6.1 Với , b i , gi K * i 1, , tính a1 Ta có b1 g a2 b2 g a1 b ba a a1 b b 1a1 a g g1a1 a3 g2 a2 g1a1 a b b 1a a b3 b 1a a 2.6.2 Phương pháp Phương pháp dựa phần chứng minh tồn định thức Dieudonne Cho A GL n K , giả sử dòng A Ak Khi đó, tồn tổ hợp tuyến tính 36 n 0, ,1, , (1 vị trí thứ j ) lk Ak k Khi đó, detA i j li 1detCi Trong đó, Ci ma trận nhận từ A cách xóa dịng i, cột j a b Ví dụ 2.6.2 Tính detA c c 0 a Ta có a1 a b c1 c c a ba 0 a Khi đó, ta tính detA sau: detA1 l detC 1 Hoặc detA1 2 l Hoặc 2.7 So sánh định thức vành giao hoán định thức Dieudonne 2.7.1 Một số tính chất giống hai định thức Nếu nhân dòng (cột) A với m định thức nhân lên với m Nếu ma trận A có dịng (cột) detA Nếu đổi chỗ hai dịng (cột) ma trận định thức đổi dấu Nếu ma trận có hai dịng (cột) tỉ lệ với định thức Nếu ta cộng dòng (cột) ma trận A với tổ hợp tuyến tính trái (phải) dịng (cột) cịn lại định thức khơng đổi 37 Nếu dịng (cột) ma trận A tổ hợp tuyến tính trái (phải) dịng cịn lại detA Nếu A ma trận tam giác det A tích phần tử đường chéo detIn det A.B detA.detB 2.7.2 Một số tính chất khác hai định thức Bảng so sánh số tính chất khác định thức vành giao hoán định thức Dieudonne Định ma trận A định ma chuyển vị ma trận A Khi det A 39 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày nội dung sau: - Nhắc lại định nghĩa, tính chất, phương pháp tính định thức đại số tuyến tính cịn với vành giao hốn có đơn vị, đặc biệt chứng minh số tính chất khác với trường điều kiện khả nghịch ma trận, điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khơng tầm thường, điều kiện để ma trận ước không vành M n (R) - Từ định nghĩa, tính chất, tồn định thức Dieudonne số phương pháp tính định thức Dieudonne - Đặc biệt số tính chất giống khác định thức vành giao hoán định thức Dieudonne 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xn Hải (2011), Nhóm tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Bùi Xuân Hải (2009), Đại số tuyến tính ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh S Lang (2002), Algebra, GTM 211, Springer-Verlag, pp 511-522 N H McCoy (1962), Rings and Ideals, The Carus Mathematical Monographs, pp 155-162 41 ... CHƯƠNG 1: ĐỊNH THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 1.1 Một số khái niệm 1.2 Định nghĩa định thức vành giao hoán 1.3 Một số tính chất định thức vành giao hoán 1.4 Một số định lý... tài ? ?Định thức vành giao hoán định thức Dieudonne? ?? để nghiên cứu tìm hiểu Luận văn tổng hợp, trình bày Lý thuyết định thức vành giao hoán định thức Dieudonne, sau so sánh điểm giống khác hai định. .. khai triển định thức vành giao hoán .8 1.5 Điều kiện để ma trận vành giao hoán khả nghịch 12 1.6 Một số phương pháp tính định thức vành giao hoán 13 1.6.1 Phương pháp dùng định nghĩa