Môđun không xoắn trên vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Huyên Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn TS Trần Huyên Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Lời cảm ơn Trong suốt q trình học tập hồn thành luận văn, nhận giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình thầy cơ, đồng nghiệp bạn cao học toán K26 Đầu tiên, xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Trần Huyên, người thầy tâm huyết giảng dạy người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn Với lịng kính trọng biết ơn, tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy cô khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.HCM GS.TS Bùi Xuân Hải, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu hồn thành luận văn Ban giám hiệu, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, hồn thành bảo vệ luận vặn Các thầy Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá luận văn Cuối xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người ln động viên, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Trần Thị Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun 1.2 Dãy khớp 1.3 Các hàm tử đồng điều CHƯƠNG 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN .19 2.1 Mơđun khơng xoắn miền ngun 19 2.2 Mơđun khơng xoắn vành giao hốn 25 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số nguyên S Hom  X , Y  S : Môđun sinh tập : Tập hợp tất đồng cấu môđun từ X vào Y F(S) AB X i X i X Y fg  A, B  TorR A n R  môđun trái B ExtR  A, B  A n R  môđun trái B Tor  A, B  : Tích xoắn R  chiều R môđun phải A R  môđun trái B Ext  A, B  : Tích mở rộng R R mơđun trái B  ■ : Kết thúc chứng minh chiều R  môđun phải A MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không xoắn xác định trước hết miền nguyên, có vai trị quan trọng lý thuyết mơđun số ngành tốn học khác Việc mở rộng khái niệm lên vành tổng quát miền nguyên điều thực cần thiết Ở đây, dừng lại mức độ xây dựng môđun không xoắn vành giao hoán Với đối tượng phạm vi nghiên cứu môđun không xoắn miền ngun vành giao hốn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn trình bày thành hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, giới thiệu kiến thức lý thuyết môđun đại số đồng điều cần thiết cho trình bày nội dung triển khai chương Chương 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Trước hết, chúng tơi giới thiệu mơđun khơng xoắn miền ngun, trình bày kết liên quan đến khái niệm mối liên hệ với khái niệm khác lý thuyết mô đun sau: mơđun con, mơđun thương, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, môđun xạ ảnh, môđun dẹt, Tiếp theo đánh giá đặc trưng môđun không xoắn miền nguyên, đưa cách thể khác đặc trưng dạng ngơn ngữ tổng qt hơn, để đưa khả mở rộng cho khái niệm vành giao hoán CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun Mục giới thiệu vài khái niệm kết lý thuyết môđun cần thiết cho trình bày sau 1.1.1 M Cho môđun X hệ sinh với r , r , , r  R S n Tập hợp S  X gọi độc lập tuyến tính phần tử 0 X có cách biểu thị dạng tổ hợp tuyến tính hệ tử r1  r2   rn Khi SX không độc lập mơđun X đồng thời hệ độc lập tuyến tính gọi sở môđun X Định nghĩa 1.1.1.1 ([1], trang 48) Môđun Định lý 1.1.1.2 ([1],Định lý , trang 48) sở X m S Nghĩa với phần tử r1 , r2 , , rn  R s1 , s2 , , sn S Định lý 1.1.1.3 ([1], Định lý 2, trang 49) mơđun tự sở Y Định lý 1.1.1.4 ([1],Định lý 3, trang 49) Tổng trực tiếp môđun tự môđun tự Định lý 1.1.1.5 ([1],Định lý 4, trang 51) R môđun X tự X đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành hệ tử Định R lý 1.1.1.6 ([1],Định lý 6, trang 53) Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương mơđun tự X Ta xét môđun tự F ( X ) sinh tập X Khi ánh xạ đồng 1X : X hiển nhiên  toàn cấu mở rộng tới đồng cấu  : F (X)X X  ker F(X) Định lý 1.1.1.7 ([1], Định lý 7, trang 53) Môđun môđun tự vành mơđun tự 1.1.2 Mơđun xạ ảnh Định nghĩa 1.1.2.1 ([1], trang 72) toàn cấu  : B C , đồng cấu f   Định lý 1.1.2.2 ([1], Định lý 1, trang 73) Định lý 1.1.2.3 ([1],Định lý 2, trang73) ảnh môđun thành phần Định lý 1.1.2.4 ([1], Định lý 4, trang 76) P môđun tự 1.1.3 Môđun nội xạ Định nghĩa 1.1.3.1 ([1], trang 77) đơn cấu  : A  B , đồng cấu f ff Bởi  đơn cấu nên ta xem f B Vì lý có người ta xem môđun nội xạ J môđun cho phép mở rộng đồng cấu f : A  J thành đồng cấu f : B  J , môđun BA Định lý 1.1.3.2 ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baer) R môđun J nội xạ với Iđêan trái I R đồng cấu f : I  J , luôn tồn phần tử q  J cho với   I , ta có: f (  )  q Nói cách khác đồng cấu f : I  J mở rộng tới đồng cấu f:RJ Định lý 1.1.3.3 ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp họ mơđun J  Jk k K nội xạ môđun thành phần J k nội xạ 1.1.4 Môđun chia Định nghĩa 1.1.4.1 ([1], trang 58) Cho R miền nguyên X R môđun Khi X mơđun chia với x  X  R * ln có y  X cho x  y Khi R vành giao hốn có đơn vị tích hai phần tử khác Định nghĩa mơđun chia vành giao hốn ta loại tất phần tử ước sau: Cho R vành giao hoán r  Linh hóa tử ký hiệu R r  xác định Định nghĩa 1.1.4.2 Môđun A gọi môđun chia với r  a  ta ln có a A  thỏa R Giả sử A  A B i1 R vành PP nên theo mệnh đề 2.2.10 môđun môđun không xoắn môđun không xoắn Ta suy ra: “Nếu  : A B đơn cấu B mơđun khơng xoắn A mơđun khơng xoắn.” (*) Hơn R vành PP nên R môđun xạ ảnh nên 33 theo mệnh đề 2.2.13 mơđun khơng xoắn Khi đó, ta xét đồng cấu     j j Bi    a Bi  j Hiển nhiên  A không xoắn suy Bi xác định : đơn cấu nên theo (*) chặn S Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối j j đại hai phần tử tối đại Ta chứng minh S R vành PP khác môđun không xoắn B B   A môđun không xoắn Mặt khác: hay B  nên ta có dãy khớp sau:  B B  B  Á p d A A B  B  B 0 ụng mệnh đề 2.2.5 A B môđun không xoắn nên suy A B  môđun không xoắn Điều mâu thuẫn với có phần tử lớn nhất.■ A B , A B phần tử tối đại Nên S  Định nghĩa 2.2.15 Một R môđun A gọi môđun xoắn Hom R môđun không xoắn X Mệnh đề 2.2.16 Nếu A mơđun xoắn ảnh đơn cấu xoắn Chứng minh: A môđun 34  *: A Im  với Giả sử A môđun xoắn đơn cấu  :  B Khi đồng A  cấu mơđun xoắn.■  *  a  a  Im  Mệnh đề 2.2.17 Tổng trực tiếp  Ai môđun xoắn hạng tử môđun xoắn Chứng minh: Với Hom  A,X iI i  Hom hay  iI thành phần môđun xoắn với i  I ■ Mệnh đề 2.2.18 Dãy khớp ngắn  A  B C 0 Khi i B mơđun xoắn C môđun xoắn ii A C môđun xoắn B mơđun xoắn Chứng minh: Từ dãy khớp  A  B  C 0 ta có dãy khớp  Hom C , X   Hom B , X   Hom A, X   với môđun không xoắn i Nếu ii Nếu Ho m  A, X  C,X0 C môđun   H , om C X  suy Mệnh đề 2.2.19 Cho R vành PP, mơđun A có mơđun xoắn lớn  A,X Chứng minh: 35 Gọi S A  tập tất môđun xoắn môđun A Ta chứng minh Ai i iI mơđun xoắn Vì theo mệnh đề 2.2.18 mơđun thương mơđun xoắn mơđun xoắn nên ta có: “Nếu đồng cấu  : A B toàn cấu A mơđun xoắn B mơđun xoắn.” (**) Trước hết ta chứng minh S có phần tử tối đại bổ đề Zorn, tức chứng minh dãy tăng bị chặn xét ánh   Giả sử Ai1  Ai   Aij  xạ a   ij   dãy tăng môđun xoắn a  ij Ánh xạ xác định có hữu hạn phần tử khác Rõ ràng j  j tồn cấu Theo mệnh đề 2.2.17 từ mơđun xoắn bổ đề Zorn S có phần tử tối đại Ta chứng minh S Ta có A mơđun xoắn nên A A    A  Mà A  Điều mâu thuẫn với phần tử lớn nhất.■ Định nghĩa 2.2.20 Môđun xoắn lớn môđun A gọi môđun xoắn A ký hiệu   A Mệnh đề 2.2.21 Cho R vành PF, A vừa môđun xoắn, vừa mơđun khơng xoắn A  Chứng minh: A môđun xoắn nên môđun không xoắn Mệnh đề 2.2.22 Nếu mơđun thương khơng xoắn tầm thường Chứng minh: Giả sử B môđun m A Mặt khác B mơđun xoắn Theo mệnh đề 2.2.21 Ngược lại, mơđun môđun không xoắn V X môđun không xoắn nên theo mệnh đề 2.2.10 Im f khơng xoắn nên ì A mơđun khơng xoắn Vì theo giả thiết A  Kerf hay f  Vậy Hom A, X   hay A môđun xoắn.■ Mệnh đề 2.2.23 Nếu R miền nguyên định nghĩa 2.2.15 môđun xoắn trùng với định nghĩa 2.1.4 môđun xoắn §1 Chứng minh: Khi R miền ngun R miền PF Giả sử 2.2.15 A  A mơđun khơng xoắn dãy khớp  A A  A i dãy khớp khiết nên xoắn theo định nghĩa 2.1.4 A A Vậy A môđun 37 Ngược lại A môđun xoắn theo định nghĩa 2.1.4 nên A   thực mơđun khơng xoắn A có môđun thương B  Theo mệnh đề 2.2.22 A 2.2.15.■ A mơđun xoắn theo định nghĩa Nhận xét: Nếu R Định nghĩa 2.2.24 Môđun X gọi môđun không xoắn yếu Nhận xét: Môđun Thật vậy,  Nếu   X  X   0  ■ Định lý 2.2.25 Các mệnh đề sau tương đương: i R vành PP ii Với môđun iii Mọi môđun không xoắn yếu môđun không xoắn iv Nếu Hom A, X   với môđun xoắn Chứng minh: (i.)  (ii.) Theo mệnh đề 2.2.14 A B mơđun không xoắn Ta chứng minh B thường Giả sử ngược lại B có mơđun C thực cho A AC B B nên ta có dãy khớp: C 38 B A môđun không xoắn nên B mâu thuẫn với tính nhỏ B Vậy theo mệnh đề B mơđun xoắn A  B  A mơđun khơng xoắn nên theo giả thiết A B   R vành PP mệnh đề 2.2.10 A B môđun không xoắn Theo mệnh đề 2.2.21 suy  A  nên B Vậy A A  A    Do A (ii.)  (iii.) theo ii A A môđun không xoắn (iii.)  (iv.) Đặ Hom  X , X    vơ lý) suy X thiết iii (iv.)  (i.) môđun môđun AX X đề môđun xoắn Từ dãy khớp ngắn: 1.3.2.8 ta có dãy khớp:   Hom B , A   Hom B , X   Hom B, X  A  Vì Hom B , A  theo giả thiết iv suy nên R X vành PF Hơn môđun không xo xoắn Hom B , X i   0, i  I trực tiếp môđun không xoắn môđun không xoắn theo mệnh đề 2.2.11 r  hữu hạn sinh với  R Xét đồng cấu  : R R xác định   r   r có rR:r0 Ker    môđun dẹt ( R vành PF) Theo mệnh đề 1.3.3.12 suy R theo định nghĩa 2.2.8 suy R vành PP.■  40 KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp số kết môđun không xoắn miền nguyên đưa định nghĩa môđun không xoắn vành giao hốn có đơn vị Từ tổng qt hóa kết hợp số khái niệm như: dãy khớp khiết, vành PP để đưa số kết môđun không xoắn vành giao hoán Do hạn chế lực thời gian nên luận văn chủ yếu trình bày số kết môđun không xoắn vành giao hoán Dựa luận văn tác giả tiếp tục tìm hiểu mơđun khơng xoắn số vành đặc biệt như: vành quy, vành Artin, vành Noether,… Ngồi ra, ta kết hợp với số môđun khác (chẳng hạn môđun chia được) thêm số kết quan trọng môđun không xoắn 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Viết Đơng, Trần Hun, Nguyễn Văn Thìn (2003), Bài tập Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh J J Rotman (2008), An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New York J Zelamanowitz (1972), Regular modules, Transactions of the American Mathematical Society Robert Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, University of Dusseldorf T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer- Verlag, New York- Heidelberg- Berlin ... hay môđun tự X môđun không xoắn. ■ Mệnh đề 2.1.5 Môđun môđun xoắn X môđun xoắn Môđun môđun không xoắn X môđun không xoắn 21 Chứng minh: i A môđun môđun xoắn X Với phần tử x  A  X x  X môđun xoắn. .. ( X môđun không xoắn Tức phần tử không xoắn Chứng minh: Lấy phần tử tồn Vậy R X mô (X) Định nghĩa 2.1.4 Môđun Môđun X gọi môđun không xoắn p phần tử không xoắn Như vậy, môđun X không xoắn. .. phần tử xoắn nên suy A   ( A) Vậy A   ( A) hay A môđun xoắn ii B môđun môđun không xoắn X Với phần tử x  B  X x  X mơđun khơng xoắn nên x phần tử không xoắn nên B môđun không xoắn. ■ Mệnh