Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun không xoắn trên vành giao hoán

Khái niệm môđun không xoắn được xác định trước hết trên các miền nguyên, có một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun và một số ngành toán học khác. Việc mở rộng khái niệm đó lên các vành tổng quát hơn là miền nguyên là điều thực sự cần thiết. Luận văn chỉ dừng lại ở mức độ xây dựng các môđun không xoắn trên vành giao hoán.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Huyên Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn TS Trần Huyên Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Lời cảm ơn Trong suốt q trình học tập hồn thành luận văn, nhận giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình thầy cơ, đồng nghiệp bạn cao học toán K26 Đầu tiên, xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Trần Huyên, người thầy tâm huyết giảng dạy người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn Với lịng kính trọng biết ơn, tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy cô khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.HCM GS.TS Bùi Xuân Hải, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu hồn thành luận văn Ban giám hiệu, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, hồn thành bảo vệ luận vặn Các thầy Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá luận văn Cuối xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người ln động viên, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Trần Thị Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .2 1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun 1.2 Dãy khớp .5 1.3 Các hàm tử đồng điều CHƯƠNG 2: MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN 19 2.1 Môđun không xoắn miền nguyên 19 2.2 Môđun khơng xoắn vành giao hốn .25 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số ngun : Mơđun sinh tập S S Hom  X , Y  : Tập hợp tất đồng cấu môđun từ X vào Y F (S ) : Mơđun tự có sở S A B : Tổng trực tiếp hai môđun A B X : Mơđun tích trực tiếp họ môđun  X i  i Xi : Môđun tổng trực tiếp họ môđun  X i  X Y : Tích tenxơ R  môđun phải X R  môđun trái Y f g : Tích tenxơ đồng cấu R  môđun f g TorRn  A, B  : Tích xoắn n  chiều R R  môđun phải A R  môđun trái B Ext Rn  A, B  : Tích mở rộng R  chiều R  môđun phải A R  môđun trái B Tor  A, B  : Tích xoắn R  chiều R  môđun phải A R  môđun trái B Ext  A, B  : Tích mở rộng R  chiều R  môđun phải A R  môđun trái B ■ : Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không xoắn xác định trước hết miền nguyên, có vai trị quan trọng lý thuyết mơđun số ngành toán học khác Việc mở rộng khái niệm lên vành tổng quát miền nguyên điều thực cần thiết Ở đây, dừng lại mức độ xây dựng môđun khơng xoắn vành giao hốn Với đối tượng phạm vi nghiên cứu môđun không xoắn miền ngun vành giao hốn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn trình bày thành hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, giới thiệu kiến thức lý thuyết môđun đại số đồng điều cần thiết cho trình bày nội dung triển khai chương Chương 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Trước hết, chúng tơi giới thiệu mơđun khơng xoắn miền ngun, trình bày kết liên quan đến khái niệm mối liên hệ với khái niệm khác lý thuyết mô đun sau: mơđun con, mơđun thương, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, môđun xạ ảnh, môđun dẹt, Tiếp theo đánh giá đặc trưng môđun không xoắn miền nguyên, đưa cách thể khác đặc trưng dạng ngơn ngữ tổng qt hơn, để đưa khả mở rộng cho khái niệm vành giao hoán CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun Mục giới thiệu vài khái niệm kết lý thuyết môđun cần thiết cho trình bày sau 1.1.1 Mơđun tự Cho môđun X , tập S  X gọi hệ sinh X S  X Nói cách khác, S hệ sinh X với phần tử x  X x  r1s1  r2 s2   rn sn với r1 , r2 , , rn  R s1 ,s2 , ,s n  S , tức x biểu thị dạng tổ hợp tuyến tính S Tập hợp S  X gọi độc lập tuyến tính phần tử  X có cách biểu thị dạng tổ hợp tuyến tính S , tổ hợp tuyến tính tầm thường với tất hệ tử Nói cách khác, S độc lập tuyến tính r1s1  r2 s2   rn sn  r1  r2   rn  Khi S  X khơng độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Một hệ sinh S mơđun X đồng thời hệ độc lập tuyến tính gọi sở môđun X Định nghĩa 1.1.1.1 ([1], trang 48) Mơđun X có sở mơđun tự Định lý 1.1.1.2 ([1],Định lý , trang 48) Tập S  {si }iI phần tử môđun X sở X phần tử x  X có cách biểu thị tuyến tính qua S Nghĩa với phần tử x  X cách biểu thị x  r1s1  r2 s2   rn sn với r1 , r2 , , rn  R s1 , s2 , , sn  S Định lý 1.1.1.3 ([1], Định lý 2, trang 49) Nếu f : X  Y đẳng cấu môđun X mơđun tự Y mơđun tự Hơn nữa, S sở X f ( S ) sở Y Định lý 1.1.1.4 ([1],Định lý 3, trang 49) Tổng trực tiếp môđun tự môđun tự Định lý 1.1.1.5 ([1],Định lý 4, trang 51) R  môđun X tự X đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành hệ tử R Định lý 1.1.1.6 ([1],Định lý 6, trang 53) Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương mơđun tự Ta xét mơđun tự F ( X ) sinh tập X Khi ánh xạ đồng 1X : X  X mở rộng tới đồng cấu  : F ( X )  X hiển nhiên  toàn cấu X  F (X) ker  Định lý 1.1.1.7 ([1], Định lý 7, trang 53) Mơđun mơđun tự vành môđun tự 1.1.2 Môđun xạ ảnh Định nghĩa 1.1.2.1 ([1], trang 72) Môđun P gọi môđun xạ ảnh với toàn cấu  : B  C , đồng cấu f : P  C , tồn đồng cấu  : P  B , cho f   Định lý 1.1.2.2 ([1], Định lý 1, trang 73) Mỗi môđun tự X môđun xạ ảnh Định lý 1.1.2.3 ([1],Định lý 2, trang73) Tổng trực tiếp họ môđun P   Pi xạ iI ảnh môđun thành phần Pi xạ ảnh Định lý 1.1.2.4 ([1], Định lý 4, trang 76) Khi R vành chính, mơđun P xạ ảnh P môđun tự 1.1.3 Môđun nội xạ Định nghĩa 1.1.3.1 ([1], trang 77) Môđun J gọi môđun nội xạ với đơn cấu  : A  B , đồng cấu f : A  J , tồn đồng cấu f : B  J , cho f  f Bởi  đơn cấu nên ta xem A  B , f xem mở rộng f B Vì lý có người ta xem môđun nội xạ J môđun cho phép mở rộng đồng cấu f : A  J thành đồng cấu f : B  J , môđun B  A Định lý 1.1.3.2 ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baer) R  môđun J nội xạ với Iđêan trái I R đồng cấu f : I  J , luôn tồn phần tử q  J cho với   I , ta có: f ( )   q Nói cách khác đồng cấu f : I  J mở rộng tới đồng cấu f :R  J Định lý 1.1.3.3 ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp họ mơđun J   J k kK nội xạ môđun thành phần J k nội xạ 1.1.4 Môđun chia Định nghĩa 1.1.4.1 ([1], trang 58) Cho R miền nguyên X R  môđun Khi X mơđun chia với x  X   R * ln có y  X cho x  y Khi R vành giao hốn có đơn vị tích hai phần tử khác Định nghĩa mơđun chia vành giao hốn ta loại tất phần tử ước sau: Cho R vành giao hoán   R Linh hóa tử ký hiệu r    xác định r       R :   0 Định nghĩa 1.1.4.2 Môđun A gọi môđun chia với   R thỏa r    a  ta ln có a   A 27 H  r  x / (  1)(r  x)  ker(i  1) (  1)( H )  K Vì  1 tồn cấu nên áp dụng định lý Noether ta có: K  H ker(  1) suy ker(i  1)  Ta có  Tor R thể  xem R , X  ker  (i  1)(  1)  i  1: X  X x  X /  x  0 r( ) X ker(  1) phép  ker(i  1) nhân r( ) X với  suy Như vậy, để kết thúc chứng minh, ta chứng minh “ X môđun không xoắn x  X /  x  0  r ( ) X Cho X mơđun khơng xoắn,   hiển nhiên  x  X /  x  0  r ( ) X Nếu   với x   x  X /  x  0  x  X môđun không xoắn nên x  r ( ) X suy  x  X /  x  0  r ( ) X Bây với x  r ( ) X tồn   r ( ) x '  X cho x   x ' ,  x   x '  0x '  , nên x   x  X /  x  0 Vậy  x  X /  x  0  r ( ) X Ngược lại,  x  X /  x  0  r ( ) X  x  X /  x  0  r ( ) X nên với x X thỏa x  x  r ( ) X Vậy X môđun không xoắn.■ Mệnh đề 2.2.4 Môđun X không xoắn dãy khớp     A   B   X   khiết Chứng minh:   Nếu X môđun không xoắn Tor R  R , X  với   R Từ dãy khớp     A   B   X  0 áp dụng định lý 1.3.4.5 ta có dãy khớp    Tor R  1  R  A   R  B    R , X   R R   đơn cấu Khi áp dụng mệnh đề 1.3.3.14 định nghĩa 1.2.2.2 ta có dãy dãy khớp khiết Đảo lại, xét dãy khớp   Tor R    1  Tor R , X   R  A   R  B   R , B  R R R 28 Theo định lý 1.1.1.6 mơđun X đẳng cấu với mơđun thương mơđun   tự Khi ta chọn B mơđun xạ ảnh, từ Tor R  R , B  , nên ta có dãy khớp   Tor R  1  R  A   R  B   R , X  R R 1 Mặt khác, từ dãy khớp khiết ta có dãy  R  R  A    R  B suy R  Tor R   R , X  Vậy X môđun không xoắn.■    A   B   C  0 Mệnh đề 2.2.5 Với dãy khớp  Nếu A C mơđun khơng xoắn B mơđun khơng xoắn Chứng minh:    A   B   C   áp dụng định lý 1.3.4.5 ta có dãy Với dãy khớp    R , A Tor  R  R , B  Tor  R  R , C   R  R  A  R  R  B  Tor  R , A  Tor  R , C   nên Tor  R , B   Vậy B mơđun khơng R R R  Tor R Vì 1 xoắn.■  C ta có dãy khớp Như biết ta có toàn cấu  : B  i   Ker   B   C   tương tự  : A   B đơn cấu ta ngắn   p  A   B   Co ker    (với Co ker   B Im  ) Trong có dãy khớp ngắn  trường hợp, toàn cấu  (tương ứng: đơn cấu  ) phép chiếu tự nhiên (tương ứng: phép nhúng tự nhiên) ta có định nghĩa sau:    A   B   C   Khi đó, Định nghĩa 2.2.6 Cho dãy khớp  Môđun C gọi môđun thương mơđun B  tồn cấu chiếu tự nhiên A  Ker Môđun A gọi môđun môđun B  đơn cấu nhúng tự nhiên C  Co ker  Đồng thời, dãy khớp tương ứng với môđun thương (hay môđun con) gọi dãy  C (hay đơn cấu  : A   B ) khớp liên kết với toàn cấu  : B  Mệnh đề 2.2.7 Một môđun thương C môđun không xoắn B môđun không xoắn dãy khớp liên kết khiết 29 Chứng minh: Giả sử C môđun thương môđun B : C  B A ta có dãy khớp     A   B   C  0 áp dụng định lý 1.3.4.5 , ta có dãy khớp       1   Tor R , B   Tor R , C   R  A   R  B   R , A  R R R R Nếu C mơđun khơng xoắn theo mệnh đề 2.2.3 Tor R  R , C     Tor R   đơn cấu nên theo mệnh đề 1.3.3.14 định nghĩa 1.2.2.2 dãy khớp dãy khớp khiết Ngược lại, dãy khớp khiết ta có dãy khớp sau:   Tor R    R   1   Tor R , C   R  A   R  B   R , B  R R R 1  R  B   R  A  R  Nên Tor R  R , C  suy C môđun không xoắn.■ Định nghĩa 2.2.8 Vành R gọi vành PP Iđêan R mơđun xạ ảnh Định nghĩa 2.2.9 Vành R gọi vành PF Iđêan R mơđun dẹt Hiển nhiên, vành PP vành PF Mệnh đề 2.2.10 Môđun môđun không xoắn môđun không xoắn vành R vành PF Chứng minh: Giả sử B môđun không xoắn A môđun mơđun B từ dãy khớp     A   B   C  B  0 A ta có dãy khớp 30    Tor2 R         Tor2 R , C   Tor R , A   Tor R , B    R , B  R R R Nếu R vành vành PF với   R  R mơđun dẹt Từ dãy khớp i p    R   R  R 0  R  ta có dãy khớp   Tor2  R, C    Tor2 R    Tor   R, C    Tor  R, C    R , C     Suy Tor2 R  R , C  Tor   R,C   nên Tor R  R , A  nên A môđun không xoắn Ngược lại, với C môđun tùy ý tồn dãy khớp     A   B   C  0 với B môđun xạ ảnh Do B môđun xạ ảnh nên B môđun không xoắn nên A môđun không xoắn nên  Tor R    R  R , A  suy  Tor2  R , C  Tor   R,C  Vậy Tor   R, C   với môđun C nên vành R vành PF.■ Mệnh đề 2.2.11 Tích trực tiếp môđun không xoắn môđun không xoắn với   R , linh hóa tử r    hữu hạn sinh Chứng minh: Giả sử r    hữu hạn sinh với   R ,  X i iI họ môđun không xoắn X   X i tích trực tiếp họ mơđun không xoắn Với x   xi   X , iI xi  X i , i  I  x   xi  0, i  I Vì X i mơđun khơng xoắn nên xi  r    X i Do r    hữu hạn sinh 1 ,  , ,  r nên tồn xij  X i cho  r  r x     j xij     i  xij   r    X Do mơđun khơng xoắn  j 1  j 1 31 Ngược lại, với   R , r      i , i  I  đặt X    Ri , Ri  R, i  I tích trực tiếp iI vành hệ tử R lấy số r    Với x   xi   X , xi  X i , i  I  x  R mơđun tự nên môđun không xoắn Suy X  môđun không xoắn nên x  r    X  Do x thuộc tích hai Iđêan r    , X  , nên x  huu han   x j j (với  j  r    , x j  X  ) x    x   huu han j j , (với x j  X  ) nên j j huu han  huu han  x     j x j  nên x j    j x j Vậy r    hữu hạn sinh.■ j  j  Bổ đề 2.2.12 Iđêan  R vành R môđun xạ ảnh tồn phần tử lũy đẳng e thỏa    e r     r  e   e ' R với e '   e Chứng minh: Nếu R mơđun xạ ảnh theo mệnh đề 1.2.1.3 dãy khớp i    r      R    R   chẻ Như  có nghịch đảo phải, tồn đồng cấu  ' cho  '  1 R suy  '    hay e   (với e   '  ) Trước hết, ta chứng minh r     r  e  Thật với   r  e  ta có e  e  hay   suy r  e   r    Nếu   r       '   hay e  suy   r  e  Đặt e '   e , ta chứng minh r  e   1  e  R Nếu   r  e  e  hay   e   Do 1  e     nên   1  e  R từ r  e   1  e  R Ngược lại, với   1  e  R ta có   1  e   ' với  '  R từ    1  e   '        '  nên   r     r  e  1  e  R  r  e  Vì e   nên  1  e   1  e   r     r  e  e 1  e   Tóm lại tồn e cho    e r     r  e   e ' R thỏa e '   e e lũy đẳng   R ta có đẳng cấu Đảo lại, ta chứng minh  R môđun xạ ảnh Từ toàn cấu  : R  R r     R tương tự ta có đẳng cấu R r  e   e R mà r     r  e  nên ta có  R  e R 32 Bây ta chứng minh R  e R  e ' R Thật vậy, với r  R ta có r  e r  1  e  r nên ta có R  e R  e ' R Đồng thời với r  e R  e ' R tồn  ,  '  R cho r  e   1  e   ' suy r  e e    e  e e   '  Do R  e R  e ' R  e R  r    i   r      R    R   chẻ theo mệnh đề 1.1.2.4  R dãy khớp  mơđun xạ ảnh.■ Dựa vào bổ đề, ta đưa mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.13 Cho R vành PP Khi X mơđun khơng xoắn  : e X   X định   x    x với x  e X đơn cấu Chứng minh: Ta có: Ker    x  e X :  x  0   x  e X : x  r    X   e X  e ' X  0 (do R  e R  e ' R ) Vậy  đơn cấu Đảo lại, với X R  môđun x  X thỏa  x  x  Ker  suy x  nên x  r    X Vậy X môđun không xoắn.■ Mệnh đề 2.2.14 Cho R vành PP, mơđun A có mơđun nhỏ B (theo quan hệ bao hàm) cho môđun thương A B môđun không xoắn Chứng minh: Với R vành PP  Bi iI tập hợp tất môđun môđun A cho A Bi môđun không xoắn Ta chứng minh A Bi môđun không xoắn iI   Trước hết ta chứng minh S  A B có phần tử tối đại bổ đề Zorn tức chứng i minh dãy tiến S bị chặn Giả sử A B  A B   A B  dãy tiến mơđun thương khơng xoắn A Vì i1 i2 ij R vành PP nên theo mệnh đề 2.2.10 môđun môđun không xoắn môđun  B đơn cấu B mơđun khơng xoắn A không xoắn Ta suy ra: “Nếu  : A  mơđun khơng xoắn.” (*) Hơn R vành PP nên  R môđun xạ ảnh nên 33 theo mệnh đề 2.2.13 r    hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 2.2.10  AB ij mơđun khơng xoắn Khi đó, ta xét đồng cấu  : A   a   j Bij   A  Bij    a  Bij  Hiển nhiên  đơn cấu nên theo (*) j  A khơng xoắn suy Bij Bij xác định A Bij môđun j chặn S Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối j đại Ta chứng minh S có phần tử lớn Giả sử A B , A B hai phần tử tối đại   khác Trước tiên ta có: B  B B A B  B B  B B môđun không xoắn nên theo (*) A hay B B  B Vì R vành PP B  B môđun không xoắn Mặt khác: B  B B môđun không xoắn B  B B A B  B B nên ta có dãy khớp sau:   B B  B  A B  B  A B  0 B Áp dụng mệnh đề 2.2.5 A B ,  B  B môđun không xoắn nên suy A B  B      môđun không xoắn Điều mâu thuẫn với A B , A B phần tử tối đại Nên S   có phần tử lớn nhất.■ Định nghĩa 2.2.15 Một R môđun A gọi môđun xoắn Hom  A, X   với R môđun không xoắn X Mệnh đề 2.2.16 Nếu A mơđun xoắn ảnh đơn cấu A môđun xoắn Chứng minh: 34  Im  với  B Khi đồng cấu  *: A  Giả sử A môđun xoắn đơn cấu  : A   *  a     a  , a  A đẳng cấu Vậy Im  môđun xoắn.■ Mệnh đề 2.2.17 Tổng trực tiếp  Ai môđun xoắn hạng tử iI môđun xoắn Chứng minh: Với môđun   không xoắn X theo mệnh đề 1.3.1.6  ta có:  Hom  Ai , X   Hom  Ai , X  nên  Ai môđun xoắn Hom  Ai , X  iI iI iI iI hay  Hom  Ai , X   Điều có Hom  Ai , X   0, i  I nghĩa iI thành phần môđun xoắn với i  I ■    A   B   C   Khi Mệnh đề 2.2.18 Dãy khớp ngắn  i B mơđun xoắn C môđun xoắn ii A C môđun xoắn B mơđun xoắn Chứng minh:    A   B   C   ta có dãy khớp Từ dãy khớp    Hom  C , X    Hom  B, X    Hom  A, X    với môđun không xoắn X i Nếu B mơđun xoắn Hom  B, X   suy Hom  C , X   C môđun xoắn ii Nếu A C mơđun xoắn Hom  A, X   Hom  C , X   suy Hom  B, X   B môđun xoắn.■ Mệnh đề 2.2.19 Cho R vành PP, môđun A có mơđun xoắn lớn Chứng minh: 35 Gọi S   Ai iI tập tất môđun xoắn môđun A Ta chứng minh A iI i mơđun xoắn Vì theo mệnh đề 2.2.18 môđun thương môđun xoắn môđun  B tồn cấu A mơđun xoắn B xoắn nên ta có: “Nếu đồng cấu  : A  môđun xoắn.” (**) Trước hết ta chứng minh S có phần tử tối đại bổ đề Zorn, tức chứng minh dãy tăng bị chặn Giả sử Ai1  Ai   Aij  dãy tăng môđun xoắn   Aij S Đặt B   Aij , xét ánh xạ  :  Aij  j j   xác định j   aij  j   aij Ánh xạ xác định có hữu hạn phần tử khác Rõ ràng j  toàn cấu Theo mệnh đề 2.2.17 từ Aij môđun xoắn với j nên  Aij j môđun xoắn B mơđun xoắn theo (**) Vì B chặn S theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại Ta chứng minh S có phần tử lớn Giả sử A , A hai phần tử tối đại khác S Ta có A A  A A  A  A môđun xoắn nên A A  A Vì R vành PP A mơđun xoắn A  A A mơđun xoắn Từ ta có dãy khớp ngắn:   A   A  A   Mà A A  A A  A A  0 A môđun xoắn nên theo mệnh đề 2.2.18 A  A môđun xoắn Điều mâu thuẫn với A , A phần tử tối đại Vậy S có phần tử tối đại nhất, phần tử lớn nhất.■ Định nghĩa 2.2.20 Mơđun xoắn lớn môđun A gọi môđun xoắn A ký hiệu   A  Mệnh đề 2.2.21 Cho R vành PF, A vừa môđun xoắn, vừa mơđun khơng xoắn A  Chứng minh: 36 A môđun xoắn nên Hom  A, C   với môđun không xoắn C Nên với A mơđun khơng xoắn Hom  A, A   hay A  Mệnh đề 2.2.22 Nếu R vành PF, A mơđun xoắn có mơđun thương khơng xoắn tầm thường A A Chứng minh: Giả sử B môđun môđun xoắn A thỏa A B môđun không xoắn Mặt khác A B môđun thương mơđun xoắn A nên theo mệnh đề 2.2.18 A B mơđun xoắn Theo mệnh đề 2.2.21 A B  hay A  B Ngược lại, mơđun A có mơđun thương khơng xoắn tầm thường A A Với môđun không xoắn X , với đồng cấu f  Hom  A, X  ta có: A Kerf  Im f  X Vì X mơđun khơng xoắn nên theo mệnh đề 2.2.10 Im f không xoắn nên A Kerf mơđun khơng xoắn Vì theo giả thiết A  Kerf hay f  Vậy Hom  A, X   hay A môđun xoắn.■ Mệnh đề 2.2.23 Nếu R miền nguyên định nghĩa 2.2.15 môđun xoắn trùng với định nghĩa 2.1.4 môđun xoắn §1 Chứng minh: Khi R miền nguyên R miền PF Giả sử A mơđun xoắn theo định nghĩa 2.2.15 A   A mơđun khơng xoắn dãy khớp i p    A   A  A   A  0   A    A  Vậy A môđun 0 dãy khớp khiết nên Hom  A, A  A    suy  xoắn theo định nghĩa 2.1.4 37 Ngược lại A môđun xoắn theo định nghĩa 2.1.4 nên A    A  Với B môđun thực mơđun A A B mơđun xoắn Vậy A có mơđun thương khơng xoắn A   A Theo mệnh đề 2.2.22 A môđun xoắn theo định nghĩa 2.2.15.■ Nhận xét: Nếu R miền ngun mơđun X khơng xoắn   X   Định nghĩa 2.2.24 Môđun X gọi môđun không xoắn yếu   X   Nhận xét: Môđun X không xoắn môđun không xoắn yếu Thật vậy, X mơđun khơng xoắn Hom   X  , X     X  môđun xoắn Nếu   X   có phép nhúng  i  Hom   X  , X   (điều vơ lý) Do   X   ■ Định lý 2.2.25 Các mệnh đề sau tương đương: i R vành PP ii Với mơđun A A   A môđun không xoắn iii Mọi môđun không xoắn yếu môđun không xoắn iv Nếu Hom  A, X   với mơđun xoắn A X môđun không xoắn Chứng minh: (i.)  (ii.) Theo mệnh đề 2.2.14 mơđun A có mơđun nhỏ B cho A B môđun khơng xoắn Ta chứng minh B có mơđun thương không xoắn tầm thường Giả sử ngược lại B có mơđun C thực cho B C mơđun khơng xoắn Vì A A  C B B C  B   A   A   Theo mệnh đề nên ta có dãy khớp:  C C B 38 B , A môđun không xoắn nên A môđun không xoắn C  B Điều C C B mâu thuẫn với tính nhỏ B Vậy theo mệnh đề B mơđun xoắn B    A    A  môđun xoắn nên   A B môđun xoắn Mặt khác   A môđun không xoắn nên theo giả thiết R vành PP mệnh đề 2.2.10 môđun không xoắn Theo mệnh đề 2.2.21 suy A   A   A B B A   A B B  nên   A   B Vậy môđun không xoắn  A theo ii A (ii.)  (iii.) Nếu A mơđun khơng xoắn yếu   A   Do A   A môđun không xoắn (iii.)  (iv.) Đặt A    X  , Hom  A, X   với môđun xoắn A hay Hom   X  , X     X   có đồng cấu nhúng  i  Hom   X  , X   (điều vô lý) suy   X   theo định nghĩa 2.2.24 X môđun không xoắn yếu theo giả thiết iii X mơđun khơng xoắn (iv.)  (i.) Giả sử X môđun không xoắn, A môđun môđun X B  A   X   X   theo mệnh đề môđun xoắn Từ dãy khớp ngắn:  A 1.3.2.8 ta có dãy khớp:    Hom  B, A   Hom  B, X    Hom B, X A   Vì X mơđun khơng xoắn B môđun xoắn nên Hom  B, X   nên Hom  B, A   theo giả thiết iv suy A môđun không xoắn theo mệnh đề 2.2.10 nên R vành PF Hơn  X i iI họ môđun không xoắn B môđun   xoắn Hom  B, X i   0, i  I Hom  B,  X i    Hom  B, Xi   suy tích  iI  iI trực tiếp môđun không xoắn môđun không xoắn theo mệnh đề 2.2.11 r    hữu hạn sinh với   R Xét đồng cấu  : R    R xác định   r    r có 39 Ker   r  R :  r  0  r    hữu hạn sinh suy  R có biểu diễn hữu hạn  R môđun dẹt ( R vành PF) Theo mệnh đề 1.3.3.12 suy  R môđun xạ ảnh theo định nghĩa 2.2.8 suy R vành PP.■ 40 KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp số kết môđun không xoắn miền nguyên đưa định nghĩa môđun không xoắn vành giao hốn có đơn vị Từ tổng quát hóa kết hợp số khái niệm như: dãy khớp khiết, vành PP để đưa số kết môđun không xoắn vành giao hoán Do hạn chế lực thời gian nên luận văn chủ yếu trình bày số kết môđun không xoắn vành giao hoán Dựa luận văn tác giả tiếp tục tìm hiểu mơđun khơng xoắn số vành đặc biệt như: vành quy, vành Artin, vành Noether,… Ngồi ra, ta kết hợp với số môđun khác (chẳng hạn môđun chia được) thêm số kết quan trọng môđun không xoắn 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Viết Đơng, Trần Huyên, Nguyễn Văn Thìn (2003), Bài tập Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh J J Rotman (2008), An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New York J Zelamanowitz (1972), Regular modules, Transactions of the American Mathematical Society Robert Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, University of Dusseldorf T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer- Verlag, New York- Heidelberg- Berlin ... hay môđun tự X môđun không xoắn. ■ Mệnh đề 2.1.5 Môđun môđun xoắn X môđun xoắn Môđun môđun không xoắn X môđun không xoắn 21 Chứng minh: i A môđun môđun xoắn X Với phần tử x  A  X x  X mơđun xoắn. .. Vậy X  ( X ) môđun không xoắn Định nghĩa 2.1.4 Môđun X gọi môđun xoắn X   ( X ) Môđun X gọi môđun không xoắn phần tử khác không X phần tử không xoắn Như vậy, môđun X không xoắn  x   ... tử xoắn nên x  ( A) suy A   ( A) Vậy A   ( A) hay A môđun xoắn ii B môđun môđun không xoắn X Với phần tử x  B  X x  X môđun không xoắn nên x phần tử không xoắn nên B môđun không xoắn. ■