Về không điểm của đa thức nhiều biến trên vành giao hoán

Đó là lý do tại bậc học phổ thông, chúng ta vẫn nghiên cứu đa thức theo cả hai quan điểm: đại số (xem xét đa thức như đã định nghĩa) và hàm số (coi đa thức chính là hàm đa thức tương[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Tập 20, Số (2020): 95-100 Vol 20, No (2020): 95-100HUNG VUONG UNIVERSITY Email: tapchikhoahoc@hvu.edu.vn Website: www.hvu.edu.vn

VỀ KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Nguyễn Tiến Mạnh1*

1Khoa Giáo dục Tiểu học Mầm non, Trường Đại học Hùng Vương, Phú Thọ Ngày nhận bài: 08/4/2020; Ngày chỉnh sửa: 20/5/2020; Ngày duyệt đăng: 22/5/2020

Tóm tắt

Cho f(x1, ,xn) đa thức vành giao hoán A, báo xây dựng vành B ⊇ A cho f(x1, ,xn) có khơng điểm khơng gian Bn hệ tử cao f(x

1, ,xn) khả nghịch Bên cạnh đó, báo khác biệt tốn phân tích đa thức thành nhân tử, mối quan hệ hai khái niệm: đa thức hàm đa thức vành giao hốn

Từ khóa: Đa thức, khơng điểm, vành giao hoán 1 Đặt vấn đề

Cho  trường, biết đa thức f x( )∈[ ]x có bậc dương  khơng có nghiệm  Tuy nhiên, ln tồn trường mở rộng F ⊇  cho f(x) có nghiệm F [1] Do số nghiệm f(x) không vượt degf(x) nên sau số bước mở rộng, ta trường chứa đầy đủ nghiệm f(x) Qua thấy đa thức bậc dương trường có đầy đủ nghiệm ta xét chúng trường “đủ rộng” Tiến xa hơn, người ta tồn trường mà đa thức có nghiệm đó, loại trường gọi trường đóng đại [2] mà ví dụ điển hình trường số phức C Tổng quát hơn, tồn trường F mở rộng đại số 

sao cho F trường đóng đại số [2], điều cho thấy tồn phổ biến mở rộng đóng đại số trường

Giả sử (x1, ,xn) biến độc lập Nhắc lại không điểm đa thức

1

( , , )n [ , , ]n

f x K x ∈x K x phần tử

1

( , , ) n n ∈

K

α α  thỏa mãn f( , , ) 0α1 K αn =

[3] Trong trường hợp biến số, quen gọi không điểm nghiệm Nếu F mở rộng đóng đại số , quy nạp ta chứng minh đa thức

1 1

( , , )n [ , , ], deg ( , , ) 0n n

f x K x ∈ x K x f x K x >

thức vành giao hoán, vấn đề cịn đề cập đến Trong báo này, chứng tỏ xét vành giao hoán, toán tồn không điểm vành mở rộng đa thức nhiều biến với hệ tử bậc cao khả nghịch có điểm tương tự đa thức trường Ngoài ra, báo khác biệt tốn phân tích đa thức thành nhân tử, mối quan hệ hai khái niệm: đa thức hàm đa thức nhiều biến vành giao hoán

2 Nội dung nghiên cứu

2.1 Sự tồn không điểm đa thức nhiều biến vành mở rộng

Cho số nguyên dương n, A vành giao hốn có đơn vị ≠ đa thức bậc dương với hệ tử cao khả nghịch

1

( , , )n [ , , ].n

f x K x ∈A x K x Nếu A miền ngun, A có trường thương  (trường phân thức A) Giả sử K mở rộng đóng đại số  Khi biết f x( , , )1 K xn có khơng điểm K n Trong trường hợp tổng quát, gọi I iđêan A x[ , , ]1 K xn sinh đa thức f x( , , ).1 K xn Xét đồng cấu: :A A x[ , , ]1 xn ,a a a I.

I

→ K a = +

ϕ

Nếu ϕ( ) (a = a A∈ ) a chia hết cho

1

( , , ).n

f x K x Do tồn g x( , , )1 K xn

để a f x= ( , , ) ( , , ).1K x g xn K xn So sánh bậc hai vế suy a =0 Vậy ϕ đơn cấu nên ta coi A vành vành thương A x[ , , ] KI xn Ta có f x( , , )1 K xn = f x( , , ) 01 K xn = nên

1

( , , )n

f x K x nhận ( )

1, , [ , , ]

n n

n A x x

x x

I

 

∈ K 

K

làm không điểm, x1, ,K xn ảnh x1, ,K xn A x[ , , ] xn

I K

Từ khẳng định này, ta định lý sau

Định lý 2.1 Cho số ngun dương n, A vành giao hốn có đơn vị ≠

1

( , , )n [ , , ]n

f x K x ∈A x K x đa thức bậc dương với hệ tử cao khả nghịch Khi tồn vành mở rộng B A cho f x( , , )1 K xn có khơng điểm Bn

Xét trường hợp đa thức biến x và coi hệ tử cao f(x) Giả sử

B

α∈ nghiệm f(x) Theo Định lý Bezout [1], ta có:

1

1

( ) ( ) ( ), ( ) n n [ ]

n n

f x x g x g x x − b x − b x b B x

− −

= −α = + + +L + ∈

Lại áp dụng định lý cho g(x) ta suy có vành C mở rộng B để g(x) có nghiệm C Tiếp tục trình với ý sau bước đa thức xét có bậc nhỏ bậc đa thức bước trước đó, sau n bước ta vành mở rộng B

A phần tử α α1, , ,2 K α ∈n Bsao cho

1

( ) ( )( ) ( n) f x = x−α x−α L x−α

Ví dụ sau cung cấp thêm số thông tin nhằm khác biệt tồn nghiệm đa thức vành giao hoán tồn nghiệm đa thức trường

Ví dụ 2.2 Cho  1, hai trường Gọi 1,

  hai bao đóng đại số

1,

một vành giao hoán với phần tử đơn vị (1,1) phần tử khơng (0,0) Tuy nhiên, khơng phải miền ngun (1,0),(0,1)∈ 1× 2\ (0,0){ } (1,0)(0,1) = (0,0) Xét đa thức:

f x( ) ( ,= a a x1n 2n) n+(a1 1n−,a2 1n− )xn−1+ +L ( , )a a10 20 ∈( 1× 2)[ ].x

Ta có f x( ) ( ,0)= a1n xn+(a1 1n−,0)xn−1+ +L ( ,0)a10

+(0,a x2n) n+(0,a2 1n−)xn−1+ +L (0, )a20 ∈( 1× 2)[ ].x

Đặt f x10( ) ( ,0)= a1n xn +(a1 1n−,0)xn−1+ +L ( ,0), ( )a10 f x1 =a x1n n +a x1 1n− n−1+ +L a10,

f x20( ) (0,= a x2n) n+(0,a2 1n−)xn−1+ +L (0, ), ( )a20 f x2 =a x2n n+a x2 1n− n−1+ +L a20 Ta có f x1( )∈1[ ],x f x2( )∈2[ ].x Giả

sử degf1(x), degf2(x) > Do tính chất đóng đại số  1, ,2 f1(x) f2(x) phân rã thành tích nhân tử bậc

1,

  Cho α∈1,b∈2theo thứ tự

nghiệm f1(x) f2(x) Khi hồn tồn chứng minh khẳng định sau:

(i) Với ( , )l l1 2 ∈ 1× 2, ( , )α l2 nghiệm f10(x) (l1, b) nghiệm f(x)

(ii) ( , )α b ∈ 1× 2 nghiệm f(x)

(iii) Nếu ( , )l m ∈ 1× nghiệm

f(x) l, m nghiệm f1(x), f2(x). (iv) Nếu f(x) ≠ deg ( )deg ( ) 0f x1 f x =2 thì f(x) khơng có nghiệm  1×

(v) Giả sử deg ( ) deg ( )f x1 = f x2 = >n 0và

1 2

1

( ) n n ( i), ( ) n n ( i),

i i

f x a x α f x a x b

= =

= ∏ − = ∏ −

ở α1, ,K αn∈1, , ,b1 K bn∈2 Khi

đó [ ]

1

( ) ( ,n n) n ( , ) i i

i

f x a a x α b

=

= ∏ −

Chú ý 2.3 Khẳng định (v) ví dụ 2.2 cho thấy phân tích đa thức thành nhân tử vành giao hoán nhìn chung khơng

duy (theo nghĩa sai khác phần tử khả nghịch thứ tự nhân tử)

(ii) Các kết luận ví dụ 2.2 hồn tồn mở rộng cách tương tự cho trường hợp gồm hữu hạn trường

1, , ,2 K m

  

2.2 Mối quan hệ đa thức hàm đa thức vành giao hoán

Khái niệm đa thức hàm đa thức trình bày đầy đủ hệ thống bậc học đại học giáo trình đại số [5] Theo định nghĩa, đa thức vành giao hoán xác định hàm đa thức tương ứng nhận giá trị vành giao hốn Cho

1

( , , )n [ , , ],n

f x K x ∈A x K x ánh xạ

1

: n , ( , , ) ( , , )

n n

f A →A α K α a f α K α

được gọi hàm đa thức ứng với

1

( , , )n

f x K x hay nói f x( , , )1K xn sinh f Gọi F tập hàm đa thức nêu, dễ thấy F vành giao hốn có đơn vị ánh xạ

1

: [ , , ]A x K xn → , ( , , )f x K xn a f

ϕ F

hữu tỉ, trường số thực, trường số phức) hàm đa thức hàm số xác định tập số quen thuộc Câu hỏi đặt là: Khi toàn cấu cho đẳng cấu? Nghĩa ta đồng hai khái niệm (f x( , , )1 K xn ≡ f )? Nếu ϕ đẳng cấu, người ta nói rằng: vành A, hai khái niệm đa thức hàm đa thức đồng với [1]

Chú ý 2.4 Rõ ràng đa thức xác định hàm đa thức, nhiên điều ngược lại nhìn chung khơng Chẳng hạn, đa thức x2+ ∈¢x 2[ ]\ 0x { }nhưng lại

sinh hàm khơng F: ¢2 →¢2,α a

Tổng quát hơn, A={α α1, , ,2 K αk} gồm

k phần tử, đa thức { }

1

( ) [ ] \

k

i i

x α A x

=

− ∈

∏

cũng sinh hàm không F A: → A,α a

Định lý vành sở miền ngun vơ hạn có đẳng cấu từ vành đa thức lên vành hàm đa thức

Định lý 2.5 Cho A miền ngun vơ hạn Tồn cấu

1

: [ , , ]A x K xn → , ( , , )f x K xn a f

ϕ F

là đẳng cấu

Chứng minh Ta cần chứng tỏ ϕ đơn cấu, nghĩa ϕ(f x( , , )1 K xn )=0hay tương đương với f( , , ) 0α1 K αn = với

1, ,K n∈A

α α phải có f x( , , ) 0.1 K x =n Chứng minh tiến hành quy nạp theo số biến n Khi n =1,từ f( ) 0α1 = với

mọi α1∈Asuy f x =( ) 01 số nghiệm

đa thức miền nguyên không vượt số bậc Trong trường hợp n > viết:

1

1 1 1 1 1 1

( , , ) ( , , ) d ( , , ) d ( , , ) ( , , )

n d n n d n n n n n

f x x g x x x g x x x − g x x x g x x

− − − − −

= + + + +

K K K L K K

Với α1, ,K αn−1∈A tùy ý cho trước, ta có:

1

1 1 1 1 1 1

( , , ) ( , , ) d ( , , ) d ( , , ) ( , , )

n d n n d n n n n n

f g g − g g

− − − − −

= + + + + =

K K K L K K

α α α α α α α α α α α α α

với αn∈A Nghĩa đa thức f( , ,α1K αn−1, )xn biến xn nhận αn∈A làm nghiệm Do f( , ,α1K αn−1, ) 0.xn = Điều dẫn đến

1 1 1 1 1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

d n d n n n

g α K α − =g − α K α − = =L g α K α − =g α K α − =

Do tính tùy ý α1, ,K αn−1∈A giả thiết quy nạp áp dụng cho trường hợp n – biến suy ra:

1 1 1 1 1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

d n d n n n

g x K x− =g − x K x− = =L g x K x− =g x K x− =

Vậy f x( , , ) 01 K x =n ϕ đơn cấu Nói riêng, vành sở rơi vào trường hợp quen thuộc: vành số nguyên, trường số hữu tỉ, trường số thực, trường số phức hồn tồn đồng khái niệm đa thức với khái niệm hàm đa thức

các lớp vành mà khơng thể đồng chúng

Như biết vành sở A miền nguyên, đa thức khác khơng A ln có số nghiệm khơng vượt q bậc [1] Các ví dụ sau chứng tỏ mối quan hệ số nghiệm bậc đa thức vành giao hoán khơng miền ngun xảy hồn tồn khác

Ví dụ 2.6 Cho số nguyên dương n > Xét vành [ ]

( )n

x A

x

= ¡ , với ( )xn iđêan sinh

bởi xn Rõ ràng A vành giao hốn vơ hạn phần tử Dễ dàng kiểm tra phần tử thuộc tập vô hạn {ax a ∈ ¡ | } nghiệm

[ ]

n

t ∈A t (đa thức bậc n với biến t) Ví dụ 2.7 Xét vành

{ }

2 = 2× 2× × 2× = ( , , , , ) | a a1 an ak ∈ 2,k=1, , ,n

¥ L L K K K K

Z Z Z Z Z

với hai phép toán:

+) phép cộng: ( , , , , ) ( , , , , ) (a a1 K an K + b b1 K bn K = a b a b1+ 1, 2+ 2, ,K a bn+ n, )K +) phép nhân: ( , , , , )( , , , , ) (a a1 K an K b b1 K bn K = a b a b1 1, 2, ,K a bn n, )K

Rõ ràng Z2¥ vành giao hốn vơ hạn với phần tử không (0,0, ,0, ),= K K phần

tử đơn vị (1,1, ,1, ).= K K Đa thức f x( )=x2+x nhận phần tử Z2¥ làm nghiệm

Thật vậy:

2 2

1 2

( ) ( , , , n n, ) (0,0, ,0, ) f a =a + =a a +a a +a K a +a K = K K = [5] Ví dụ 2.8 Xét vành giao hốn Z2¥ đa thức n biến

2 2

1 1 2 2

( , , , ) (n )( ) ( n n) [ , , , ].n

f x x K x = x +x x +x L x +x ÂƠ x x K x Dễ thấy đa thức nhận phần t ca( )2

n

Ơ

 làm khơng điểm.

Ví dụ 3.4 Ví dụ 3.5 đưa đến kết mở rộng [7, Định lý 2.4]

Định lý 2.9 Tồn vành giao hốn gồm vơ hạn phần tử cho có đa thức khác không nhận phần tử vành làm không điểm

Từ định lý này, ta rút hệ sau Hệ 2.10 (i) Tồn vành giao hốn gồm vơ hạn phần tử cho có hai đa thức phân biệt sinh hàm đa thức

(ii) Tồn vành giao hốn gồm vơ hạn phần tử cho khơng thể đồng hai khái niệm đa thức hàm đa thức

Hệ 2.10 xem mở rộng [7, Hệ 2.5] từ vành đa thức biến sang vành đa thức nhiều biến

3 Kết luận

biến Vấn đề trở nên phức tạp xét cho trường hợp tổng quát Nghiên cứu vành giao hốn nói chung, số nghiệm đa thức vơ số chí đa thức triệt tiêu điểm vành sở vơ hạn Ngồi ra, kết phân tích đa thức khơng cịn đảm bảo tính nhân tử Về mối quan hệ hai khái niệm: đa thức hàm đa thức trình bày, hai khái niệm hồn tồn đồng vành sở miền ngun vơ hạn Đó lý bậc học phổ thông, nghiên cứu đa thức theo hai quan điểm: đại số (xem xét đa thức định nghĩa) hàm số (coi đa thức hàm đa thức tương ứng với nó) mà khơng gặp mâu thuẫn chúng xét miền nguyên trường vơ hạn quen thuộc, vành số ngun, trường số hữu tỉ, trường số thực, trường số phức Các ví dụ lưu ý cho ta nhìn chung chúng không tương đương lớp vành: miền nguyên hữu hạn, vành giao hốn vơ hạn khơng miền nguyên Kết

quả nghiên cứu cho thấy muốn hiểu chất vấn đề sơ cấp cần thiết phải xem xét cách tồn diện, khơng nên thoát ly với khái niệm gốc nội dung liên quan toán học đại

Tài liệu tham khảo

[1] Hồng Xn Sính (1998) Đại số đại cương Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội

[2] Dương Quốc Việt (2007) Cơ sở lý thuyết Galois Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Markus P Brodmann (2001) Lectures on local

cohomology Institute of Mathematics, Ha Noi [4] Gopalakrishnan N S (1984) Commutative

algebra Oxonian Press, New Dehli

[5] Hoàng Kỳ & Hoàng Thanh Hà (2009) Đại số sơ cấp Thực hành giải Toán Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội

[6] Ngô Việt Trung (2012) Nhập mơn Đại số giao hốn Hình học đại số Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội

[7] Nguyễn Tiến Mạnh & Nguyễn Huyền Trang (2012) Về mối quan hệ đa thức hàm đa thức vành giao hốn Tạp chí Giáo dục, 128-129

ON ZERO-POINTS OF POLYNOMIALS WITH MANY VARIABLES OVER COMMUTATIVE RINGS

Nguyen Tien Manh1

1Faculty of Preschool and Primary Education, Hung Vuong University, Phu Tho

Abstract

Let f(x1, ,xn) be a polynomial over the commutative ring A, this paper builds a ring B ⊇ A such that there is a zero-point of f(x1, ,xn) in Bn when the highest coefficients of f(x1, ,xn) are inversible Moreover, the paper shows the difference about the polynomial analysis problem into factors, the relationship between polynomial and polynomial function over commutative rings