Về sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán

Cho f(x) là một đa thức trên vành giao hoán bài viết này nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của f (x) khi xem xét nó trên các vành mở rộng của A. Trong trường hợp hệ tử cao nhất của f (x) là 1, chúng tôi đã xây dựng được một vành B A ⊇ sao cho f (x) có nghiệm trong B. Ngoài ra, bài báo còn đưa thêm một số ví dụ để chứng tỏ có một số khác biệt giữa sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán so với đa thức trên các trường.

Khoa học - Công nghệ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA ĐA THỨC TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Nguyễn Tiến Mạnh Trường Đại học Hùng Vương Tóm tắt Cho f ( x) đa thức vành giao hoán Bài báo nghiên cứu tồn nghiệm f ( x) xem xét vành mở rộng A Trong trường hợp hệ tử cao f ( x) 1, xây dựng vành B ⊇ A cho f ( x) có nghiệm B Ngồi ra, báo cịn đưa thêm số ví dụ để chúng tỏ có số khác biệt tồn nghiệm đa thức vành giao hoán so với đa thức trường Mở đầu Các vấn đề liên quan đến nghiệm đa thức hay phương trình đại số trường thường thu hút nhiều quan tâm hai lĩnh vực: đại số cổ điển đại số đại Do tính chất khơng có ước khơng, đa thức khác trường hay miền ngun có số nghiệm (tính số bội) khơng vượt q bậc Bên cạnh đó, lí thuyết mở rộng trường chứng tỏ đa thức bậc dương trường có đầy đủ nghiệm trường mở rộng [2] Hơn nữa, cơng thức Viéte cho ta mối liên hệ biểu thức đối xứng nghiệm với hệ tử Vượt lên tất cả, nhà toán học vĩ đại E Galois (1811-1832) đưa điều kiện cần đủ để phương trình đại số tổng quát bậc n giải thức kèm với lí thuyết tiếng: Lí thuyết Galois [3] Khi xem xét đa thức vành đối tượng rộng hơn, nhìn chung nhiều kết biết nghiệm đa thức trường khơng cịn Vậy kết thay đổi nào? Trong viết nhỏ này, muốn đề cập đến vài thay đổi vấn đề tồn nghiệm đa thức vành giao hốn Nội dung 2.1 Trường đóng đại số Như biết, đa thức f ( x) có bậc dương trường  khơng có nghiệm  Tuy nhiên ln tồn trường mở rộng  ⊇  cho f ( x) có nghiệm  [2] Do số nghiệm f ( x) không vượt degf ( x) nên sau số bước mở rộng, ta trường chứa đầy đủ nghiệm f ( x) Qua thấy đa thức bậc dương trường có đầy đủ nghiệm ta xét chúng trường “đủ rộng” Một câu hỏi đặt tồn hay không trường cho đa thức bậc dương có đầy đủ nghiệm hay nói cách khác chúng phân rã hồn tồn thành tích phân tử bậc Để trả lời cho câu hỏi này, người ta đưa khái niệm sau Định nghĩa 2.1.1 Cho  trường Ta gọi  trường đóng đại số đa thức f ( x) ∈ [x], degf ( x) > có nghiệm � [3] Ví dụ 2.1.2 Trường số phức  đóng đại số Từ định nghĩa trường đóng đại số, quy nạp ta có khẳng định Đại học Hùng Vương - K ­ hoa học Công nghệ Khoa học - Công nghệ Mệnh đề 2.1.3 Cho  trường đóng đại số Khi đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) ∈ [x1 , x2 , , xn ], degf ( x1 , x2 , , xn ) > có nghiệm  n Định lí sau tồn phổ biến trường đóng đại số Định lí 2.1.4 Cho  trường Khi tồn trường  mở rộng đại số  cho  trường đóng đại số [3] Cho trước trường, tồn nhiều trường đóng đại số mở rộng Tuy nhiên thực tế người ta cần mở rộng đóng đại số “vừa đủ” Điều dẫn đến khái niệm sau Định nghĩa 2.1.5 Trường  Định lí 2.1.4 gọi bao đóng đại số  [3] Định lí 2.1.4 tồn bao đóng đại số trường cho trước Tính chúng mặt cấu trúc nội dung định lí Định lí 2.1.6 Các bao đóng đại số trường đẳng cấu với [3] Ví dụ 2.1.7 Trường số phức  bao đóng đại số trường số thực  Tuy nhiên  khơng phải bao đóng đại số  khơng phải mở rộng đại số  Như nói trên, trường đóng đại số đủ rộng toán tồn nghiệm đa thức tùy ý Mệnh đề sau cho thấy rõ lực lượng loại trường Mệnh đề 2.1.8 Mọi trường đóng đại số có vơ số phần tử Chứng minh: Giả sử  trường hữu hạn � = {a1 , a2 , , an } Xét đa thức f ( x)= n ∏ ( x − a ) + k =1 n Dễ thấy đa thức khơng có nghiệm � Vậy  khơng trường đóng đại số 2.2 Sự tồn nghiệm đa thức vành mở rộng Cho số nguyên dương n, A vành giao hốn có đơn vị ≠ phương trình f ( x) = x n + a1 x n −1 +  + an −1 x + an = Bây xem xét tồn nghiệm phương trình cho vành mở rộng A Nếu A miền nguyên A chứa trường thương hay cịn gọi trường phân thức A Khi phương trình cho có nghiệm bao đóng đại số trường Trong trường hợp tổng quát, gọi I iđêan A[x] sinh đa thức f ( x) Xét đồng cấu: ϕ:A→ A[ x] ,a  a = a + I I Dễ thấy ϕ đơn cấu nên ta coi A vành vành thương A[ x] Khi I A[ x] làm nghiệm Từ khẳng định này, ta định lí: I Định lí 2.2.1 Cho n số nguyên dương, A vành giao hốn có đơn vị ≠ Khi tồn rõ ràng f ( x) nhận x ∈ vành mở rộng B A cho phương trình x n + a1 x n −1 +  + an −1 x + an = có nghiệm B Giả sử α ∈ B nghiệm f ( x) Theo Bezout ta có Đại học Hùng Vương - ­Khoa học Công nghệ Khoa học - Công nghệ f ( x) = ( x − α ) g ( x), g ( x) = x n −1 + b1 x n − +  + bn − x + bn −1 ∈ B[x] Lại áp dụng định lí cho g ( x) ta suy có vành C mở rộng B để g ( x) có nghiệm C Tiếp tục trình với ý sau bước đa thức xét có bậc nhỏ bậc đa thức bước trước đó, sau n bước ta nhận kết sau Định lí 2.2.2 Cho n số nguyên dương, A vành giao hốn có đơn vị ≠ Khi ln tồn vành mở rộng B A phần tử α1 , α , , α n ∈ B cho phương trình x n + a1 x n −1 +  + an −1 x + an = tương đương với ( x − α1 )( x − α ) ( x − α n ) = Các ví dụ cho thêm số thơng tin để qua thấy khác biệt vấn đề tồn nghiệm đa thức vành giao hốn so với đa thức trường Ví dụ 2.2.3 Cho 1 ,  hai trường Gọi 1 ,  hai bao đóng đại số 1 ,  Xét vành 1 ×  Dễ thấy vành giao hoán với phần tử đơn vị (1,1) phần tử khơng (0,0) Tuy nhiên khơng phải miền ngun (1, 0), (0,1) ∈ 1 ×  \ {(0, 0)} (1, 0)(0,1) = (0, 0) Xét đa thức = f ( x) (a1n , a2 n ) x n + (a1n −1 , a2 n −1 ) x n −1 +  + (a10 , a20 ) ∈ ( 1 ×  ) [x] Ta có = f ( x) (a1n , 0) x n + (a1n −1 , 0) x n −1 +  + (a10 , 0) +(0, a2 n ) x n + (0, a2 n −1 ) x n −1 +  + (0, a20 ) ∈ ( 1 ×  ) [x] Đặt f10 ( x= ) (a1n , 0) x n + (a1n −1 , 0) x n −1 +  + (a10 , 0), f1 ( x= ) a1n x n + a1n −1 x n −1 +  + a10 , f 20 ( x= ) (0, a2 n ) x n + (0, a2 n −1 ) x n −1 +  + (0, a20 ), f ( x= ) a2 n x n + a2 n −1 x n −1 +  + a20 Ta có f1 ( x) ∈ 1[x], f ( x) ∈  [x] Giả sử deg f1 ( x), deg f ( x) > Do tính chất đóng đại số 1 ,  , f1 ( x) f ( x) phân rã thành tích nhân tử bậc 1 ,  Cho α ∈ 1 , β ∈  theo thứ tự nghiệm f1 ( x) f ( x) Khi hồn tồn chứng minh khẳng định sau: (i) (α , λ2 ), ∀λ2 ∈  nghiệm f10 ( x) (λ1 , β ), ∀λ1 ∈ 1 nghiệm f 20 ( x) (ii) (α , β ) ∈ 1 ×  nghiệm f ( x) (iii) Nu ( , ) ì nghiệm f ( x) λ , µ nghiệm f1 ( x) f ( x) (iv) Nếu f ( x) ≠ deg f1 ( x) deg f ( x) = f ( x) khơng có nghiệm 1 ×  n n (v) Giả sử deg f1 ( x)= deg f ( x)= n > f1 ( x) =a1n ∏ ( x − α i ), f ( x) =a2 n ∏ ( x − β i ), =i =i n α1 , , α n ∈ 1 , β1 , , β n ∈  Thì = ta có f ( x) (a1n , a2 n )∏ [ x − (α i , β i ) ] i =1 Chú ý 2.2.4 (i) Khẳng định (v) Ví dụ 2.2.3 cho thấy phân tích đa thức thành nhân tử 10 Đại học Hùng Vương - K ­ hoa học Công nghệ Khoa học - Công nghệ vành giao hốn nhìn chung khơng (sai khác phần tử khả nghịch thứ tự nhân tử) (ii) Các kết luận Ví dụ 2.2.3 hồn tồn mở rộng cách tương tự cho trường hợp gồm hữu hạn trường 1 ,  , ,  m cho trước Ví dụ 2.2.5 Xét vành  2 =  ×  × ×  × = {(a1 , a2 , , an ,) | ak ∈  , k = 1, , n,} với hai phép toán: +) phép cộng: (a1 , a2 , , an ,) + (b1 , b2 , , bn ,) = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ,) +) phép nhân: (a1 , a2 , , an ,)(b1 , b2 , , bn ,) = (a1b1 , a2b2 , , anbn ,) Rõ ràng  2 vành giao hốn vơ hạn với phần tử khơng = (0, 0, , 0,), phần tử đơn vị = (1,1, ,1,) Đa thức f ( x= ) x + x nhận phần tử  2 làm nghiệm Thật vậy: f (a ) = a + a = (a12 + a1 , a22 + a2 , , an2 + an ,) = (0, 0, , 0,) = [1] Kết luận Sự tồn nghiệm đa thức trường trình bày cách hệ thống nhiều tài liệu Tuy nhiên, đa thức vành giao hoán vấn đề cịn đề cập đến Nội dung viết chứng tỏ vành giao hoán, toán tồn nghiệm vành mở rộng đa thức xét có hệ tử bậc cao xảy tương tự đa thức trường Tuy nhiên nhiều vấn đề liên quan số nghiệm, tính phân tích thành nhân tử,… lại có nhiều thay đổi Cụ thể tồn lớp vành giao hốn mà có đa thức bậc dương với vơ số nghiệm, chí có đa thức bậc dương vành giao hốn vơ hạn nhận tất phần tử vành sở làm nghiệm Ngồi ra, phân tích thành nhân tử nhìn chung khơng đảm bảo tính (sai khác phần tử khả nghịch thứ tự nhân tử) Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tiến Mạnh, Nguyễn Huyền Trang (2012), Về mối quan hệ đa thức hàm đa thức vành giao hốn, (preprint) [2] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [3] Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lí thuyết Galois, Nhà xuất Đại học Sư phạm SUMMARY ON THE EXISTENCE OF ROOTS OF POLYNOMIALS OVER COMMUTATIVE RINGS Nguyen Tien Manh Hung Vuong University Let f ( x) be a polynomial over a commutative ring A This paper investigates the existence of roots of f ( x) in extended rings of A In the case that the coefficient of monomial of highest degree in f ( x) is 1, we build a commutative ring B ⊇ A such that f ( x) has some roots in B Moreover, this paper shows some examples to prove that there are some differences between the existence of roots of polynomials over commutative rings and the existence of roots of polynomials over fields Đại học Hùng Vương - ­Khoa học Công nghệ 11 ... Kết luận Sự tồn nghiệm đa thức trường trình bày cách hệ thống nhiều tài liệu Tuy nhiên, đa thức vành giao hốn vấn đề cịn đề cập đến Nội dung viết chứng tỏ vành giao hoán, toán tồn nghiệm vành mở... khác biệt vấn đề tồn nghiệm đa thức vành giao hoán so với đa thức trường Ví dụ 2.2.3 Cho 1 ,  hai trường Gọi 1 ,  hai bao đóng đại số 1 ,  Xét vành 1 ×  Dễ thấy vành giao hoán với phần... , an } Xét đa thức f ( x)= n ∏ ( x − a ) + k =1 n Dễ thấy đa thức nghiệm � Vậy  khơng trường đóng đại số 2.2 Sự tồn nghiệm đa thức vành mở rộng Cho số nguyên dương n, A vành giao hốn có đơn