Một đồng nhất thức trên đa thức đối xứng

Bài viết đưa ra và chứng minh một đồng nhất thức trên đa thức đối xứng. Để nhận được đồng nhất thức này, chúng tôi sử dụng lý thuyết nội suy, cụ thể là công thức nội suy Lagrange.

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT Tập 10, Số 2, 2020 145-152 MỘT ĐỒNG NHẤT THỨC TRÊN ĐA THỨC ĐỐI XỨNG Đặng Tuấn Hiệpa*, Lê Văn Vĩnhb Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Đà Lạt, Lâm Đồng, Việt Nam Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Văn Lang, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam * Tác giả liên hệ: Email: hiepdt@dlu.edu.vn a b Lịch sử báo Nhận ngày 26 tháng năm 2020 Chỉnh sửa ngày 26 tháng năm 2020 | Chấp nhận đăng ngày 27 tháng năm 2020 Tóm tắt Trong báo này, đưa chứng minh đồng thức đa thức đối xứng Để nhận đồng thức này, sử dụng lý thuyết nội suy, cụ thể công thức nội suy Lagrange Trong phần chứng minh đồng thức, đưa hai cách chứng minh khác Cách chứng minh thứ hai bước khởi đầu cho nghiên cứu xa liên quan đến đồng thức đa thức đối xứng Từ khóa: Cơng thức nội suy Lagrange; Đa thức đối xứng; Lý thuyết nội suy DOI: http://dx.doi.org/10.37569/DalatUniversity.10.2.684(2020) Loại báo: Bài báo nghiên cứu gốc có bình duyệt Bản quyền © 2020 (Các) Tác giả Cấp phép: Bài báo cấp phép theo CC BY-NC 4.0 145 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT [CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ] AN IDENTITY ON SYMMETRIC POLYNOMIALS Dang Tuan Hiepa*, Le Van Vinhb a The Faculty of Mathematics and Computer Science, Dalat University, Lamdong, Vietnam b The Faculty of Basic Science, Van Lang University, Hochiminh City, Vietnam * Corresponding author: Email: hiepdt@dlu.edu.vn Article history Received: March 26th, 2020 Received in revised form: May 26th, 2020 | Accepted: May 27th, 2020 Abstract In this paper, we propose and prove an identity on symmetric polynomials In order to obtain this identity, we use the interpolation theory, in particular, the Lagrange interpolation formula In the proof of the identity, we propose two different proofs The second proof will be the first step for our further studies related to identities on symmetric polynomials Keywords: Interpolation theory; Lagrange interpolation formula; Symmetric polynomials DOI: http://dx.doi.org/10.37569/DalatUniversity.10.2.684(2020) Article type: (peer-reviewed) Full-length research article Copyright © 2020 The author(s) Licensing: This article is licensed under a CC BY-NC 4.0 146 Đặng Tuấn Hiệp Lê Văn Vinh GIỚI THIỆU VÀ KẾT QUẢ CHÍNH Trong tồn báo, giả sử đa thức với hệ số trường đặc số không (chẳng hạn trường số thực ℝ) Tuy nhiên áp dụng kết báo vào tốn hình học đại số cần phải xét đa thức với hệ số trường số phức ℂ Cho 𝑃(𝑥) đa thức biến bậc không lớn 𝑛 − 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 𝑛 giá trị khác đôi một, tức 𝜆𝑖 ≠ 𝜆𝑗 với 𝑖 ≠ 𝑗 Theo công thức nội suy Lagrange, ta có Cơng thức I 𝑛 𝑃(𝑥) = ∑ 𝑃(𝜆𝑖 ) 𝑖=1 ∏𝑗≠𝑖 (𝑥 − 𝜆𝑗 ) ∏𝑗≠𝑖 (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) (𝐼) So sánh hệ số cao hai vế đẳng thức trên, ta thu Đồng thức 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑃(𝜆𝑖 ) = 𝑎𝑛−1 ∏𝑗≠𝑖 (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) (1) Trong 𝑎𝑛−1 hệ số 𝑥 𝑛−1 đa thức 𝑃(𝑥) Mục tiêu báo tổng quát Đồng thức cho trường hợp đa thức đối xứng 𝑘 biến bậc không lớn 𝑘(𝑛 − 𝑘) Để thuận tiện cho phần trình bày cơng thức, ta sử dụng ký hiệu [𝑛] = {1, … , 𝑛} Với tập 𝐼 = {𝑖1 , … , 𝑖𝑘 } ⊂ [𝑛] 𝜆𝐼 = (𝜆𝑖1 , … , 𝜆𝑖𝑘 ) 𝐼 𝑐 = [𝑛]\𝐼 Nhắc lại đa thức 𝑃(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) gọi đối xứng 𝑃(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝑃(𝑥𝜎(1) , 𝑥𝜎(2) , … , 𝑥𝜎(𝑘) ), với hoán vị 𝜎 ∈ 𝑆𝑘 tập số {1,2, … , 𝑘} Kết báo Định lý Định lý Cho P(x1 , … , xk ) đa thức đối xứng có bậc khơng lớn k(n − k), k, n số nguyên cho < k < n Khi đó, ta có Đồng thức ∑ 𝐼⊂[𝑛],|𝐼|=𝑘 𝑃(𝜆𝐼 ) 𝑐(𝑘, 𝑛) = , ∏𝑖∈𝐼,𝑗∈𝐼𝑐 (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) 𝑘! (2) Trong 𝑐(𝑘, 𝑛) hệ số đơn thức 𝑥1𝑛−1 , … , 𝑥𝑘𝑛−1 khai triển đa thức đối xứng: 𝑃(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) ∏ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) 𝑖≠𝑗 Đồng thức đặc biệt thú vị ứng dụng vào hình học đa tạp Grassmann Cụ thể, Dang (2019) sử dụng Đồng thức để biểu diễn số giao đa tạp Grassmann từ dẫn đến chứng minh đại số cho cơng thức Martin cho đa tạp Grassmann Thêm lý để thấy Đồng thức đặc biệt thú vị điều sau đây: Nếu 𝑃(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) đa thức đối xứng mà bậc riêng theo biến không 147 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT [CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ] lớn 𝑛 − 𝑘, ta có cơng thức nội suy (Cơng thức II) đưa chứng minh Chen & Louck (1996) 𝑃(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) = ∑ 𝑃(𝜆𝐼 ) 𝐼⊂[𝑛],|𝐼|=𝑘 ∏𝑥∈𝑋,𝑗∈𝐼𝑐 (𝑥 − 𝜆𝑗 ) ∏𝑖∈𝐼,𝑗∈𝐼𝑐 (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) (𝐼𝐼) So sánh hệ số cao đa thức 𝑃, ta thu Đồng thức ∑ 𝐼⊂[𝑛],|𝐼|=𝑘 𝑃(𝜆𝐼 ) = 𝑑(𝑘, 𝑛) ∏𝑖∈𝐼,𝑗∈𝐼𝑐 (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) (3) Chú ý rằng, 𝑑(𝑘, 𝑛) hệ số đơn thức 𝑥1𝑛−𝑘 , … , 𝑥𝑘𝑛−𝑘 đa thức 𝑃 Thật ra, Đồng thức trường hợp đặc biệt đồng thức Định lý Thật vậy, Zeilberger (1982) 𝑘! hệ số 𝑥1𝑘−1 , … , 𝑥𝑘𝑘−1 khai triển đa thức ∏𝑗≠𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) Nếu bậc riêng theo biến đa thức 𝑃 không lớn 𝑛 − 𝑘 , ta có 𝑐(𝑘, 𝑛) = (𝑘!)𝑑(𝑘, 𝑛), 𝑐(𝑘, 𝑛) hệ số đơn thức 𝑥1𝑛−1 , … , 𝑥𝑘𝑛−1 khai triển đa thức: 𝑃(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) ∏ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) 𝑗≠𝑖 CHỨNG MINH KẾT QUẢ CHÍNH Trong phần này, chúng tơi trình bày hai cách lập luận khác để chứng minh kết Chứng minh thứ dựa vào kết cho đa thức nhiều biến, định lý chia đa thức nhiều biến Trong đó, chứng minh thứ hai dựa vào lập luận giải tích 2.1 Chứng minh thứ Đặt 𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝑃(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) ∏ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) 𝑗≠𝑖 Theo giả thiết, bậc đa thức 𝐹 không lớn 𝑘(𝑛 − 𝑘) + 𝑘(𝑘 − 1) = 𝑘(𝑛 − 1) Vì đa thức 𝑃 đối xứng, nên đa thức 𝐹 đối xứng Theo định lý chia đa thức nhiều biến (xem Cox, Little, & O’Shea, 2007), tồn đa thức 𝐹𝑖 (𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ), 𝑖 = 1, … , 𝑘 𝑅(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) cho 𝑘 𝑛 𝑅(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) − ∑ 𝐹𝑖 (𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) ∏ (𝑥𝑖 − 𝜆𝑗 ) 𝑖=1 𝑗=1 tất bậc riêng theo biến đa thức 𝑅 không lớn 𝑛 − Theo công thức nội suy Lagrange, ta có: 𝑛 𝑅(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) = ∑ 𝑅(𝜆𝑖1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 )𝐿𝑖1 (𝑥1 ) 𝑖1 =1 148 Đặng Tuấn Hiệp Lê Văn Vinh Dùng công thức nội suy Lagrange cho đa thức 𝑅(𝜆𝑖1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ), ta có 𝑛 𝑛 𝑅(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) = ∑ ∑ 𝑅(𝜆𝑖1 , 𝜆2 , … , 𝑥𝑘 )𝐿𝑖1 (𝑥1 )𝐿𝑖2 (𝑥2 ) 𝑖1 =1 𝑖2 Tương tự, lập lại trình 𝑘 lần, ta thu 𝑛 𝑅(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) = ∑ 𝑘 𝑅(𝜆𝐼 ) ∏ 𝐿𝑖𝑙 (𝑥𝑙 ) 𝑖1 ,…,𝑖𝑘 =1 𝑙=1 Với tập 𝐼 = {𝑖1 , … , 𝑖𝑘 }, ta có 𝑅(𝜆𝐼 ) = 𝐹(𝜆𝐼 ) Nếu 𝑖𝑠 = 𝑖𝑡 với 𝑠 ≠ 𝑡 𝑅(𝜆𝐼 ) = Vì bậc 𝐹 khơng q 𝑘(𝑛 − 1), nên hệ số 𝑥1𝑛−1 , … , 𝑥𝑘𝑛−1 𝑅 với hệ số 𝑥1𝑛−1 , … , 𝑥𝑘𝑛−1 𝐹 Điều suy hệ số 𝑥1𝑛−1 , … , 𝑥𝑘𝑛−1 𝐹 𝑘! ∑ 𝐼⊂[𝑛],|𝐼|=𝑘 𝐹(𝜆𝐼 ) ∏𝑖∈𝐼,𝑗≠𝑖 (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) Với 𝐼 ⊂ [𝑛], ta có 𝐹(𝜆𝐼 ) = 𝑃(𝜆𝐼 ) ∏ (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ), 𝑖,𝑗∈𝐼,𝑗≠𝑖 ∏ (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) = ∏ (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) ∏ (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) 𝑖∈𝐼,𝑗∈𝐼 𝑐 𝑖∈𝐼,𝑗≠𝑖 𝑖,𝑗∈𝐼,𝑗≠𝑖 Điều hệ số 𝑥1𝑛−1 … 𝑥𝑘𝑛−1 𝐹 với 𝑘! ∑ 𝐼⊂[𝑛],|𝐼|=𝑘 2.2 𝑃(𝜆𝐼 ) ∏𝑖∈𝐼,𝑗∈𝐼𝑐 (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) Chứng minh thứ hai Trước hết, chứng minh hai bổ đề sau đây: Bổ đề Cho Q(x) đa thức bậc d + với hệ số cao có nghiệm (có thể nghiệm phức) phân biệt Khi đó, ta có Cơng thức III ∑ 𝑄(𝛼)=0 𝛼𝑟 𝑄′(𝛼) = {0 𝑛ế𝑢 ≤ 𝑟 < 𝑑 𝑛ế𝑢 𝑟 = 𝑑 Chứng minh (𝐼𝐼𝐼) Gọi 𝛾0 , 𝛾1 , … , 𝛾𝑑 𝑑 + nghiệm phân biệt 𝑄(𝑥) Khi đó, ta có 149 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT [CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ] 𝑑 𝛼𝑟 𝛾𝑖𝑟 ∑ =∑ ∏𝑖≠𝑗 (𝛾𝑖 − 𝛾𝑗 ) 𝑄′(𝛼) 𝑄(𝛼)=0 𝑖=0 Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho 𝑥 𝑟 điểm nội suy 𝛾0 , 𝛾1 , … , 𝛾𝑑 , thu 𝑑 𝛾𝑖𝑟 ∏𝑖≠𝑗 (𝑥 − 𝛾𝑗 ) 𝑥 =∑ ∏𝑖≠𝑗 (𝛾𝑖 − 𝛾𝑗 ) 𝑟 𝑖=0 Điều kéo theo 𝑑 ∑ 𝑖=0 ∏𝑖≠𝑗 𝛾𝑖𝑟 = ℎệ 𝑠ố 𝑐ủ𝑎 𝑥 𝑑 = {0 𝑛ế𝑢 ≤ 𝑟 < 𝑑 (𝛾𝑖 − 𝛾𝑗 ) 𝑛ế𝑢 𝑟 = 𝑑 Bổ đề Cho F(x1 , … , xk ) đa thức k biến với bậc không lớn d1 + ⋯ + dk Q1 (x), … , Qk (x) tương ứng đa thức bậc d1 + 1, … , dk + với hệ số cao có nghiệm phân biệt Khi đó, Biểu thức a: ∑ 𝑄1 (𝛼1 )=⋯=𝑄𝑘 (𝛼𝑘 )=0 𝐹(𝛼1 , … , 𝛼𝑘 ) 𝑄′1 (𝛼1 ) ⋯ 𝑄′𝑘 (𝛼𝑘 ) (𝑎) 𝑑 𝑑 độc lập với đa thức 𝑄𝑖 với hệ số đơn thức 𝑥1 ⋯ 𝑥𝑘 𝑘 đa thức 𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) Chứng minh Do tính chất tuyến tính, cần xem xét đơn thức 𝑟 𝑟 𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝑥11 ⋯ 𝑥𝑘𝑘 , Trong 𝑟1 + ⋯ + 𝑟𝑘 ≤ 𝑑1 + ⋯ + 𝑑𝑘 Biểu thức a phân tích sau: 𝑟 ( ∑ 𝑄1 (𝛼1 )=0 𝛼11 )⋯( ∑ 𝑄′1 (𝛼1 ) 𝑄𝑘 (𝛼𝑘 )=0 𝑟 𝛼𝑘1 ) 𝑄′𝑘 (𝛼𝑘 ) Theo Bổ đề 1, 𝑟𝑖 = 𝑑𝑖 với 𝑖, biểu thức 1, trường hợp cịn lại biểu thức Bổ đề chứng minh Để chứng minh Định lý 1, sử dụng Bổ đề cho đa thức sau đây: 𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) = 𝑃(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) ∏ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) 𝑖≠𝑗 150 Đặng Tuấn Hiệp Lê Văn Vinh 𝑛 𝑄1 (𝑥) = ⋯ = 𝑄𝑘 (𝑥) = 𝑄(𝑥) = ∏ (𝑥 − 𝜆𝑖 ) 𝑖=1 Thật vậy, ta có 𝜆1 , … , 𝜆𝑛 𝑛 nghiệm phân biệt 𝑄(𝑥) đạo hàm 𝑛 𝑄′(𝑥) = ∑ ∏ (𝑥 − 𝜆𝑗 ) 𝑖=1 𝑗≠𝑖 Khi đó, ta có 𝑄′(𝜆𝑖 ) = ∏ (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) 𝑗≠𝑖 Với tập 𝐼 = {𝑖1 , … , 𝑖𝑘 }, ta có 𝐹(𝜆𝐼 ) = có 𝑖𝑠 = 𝑖𝑡 với 𝑠 ≠ 𝑡 Vì 𝐹 đa thức đối xứng, nên Biểu thức a trở thành Biểu thức b 𝑘! ∑ 𝐼⊂[𝑛],|𝐼|=𝑘 𝐹(𝜆𝐼 ) ∏𝑖∈𝐼,𝑗≠𝑖 (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) (𝑏) Với 𝐼 ⊂ [𝑛], ta có 𝐹(𝜆𝐼 ) = 𝑃(𝜆𝐼 ) ∏ (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ), 𝑖,𝑗∈𝐼,𝑗≠𝑖 ∏ (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) = ∏ (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) ∏ (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) 𝑖∈𝐼,𝑗∈𝐼 𝑐 𝑖∈𝐼,𝑗≠𝑖 𝑖,𝑗∈𝐼,𝑗≠𝑖 Do vậy, Biểu thức b trở thành 𝑘! ∑ 𝐼⊂[𝑛],|𝐼|=𝑘 𝑃(𝜆𝐼 ) ∏𝑖∈𝐼,𝑗∈𝐼𝑐 (𝜆𝑖 − 𝜆𝑗 ) Bổ đề nói hệ số đơn thức 𝑥1𝑛−1 , … , 𝑥𝑘𝑛−1 đa thức 𝑃(𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) ∏ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) 𝑖≠𝑗 KẾT LUẬN Kết (Định lý 1) chứng minh thứ trình bày báo (Dang, 2019) Đóng góp báo cách chứng minh hoàn toàn khác để thu Đồng thức Cách chứng minh sử sụng lý thuyết nội suy cụ thể công thức nội suy Lagrange, xem cách chứng minh tổng quát lập luận chứng minh thứ Điều cho 151 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT [CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ] phép tìm thêm áp dụng xa để thu đồng thức khác Đây điểm khởi đầu cho kết nghiên cứu xa liên quan đến đồng thức đa thức đối xứng LỜI CẢM ƠN Tác giả thứ bày tỏ biết ơn sâu sắc tới William Cherry thảo luận hữu ích liên quan đến chứng minh thứ đồng thức Nghiên cứu tài trợ Đề tài Khoa học Công nghệ cấp Bộ mã số B2019-DLA-03 TÀI LIỆU THAM KHẢO Chen, W Y C & Louck, J D (1996) Interpolation for symmetric functions Advances in Mathematics, 117, 147-156 Cox, D A., Little, J., & O’Shea, D (2007) Ideals, varieties, and algorithms: An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra (3rd edition) New York, USA: Springer Publishing Dang, T H (2019) Identities involving (doubly) symmetric polynomials and integrals over Grassmannians Fundamenta Mathematicae, 246(2), 181-191 Zeilberger, D (1982) A combinatorial proof of Dyson’s conjecture Discrete Mathematics, 41(3), 317-321 152 ... thiết, bậc đa thức