Nội suy trên các đa thức đối xứng

Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội nhờ hướng dẫn tận tình chu đáo TS Phùng Văn Mạnh Qua luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo môn Lý thuyết hàm, Khoa Toán - Tin, Phòng đào tạo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi, thầy cô giáo phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 30 tháng 05 năm 2017 Bùi Thị Ngọc Thuý Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Đa thức nội suy Lagrange-Hermit biến 1.1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.2 Các công thức biểu diễn đa thức nội suy Lagrange-Hermite 10 Đa thức nội suy Lagrange nhiều biến 19 1.2.1 Không gian đa thức nhiều biến 19 1.2.2 Đa thức nội suy Lagrange nhiều biến 21 Nội suy đa thức đối xứng 23 2.1 Nội suy đa thức biến chẵn lẻ 23 2.2 Nội suy đối xứng phản đối xứng 26 2.3 Tập nội suy Berzolari-Radon Sn2 29 Kết luận 44 Mở đầu Lý chọn đề tài Vấn đề nội suy nhiều biến khó giải vấn đề biến Một thực tế quan trọng vấn đề nội suy Lagrange lúc giải không gian đa thức có bậc n Một vấn đề khác liên quan công thức Lagrange hay Newton mở rộng phần mở rộng dễ đòi hỏi phân bố hạn chế nút Vấn đề thứ ba liên quan số nút số chiều không gian với bậc cho trước cao nhiều so với biến công thức tổng quát cần phải xây dựng đa thức thích hợp tổng nhiều số hạng Vì lý chọn đề tài "Nội suy đa thức đối xứng" Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu vấn đề nội suy đa thức đối xứng Khách thể đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu nội suy đa thức biến chẵn lẻ Nghiên cứu nội suy đối xứng phản đối xứng Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nội suy Lagrange-Hermit biến, đa thức nội suy Lagrange nhiều biến nghiên cứu nội suy đa thức đối xứng Giới hạn phạm vi nghiên cứu Vấn đề nội suy đa thức đối xứng mối quan hệ chúng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu kỹ thuật truyền thống Giải tích phức nhiều biến Đóng góp luận văn Đưa vấn đề nội suy đa thức đối xứng mối quan hệ chúng Xây dựng tập Berzolari-Radon đường thẳng chứng minh tập tập xác định không gian đa thức đối xứng hai chiều Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận Luận văn chia thành hai chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Nội suy đa thức đối xứng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức nội suy Lagrange-Hermit biến Gọi Pd (R) không gian đa thức biến bậc không vượt d với hệ số thực Không gian tất đa thức kí hiệu P(R) Ta thường viết Pd , P thay cho Pd (R), P(R) 1.1.1 Định nghĩa tính chất Bài toán nội suy biến phát biểu đơn giản sau: Cho hàm f xác định A = {x0 , x1 , , xd } ⊂ R Hãy tìm đa thức p = L(f ) ∈ P(R) cho L(f )(xi ) = f (xi ) (i = 0, 1, , d) Định lí sau khẳng định tồn p Định lí 1.1.1 Giả sử A = {x0 , x1 , , xd } ⊂ R tập gồm d + điểm phân biệt hàm f xác định A Khi tồn đa thức p ∈ Pd thoả mãn p(xi ) = f (xi ) (i = 0, 1, , d) d j j=0 aj x Chứng minh Đa thức p(x) = (1.1) thoả mãn công thức (1.1) (aj ) nghiệm hệ tuyến tính:   a0 + a1 x0 + · · · ad xd0 = f (x0 )    a + a x + · · · a xd = f (x ) 1 d 1      a0 + a1 xd + · · · ad xdd = f (xd ) Hệ có nghiệm ma trận hệ số hệ khả nghịch, tức định thức khác Ma trận gọi ma trận Vandermonde định thức gọi định thức Vandermonde, kí hiệu VDM(x0 , · · · , xd ) Ta có 1 V DM (x0 , , xd ) = x0 x1 xd xd0 xd1 = (xj − xi ) 0≤i n/2 + 1, nên R(x, y) = (x − c1 )(x − c2 ) Suy x = c1 chứa n/2 + điểm khác đường x = c2 chứa (n − 1)/2 + Do đó, áp dụng trường hợp k = hai lần, ta suy tồn đa thức nội suy có dạng p(x, y) = q0 (x, y) + q1 (x, y)(x − c1 ) + q2 (x, y)(x − c1 )(x − c2 ) Chọn q0 (x, y) = q0 (x, y) + q1 (x, y)(x − c1 ) q1 (x, y) = q2 (x, y), ta có p(x, y) = q0 (x, y) + q1 (x, y)R(x, y) Vậy với d = hay d = 0, nghiệm nội suy tồn từ #X = dim Sn2 , suy X Sn2 -xác định Với k = X Sn2 -xác định nhất, ta gọi p ∈ Sn2 nghiệm nội suy toán nội suy p(x, y) = f1 (x, y)R(x, y), (x, y) ∈ X 36 Khi p triệt tiêu tập X ∩ R Theo Bổ đề 2.3.4, R chia hết p Vì vậy, tồn q1 ∈ Sn−2 thoả mãn p(x, y) = R(x, y)q1 (x, y) Suy q1 nghiệm toán nội suy q1 (x, y) = f1 (x, y), (x, y) ∈ X \ R không gian Sn−2 Kết cho phép xây dựng tập BerzolariRadon cho nội suy Sn2 Định nghĩa 2.3.6 Giả sử X ⊂ R × [0, +∞) tập có số phần tử #X = dim Sn2 giả sử m ≤ n Với l = 0, , m, giả sử Rl (x, y) = x − cl rl (x, y)rl (x, −y), rl (x, y) = ml x + bl − y, đường cong bậc kl ∈ {1, 2}, với m l=0 kl = 1, kl = 2, = n + Giả sử X0 := X, Xl := X \ (R0 ∪ ∪ Rl−1 ), l = 1, , m, (2.1) l−1 n0 := n, nl := n − ki , l = 1, , m (2.2) i=0 Ta nói X tập Sn2 -Berzolari-Radon #(Xl ∩Rl ) = n1 k1 +1 = dim Sn21 −dim Sn2l −kl , l = 0, , m Áp dụng Mệnh đề 2.3.5, ta có kết sau 37 Định lí 2.3.7 Giả sử X ⊂ R ×[0, +∞) , #X = dim Sn2 tập Sn2 -Berzolari-Radon ứng với đường cong R0 , , Rm Giả sử Xl nl xác định (2.1) (2.2) với l = 0, , m Khi X Sn2 -xác định Với hàm f : D → R, nghiệm toán nội suy đối xứng p(x, y) = f (x, y), (x, y) ∈ X, p ∈ Sn2 , cho công thức Newton m ql (x, y)R0 (x, y) Rl−1 (x, y), p(x, y) = l=0 Trong ql đa thức Sn2 nội suy fl (x, y) Xl ∩Rl , f0 (x, y) = f (x, y), ql (x, y)R0 (x, y) · · · Rl−1 (x, y), (x, y) ∈ D fl (x, y) xác định fl+1 (x, y) := fl (x, y) − ql (x, y) , Rl (x, y) (2.3) (x, y) ∈ D \ (R0 ∪ ∪ Rl ), l = 0, , m − Chứng minh Xét trường hợp m = Nếu k0 = 1, n = 0, #X = dim S02 = Hơn nữa, ta có R0 (x, y) = x − c0 X ⊂ R0 Khi đó, X S02 -xác định có nghiệm p(x, y) = q0 (x, y), q0 (x, y) đa thức giá trị f điểm X Nếu k0 = 2, n = 1, #X = dim S12 = 38 R0 (x, y) = r0 (x, y)r0 (x, −y), với r0 (x, y) = m0 x + b0 − y Do X ⊂ R0 ∩ (R × [0, +∞)), suy toạ độ hai điểm X khác Do X S12 -xác định nghiệm p(x, y) = q0 (x, y), q0 (x, y) = r(x), r đa thức biến P1 nội suy toạ độ hai điểm, tức r(x) = f (x, y), (x, y) ∈ X Giả sử kết cho m − 1, ta chứng minh với m Ta thấy tập X \ R0 tập Sn2 - Berzolari-Radon có bậc n1 = n − k0 đường cong R1 , , Rm Do X \ R0 Sn−k -xác định với #(X ∩ R0 ) = dim Sn2 − dim Sn−k Theo Mệnh đề 2.3.5, X Sn2 -xác định X ∩ R0 Sn2 -độc lập Giả sử q0 ∈ Sn2 nội suy f X ∩ R0 f1 (x, y) := f (x, y) − q0 (x, y) , (x, y) ∈ D \ R0 R0 (x, y) Theo giả thiết quy nạp nghiệm toán nội suy p1 (x, y) = f1 (x, y), (x, y) ∈ X \ R0 , p1 ∈ Sn2 , cho công thức Newton m p1 (x, y) = ql (x, y)R0 (x, y) Rl−1 (x, y) l=1 39 q1 đa thức Sn2 nội suy fl (x, y) Xl ∩Rl fl (x, y) xác định (2.3) Vậy, đa thức p(x, y) := q0 (x, y) + R0 (x, y)p1 (x, y) thuộc Sn2 nội suy f X Để chứng minh điều này, ý (x, y) ∈ X ∩ R0 R0 (x, y) = p(x, y) = q0 (x, y) = f (x, y) q0 đa thức Sn2 nội suy f (x, y) X ∩ R0 Nếu (x, y) ∈ X1 = X \ R0 , p1 (x, y) = f1 (x, y) p(x, y) = q0 (x, y) + R0 (x, y)f1 (x, y) = f (x, y), (x, y) ∈ X1 Nếu p nội suy khác f X , theo Bổ đề 2.3.4, (p−q0 )/R0 đa thức Sn21 nội suy f1 X1 Từ tính nghiệm nội suy X1 , suy (p−q0 )/R0 = p1 Vậy p = q0 + R0 p1 = p kéo theo tính nghiệm toán nội suy Sn2 X Ta trình bày ví dụ nội suy đối xứng phân giác góc phần tư thứ cách áp dụng Định lý 2.3.7 để tìm công thức Newton cho nghiệm Ví dụ 2.3.8 Tìm đa thức q P3 (R2 ) với tính đối xứng q(ξ, η) = q(η, ξ), (ξ, η) ∈ R2 , 40 thỏa mãn điều kiện nội suy q(0, 0) = 0, q(2, 2) = 2, q(3, 3) = 3, q(4, 4) = 4, q(2, 0) = q(0, 2) = 2, q(5, 1) = q(1, 5) = 16 tập Ξ := {(0, 0), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 0), (0, 2), (5, 1), (1, 5)} Nhận thấy tập mốc nội suy Ξ đối xứng với đường η = ξ nghiệm nội suy có giá trị với điểm đối xứng đường thẳng Để bỏ điều kiện không cần thiết, ta xét tập tập điểm Ξ = {(0, 0), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 0), (5, 1)} Đổi biến x= ξ−η ξ+η , y= 2 biến toán nội suy thành nội suy S32 tập X = {(0, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (1, 1), (3, 2)} Hiển nhiên, X tập S32 -Berzolari-Radon đường cong R0 (x, y) = −y , R1 (x, y) = ( x+1 x+1 − y)( + y) 2 p(x, y) = q(x + y, x − y) ∈ S32 41 nghiệm p(0, 0) = 0, p(2, 0) = 2, p(3, 0) = 3, p(4, 0) = 4, p(1, 1) = 2, p(3, 2) = 16 Trước tiên ta xây dựng q0 (x, y) := r(x) ∈ S32 với r(x) đa thức đơn biến P3 nội suy tập giá trị x X ∩ R0 , nghĩa r(0) = 0, r(2) = 2, r(3) = 3, r(4) = Khi ta có q0 (x, y) = r(x) = x Bây giờ, ta tính giá trị hàm f1 (x, y) := (f (x, y) − q0 (x, y))/R0 (x, y) điểm X \ R0 xây dựng q1 (x, y) := r(x) ∈ S12 với r(x) đa thức đơn biến P1 nội suy tập biến x (X \ R0 ) ∩ R1 , r(1) = −1, r(2) = −13/4 Khi đó, ta có q1 (x, y) = −9 x+ 8 Khi đó, đa thức nội suy p(x, y) = q0 (x, y) − y q1 (x, y) = x + y2 (9x − 1) Cuối cùng, phép đổi biến cho ta ξ + η (ξ − η)2 + (9(ξ+η)−2) q(ξ, η) = p((ξ+η)/2, (ξ−η)/2) = 64 42 Đó nghiệm toán ban đầu Nhận thấy nội suy P3 (R2 ) tập Ξ nghiệm #Ξ = < dim P3 (R2 ) = 10 Tuy nhiên, nội suy đối xứng hàm q(ξ, η) = q(η, ξ), ∀(ξ, η) ∈ R2 , q ∈ S32 , tập Ξ bỏ điểm không cần thiết có nghiệm Chú ý tập X ⊂ R × (0, +∞) A2n -xác định Sn−1 -xác định ta có kết sau Hệ 2.3.9 Một tập Sn−1 -Berzolari-Radon đường cong R0 , , Rm cho đường y = không chứa điểm A2n -xác định Nghiệm toán nội suy phản đối xứng biểu diễn công thức Newton m p(x, y) = yql (x, y)R0 (x, y) Rl−1 (x, y), l=0 Trong f0 (x, y) = f (x, y)/y , q0 (x, y) đa thức Sn2 nội suy hàm f0 (x, y) X0 ∩ R0 ql (x, y) đa thức Sn21 nội suy hàm fl (x, y) cho (2.3) Xl ∩ Rl nl := n − − l−1 i=0 ki , l = 0, , m 43 Kết luận Luận văn tập trung vào nghiên cứu nội suy đa thức đối xứng Kết thu là: (i) Đưa vấn đề nội suy đa thức đối xứng mối quan hệ chúng (ii) Xây dựng tập Berzolari-Radon đường thẳng chứng minh tập tập xác định không gian đa thức đối xứng hai chiều 44 Tài liệu tham khảo [1] L Berzolari, Sulla determinazione di una curva o di una superficie algebrica e su algune questioni di postulazione, Lomb Ist Rend 47, 556–564 (1914) [2] B Bojanov and Y Xu, On polynomial interpolation of two variables, J Approx Theory 120, 267–282 (2003) [3] J M Carnicer and C Godes, Interpolation on the disk, Numer Algorithms 66, 1–16 (2014) [4] J M Carnicer and C Godes, A Newton formula for generalized Berzolari-Radon sets, Adv Comput Math 41, 373–386 (2015) [5] J M Carnicer and C Godes, em Interpolation with symmetric polynomials, Numer Algorithms 74, no 1, 1–18 (2017) [6] K C Chung and T H Yao, On lattices admitting unique Lagrange interpolations, SIAM J Numer Anal 14, 735– 743 (1977) 45 [7] M Gasca and J I Maeztu, On Lagrange and Hermite interpolation in Rk , Numer Math 39, 1–14(1982) [8] M Gasca and V Ramırez, Interpolation systems in Rk , J Approx Theory 42, 36–51(1984) [9] D Kincaid and E W Cheney, Numerical analysis: mathematics of scientific computing Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove (1990) [10] H Li, J Sun and Y Xu, Discrete Fourier analysis, cubature and interpolation on a hexagon and a triangle, SIAM J Numer Anal 46, 1653–1681 (2008) [11] H Li and Y Xu, Discrete Fourier analysys on a dodecahedron and a tetrahedron Math Comput 78, 999–1029 (2009) [12] C A Micchelli, Algebraic aspects of interpolation In: de Boor, C (ed.) Approximation Theory, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics 36, pp 81–102 AMS (1986) [13] J Radon, Zur mechanischen kubatur, Monatsh Math 52, 286–300 (1948) [14] L Rafayelyan, Poised nodes set constructions on algebraic curves, East J Approx 17, 285–298 (2011) 46 ... đa thức nhiều biến 19 1.2.2 Đa thức nội suy Lagrange nhiều biến 21 Nội suy đa thức đối xứng 23 2.1 Nội suy đa thức biến chẵn lẻ 23 2.2 Nội suy đối xứng phản đối xứng 26 2.3 Tập nội. .. toán nội suy tập hợp đối xứng mốc nội suy thành hai toán nội suy nửa trục tọa độ 2.2 Nội suy đối xứng phản đối xứng Để xây dựng toán nội suy đối xứng phản đối xứng, trước tiên ta giới thiệu hàm đối. .. xác định, đa thức LA1 ◦ LA2 (f ) LA1 (f ) thoả mãn điều kiện nội suy Công thức sau cho ta mối quan hệ đa thức nội suy d mốc nội suy với đa thức nội suy d − mốc Định lí 1.1.9 (Công thức Neiville-Aitken)