Khóa luận tốt nghiệp lý thuyết về đa thức đối xứng

Những lĩnh vực đại số đối với học sinh trung học phổ thông thường là các dạngtoán về giải phương trình và phương trình bậc cao, phân tích các đa thức nhiều biếnbậc cao thành nhân tử, tìm

Lời cảm ơn

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Th.S Phan Trọng Tiến, người đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện khóa luận.

Em cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô Trường Đại học Quảng Bình, đặc biệt là các thầy cô giáo trong khoa Khoa học tự nhiên đã dạy dỗ em trong suốt thời gian ngồi trên ghế nhà trường, chính nhờ sự dạy dỗ đó em đã học được rất nhiều điều bổ ích cho chuyên ngành của mình và trong cuộc sống.

Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, cảm ơn tập thể lớp ĐHSP Toán K55, bạn bè và tất cả mọi người luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong những lúc khó khăn, sự động viên đã giúp bản thân ngày càng cố gắng học tập và hoàn thành khóa luận này.

Em xin chân thành cảm ơn!

Quảng Bình, tháng 5 năm 2017

Tác giả

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, Toán học có vai trò vô cùng quan trọng trong đời sống,trong công nghệ và khoa học hiện đại, nó là công cụ thiết yếu giúp chúng ta học tốt cácmôn học khác, và có thể hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực Môn Toán có khảnăng to lớn, giúp chúng ta phát triển năng lực, phẩm chất, trí tuệ và có khả năng đónggóp tích cực vào việc giáo dục tư tưởng đạo đức, lối sống cho chúng ta

Hiện nay, trong chương trình toán học trung học phổ thông thì phần đa thức rấtquan trọng Đa thức trở thành một công cụ đắc lực của Giải tích Trong các kì thi họcsinh giỏi quốc gia hay kì thi Olympic toán quốc tế thì các bài toán về đa thức luônđược đề cập đến và nó là một trong những bài tập khó của bậc THPT

Những lĩnh vực đại số đối với học sinh trung học phổ thông thường là các dạngtoán về giải phương trình và phương trình bậc cao, phân tích các đa thức nhiều biếnbậc cao thành nhân tử, tìm nghiệm nguyên của phương trình hay chứng minh đẳngthức và bất đẳng thức Một trường hợp quan trọng và thường gặp của các bài toán củalĩnh vực nói trên là khi các biến số của đa thức có vai trò như nhau Chúng ta gọi đathức trong trường hợp này là đa thức đối xứng Khóa luận “Ứng dụng của đa thức đốixứng vào giải các bài toán đại số ” trình bày một số vấn đề liên quan đến nhiều bàitoán có yếu tố đối xứng, nếu biết áp dụng lí thuyết về đa thức đối xứng sẽ làm cho bàitoán trở nên đơn giản hơn Khóa luận nhằm giới thiệu về lý thuyết của đa thức đốixứng và những ứng dụng của nó trong đại số sơ cấp Hy vọng sẽ giúp các bạn học sinhnắm vững và giải quyết thành thạo các bài toán có liên quan đến đa thức đối xứng

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận nhằm thể hiện vai trò quan trọng của Giải tích và Đại số trong khảosát đa thức Đây là chuyên đề nhằm tổng quan về đa thức đối xứng thông qua các địnhnghĩa, định lý, ví dụ

3 Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

• Nghiên cứu các tài liệu: Giáo trình, sách tham khảo về đa thức

• Tham khảo nguồn tài liệu từ Internet: www.tailieu.vn, www.xemtailieu.com

• Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giảng viên hướng dẫn

4 Nội dung nghiên cứu

Trong đề tài “Ứng dụng của đa thức đối xứng vào giải các bài toán đại số ”, tôi

đã đưa ra một số định nghĩa, định lý và các ứng dụng của đa thức đối xứng vào giảicác bài toán đại số

Chương 1 Lý thuyết về đa thức đối xứng

Ở chương này, tôi sẽ trình bày một số kiến thức lý thuyết cơ bản của đa thức đốixứng mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình làm các bài toán liên quan đến

đa thức thức đối xứng

Chương 2 Ứng dụng của đa thức đối xứng để giải các bài toán đại số.

Ở chương này, tôi sẽ hệ thống lại một số dạng toán có ứng dụng của đa thức đốixứng như giải phương trình, hệ phương trình, phân tích đa thức thành nhân tử vàphương pháp làm của một số bài toán

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG

1 Đa thức đối xứng hai biến

1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Đa thức P x y ( , )được gọi là đối xứng của hai biến x y , nếu nó không thay đổi giá trị khi thay x y , cho nhau Nghĩa là:

( , ) ( , ), ,

P x y = P y x ∀x y∈¡

Ví dụ: P x y( , )= +x y

Q x y( , )= x3+ xy y+ 3

là đa thức đối xứng của các biến x y ,

Định nghĩa 1.1.2 Các đa thức σ = +1 x y, σ =2 xy được gọi là đa thức đối xứng

cơ sở của các biến x y , .

Định nghĩa 1.1.3 Đa thức đối xứng P x y ( , )được gọi là thuần nhất bậc m, nếu:

Giả sử định lý đã đúng cho m k < Khi đó sk−1 và sk−2 lần lượt là các đa thức

bậc k − 1, k − 2của σ1, σ2 Theo công thức (1) ta suy ra sk là đa thức bậc k của σ1 và2

σ Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh

Dùng công thức Newton, ta nhận được các biểu thức sau:

Định lý 1.2.4 (Công thức Waring) (Theo [1])

Tổng lũy thừa sk được biểu diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở σ1 và σ2 theocông thức:

2 2

1 2 0

k m s

2 Đa thức đối xứng ba biến

2.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 2.1.1 (Theo [1]) Đa thức P x y z( , , ) được gọi là đa thức đối xứng củabiến x y z , , nếu nó không thay đổi với mọi hoán vị của x y z , , , nghĩa là

2.2 Tổng lũy thừa, tổng nghịch đảo

Định nghĩa 2.2.1 Các đa thức sm = xm + ym + zm được gọi là các tổng lũy thừabậc mcủa các biến x y z , ,

Định lý 2.2.2 (Công thức Newton) (Theo [1])

Với mọi k ∈ ¢, ta có hệ thức: sk = σ1sk−1− σ2sk−2 + σ3sk−3

Định lý 2.2.3 (Theo [1])

Mỗi tổng lũy thừa sk = xk + yk + zk đều có thể biểu diễn dưới dạng một đa thứcbậc n theo các biến σ σ σ1, ,2 3

Định lý 2.2.4 (Công thức Waring) (Theo [1])

Tổng lũy thừa skđược biểu diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở theo công thức

l m n k

l m n s

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀO

GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

1 Giải phương trình đối xứng và phương trình hồi quy

trong đó được gọi là các đa thức hồi quy

Phương trình của đa thức hồi quy được gọi là phương trình hồi quy

Khi α = 1 thì đa thức hồi quy trở thành đa thức hệ số đối xứng

k k k

z z

Phương trình dạng này ta luôn nhẩm được 1 nghiệm z = − α .

Khi đó, phân tích ra thừa số z+α với nhân tử còn lại hồi quy bậc 2n

Giải theo dạng đa thức hồi quy bậc chẵn

Đây là bài toán phương trình hồi quy bậc chẵn với α = 1.

Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho nên chia 2 vế củaphương trình cho x2 và biến đổi phương trình này về dạng, ta có:

6

x x

+ =

* Trường hợp 1: 1

0

x x

3 2 2 3

x x

σ σ σ

3

z z

3

z z

+ =

* Trường hợp 1: 1

2

z z

* Trường hợp 2: 1 10

3

z z

3 1 3

z z

3 1 3

z z

Ở dạng phương trình đối xứng bậc lẻ, luôn nhẩm được nghiệm x = − 1 Phân tích

đa thức đã cho về theo nhân tử x + 1 và nhân tử còn lại hồi quy bậc chẵn Ta có:

x + x − x − x − x − x + x+ = +x x + −x x − x − x + +x

Giải:

Đây là phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ

Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm được nghiệm x = − 1

Chia vế trái cho x + 1, ta được:

6 5 4 3 2

Ta thấy (1) là phương trình đối xứng bậc chẵn

Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia 2 vế của phươngtrình

cho x3 và biến đổi phương trình này về dạng:

Đây là phương trình bậc 8 truy hồi với α = 2

Vì vậy, có thể viết lại phương trình ở dạng:

2 x − 9 x + 20 x − 33 x + 46 x − 33.2 x + 20.2 x − 9.2 x + 2.2 = 0

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho

Chia hai vế của phương trình cho x4 và biến đổi về dạng

* Trường hợp 2: 2

2

x x

+ = ⇔ x2 − 2 x + = 2 0.Phương trình này vô nghiệm

* Trường hợp 3: 2

3

x x

* Trường hợp 4: 2 3

2

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x=1;x=2

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình tương đương: 2 72

x y

x y

5 5

3 3

2 2

31 7 3

1

2

1 2

σ σ

x y

x y

x y

x y

7

σ = , hệ phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ đã cho là

2

; 1

x y

x y

x y

Có những bài toán đưa ra chưa có dạng của hệ phương trình đối xứng, ta cần đặt

ẩn phụ và biến đổi để đưa về hệ phương trình đối xứng Ta xét các bài toán sau

Bài 3: Giải hệ phương trình

Lời bình: Ở đây, các phương trình của hệ chưa có dạng của các phương trình đối

xứng Ở phương trình thứ nhất, nếu ta đặt x u = , 4 y3− = 1 v thì suy ra x2 = u4 và

σ σ

σ σ

u v

u v

4

0 0

82

1 3

x x

y y

Khi đó, ta có: 3

18

u v uv

+ =



 =

 (II)

Hệ phương trình (II) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 9

1

x y

x y

x x



2 2 1 12( ) 35

σ σ

σ σ

u v uv

u v

x x

x

x x

u v uv

Hệ phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 5

phương trình đối xứng theo hai biến x, y

x y

=



 =



Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1; x = 4

Bài 6: Giải hệ phương trình sau :

13 3

1 1 1 13

3 1

x y z

x y z xyz

1 (3, ,1), 3

1 ( ,3,1), 3

1 (1, ,3), 3

1 ( ,1,3).

3.2 Phương pháp

Áp dụng định lí trên vào việc chứng minh bất đẳng thức, ta làm như sau:

Xét đa thức đối xứng P x y ( , ), ta chứng minh với mọi giá trị bất kì thì đa thứcnhận giá trị không âm Ta đưa đa thức về theo hai biến σ1, σ2 Thay σ2 bởi σ1 và đạilượng không âm z = σ12 − 4 σ2 Khi đó ta nhận được đa thức theo hai biến σ1, z và

chứng minh đa thức cần chứng minh nhận giá trị không âm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y ⇔ = x y

Suy ra kết quả cần chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b ⇔ = a b

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài 2: Chứng minh rằng nếu x và y là hai số thực, thì bất đẳng thức sau đây đúng

x4 + y4 ≥ x y xy3 + 3 (1)

Lời bình:

Để chứng minh bất đẳng thức (1), ta chứng minh x4 + y4 − x y xy3 − 3 ≥ 0 Vếtrái là đa thức đối xứng với 2 biến x,y Sử dụng công thức Waring đối với s s2; 4 vàdùng đại lượng không âm z = σ12 − 4 σ2 Việc sử dụng đại lượng này như một công cụgián tiếp giúp cho việc chứng minh bất đẳng thức đối xứng một cách dễ dàng hơn.Giải:

Đa thức đối xứng cơ sở là σ1= + x y ; σ2 = xy

z − =

Khi đó, σ =1 a và

2 2

3 Thay giá trị của σ = +1 x y và σ =2 xy vào biểu thức và biến đổi đưa về tíchcủa những đa thức bậc hai hoặc ba theo x y , và từ đây, ta tính nghiệm của từng thừa

CHÚ Ý:

Có nhiều trường hợp khi đa thức đối xứng chuyển sang đa thức phụ thuộc vào σ1

và σ2, nhưng khi giải phương trình đối với ẩn σ2 thì không có nghiệm thực Theocách phân tích như trên thì không có kết quả Với những đa thức như vậy, ta có thểphân tích ra thừa số bằng cách dùng phương pháp hệ số bất định

Bài 3: Phân tích đa thức thành đa thức thành thừa số:

6 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình đối xứng

6.1 Phương pháp giải

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng, ta đặt σ1 = + x y ; σ2 = xy

Ta đưa phương trình ban đầu về theo phương trình chứa σ1, σ2 Dùng điều kiện2

Ta thấy 12 σ +2 1 là số chính phương nên:

- Với σ1= 0, σ2 = 0thì phương trình có nghiệm nguyên là:x = 0, y = 0

- Với σ1= ⇒ 1 σ2 = 0 thì phương trình có nghiệm nguyên là:

x y

=



 =



- Với σ =1 2, 12 σ + =2 1 9 thì phương trình không có nghiệm nguyên

- Với σ1= 3, σ2 = 2 thì phương trình có nghiệm nguyên là: 1

2

x y

x y

Ta viết phương trình này dưới dạng σ12 − + = σ1 1 3 σ2

Từ việc đặt σ = +1 x y , σ =2 xy thì điều kiện tồn tại hai số x y , là 2

1 4 2

Sử dụng điều kiện này ta có: 12 1 3 12

1 4

+ =



 =



Hệ này luôn có nghiệm duy nhất là x y = = 1.

Như vậy nghiệm của phương trình đã cho là 1

1

x y

Từ việc đặt σ1 = + x y , σ2 = xy thì điều kiện tồn tại hai số x y , là 2

x y

=



 =



Các nghiệm trên này không thỏa mản yêu cầu nghiệm nguyên dương

* Với σ =1 2, 12 σ + =2 1 9 thì phương trình không có nghiệm nguyên

* Với σ =1 3 thì σ =2 2

Ta có hệ 3

2

x y xy

x y

x y z

x y z

x y z

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm nguyên dương là:

x y z

x y z

7.1 Bài toán về tam thức bậc hai

Lập phương trình bậc hai mà các nghiệm mà các nghiệm của nó là lũy thừa bậc

ba của phương trình x2 − 6 x + = 8 0

Giải:

Giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.

1, 2

y y là nghiệm của phương trình bậc hai cần tìm.

b,c là hệ số của phương trình bậc hai y2 +by c+ =0

Đặt 7 3

; 5

KẾT LUẬN

Khóa luận đã trình bày một số kiến thức cơ sở liên quan, những định nghĩa,định lý và những ứng dụng của đa thức đối xứng trong việc giải các bài toán đại số sơcấp

Nội dung khóa luận dừng lại ở việc nghiên cứu một số bài toán và ứng dụngcủa đa thức đối xứng Trong tương lai, tôi sẽ cố gắng nghiên cứu sâu hơn và toàn diệnhơn về vấn đề này

Do điều kiện về thời gian cũng như năng lực nghiên cứu của bản thân cònnhiều hạn chế nên khoá luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót, bản thân tôi rấtmong nhận được sự đóng góp, bổ sung của Quý thầy, cô giáo và các bạn để khóa luậnđược hoàn thiện hơn

Cuối cùng, một lần nữa tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướngdẫn ThS Phan Trọng Tiến và các thầy cô đã giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập

và hoàn thành khóa luận

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Ngọc, Chuyên đề chọn lọc Đa thức đối xứng và áp dụng, NXB Hà Nội, 2009.

[2] Nguyễn Hữu Điền, Giải toán bằng phương pháp đại lượng bất biến, NXB Giáo

dục, 2004

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

Giảng viên hướng dẫn (kí, ghi rõ họ tên)

NHẬN XÉT CỦA PHẢN BIỆN 1

Phản biện 1 (kí, ghi rõ họ tên)

NHẬN XÉT CỦA PHẢN BIỆN 2

Phản biện 2 (kí, ghi rõ họ tên)