CÁC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG CƠ BẢN 2 BIẾN

CÁC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG CƠ BẢN 2 BIẾN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Các biểu thức đối xứng cơ bản ��ng giác cơ bản' title='chứng minh các hệ thức lượng giác cơ bản'>CÁC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG CƠ BẢN 2 BIẾN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Các biểu thức đối xứng cơ bản ng thức lượng giác cơ bản' title='cách chứng minh các công thức lượng giác cơ bản'>CÁC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG CƠ BẢN 2 BIẾN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Các biểu thức đối xứng cơ bản 2 biến :  S = a + b , P = ab . Ta có bđthức liên hệ giữa 2 biểu thức là : (a + b) 2 ≥ 4 ab hay S 2 ≥ 4P ; dấu "=" xảy ra ⇔ a = b .  Mọi đa thức đối xứng 2 biến đều có thể biểu thị qua các đa thức đối xứng cơ bản S , P . Ta có : a 2 + b 2 = S 2 - 2 P ; a 3 + b 3 = S 3 - 3SP 2/ Áp dụng chứng minh bất đẳng thức : Ví dụ 1: Chứng minh với a ≥ 0 , b ≥ 0 ta có : a 3 + b 3 + 2 ≥ 2ab + a + b (♦) Ta đặt S = a + b ; P = ab . Ta có S ≥ 0 , P ≥ 0 và S 2 ≥ 4P ( dấu "=" xảy ra ⇔ a = b ) khi đó a 3 + b 3 = S 3 - 3SP . (♦) ⇔ S 3 - 3SP +2 ≥ 2P +S ⇔ S 3 - S + 2 - (3S + 2) P ≥ 0 (♥ ) Vtrái (♥ ) ≥ S 3 - S + 2 - (3S + 2) . S 2 /4 = ( ) ( ) 0 4 2S2S 2 ≥ +− (đúng). (♥ ) được cminh hay (♦ ) được cminh . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b ; a + b -2 = 0 ⇔ a = b = 1 Ví du 2: Cho a ≥ 0 , b ≥ 0 và a 3 + b 3 =2 , chứng minh : a 2 + b 2 ≥ 3 4 (• ) Ta có a ≥ 0 , b ≥ 0 va a 3 + b 3 = 2 ⇒ S = a + b > 0 , P = ab ≥ 0 và S 3 - 3SP =2 ( ) Vt (• ) = a 2 + b 2 = S 2 - 2P và ( ) ⇒ P = S3 2S 3 − Vt (• ) = S 2 -2 S3 2S 3 − =       += + S 4 S 3 1 S3 4S 2 3 3 3 22 4 S 2 . S 2 S 3. 3 1 S 2 S 2 S 3 1 =≥       ++= ( bđt Cô si ) Vậy (• ) được cminh . . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b và S 2 = 2/S ⇒ a = b = 2 2 3 Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 3 + y 3 -15xy với x > 0 , y > 0 Đặt S = x + y , P= xy ; ta có : S 2 ≥ 4P (dấu "=" xảy ra ⇔ x = y) Ta có A = S 3 - 3SP - 15P ≥ S 3 - 3S.S 2 /4 - 15.S 2 /4 = 4 S15S 23 − A nhỏ nhất ⇔ f (S) = S 3 - 15S 2 với S > 0 là nhỏ nhất . Ta có : f '(S) = 3S 2 - 30S = 0 ⇒ S = 0 hay S = 10 S 0 10 +∞ f'(S) - 0 + ⇒ min f (S) = f (10 ) = - 500 ⇒ min A = - 500/4 = - 125 khi x = y = 5 @ Bạn tìm hiểu thêm : Các đa thức đối xứng cơ bản 3 biến và vận dụng cminh bđthức . . CÁC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG CƠ BẢN 2 BIẾN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Các biểu thức đối xứng cơ bản 2 biến :  S = a + b , P = ab . Ta có b thức liên. 2 biểu thức là : (a + b) 2 ≥ 4 ab hay S 2 ≥ 4P ; dấu "=" xảy ra ⇔ a = b .  Mọi đa thức đối xứng 2 biến đều có thể biểu thị qua các đa thức đối