Một số phương pháp mới xác định cấp của đa thức trên vành đa thức sử dụng tính chất của nhóm nhân cyclic đối xứng

Việc tìm được nhóm nhân đạt cấp cực đại trong vành đa thức có ý nghĩa và vai trò quan trọng nhất trong việc cấu trúc lên mã cyclic cục bộ. Bài báo này sẽ đề xuất một số phương pháp mới xác định các cấp của các đa thức trên vành đa thức sử dụng tính chất của nhóm nhân cyclic đối xứng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Hội+ӝL7KҧR4XӕF*LDYӅĈLӋQ7ӱ7UX\ӅQ7K{QJYj&{QJ1JKӋ7K{QJ7LQ(&,7 Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Một số phương pháp xác định cấp đa thức vành đa thức sử dụng tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng Nguyễn Trung Hiếu Khoa Kỹ thuật Điện tử 1, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, Hà Nội, Việt Nam Email: hieunt@ptit.edu.vn giảm độ phức tạp tính tốn, rút ngắn thời gian tính tốn tới mức tối đa đặc biệt xác định cấp toàn đa thức vành lớn mà nghiên cứu trước chưa đề cập Tóm tắt– Mã cyclic cục (LCC) mã khối tạo thành dựa phân hoạch vành đa thức Phương pháp điển hình xây dựng mã LCC dựa nhóm nhân cyclic với ưu điểm bật số lượng mã tạo phương pháp nhiều phương pháp tạo mã cyclic dựa Ideal Việc tìm nhóm nhân đạt cấp cực đại vành đa thức có ý nghĩa vai trò quan trọng việc cấu trúc lên mã cyclic cục Bài báo đề xuất số phương pháp xác định cấp đa thức vành đa thức sử dụng tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng Nội dung báo chia làm năm phần Phần II, trình bày phân bố đa thức dựa cấp đa thức nhóm nhân cyclic Trong phần III, đề xuất phương pháp chứng minh tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng, phần IV đề xuất hai thuật toán xác định cấp đa thức vành thảo luận cần thiết chúng Cuối cùng, kết luận báo trình bày phần V Từ khóa– Mã cyclic cục (LCC-Local Cyclic Code), Nhóm nhân cyclic (CMG- Cyclic Multiplicative Group), Vành đa thức, phân hoạch II. PHÂN BỐ ĐA THỨC DỰA TRÊN CẤP CỦA ĐA THỨC TRÊN NHÓM NHÂN CYCLIC I. GIỚI THIỆU Định nghĩa 1: [10] CMG Lý thuyết mã hóa nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực sống, đặc biệt lĩnh vực truyền thơng Lý thuyết mã hóa phát triển theo ba hướng lớn là: mã nguồn, mã kênh (có khả phát sửa lỗi) mật mã [1], [2] Mã cyclic lớp mã quan trọng mã khối tuyến tính, có khả phát sửa lỗi tốt, ứng dụng điện tử dân dụng, hệ thống lưu trữ, hệ thống truyền thơng có nhiều phương pháp mã hóa giải mã hiệu A i > x@ / xn  tập hợp 1, 2, ` , với a x  ord a x  > x@ / xn  1\ ^0` A  a x - phần tử sinh CMG A Định nghĩa 2: Cấp đa thức [9] Mã cyclic Eugene Prange nghiên cứu năm 1957 [1] Ngày nay, mã cyclic nhận quan tâm từ nhà nghiên cứu toàn giới [3]-[8] Một hướng nghiên cứu mã cyclic biết đến mã cyclic cục (LCC-Local Cyclic Code) đưa tác giả Nguyễn Bình vào năm 1980 [10] LCC thu hút nhiều nhà nghiên cứu số kết nghiên cứu LCC cơng bố tạp chí chun ngành hội nghị khoa học quốc tế [9]-[14] Cấp đa thức a( x)  [ x] / ( xn  1) (ký hiệu ord a( x) ) số nguyên dương m nhỏ thỏa mãn: a m1 ( x) a( x) mod ( x n  1) a m ( x)  e( x) mod ( x n  1)   e2 ( x) Trong e( x) lũy đẳng vành, e( x) Các nghiên cứu trước chủ yếu tập trung vào cấu trúc mã [9], [10], [11], [13], [14], thực cứng hóa mã LCCs [12] Nhìn chung, LCC xây dựng dựa cấu trúc phân hoạch CMG vành đa thức [9], [11] Như vậy, a( x) tạo nên nhóm cyclic cấp m vành Định lý 1: [9] Xét a( x) phần tử nhóm nhân đó, cấp cực đại a( x) xác định sau: Tuy nhiên, thuật toán xác định cấp đa thức vành đa thức đến sử dụng phương pháp vét cạn có độ phức tạp lớn, bị hạn chế lực thời gian tính tốn Bài báo nghiên cứu phương pháp chứng minh tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng, đề xuất hai bổ đề phân bổ đa thức nhóm nhân cyclic theo cấp đề xuất thuật toán cải tiến xác định cấp đa thức vành nhằm làm ISBN: 978-604-67-0635-9 ^a x , i - Nếu n lẻ ( n f i ( x) max ord (a( x)) 248  2k  ) x n  đa m thức bất 1 Trong m – f ( x) ; khả i quy Khi max deg fi ( x) Hội+ӝL7KҧR4XӕF*LDYӅĈLӋQ7ӱ7UX\ӅQ7K{QJYj&{QJ1JKӋ7K{QJ7LQ(&,7 Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) 2s (2k  1) ) x 2k 1  - Nếu n chẵn ( n – f ( x) ; Như vậy, ta có: bmk ( x) i fi ( x) đa thức bất khả quy Khi 2s (2m 1) Trong m max ord (a( x)) m  gcd m, k mk Bổ đề 2: Số đa thức đạt cấp cực đại vành tính N M (m) , với m cấp cực đại N số nhóm nhân cyclic đạt cấp cực đại độc lập (nghĩa khơng có nhóm nhân hốn vị nhóm nhân khác) Chứng minh:  Theo hệ bổ đề 1, số đa thức đạt cấp cực đại nhóm nhân cyclic tính hàm Phi-Euler ( M (m) ) Hệ quả: Trong nhóm nhân cyclic cấp m thì: Bổ đề hiển nhiên + Các đa thức vị trí thứ k nguyên tố với m có cấp m , nghĩa GCD m, k mk m + Số đa thức đạt cấp Ví dụ 1: Xét vành đa thức Đ 1à ek e e l hm Phi-Euler, với m p11 p22 pk ; pi ¹ i © pi - số nguyên tố khác nhau; ei - cỏc s nguyờn dng M m m ă1  Chứng minh: Trên vành A [ x] / ( x n  1) , xét nhóm nhân cyclic ^a( x), a ( x), , a m ( x)` , có ord A m B mk ` ^a ( x), a ( x) k 2k ` ( x), , a mk k ( x) (1) Dãy đa thức B hoàn toàn phân biệt Giả sử có phần tử thứ i thứ j có giá trị, § · k m cho gcd m, k , ta c ăă (i  j ) , ¸¸ gcd gcd m , k m, k â Cú mk k nguyờn a ( x) mk k dương), a ( x) mq ta e( x) nhận q Định nghĩa 3: [9] Đa thức a ( x) gọi đa thức đối xứng với đa thức a( x) nếu: a m ( x) lũy đẳng mk , đặt q gcd m, k k ( q số gcd m, k mk k mq [ x] / ( x5  1) , số đa thức III. ĐỀ XUẤT MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TÍNH CHẤT CỦA NHĨM NHÂN CYCLIC ĐỐI XỨNG e( x) a( x) Đặt e( x) đạt cấp cực đại M 15 *2 16 Ta có 16 đa thức đạt cấp cực đại: (012), (024), (034), (123), (013), (134), (234), (124), (01), (02), (04), (34), (03), (23), (24), (12), (13) Vì a( x) đa thức sinh nhân cyclic A cấp m , nên ( x) ­ 01 , 02 , 0123 , 04 , 14 , 0124 , 34 , ẵ đ ắ 03 , 0134 , 23 , 24 , 0234 , 12 , 13 , 1234 ¿ ° ¯ Xem xét đa thức vnh Đ Ã k m gcd ăă , áá , nên suy (i  j ) mk Ta cú â gcd m, k gcd m, k i  j  mk , ik { jk mod m vơ lý a A2 Có đa thức vị trí thứ 10 có cấp § 1· ( M (3) ¨1  ¸ ) Các đa thức vi a thc th â 3ạ 15 to thnh nhúm nhân {(023), (014), (0)} ik { jk mod m ik  jk m œ (i  j )k m Chia vế m 1 ­ ½ ° 012 , 024 , , 034 , 023 , , 123 , đ ắ 013 , , 014 , 134 , , 234 , 124 , ° ° ¯ ¿ Có đa thức vị trí thứ 3, 6, 9, 12 có cấp bng Đ 1à ( M (5) ă1  ¸ ) Các đa thức với đa thc th â 5ạ 15 to thnh nhúm nhõn {3, 1, 4, 2, 0} Cần chứng minh vấn đề: (2) bmk ( x) A1 Có đa thức vị trí 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 có cấp 15 cấp cực đại, phù hợp với hệ quả: § ·§ · M (15) 15 ă1  áă1  © ¹© ¹ a k ( x) m , xét gcd m, k ^b( x), b ( x), , b [ x] / ( x5  1) , khơng xét lũy Cả hai nhóm nhân có cấp 15 Xem xét CMG A1 : Xét nhóm nhân cyclic B có đa thức sinh b( x) Đặt mk đẳng nuốt en ( x)  x  x  x  x , có nhóm nhân sau: M (m) Trong đó: m e( x) Bổ đề chứng minh max deg fi ( x) Bổ đề 2.1: Trong nhóm nhân cyclic cấp m , cấp đa thức thứ k bằng:  a( x)mk k  a ( x) ¦a x iI có đó: I e( x) (đa thức lũy đẳng) 249  i i J =‡ =‡; I a ( x) ¦a x j J J S j j a ( x)  ^0,1, , n 1`  Hội+ӝL7KҧR4XӕF*LDYӅĈLӋQ7ӱ7UX\ӅQ7K{QJYj&{QJ1JKӋ7K{QJ7LQ(&,7 Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Dựa vào tính chất a x en x  a x lũy đẳng nuốt, ta có: Bổ đề 3: (Nhóm nhân cyclic đối xứng) Xét a x phần tử sinh nhóm nhân cyclic A, a x phần tử sinh nhóm nhân cyclic A ( A gọi đối xứng nhóm nhân A) Ta có: A A  ^a x mod x  1` ^a x mod x  1`  A i n i n A; a x  ­ ° 03 , 01 , 0134 , 02 , 23 , 0123 , 24 , 04 , ẵ đ ắ ° 0234 , 14 , 12 , 0124 , 13 , 34 , 1234 ° ¯ ¿ ·§ 1· ¹© ¹ A 15 ^124 , 234 , 134 , 013 , 123 , 034 , 024 , 012 ` Trong CMG A , phần tử có cấp 15 là: ^ 03 , 01 , 02 , 24 , 04 , 12 , 13 , 34 ` W a k ( x)  chẵn Như vậy, với phần tử a( x) nhóm nhân cyclic A - Nếu W a( x) chẵn, k  N , k ! W a k ( x) ta có tương ứng phần tử a ( x) nhóm nhân cyclic A Từ nhóm nhân cyclic A ta dễ dàng thiết lập nhóm nhân cyclic A Hai nhóm nhân A A gọi hai nhóm nhân cyclic đối xứng vành đa thức chẵn W a k ( x)  lẻ Do W a( x) a k ( x)  chẵn Từ việc khảo sát nhóm nhân đối xứng vành đa thức ta thấy cần khảo sát nhóm nhân nửa vành ta suy kết khảo sát cho toàn vành Khi coi nhóm nhân mã tương ứng mà ta xây dựng nó, ta khảo sát mã vành Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp, ta giả sử i a ( x) ( x) en ( x)  ( x) cần phải chứng minh 1 ( x) en ( x)  1 ( x) Áp dụng tính chất lũy đẳng nuốt en ( x) , phần tử đối xứng a ( x) nhận xét trên, với i  N , i ! , ta có: a ( x) a ( x) e ( x)  a ( x) e ( x)  a ( x) e ( x)  e ( x).a( x) a ( x)   a IV. ĐỀ XUẤT CÁC THUẬT TOÁN MỚI XÁC ĐỊNH CẤP CỦA CÁC ĐA THỨC TRÊN VÀNH ( x) / ( xn  1) Việc tìm cấp tất đa thức vành vấn đề quan trọng tính tốn xác định đa thức đạt cấp cực đại vành sở cho việc kiến thiết nhóm nhân cyclic mã cyclic tương ứng i i n n n i 1 n i 1 ( x)   en ( x)  a i 1 ( x) a i 1 ( x) Như bổ đề chứng minh Do đó, khảng định tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng: A  A Trong CMG A, phần tử có cấp 15 là: - Nếu W a( x) lẻ, k  N , k ! W a k ( x) lẻ  ­124 , 234 , , 134 , 014 , , 013 , 123 , ° ẵ đ ắ 1 , 023 , 034 , , 024 , 012 , ° ¯ ¿ § © Trọng số a( x) ký hiệu W a( x) , có nhận xét sau: a i 1 ( x) A M 15 15 ă1  áă1  ¸ i Chứng minh: a i 1 ( x) x  x  x l 124 Ta có A ~ 15,5,7 , A ~ 15, 4,8 A a x i , a x Ví dụ 3: n A A ^a( x), a ( x), a ( x), ` ^a ( x), a ( x), a ( x), `  2 A Thuật toán vét cạn a) Ý tưởng: Thử tất đa thức kiểm tra cấp đa thức 3 b) Độ phức tạp thuật toán: O 2n *max order * n , với O(n)  ^a( x), a ( x), a ( x), ` Trên vành đa thức [ x] / ( x n  1) có 2n  đa thức (nếu khơng tính lũy đẳng nuốt phần tử 0) Hai thuật toán cải tiến xác định cấp tất đa thức vành kết nghiên cứu trình bày đây, đa thức biểu diễn số nguyên, hệ số đa thức biểu diễn số ngun hệ nhị phân Ví dụ: 11 (1011)2 x3  x  chi phí kiểm tra đa thức có n hệ số c) Thuật toán vét cạn: 250  Hội+ӝL7KҧR4XӕF*LDYӅĈLӋQ7ӱ7UX\ӅQ7K{QJYj&{QJ1JKӋ7K{QJ7LQ(&,7 Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) (1) Tìm cấp cực đại đa thức vành việc kiểm tra chiều dài cực đại lớp kề cyclic Độ phức tạp O(n) INPUT: integer n OUTPUT: order of all polynomials For k from to ( 2n  ) the following: (2) Áp dụng bổ đề Tìm CMG, đa thức vị trí thứ m , với m cấp đa thức sinh CMG k cấp gcd m, k Convert k to polynomial f ( x) Set g ( x) m f ( x) (3) Áp dụng bổ đề để tìm CMG đối xứng Set count m b) Độ phức tạp thuật toán: O N *max order * n , N số nhóm nhân cyclic đạt cấp cực đại độc lập (theo bổ đề 2) While(1) the following: 4.1 Set g ( x) m g ( x) f ( x) c) Thuật toán cải tiến 2: 4.2 count m count  4.3 If g ( x) the loop INPUT: integer n f ( x) then ord > k @ m count and break OUTPUT: order of all polynomials Set all visited > B Thuật toán cải tiến a) Ý tưởng: Sử dụng đa thức đối xứng nhóm nhân cyclic đối xứng, với ord a ( x) ord a( x) @m0 For k from to ( 2n  ) the following: 2.1 If visited > k @ then continue b) Độ phức tạp thuật toán: O 2n *max order * n 2.2 Convert k to polynomial f ( x) c) Thuật toán cải tiến 1: 2.3 Set g ( x) m f ( x) INPUT: integer n 2.4 Set count m OUTPUT: order of all polynomials 2.5 While(1) the following: Set all visited > @m0 2.5.1 Set g ( x) m g ( x) f ( x) For k from to ( 2n  ) the following: 2.5.2 Convert inversely g ( x) to an integer M 2.1 If visited > k @ then continue 2.5.3 stored >count @ m M 2.2 Convert k to polynomial f ( x) 2.5.3 If g ( x) f ( x) then break the loop; 2.6 For i from to count 2.3 Set g ( x) m f ( x) 2.4 Set count m 2.6.1 poly _ i m stored >i @ 2.5 While(1) the following: 2.6.2 opp _ poly _ i m 2n   poly _ i 2.5.1 Set g ( x) m g ( x) f ( x) 2.6.3 ord > poly _ i @ m count / GCD i, count , and ord >opp _ poly _ i @ m ord > poly _ i @ 2.5.2 count m count  2.5.3 If g ( x) f ( x) then 2.6.4 visited > poly _ i @ m and visited >opp _ poly _ i @ m n a) opp _ k m   k b) ord > k @ m count , and ord >opp _ k @ m count D Khảo sát đánh giá thuật tốn Trong ba thuật tốn trình bày thuật tốn vét cạn thuật tốn cải tiến có độ phức tạp O 2n *max order * n , thuật tốn cải tiến có độ phức tạp c) visited > k @ m , and visited >opp _ k @ m d) break the loop O N *max order * n Nhìn chung với n lớn độ phức tạp thuật toán cải tiến thấp so với hai thuật tốn cịn lại C Thuật tốn cải tiến a) Ý tưởng: Sử dụng kết nghiên cứu cấp CMG đối xứng 251  Hội+ӝL7KҧR4XӕF*LDYӅĈLӋQ7ӱ7UX\ӅQ7K{QJYj&{QJ1JKӋ7K{QJ7LQ(&,7 Thảo Quốc Gia 2015 Điện Tử, Truyền Thông Cơng Nghệ Thơng Tin (ECIT 2015) góp phần bổ sung vào sở lý thuyết nhóm nhân cyclic mã cyclic cục Sử dụng cấu hình máy tính CPU Core i5 3230M, 2.6 Ghz, RAM 12 Gb, thời gian tính tốn cho thuật tốn với n y 27 ( n lẻ) liệt kê bảng Hướng nghiên cứu tập trung vào việc xác định cấp đa thức, tích đa thức phương pháp kiến thiết nhóm nhân đạt cấp cực đại vành đa thức Bảng 1: So sánh thời gian tính tốn ba thuật tốn Nội dung N 11 13 15 17 19 21 23 25 27 Số lượng đa thức Cấp cực đại 31 127 511 2047 8191 32767 131071 524287 2097151 838807 33554431 134217726 15 63 1023 4095 15 255 262143 63 2047 1048575 262143 Thuật toán vét cạn (s) 0.686 0.671 0.718 6.349 77.439 3.182 170.446 Infinitive Infinitive Infinitive Infinitive Infinitive Thuật toán cải tiến (s) 0.874 0.858 0.874 3.510 37.113 2.044 80.731 180207 23048 Infinitive Infinitive Infinitive Thuật toán cải tiến (s) 0.78 0.79 0.81 0.83 0.89 1.03 1.4 2.2 12 28 152 716 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.J Menezes, P.C Van Oorchot, Handbook of Applied Cryptography, CRC Press, 1998 [2] Todd K Moon, Error Correction Coding: Mathematical Methods and Algorithm, John Wiley & Sons, Inc, 2005 [3] Emanuele Betti and Massimiliano Sala, “A New Bound for the Minimum Distance of a Cyclic Code From Its Defining Set,” IEEE Trans Inform Theory, Vol 52, No 8, August 2006 [4] J Luo, K Feng, “Cyclic codes and sequences from generalized CoulterMatthews function,” IEEE Trans Inform Theory, 54(12), pp 5345– 5353, 2008 [5] B Heijne, J Top, “On the minimal distance of binary self-dual cyclic codes,” IEEE Trans Inform Theory, 55(11), pp 4860–4863, 2009 [6] Cunsheng Ding, Yang Yang, Xiaohu Tang (2010), “Optimal Sets of Frequency Hopping Sequences From Linear Cyclic Codes”, IEEE Transactions on Information Theory, ISSN 0018-9448, Vol 56, No 7, pp 3605 - 3612 [7] C Ding, “Cyclic codes from the two-prime sequences,” IEEE Trans Inform Theory, 58(6), pp 357–363, 2012 [8] Gaurav Chawla and Vishal Chaudhary, “FPGA Implementation of Cyclic Code Encoder and Decoder,” Advance in Electronic and Electric Engineering, ISSN 2231-1297, Volume 4, Number 3, pp 273-278, 2014 [9] Dang Hoai Bac, Nguyen Binh, Nguyen Xuan Quynh, “Novel algebraic structure for cyclic codes,” Applied Algebra, Algebraic Algorithms, and Error Correcting Codes – Conf AAECC 17, LNCS 4851, pp 301-310, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007 [10] Nguyen Binh, “Cyclic and Local Cyclic Codes over Polynomial Ring,” Journal of Science and Technology, ISSN 0866 708X, vol 50, pp 735749, 2012 [11] Ngo Duc Thien, Nguyen Binh, “Some Local Cyclic Codes Based on Compound Decomposition of Two Polynomial Rings,” International Conference on Advanced Technologies for Communications (ATC 2008 - REV’11), Hanoi, Vietnam, October, 2008 [12] Nguyen Trung Hieu, Dang Hoai Bac, Nguyen Ngoc Minh, “An FPGAbased implementation method for local cyclic code encoder/decoder,” Journal of Science and Technology, ISSN 0866 708X, vol 50-2A, pp 38-49, 2012 [13] Nguyen Binh, Le Dinh Thich, “The Orders of Polynomials and Algorithms for Defining Order of Polynomial over Polynomial Ring,” 5th Vietnam Conference on Automation (VICA5), Hanoi, Vietnam, October 2002 [14] Nguyen Binh, Van Danh Nhuan, Pham Viet Trung, “Constructing cyclic codes over cyclic multipcative groups,” 26th Conference of Asian Infocommunications Council (AIC26), Hanoi, Vietnam, Nov 2001 Từ kết tổng hợp bảng 1, thấy thuật tốn cải tiến rút ngắn thời gian tính toán cách đáng kể so với thuật toán vét cạn, đặc biệt vành lớn hơn, thuật toán cải tiến có thời gian tính tốn ngắn đến vài trăm lần thực với vành lớn mà thuật toán khác chưa làm Việc xác định cấp đa thức vành có vai trò quan trọng việc xác định cấp CMG – thành phần quan trọng để kiến trúc mã LCC [10], [14] Trong nghiên cứu kết tính tốn vấn đề này, tác giả chủ yếu sử dụng thuật toán vét cạn với hạn chế lực, thời gian tính tốn dung lượng nhớ [9], [13] Hai thuật toán nghiên cứu đề xuất giúp giảm độ phức tạp tính tốn giảm thời gian tính tốn độ xác tương đương với thuật tốn vét cạn V. KẾT LUẬN Trong báo này, tác giả đề xuất hai thuật toán để xác định cấp đa thức vành đa thức với ưu điểm: giảm độ phức tạp tính tốn rút ngắn thời gian đưa kết quả, đặc biệt thực vành lớn mà nghiên cứu trước chưa đề cập, thuật tốn vét cạn khơng thực Đồng thời, tác giả đề xuất phương pháp chứng minh bổ đề liên quan đến tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng, phân bố đa thức dựa cấp đa thức vành đa thức cách tường minh mặt toán học, 252  ... cực đại vành đa thức có ý nghĩa vai trò quan trọng việc cấu trúc lên mã cyclic cục Bài báo đề xuất số phương pháp xác định cấp đa thức vành đa thức sử dụng tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng Nội... phân bố đa thức dựa cấp đa thức nhóm nhân cyclic Trong phần III, đề xuất phương pháp chứng minh tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng, phần IV đề xuất hai thuật toán xác định cấp đa thức vành thảo... Tử, Truyền Thông Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015) Một số phương pháp xác định cấp đa thức vành đa thức sử dụng tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng Nguyễn Trung Hiếu Khoa Kỹ thuật Điện tử 1, Học