TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA ĐA THỨC A MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Các bài toán đa thức luôn xuất hiện trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi các cấp Điều đó cho thấy phương pháp tư duy đa thức rất được chú[.]
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA ĐA THỨC A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các toán đa thức ln xuất kì thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp Điều cho thấy phương pháp tư đa thức trọng việc rèn luyện phát triển tư sáng tạo bồi dưỡng học sinh giỏi Vì để góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi mảng đa thức, cần phải trạng bị cho học sinh kiến thức để có đủ sở cho việc tìm tịi lời giải tốn đa thức hay kì thi phát triển khiếu đa thức Trong toán học nhiều vấn đề tưởng chừng khác biệt thực lại có chất có mối liên hệ với Sau xin giới thiệu vấn đề liên quan đến “nghiệm” yếu tố quan trọng đa thức Mục đích nghiên cứu Trong viết tơi nhằm mục đích giới thiệu tính chất nghiệm có nhiều ứng dụng việc giải toán đa thức chứng minh đa thức có nghiệm nhất, vơ nghiệm, tìm đa thức, tìm bậc đa thức thỏa mãn yêu cầu cho trước, chứng minh tính chia hết hai đa thức,… Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm học sinh u thích mơn đại số, nhằm trang bị thêm kiến thức luận khoa học để tiếp cận giải toán liên quan đến đa thức, thơng qua tính chất nghiệm đa thức Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phương pháp phân tích, tổng hợp, khái qt hóa tương tự hóa Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Nghiệm đa thức yếu tố có nhiều mối liên hệ tới vấn đề khác đại số như: tính chia hết, bậc đa thức,…Từ mối liên hệ mà sử dụng tính chất nghiệm đa thức giải toán đa thức khác skkn B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Định nghĩa Số a gọi nghiệm đa thức Ta có nhận xét: nghiệm Định nghĩa Cho đa thức và Ta nói số a nghiệm bội m Định nghĩa Đa thức monic là đa thức đơn biến đó hệ số dẫn đầu (hệ số khác không bậc lớn nhất) Do đó, đa thức monic có dạng Định lí (Định lí đại số) Trong có đầy đủ n nghiệm phức (kể bội) Hệ Trong bội) , đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực (kể Định lí Cho đa thức phức , đa thức bậc n Nếu liên hợp nghiệm nghiệm Định lí Cho bậc n, hệ số cao a có n nghiệm phức Khi Cho bậc n, hệ số cao a có tất nghiệm phức với bội tương ứng Khi , Cho đa thức tương ứng có nghiệm thực Khi với bội , với Từ định lí ta thấy có nghiệm phức có nghiệm phức dẫn đến có phân tích , skkn , với Lặp lại trình cách xét nghiệm phức ta có định lí Định lí Trong , đa thức phân tích dạng tích nhân tử bậc nhân tử bậc hai với biệt thức âm Định lí Nếu đa thức với bội) đa thức có nhiều n nghiệm (kể Nếu hai đa thức có bậc khơng vượt q n, lại nhiều n giá trị khác biến x chúng có hệ số nhau, ta viết Hệ Cho đa thức với hệ số thực Khi Nếu hàm hàm số chẵn tất hệ số lũy thừa bậc lẻ Nếu hàm hàm số lẻ tất hệ số lũy thừa bậc chẵn Định lí Nếu thức nghiệm đa thức nghiệm đa Nếu nghiệm đa thức nghiệm đa thức Định lí Cho đa thức Khi (phân số tối giản) nghiệm Trong trường hợp đặc biệt hệ số cao dẫn đến nghiệm hữu tỉ đa thức nghiệm nguyên nên thu hệ skkn Hệ Cho nghiệm thực nguyên vô tỉ Định lí Viét Định lí (Định lí Viét) Trong có n nghiệm , đa thức Định lí (Định lí Viét đảo) Nếu có n số phức thỏa mãn n nghiệm đa thức Định lí 10 (Định lý Rolle thu hẹp) skkn Nếu hàm số thực f liên tục đoạn [a; b], (a ∀x ∈ (a; b) Mà f(x) liên tục [a; b] nên f(x) đồng biến [a; b], suy ra f(a)