Về các nhóm con trong vành chia

TÓM TẮT Đề tài luận án nằm hướng nghiên cứu tính chất nhóm nhóm nhân vành chia Về mặt khái niệm, vành chia có tất tính chất trường, ngoại trừ việc không giao hoán Chính điều làm nên khác biệt đáng kể vành chia trường Nếu cấu trúc trường nghiên cứu kỹ đạt kết hoàn hảo đến nhiều điều cấu trúc vành chia chưa biết đến Thời gian gần có nhiều công trình nghiên cứu xoay quanh nhóm nhân chuẩn tắc nhóm nhân tối đại vành chia công bố ( [1]-[2]-[3]-[5]-[6]-[7]-[8]-[10]- ) Điều cho thấy tính thời vấn đề vừa nêu Mục tiêu luận án nhằm trình bày nghiên cứu nhóm nhân chuẩn tắc nhóm nhân tối đại vành chia Cho G nhóm Ta nói G hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) địa phương với tập hữu hạn S G, nhóm sinh S hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) Hiển nhiên G hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) G hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải được) địa phương Nếu với phần tử x G số phần tử liên hợp x G hữu hạn ta nói G F C−nhóm Một nhóm N G gọi chuẩn tắc (subnormal) G tồn dãy nhóm N0 = N, N1, , Nk = G cuûa G cho Ni chuẩn tắc Ni+1 với i ∈ 0, k − := {0, 1, 2, , k − 1} Cho D vành chia Ký hiệu D∗ nhóm nhân D Z(D) tâm D Trong luận án ta qui ước nói tới nhóm vành chia D ta hiểu nhóm nhóm nhân D∗ D Vành chia D gọi hữu hạn chiều tâm D không gian véc tơ hữu hạn chiều Z(D) D gọi hữu hạn chiều địa phương tâm với tập hữu hạn S D, vành chia sinh S Z(D) không gian véc tơ hữu hạn chiều Z(D) Nếu phần tử D∗ đại số Z(D) ta nói D vành chia đại số tâm Một phần tử x ∈ D∗ gọi tâm Z(D) tồn số nguyên dương n(x) phụ thuộc vào x cho xn(x) ∈ Z(D) Một tập hợp ∅ 6= S ⊆ D gọi tâm phần tử Z(D) Giả sử p1 < p2 < dãy số nguyên tố Ta biết với n tồn Q-đại số An số chiều p2n với N N Z(An ) = Q Khi đó, Dn = A1 Q Q An vành chia với N tâm Q Xem Dn vành Dn+1 = Dn Q An+1 , ta coù D = ∪n≥1 Dn vành chia với tâm Z(D) = Q rõ ràng D vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm D không gian vectơ vô hạn chiều tâm Điều cho thấy lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm thực rộng lớp vành chia hữu hạn chiều tâm Về phần mình, lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm lại thực nằm lớp vành chia đại số tâm Một số nghiên cứu cổ điển vành chia bắt nguồn từ định lý tiếng sau đây, Wedderburn chứng minh năm 1905: Định lý Wedderburn Mọi vành chia hữu hạn trường Các kết nhận có điểm chung tìm cách thay tính chất hữu hạn Định lý Wedderburn tính chất khác mà làm cho vành chia giao hoán Nói cách khác chúng tổng quát hóa khác Định lý Wedderburn Một hướng nghiên cứu thay tính chất hữu hạn tính chất giải nhóm nhân Chẳng hạn sử dụng tính chất dãy tâm tăng, không khó khăn chứng minh được: Nếu nhóm nhân vành chia nhóm lũy linh vành chia giao hoán L.K.Hua mở rộng kết cách thay tính lũy linh tính giải (xem [9]) định lý sau đây: Định lý A Nếu nhóm nhân vành chia D giải D trường Tuy nhiên chứng minh kết Hua việc dễ dàng Sau đó, cách hoàn toàn độc lập với nhau, H Cartan, R Brauer L.K Hua chứng minh định lý tiếng mà ta quen gọi Định lý Cartan-Brauer- Hua: Định lý Cartan-Brauer-Hua Cho K vành chia thực vành chia không giao hoán D Nếu K ∗ chuẩn tắc D∗ K nằm Z(D) Điều cho thấy mối liên hệ tính chuẩn tắc tính giao hoán nhóm vành chia Từ kết này, cách tự nhiên ta đặt câu hỏi: Nếu nhóm nhân vành chia thỏa tính chất A làm cho vành chia giao hoán nhóm chuẩn tắc vành chia thỏa tính chất A có nằêm tâm vành chia hay không? Trong hướng nghiên cứu xin nhắc đến kết Stuth: Định lý B (Stuth) Trong vành chia D, nhóm chuẩn tắc giải D∗ nằm Z(D) Tiếp tục hướng nghiên cứu này, luận án chứng minh được: Định lý Trong vành chia D, nhóm chuẩn tắc lũy linh địa phương D∗ nằm Z(D) Khi thêm giả thiết D vành chia đại số tâm nhận kết sau: Định lý Trong vành chia D đại số tâm, nhóm chuẩn tắc giải địa phương D∗ nằm Z(D)" Việc khảo sát tính chất vành chia nghiên cứu nhiều Ví dụ, nêu kết sau Kaplansky: Định lý C (Kaplansky) ([[9], Định lý 15.5]) Nếu D vành chia tâm D giao hoán Theo định nghóa vành chia D tâm D∗ /Z(D )∗ nhóm xoắn Như Định lý Kaplansky tổng quát hóa hay Định lý Wedderburn Tiếp theo, hướng nghiên cứu xin nhắc đến giả thuyết L.N.Herstein [5] nêu từ năm 1978: Giả thuyết (Herstein) Nếu G nhóm chuẩn tắc D∗ G Z(D) G nằm Z(D) Cũng [5] Herstein chứng minh giả thuyết G nhóm hữu hạn chuẩn tắc D∗ Tuy nhiên chưa có câu trả lời cho trường hợp tổng quát Năm 2004, [3], B.X Hải L.K Huỳnh dựa vào tính hữu hạn tâm vành chia D để xét D∗ nhóm tuyến tính trường Z(D) sử dụng phương pháp nghiên cứu nhóm tuyến tính trường chứng minh giả thuyết Herstein lớp vành chia hữu hạn chiều tâm Định lý D Cho D vành chia hữu hạn chiều tâm giả sử G nhóm chuẩn tắc D∗ Nếu G tâm Z(D) D G nằm Z(D) Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chứng minh Giả thuyết Herstein lớp vành chia hữu C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an hạn chiều địa phương tâm Định lý Cho D vành chia hữu hạn chiều địa phương tâm giả sử G nhóm chuẩn tắc D∗ Nếu G tâm Z(D) D G nằm Z(D) Ngoài ra, khảo sát Giả thuyết Herstein tìm kết sau: Định lý Cho D vành chia với tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F Khi với phần tử a ∈ N, nhóm Galois mở rộng F (a)/F tầm thường Sử dụng Định lý chứng minh số kết sau: Hệ Cho D vành chia với tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F Nếu a phần tử xoắn N a nằm F Hệ Cho D vành chia N nhóm chuẩn tắc D Nếu N đại số trường hữu hạn F D N nằm tâm D Hệ Cho D vành chia tâm F Giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F a, b−1ab hai phần tử nằm N Nếu a giao hoán với b−1 ab a giao hoán với b Hệ Cho D vành chia với tâm F, N nhóm chuẩn tắc D∗ a phần tử nằm N Khi đó, a2 ∈ F a ∈ F Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Như thấy Hệ tổng quát hoá kết cổ điển sau Jacobson: Định lý E (Jacobson)([9]) Nếu vành chia D đại số trường hữu hạn D giao hoán Đối với vành chia có đặc trưng p > 0, chứng minh được: Định lý Cho D vành chia có đặc trưng p > Nếu a phần tử nằm nhóm chuẩn tắc tâm n vành chia D mà ap ∈ Z(D) a ∈ Z(D) Định lý có hệ sau đây: Hệ Cho D vành chia đặc trưng p > với tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F Nếu a ∈ N k số nguyên dương nhỏ cho ak ∈ F p không ước k Hệ Cho D vành chia với tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc D∗ F Khi phần tử N tách F Ngoài ra, dùng khái niệm chuẩn phần tử đại số tâm mô tả đa thức tối tiểu phần tử a ∈ D nằm nhóm chuẩn tắc Z(D) có dạng xt − NF (a)/F (a) Định lý Cho D vành chia tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc F D∗ Khi đó, với a ∈ N , đa thức tối tiểu a F có dạng xt − NF (a)/F (a) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Dựa vào Định lý chứng minh được: Định lý Cho D vành chia tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc F D∗ Nếu a ∈ N thỏa a3 ∈ F a ∈ F Nối kết kết trên, có kết sau: Hệ Cho D vành chia tâm F giả sử N nhóm chuẩn tắc F D∗ Nếu a ∈ N mà a2 n 3k ∈ F (n, k ∈ N) a ∈ F Một hướng nghiên cứu khác vành chia việc tổng quát hóa Định lý Wedderburn hình thức nhóm chuẩn tắc cách khai thác tính chất hữu hạn MahdaviHezavehi, M.G Madmudi S.Yasamin tìm kết quả: Định lý F Cho D vành chia không giao hoán hữu hạn chiều tâm F giả sử N nhóm hữu hạn sinh chuẩn tắc D∗ không nằm F P trường nguyên tố F Khi F hữu hạn sinh P Với tính chất với việc sử dụng tính chất ma trận phụ hợp (Adjoint matrix), Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi S.Yasamin chứng minh được: Định lý G Cho D vành chia hữu hạn chiều tâm F N nhóm chuẩn tắc D∗ Nếu N nhóm hữu hạn sinh N nằm F Tiếp tục với hướng nghiên cứu này, tổng quát hóa Định lý Wedderburn qua kết quả: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định lý Nếu G nhóm chuẩn tắc D∗ G hữu hạn địa phương G nằm Z(D).( Định lý Nếu G nhóm chuẩn tắc D∗ G F C−nhóm G nằm Z(D) Việc nghiên cứu nhóm tối đại vành chia vấn đề thời lý thuyết nhóm tuyến tính vành chia nhiều nhà toán học giới quan tâm (có thể tham khảo số công trình 10 năm trở lại [1]-[2]-[7]-[4]-[10] để thấy điều ) Mặc dù có nhiều nghiên cứu nhóm tối đại vành chia câu hỏi tồn nhóm tối đại vành chia tổng quát chưa tìm câu trả lời Trong trường câu trả lời phủ định Chẳng hạn trường số phức C không tồn nhóm tối đại Về vai trò nhóm tối đại vành chia, tồn chúng ảnh hưởng tới tính chất toàn vành chia Chẳng hạn, [1], tác giả chứng minh được: Định lý H Nếu vành chia không giao hoán D, thỏa mãn điều kiện ∞ > [D : Z(D)] 6= p2 , p CharD D không chứa nhóm tối đại tâm Cũng [1], tác giả nêu lên giả thuyết sau: Giả thuyết Nếu vành chia D không giao hoán D không chứa nhóm tối đại giải Giả thuyết Nếu vành chia D không giao hoán D không Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an chứa nhóm tối đại lũy linh Giả thuyết Nếu vành chia D không giao hoán D không chứa nhóm tối đại aben Trong [2], tác giả đưa ví dụ một vành chia không giao hoán hữu hạn chiều tâm chứa nhóm tối đại giải Điều phủ định Giả thuyết 2, giả thuyết bỏ ngỏ Trên sở nghiên cứu giả thuyết này, câu hỏi nảy sinh là: Những nhóm tối đại xuất nhóm nhân trường tối đại Trong [1], tác giả chứng minh được: Định lý I Nếu M nhóm tối đại lũy linh vành chia D không giao hoán chứa phần tử đại số tâm M nhóm nhân trường tối đại D Tiếp tục nghiên cứu vấn đề này, đạt kết quả: Định lý 10 Nếu M nhóm tối đại lũy linh địa phương vành chia không giao hoán đại số tâm M nhóm nhân trường tối đại D Để chứng minh kết sử dụng số kỹ thuật chứng minh Định lý I lợi dụng tính lũy linh địa phương để tạo thành nhóm hữu hạn địa phương, xét hai trường hợp riêng biệt đặc trưng vành chia đặc trưng vành chia số nguyên tố Cả hai 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 dễ thấy A đóng với phép cộng Nếu xi xj phần tử đại diện lớp ghép F ∗ S M xi xj ∈ M = nk=1 F ∗xk Suy toàn taïi k cho xi xj = fk xk (fk ∈ F ) Vậy A đóng với phép nhân Suy A vành Theo Bổ đề 2.4.2, A vành chia Từ định nghóa A, ta có A hữu hạn chiều F Suy A 6= D Hiển nhiên M nằm A Bởi tính tối đại M, ta có M = A∗ Suy A∗ lũy linh địa phương Theo Hệ 2.2.4, A∗ giao hoán điều vô lý Vậy M = ND∗ (F (N1)∗ ) Trong trường hợp F (N1)∗ nằm M Do phần ta chứng minh M nhóm giải nên F (N1)∗ nhóm giải được, theo Định lý 2.2.1 F (N1) trường Hơn [M : F (N1)∗ ] ≤ [M : N1 ] < ∞ Theo Bổ đề 3.1.5 ta có [D : F ] < ∞ Áp dụng Bổ đề 2.3.4, M giao hoán điều mâu thuẫn Tất mâu thuẫn cho ta M giao hoán từ Bổ đề 3.1.6, định lý chứng minh Kết mở rộng cách thay tính lũy linh địa phương tính giải Để thấy điều này, ta xét ví dụ sau [5] Ví dụ: Xét H vành chia Quaternion thực Đặt G = C∗ , + j Trước tiên ta nhận xét rằng: ω, z ∈ C thỏa mãn |ω| = |z| z + j ∈ G ω + j ∈ G Thật vậy, z = nhận xét hiển nhiên Giả sử z 6= Từ |ω| = |z| , tồn phần tử t ∈ C cho ωz −1 = t(t)−1 với t phần tử liên hợp t C Khi (z + j)t = t(ω + j) ∈ G Suy (ω + j) ∈ G Với r > 0, đặt 1−r + ur = r+1 r  − r 2  i 1− 1+r Khi |ur | = Ta coù + j ∈ G Theo nhận xét ur + j ∈ G Suy (ur ) + (ur + 1)j = ur − + ur j + j = ur − + jur + j = (1 + j)(ur + j) ∈ G Suy (ur + 1)(ur ) + j ∈ G Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 50 Mặt khác |(ur )(ur + 1)| = √ r với r > 0, ta suy với a ∈ C , a + j ∈ G Bây giờ, phần tử H có dạng x = z1 + z2j (z1, z2 ∈ C∗) Neáu z2 = x ∈ C ⊆ G ∗ Nếu z2 6= theo x = z2−1 (z1, z2−1 + j) ∈ G Vaäy H∗ = G = C∗ , + j Laáy z0 ∈ C, đặt G0 = C∗ , z0 + j Dùng cách lập luận cách chứng minh H∗ = C∗, + j , với z0 + j ∈ G0 ta có √ r0 i + j Suy √ r0 + j
√
√ r0 + j naèm G0 ro = |z0|2
√ √ r0 i + j = (r0 j − 1) + ( r0 − r0 i)j ∈ G0 Đặt z1 = √ r0 i − √ r0 − r0 i Khi r1 = |z1 |2 = r02 + ≥1 2r0 vaø |z1|2 = r1 z1 + j ∈ G0 √ √ Tương tự ( r1 + j)( r1 i + j) ∈ G Tiếp tục trình ta tạo thành hai dãy số {rn } {zn } có tính chất rn = rn−1 +1 rn−1 i − ; zn + j ∈ G0 vaø |zn |2 = rn ≥ 1; zn = √ √ 2rn−1 rn−1 − rn−1 i Nếu a ≥ −a2 + a2 + −a = ≤ 2a 2a Suy {rn } dãy số giảm bị chặn Do đó, {rn } hội tụ Đặt α = lim rn = lim rn−1 ≥ n→∞ n→∞ Suy α2 + =⇒ α = 2α Vậy rn → Suy tồn số nguyên dương m cho α= zm + j ∈ G0 ; |zm| = t Đặt 2 s (t − 1) u= + i t2 − 4t (t2 − 1)2 < t 4t  (t2 − 1)2 4t Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 2 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51 Khi (t + j)(u + j) ∈ G Tương tự phần trên, ta có tu − tu − = + j ∈ G0 vaø t+u t+u Vì + j ∈ G0 Suy G0 ≤ H∗ = G = C∗ , + j ≤ G0 Vaäy H∗ = C, z + j với z ∈ C∗
Bây giờ, với M = C∗ ∪ C∗j kiểm tra đơn giản ta có M nhóm H∗ Hơn từ H∗ = C, z + j với z ∈ C∗ ta có M nhóm tối đại H∗ Mặt khác C∗ giao hoán [M : C∗ ] = 2, ta có M nhóm giải không giao hoaùn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 3.2 Tính hữu hạn nhóm tối đại vành chia Tiết trình bày số định lý chúng tôi, mô tả mối quan hệ tính hữu hạn tính giao hoán nhóm tối đại vành chia Định lý 3.2.1 Cho D vành chia không giao hoán giả sử M nhóm tối đại D∗ Nếu M hữu hạn địa phương M nhóm nhân trường tối đại D Chứng minh Giả sử M không giao hoán Nếu F ∗ không nằm M từ tính tối đại M, ta có D∗ = F ∗M Suy 0 D = (F ∗M) = M ≤ M 0 Vaäy D hữu hạn địa phương Theo Định lý 2.4.3, ta có D ⊆ Z(D)∗ Suy D nhóm lũy linh Theo Hệ 2.2.4, D trường Điều vô lý cho ta F ∗ ≤ M Nếu CharD = 0, ta coi Q trường nguyên tố D Nhưng (1 + 1) = ∈ Q∗ ⊆ F ∗ ⊆ M phần tử có cấp vô hạn điều mâu thuẫn với tính hữu hạn địa phương M Suy CharD = p > Lấy a, b hai phần tử M a, b nhóm hữu hạn Theo Mệnh đề 1.3.12, nhóm a.b nhóm cyclic Đặt biệt a giao hoán với b Suy M nhóm giao hoán Theo Bổ đề 3.1.6, ta có điều cần chứng minh Thay tính hữu hạn địa phương Định lý 3.2.1 tính F C-nhóm, ta có kết sau: Định lý 3.2.2 Cho D vành chia không giao hoán với tâm F giả sử M nhóm tối đại D∗ Nếu M FC-nhóm M nhóm nhân trường tối đại D Chứng minh Giả sử M không giao hoán F ∗ không nằm M, lý luận 0 Định lý 3.2.1, ta có D nằm M Suy D F C−nhóm Theo Định lý 2.4.6, D nằm F , dẫn đến D nhóm lũy linh Theo Hệ 2.2.4, ta có D giao hoán Điều vô lý cho ta F ∗ nằm M F ∗ nằm Z(M) Giả sử F ∗ Lấy a ∈ Z(M) \ F, M ⊆ CD∗ (a) Từ tính tối đại M, ta có M = CD∗ (a) CD∗ (a) = D∗ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Z(M) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 Nhưng a ∈ / F nên CD∗ (a) 6= D∗ Vậy M = CD∗ (a) CD∗ (a) F C−nhóm.Theo Hệ 2.4.7, CD∗ (a) = M nhóm giao hoán, điều mâu thuẫn Suy F ∗ = Z(M) Lấy x ∈ M \ Z(M) Do M F C−nhóm nên [M : CM (x)] < ∞ Đặt H= \ y −1 CM (x)y y∈M Theo Định lý 1.1.8, ta có H chuẩn tắc M [M : H] < ∞ Đặt K = F (H), M chuẩn hóa K Suy M ≤ ND∗ (K ∗ ) từ tính tối đại M, ta có D∗ = ND∗ F (H)∗
hoaëc M = ND∗ (F (H)∗) Ta xét hai trường hợp
Trường hợp D∗ = ND∗ F (H)∗ Do F (H)∗ chuẩn tắc D∗ nên theo Định lý Cartan-Brauer-Hua ta có D = F (H) F (H) ⊆ F Giả sử D = F (H) Do H nằm CM (x) nên x giao hoán với phần tử cuûa F (H) = D Suy x ∈ F ∗ = Z(M), mâu thuẫn với cách chọn x Vậy ta coù F (H) ⊆ F Suy H ⊆ F Do [M : F ∗] ≤ [M : H] < ∞ Goïi x1, x2, , xn tập hợp đầy đủ phần tử đại diện lớp ghép theo F ∗ M Đặt N = x1 , x2, , xn Khi M = NF ∗ Lấy x ∈ D∗ \ M, đặt N1 = N ∪ x Từ M = N.F ∗ N1F ∗ tính tối đại M, ta có D∗ = N1 F ∗ Suy [D∗ , D∗ ] = [N1F ∗, N1 F ∗] = [N1, N1 ] Vậy N1 nhóm chuẩn tắc hữu hạn sinh D∗ Nếu [D : F ] < ∞ theo Định lý 2.4.1 , N1 nằm F Do D∗ = N1 F ∗ = F ∗ điều vô lý Suy [D : F ] = ∞ Ta coù M = x1 F ∗ ∪ x2 F ∗ ∪ ∪ x1 F ∗ o nP n α x : α ∈ F Với i, j ∈ {1, 2, , n , tích xixj nằm M Đặt A = k k k k=1 nên tồn số t cho xi xj = αt xt (αt ∈ F ) Suy A vành D Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 vành chia Bổ đề 2.4.2 Hiển nhiên M nằm A∗ Từ tính tối đại M ta có M = A∗ A∗ = D Từ định nghóa A, ta có [A : F ] < ∞ Vì A 6= D M ∪ {0} = A vành chia Theo Hệ 2.4.7, M nhóm giao hoán Điều vô lý lại cho ta M giao hoán trường hợp Trường hợp M = ND∗ (F (H)∗) Ta coù F (H)∗ nằm M Hơn [M : F (H)∗] < [M : H] < ∞ Theo Bổ đề 3.1.5, ta có [D : F ] < ∞ Lấy x ∈ M, từ giả thiết M F C−nhóm ta có [M : CM (x)] = n < ∞ Goïi x1, x2, , xn tập đầy đủ phần tử đại diện lớp ghép theo CM (x) M Đặt N = CM (x1) ∩ CM (x2) ∩ ∩ CM (xn ) ∩ CM (x)   [M : N ] < ∞ Theo Định lý 1.1.8, M : ∩x∈M x−1 Nx < ∞ Suy tồn số nguyên dương k cho ∀y ∈ M, y k ∈ \ x−1 Nx ≤ N x∈M Đặc biệt ta có xk ∈ N Lấy z ∈ M, tồn số j a ∈ CM (x) cho z = xj a Suy xk z = xk xj a = xj xk a = xj axk = zxk Tức xk ∈ Z(M) = F ∗ Điều cho thấy M F Theo Định lý 3.1.1, ta có CharD = p > [D : F ] = p2 Đặt M1 = D ∩ M Lấy x ∈ M1 , từ M F nên tồn số nguyên dương n(x) cho xn(x) = α ∈ F Taùc động chuẩn rút gọn lên hai phía, nhận
= NrdD/F (x)n(x) = NrdD/F (x)n(x) = NrdD/F (α) = αp Suy xpn(x) = Vaäy M1 nhóm xoắn Bằng cách xét biểu diễn quy D∗ GLp2 (F ), ta coi M1 nhóm GLp2 (F ) Theo Định lý 1.2.6, M1 hữu hạn địa phương Lấy x y hai phần tử M, x, y nhóm hữu hạn suy nhóm cyclic Mệnh đề 1.3.12 Đặc biệt a, b giao hoán với dẫn tới M1 giao hoán Hiển nhiên [M, M ] ≤ M1 M nhóm giải Theo Định Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 55 lý 1.3.14 (Suprunenko), tồn trường K D cho K/F mở rộng Galois [M : K ∗ ] < ∞ Nếu K ⊆ F [M : K ∗ ] < ∞, lặp lại lý luận ta nhận vô lý Suy F∗ K ∗ ⊆ M Do M F nên K ∗ F Theo Mệnh đề 1.2.12, K mở rộng túy không tách F K đại số trường nguyên tố hữu hạn P Nhưng K mở rộng Galois F nên K mở rộng túy không tách Suy K đại số P kéo theo F đại số P Do [D : F ] < ∞ nên D đại số F D đại số P Vì D giao hoán Định lý 1.3.8 Điều vô lý cho ta M giao hoán Theo Bổ đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn