VỀ ĐỒNG NHẤT THỨC NHÓM SUY RỘNG CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH CHIA CÓ TÂM HỮU HẠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY ISSN: 1859-3100 Tập 16, Số (2019): 29-37 Vol 16, No (2019): 29-37 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn VỀ ĐỒNG NHẤT THỨC NHÓM SUY RỘNG CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRÊN VÀNH CHIA CĨ TÂM HỮU HẠN Cao Minh Nam Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tác giả liên hệ: Cao Minh Nam – Email: caominhnam.dhsp@gmail.com Ngày nhận bài: 04-3-2019; ngày nhận sửa: 21-4-2019; ngày duyệt đăng: 05-6-2019 TÓM TẮT Trong báo này, mở rộng kết tiếng I Z Golubchik A.V Mikhalev cho đồng thức nhóm suy rộng nhóm tuyến tính tổng quát vành chia trường hợp tâm không thiết vơ hạn Từ khóa: vành chia, nhóm tuyến tính tổng qt, đồng thức nhóm suy rộng Giới thiệu Cho T nhóm tự sinh k phần tử {xi  i  k} G nhóm với tâm Z (G )  {x  G xy  yx với y  G} Kí hiệu G  T tích tự G T Một phần tử w  G  T có dạng w( x1 , x2 , , xk )  a1 xi1 1 a2 xi2  am xim  m am1 với a j  G ,  j  i j  {1, 2, , k} gọi đơn thức nhóm suy rộng G Số nguyên dương l ( w)  1      m gọi độ dài đơn thức nhóm suy rộng w Khơng tính tổng quát, ta biểu diễn cho số mũ  j {  1,1} Trong trường hợp độ dài l (w)  m Cho H nhóm G Ta nói w( x1 , x2 , , xk )  đồng thức nhóm suy rộng H (hay H thỏa đồng thức nhóm suy rộng w( x1 , x2 , , xk )  ) w( h1 , h2 , , hk )  với h1 , h2 , , hk  H Thêm vào đó, tất hệ số a1 , a2 , , am 1 w( x1 , x2 , , xk ) gọi đồng thức nhóm H Đồng thức nhóm suy rộng nhóm tuyến tính có lẽ nghiên cứu (Amitsur, 1966) Cụ thể sau Cho D vành chia có tâm F Năm 1966, Amitsur chứng minh F vơ hạn nhóm nhân D  D \ {0} thỏa đồng thức nhóm D giao hốn, tức D  F Golubchik Mikhalev (1982) mở rộng kết Amitsur lên nhóm tuyến tính tổng quát GL n ( D ) thỏa đồng thức nhóm suy rộng cách chứng minh kết sau Nếu F vô hạn GL n ( D ) thỏa đồng thức nhóm suy rộng n  29 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 29-37 D giao hoán Chebotar Lee (2004) xét toán trường hợp tâm F hữu hạn: Giả sử D thỏa đồng thức w( x1 , x2 , xk )  xi1 1 xi2  xim  m Nếu F chứa nhóm w( x1 , x2 , , xk )  với 3l ( w) phần tử D giao hốn Gần nhất, Biên (2015), mở rộng kết xét trường hợp D  thỏa đồng thức nhóm suy rộng với tâm khơng thiết vô hạn Cụ thể hơn, D  thỏa đồng thức nhóm suy rộng w( x1 , x2 , , xk )  F có nhiều l ( w)  k phần tử D giao hốn Trong báo này, chúng tơi chứng minh rẳng nhóm tuyến tính tổng qt GL n ( D ) thỏa đồng thức nhóm suy rộng w( x1 , x2 , , xk )  với D vành chia có tâm F chứa 2l ( w)  phần tử D giao hốn n  (Định lí 2.7 báo này) Đây xem kết mở rộng Định lí 2.6 báo (Biên, 2015) mở rộng phần Định lí 1.2 bào báo (Kiani, Ramezan-Nassab, & Bien, 2016) Kĩ thuật mà sử dụng báo dựa chứng minh gốc (Golubchik & Mikhalev, 1982) Các kí hiệu chúng tơi dùng thơng thường Nói riêng, số kí hiệu dùng chẳng hạn số phần tử F kí hiệu F , đó,với khơng gian vectơ V D , vành End D (V ) vành tự đồng cấu V v1 , v2 , , vm không gian vectơ V sinh phần tử v1 , v2 , , vm  V Với ma trận A  M n ( D ) , kí hiệu AT ma trận chuyển vị ma trận A Đồng thức nhóm suy rộng nhóm tuyến tính tổng quát Trong trường hợp D  K trường V không gian vectơ n chiều D , ta có M n ( K )  End D (V ) Một cách tổng quát, ta có kết tương tự cho vành chia Để tiện theo dõi, chúng tơi trình bày chứng minh Mệnh đề 2.1 Cho D vành chia M n ( D) vành ma trận vuông cấp n D Khi đó, với khơng gian vectơ phải n chiều V D , ta có M n ( D)  End D (V ) Chứng minh Gọi {ei }i1,n sở không gian vectơ V Xét ánh xạ  : End D (V )   M n ( D) với  ( f )  M f , M f ma trận xác định ánh xạ tuyến tính f qua sở {ei } Dễ thấy, ánh xạ xác định đẳng cấu vành Thật vậy, hiển nhiên  bảo toàn phép cộng bảo tồn đơn vị Do đó, ta cần  bảo toàn phép nhân Giả sử  ( f )  ( xij )T ,  ( g )  ( yij )T  ( gf )  (d ij ) 30 Đặt  ( f ) ( g )  (cij ) Khi đó, TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM cij   Cao Minh Nam yki x jk với i, j {1, 2, , n} Mặt khác, gf (e j )  g (e1 x j1  e2 x j   en x jn ) 1 k  n nên d ij   yki x jk Do d ij  cij Từ đây,  ( gf )   ( g ) ( f ) Hiển nhiên  song 1 k  n ánh Từ điều kiện ta kết luận End D ( D )  M n ( D ) Từ Mệnh đề 2.1, ta thu kết sau GL n ( D)  Aut D (V ) Tiếp theo, ta có kết mở rộng khơng gian vectơ chiều thỏa điều kiện không chứa số lượng vectơ định Mệnh đề 2.2 Cho D vành chia tâm F V không gian vectơ phải D có số chiều n Giả sử v1 , v2 , vm m phần tử nằm V Nếu F  m  V chứa không gian vectơ chiều L thỏa v j  L với j {1,2, , m} tồn khơng gian n  chiều Ln 1 V Ln 1 chứa L cho v j  Ln 1 với j {1,2, , m} Chứng minh Vì F  m  , nên ta cố định tập hợp I gồm m  phần tử đôi khác F Trong trường hợp n  , mệnh đề cần chứng minh hiển nhiên Do đó, ta xét trường hợp n  Với k  thỏa  k  n  , giả sử Lk không gian k chiều thỏa v j  Lk với j  1, m Ta chứng minh tồn không gian k  chiều Lk 1 chứa Lk v j  Lk 1 với j  1, m Thật vậy, Lk khơng gian k chiều, khơng tính tổng qt, nên ta xem Lk  u1 , u2 , , uk , {u1 , u2 , , u k } hệ độc lập tuyến tính V Vì k  n  nên bổ sung uk 1 , uk  để hệ {u1 , u2 , , uk 1 , uk  } độc lập tuyến tính Ta khẳng định tồn không gian chiều K1 thỏa K1  v j , u1 , u2 , , uk , với j  1, m Thật vậy, giả sử ngược lại, tức là, với không gian chiều K1 tồn j {1,2, , m} cho K1  v j , u1 , u2 , , uk Khi đó, với m  phần tử {uk 1  uk  2   I } , tồn j {1, 2, , m} phần tử  ,   khác I cho uk 1  uk   , uk 1  uk     v j , u1 , u2 , , uk Điều vơ lí hệ {u1 , , uk , uk 1  uk   , uk 1  uk   } độc lập tuyến tính Từ suy tồn khơng gian chiều K1 thỏa K1  v j , u1 , u2 , , uk , với j  1, m Bằng cách đặt lại tên, ta xem K1  uk 1 Cuối ta có v j  u1 , u2 , , uk , uk 1 , 31 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 29-37 với j {1,2, , m} Đặt Lk 1  u1 , u2 , , uk 1 Khi đó, Lk 1 khơng gian thỏa Lk 1  Lk v j  Lk 1 , với j {1, 2, , m} Hơn nữa, L không gian chiều V thỏa v j  L , với j {1,2, , m} , nên tồn không gian L1 , L2 , , Ln 1 thỏa L  L1  L2   Ln 1 , v j  Lk , với j {1, 2, , m} k {1,2, , n  1} Tiếp theo kết tính hữu hạn nghiệm đa thức vành R (Bien, 2015, Bổ đề 2.2) Mệnh đề 2.3 Cho R vành, F trường nằm tâm Z ( R) R Nếu p ( x)  a0  a1 x  a2 x   am x m  R[x ] đa thức không tầm thường R p( x) có tối đa m nghiệm F Chứng minh Xem báo (Bien, 2015) Do Mệnh đề 2.1 với không gian vectơ phải V nên kể từ ta xem V  M n1 ( D ) với phép cộng phép nhân định nghĩa cách thông thường, nghĩa là:  x1   y1   x1  y1         x2    y2    x2  y2  ,               xn   yn   xn  yn   x1   x1d       x2  d   x2 d  ,          xn   xn d   x1   y1      x y với d  D   ,   V Kí hiệu  v1 v2  ma trận vuông cấp n          xn   yn  có cách ghép vectơ v1 , v2 , , theo cột Như vậy, theo Mệnh đề 2.1., tích ma trận m M n ( D ) phần tử v  V ảnh ánh xạ tuyến tính m xác định tích hai ma trận m v Các bổ đề mở rộng kết theo (Mikhalev & Golubchik, 1982) cho vành chia có tâm khơng thiết vơ hạn 32 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Minh Nam Bổ đề 2.4 Cho D vành chia tâm F P  Z (M n ( D )) Giả sử c1 , c2 , , cm phần tử thuộc M n ( D ) \ P Nếu F  2m  , tồn phần tử v V cho c j v  v với j  1, 2, , m Chứng minh Ta chứng minh bổ đề phép quy nạp theo m Trong trường hợp m  , ta giả sử với v  V c1v  vd , với d phần tử D Từ  x1   x1      x x suy c1      d          xn   xn  0      x1  0   x   , v    Đặt ei    với i  1, 2, , n vectơ   0     x  n   0   đơn vị V Vì c1ei  ei di , d i  D với i  1, 2, , m hay  0           0       c1     di   0           0        d1   d       d2   d3  Hơn nữa, e1d1  e2 d  c1e1  c1e2  c1 (e1  e2 )  (e1  e2 ) d3 nên      Điều         0  0       x1    x cho ta d1  d  d Tiếp theo, với v     V \{0} , ta xét trường hợp sau:      xn  Nếu x1  c1 (v  e1 )  c1v  c1e1 33 Điều tương đương với TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 29-37  ( x1  1)d   x1d   d      x d     x2 d   Mặt khác, x  nên tồn (v  e1 ) d   vd   e1d hay           xn   xn d   i  2, 3, , n cho xi  Do d   d   d c1v  vd Nếu c1 (v  e2 )  c1v  c1e2 x1  Điều tương đương với  x1d    x1d       ( x  1)d    x2 d   d  Mặt khác, x1  nên d   d   d (v  e2 ) d   vd   e2 d hay             xn d    xn d   Do c1v  vd Kết hợp hai trường hợp ta suy tồn d  D cho với v  V c1v  vd Khi đó, với c  M n ( D) v V , c ( c1v )  c ( vd )  (cv ) d  c1 (cv ) Điều có nghĩa (cc1 )v  (c1c )v Từ suy cc1  c  c1e1 c1e2  c1en   c(c1e1 ) c(c1e2 )  c(c1en )  Hơn nữa, c1 (ce1 ) c1 (ce2 )  c1 (cen )  c1  ce1 ce2  cen  Nên cc1  c1c với c  M n ( D) Vì c1  P Mâu thuẫn Theo giả thiết quy nạp, tồn v1 , v2  V \ {0} cho c1v1  v1 c j v2  v2 với i {2,3, , m} Bổ đề cần chứng minh hiển nhiên trường hợp v1  v2 Ngược lại, ta giả sử với   F , tồn j {1,2, , m} thỏa c j (v1  v2 )  v1  v2  Xét tập hợp I  {t t  1, 2m  1} phần tử đôi khác F Theo tồn j {1,2, , m} thỏa c j (v1  v2t )   v1  v2t  d , với  {1,2,3} Khi đó, với  x1  y1t   x2  y2 t  {1, 2,3}, ta có ci     xn  yn t     x1  y1t     x2  y2 t       xn  yn t        d Đặt w1  v1  v2 t1 w2  v1  v2 t2    Suy v1  w12 (2 1)1  w2 (1(2 1)1) v2  w1 (1  2 ) 1  w2 ((1  2 ) 1 ) Hiển nhiên, v1 , v2 độc lập tuyến tính nên w1 , w2 độc lập tuyến tính Đặt w3  w11  w22 Do w1 , w2 độc lập tuyến tính nên 1    11   2  3 Vì   ( 1  3 )(1  2 ) 1  F \{0} 1  (3  2 )(1  2 ) 1  F \{0} Dễ thấy w3  w11  w2 , v1  w1  w2 v2  w1  w2 ,  i  F  i  Ta 34 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Minh Nam thấy, c j w3  w3d  w11d3  w2 d3 Hơn nữa, c j w3  c j ( w11  w2 )  c j w11  c j w2 Do w1 , w2 độc lập tuyến tính  i  với i 1, , nên d1  d  d3  d Từ suy c j v1  c j (w1  w2 )  (w13  w2 )d  v1d tương tự c j v2  v2 d Trong trường hợp j  , c1v1  v1d nên mâu thuẫn với c1v1  v1 Ngược lại, trường hợp j  , c j v2  v2 d nên mâu thuẫn với cjv2  v2 Từ đây, ta kết luận tồn   F thỏa c j (v1  v2 )  v1  v2  với j bổ đề chứng minh Bổ đề 2.5 Cho D vành chia tâm F c1 , c2 , , cm phần tử M n ( D ) \ P Nếu F  2m  tồn y  M n ( D) cho yc1 yc2 y ycm y  y  Chứng minh Theo Bổ đề 2.4, tồn v1  V \ {0} thỏa c j v1  v1 với j {1,2, , m} Theo Mệnh đề 2.2, tồn phần tử vi  V , i  2, n  cho hệ {vi  i  n  1} độc lập tuyến tính thỏa v1 , v2 , , 1 không chứa phần tử c j v1 với j 1, m Do V không gian vectơ phải n chiều D , nên tồn để hệ {vi  i  n}  xi1    x sở V Đặt vi   i  m   v1 v2    M n ( D) , nghĩa là, m lập      xin  cách ghép vectơ vi theo cột Ta kí hiệu m1 ma trận khả nghịch ma trận m Đặt 0  1 y  m      m1 0  0    0  0 Dễ thấy, yvi    với i 1, n  , yvn  v1 y  Do đó,     0 ( yc1 yc2 y ycm y )vn  v1d1d d n  Vậy yc1 yc2 y ycm y  ta suy Bổ đề 2.6 Cho D vành chia tâm F GL n ( D ) nhóm tuyến tính tổng qt D , với n  Giả sử w( x1 , x2 , , xk )  a1 xi1 1 a2 xi2  am xim  m am1 35 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số (2019): 29-37 đơn thức nhóm suy rộng GLn ( D ) Nếu GLn ( D ) thỏa đồng thức w( x1 , x2 , , xk )  F  l ( w)  GL n ( D ) thỏa đồng thức c1 x1 c2 x cm x  m cm 1  , c j  GL n ( D ) \ P với j {1,2, , m} Chứng minh Do l (w)  m F  2l (w)  nên ta gọi   t  k  t  k    phần tử đôi khác F J  j a j  P Theo Bổ đề 2.5, tồn y  M n ( D) cho y  ya j y  0, ycy  với j  J phần tử c M n ( D ) \ P Đặt s j   j i j xi j  (1  i j y ) x(1  i j y ) với j 1, m , k  i j  k x  GL n ( D ) Dễ thấy, xi j  GL n ( D) Vì GL n ( D ) thỏa đồng thức c1 x1 c2 x cm x  m cm 1  , c1  a1 (1  s1 y), cm 1  (1   sm1 y ) am 1 c j  (1   s j 1 y )a j (1  s j y ) với j  1, m  1 Nếu s j 1   s j  j 1   j i j 1  i j Hơn w( x1 , x2 , , xk )  đồng thức nhóm suy rộng GL n ( D ) nên a j  P Tiếp theo ta chứng minh c j  P Thật vậy, a j  P yc j y  y(1  s j1 y)a j (1 s j y) y  ya j y  Suy c j  P Ngược lại a j  P  s j1  s j Điều dẫn đến c j  a j (1   s j 1 y )(1  s j y)  a j ( s j 1  s j ) y Dễ thấy y  P a j  P Từ suy ycy  Điều mâu thuẫn với điều kiện ycy  Do c j  P Từ bổ đề ta có kết báo Định lí 2.7 Cho D vành chia tâm F GL n ( D ) nhóm tuyến tính tổng quát D Giả sử w( x1 , x2 , , xk )  a1 xi1 1 a2 xi2  am xim  m am1 đơn thức nhóm suy rộng GL n ( D ) Nếu GL n ( D ) thỏa đồng thức w( x1 , x2 , , xk )  F  2l ( w)  n  D  F Chứng minh Theo Bổ đề 2.6, nhóm GL n ( D ) thỏa đồng thức c1 x1 c2 x cm x  m cm 1  , c j  P với j  1, m Theo Bổ đề 2.5, tồn y  M n ( D) cho y  yc1 yc2 y ycm y  Đặt x  (1   y) ,   F Dễ thấy, x  GL n ( D ) Từ c1 (1   y )1 c2 (1   y ) cm (1   y) m cm1   , 36 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Suy b0  b1   2b2    mbm  , Cao Minh Nam với F Hơn nữa, ybm y  (1  m ) yc1 y ycm 1 y  Mặt khác, F  2m  theo Bổ đề 2.3, nên b0  b1   bm  Mâu thuẫn với bm  Từ Định lí 2.7 chứng minh  Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Amitsur, S A (1966) Rational identities and applications to algebra and geometry J Algebra, 3, 304-359 Bien, M H (2015) On some subgroups of D  which satisfy a generalized group identity Bull Korean Math Soc., 52, 1353-1363 Chebotar, M A., & Lee, P H (2004) A note on group identities in division rings Proc Edinb Math Soc., 47, 557-560 Kiani, D., Ramezan-Nassab, M., & Bien, M H (2016) Some skew linear groups satisfying generalized group identities Comm Algebra, 2362-2367 Mikhalev, A V., & Golubchik, I Z (1982) Generalized group identities in classical groups Zap Nauchn Sem Leningrad Otdel Inst Steklov., 114, 96-119 Tomanov, G M (1982) Generalized group identities in linear groups Dokl Akad Nauk BSSR, 26, 9-12 ON GENERALIZED GROUP IDENTITIES OF GENERAL LINEAR GROUP OVER DIVISION RING WITH CENTER NOT NECESSARILY INFINITE Cao Minh Nam * Ho Chi Minh City University of Education Corresponding author: Cao Minh Nam – Email: caominhnam.dhsp@gmail.com Received: 04/3/2019; Revised: 21/4/2019; Accepted: 05/6/2019 ABSTRACT This article extends a famous result of I Z Golubchik and A.V Mikhalev for generalized group identities of general linear group over division ring with center not necessarily infinite Keywords: division ring, general linear group, generalized group identities 37