Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia

Đề tài Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia đã đưa ra một bài toán mà miền nguyên không giao hoán không thể nhúng đẳng cấu vào vành chia qua một ví dụ rất nổi tiếng của Mal’ Cev. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khơi BÀI TỐN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUN KHƠNG GIAO HỐN VÀO VÀNH CHIA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khơi BÀI TỐN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUN KHƠNG GIAO HỐN VÀO VÀNH CHIA Chun ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỞNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn “Bài toán nhúng đẳng cấu miền ngun khơng giao hốn vào vành chia” tơi thực hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Bùi Tưởng Trí Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết từ nguồn sách, tạp chí, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Tác giả luận văn Phạm Đình Khơi LỜI CẢM ƠN Trong q trình học tập Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tơi Q Thầy Cơ cung cấp cho kiến thức chuyên sâu, giúp trưởng thành học tập nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi lời biết ơn đến tất Quý Thầy Cơ tận tình giảng dạy tơi suốt thời gian học trường Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tưởng Trí Thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt thời gian thực luận văn Đặc biệt, học Thầy phương pháp làm việc khoa học am hiểu thấu đáo riêng Thầy Xin phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng Bảo vệ Luận văn Thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá luận văn Tôi xin phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cơ cơng tác Phịng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Sở Giáo dục Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập, thực luận văn Cuối cùng, xin khắc sâu công ơn Cha Mẹ, cảm ơn người thân, bạn bè ủng hộ, động viên giúp đỡ tơi suốt khóa học TP Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2020 Phạm Đình Khơi MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Một số định nghĩa tính chất vành giao hốn 1.1.1 Định nghĩa nhóm 1.1.2 Luật giản ước 1.1.3 Đại số 1.1.4 Đại số nửa nhóm 1.1.5 Định nghĩa vành 1.1.6 Định nghĩa ideal 1.1.7 Khái niệm ideal nguyên tố 1.1.8 Khái niệm ideal cực đại 1.1.9 Mệnh đề 1.2 Địa phương hóa vành giao hoán toán nhúng đẳng cấu 1.2.1 Định nghĩa vành địa phương 1.2.2 Địa phương hóa vành giao hốn Chương VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HĨA KHƠNG GIAO HOÁN 14 2.1 Một số khái niệm vành khơng giao hốn 15 2.1.1 Miền ngun (khơng giao hốn) 15 2.1.2 Vành chia 15 2.1.3 Nửa nhóm (khơng giao hốn) 15 2.1.4 Nửa nhóm tự 15 2.1.5 Đại số nửa nhóm kH vành khơng giao hốn có đơn vị 17 2.2 Bổ đề 17 2.3 Định lí 19 2.4 Định lí 21 Chương MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU GỢI MỞ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN 23 3.1 Vấn đề bổ sung thứ tự H 23 3.2 Tựa - đồng thức (Quasi – identities) 23 3.3 Một số định nghĩa định lý liên quan địa phương hóa vành khơng giao hốn 24 3.3.1 Mệnh đề 27 3.3.2 Ví dụ 27 3.4 Những điều kiện cần cho khả nhúng miền R vào vành chia 29 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số tự nhiên : Tập số nguyên : Tập số hữu tỉ : Tập số thực : Tập số phức  : Tổng RS : Địa phương hóa miền nguyên R tập nhân S U (R) : Nhóm phần tử khả nghịch vành R IBN : Đồng cấu vào trường k MỞ ĐẦU Như biết vành giao hốn (có đơn vị) miền ngun nhúng đẳng cấu vào trường (trường thương nó) Bài tốn hồn tồn tương tự cho vành khơng giao hốn khả nhúng miền ngun khơng giao hốn vào vành chia liệu có đơn giản hay khơng Vì vành giao hốn (có đơn vị) vành khơng giao hốn (có đơn vị) có vài nét khác nên việc nhúng đẳng cấu từ miền nguyên giao hoán vào trường ln ln làm việc nhúng đẳng cấu từ miền ngun khơng giao hốn vào vành chia lại khơng đơn giản Chính vậy, tơi chọn đề tài để đưa tốn mà miền ngun khơng giao hốn khơng thể nhúng đẳng cấu vào vành chia qua ví dụ tiếng Mal’ Cev Luận văn gồm ba chương : _ Chương 1: Những kiến thức Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa tính chất biết đại số giao hốn đại số khơng giao hốn, sau giới thiệu đơi nét việc địa phương hóa vành giao hoán _ Chương : Vấn đề địa phương hóa vành khơng giao hốn Chương trình bày đơi nét việc địa phương hóa vành khơng giao hốn đưa câu trả lời phủ định cho câu hỏi: “ phải miền nguyên khơng giao hốn nhúng vào vành chia khơng giao hốn” thơng qua ví dụ tiếng Mal’ Cev _ Chương 3: Một số hướng nghiên cứu gợi mở liên quan đến toán Phần mở rộng trình bày số vấn đề gợi mở làm tiền đề cho nghiên cứu cho việc tìm điều kiện cần đủ để nhúng đẳng cấu từ miền ngun khơng giao hốn vào vành chia Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương nhắc lại số khái niệm, tính chất biết đại số giao hoán đại số khơng giao hốn có liên quan Sau giới thiệu đơi nét việc địa phương hóa vành giao hốn, dẫn đến số tính chất cần thiết cho chương sau 1.1 Một số định nghĩa tính chất vành giao hốn 1.1.1 Định nghĩa nhóm Cho G tập hợp khác rỗng, G trang bị phép tốn hai ngơi * *: GxG → G ( x, y ) x* y a) Nếu phép tốn * thỏa tính chất kết hợp, tức : ( x * y ) * z = x * ( y * z ) ( G ,*) gọi nửa nhóm b) Nếu nửa nhóm G có thêm phần tử trung hịa, tức : e  G : x  G : x * e = e * x = x ( G ,*) gọi vị nhóm c) Trong vị nhóm, phần tử khác phần tử trung hòa khả nghịch, tức : x  G, y  G : x * y = y * x = e ( G ,*) trở thành nhóm 1.1.2 Luật giản ước a) Một phần tử a ( G,*) có tính chất giản ước trái : b, c  G : a * b = a * c  b = c b) Một phần tử a ( G,*) có tính chất giản ước phải : b, c  G : b*a = c * a  b = c 17 Với từ u, v khác nửa nhóm tự F u v phần tử sinh tự nửa nhóm sinh chúng có phần tử w cho w = u k = vl ; k , l  Điều thứ hai xảy u.v = v.u Mỗi nửa nhóm với phần tử sinh nửa nhóm tự biểu diễn hữu hạn Tuy nhiên tồn nửa nhóm với phần tử sinh khơng biểu diễn hữu hạn 2.1.5 Đại số nửa nhóm kH vành khơng giao hốn có đơn vị Cho H nửa nhóm nhân, khơng giao hốn, có luật giản ước hai phía cho k miền ngun giao hốn đại số nửa nhóm kH tập hợp tổng hình thức : k11 + k2 + + kn n , k j  k ,  i  H Phép cộng theo nghĩa thông thường Phép nhân : Phân phối với tổng hình thức Nửa nhóm ln có đơn vị 2.2 Bổ đề Ta trở lại với câu hỏi : Liệu có phải miền nhúng vào vành chia hay không? Thông qua ví tiếng , Mal’cev trình bày câu trả lời phủ định cho câu hỏi Tổng quát hơn, Mal’cev quan tâm đến vấn đề nhúng nửa nhóm giản ước H vào nhóm G (Với nửa nhóm giản ước nửa nhóm giữ hai quy luật giản ước trái phải) Ta giả định tất nửa nhóm sử dụng phần sau “ vị nhóm ”, (tức nửa nhóm khơng giao hốn có chứa phần tử {1}) Tuy nhiên, ta dùng giả thiết xuyên suốt thuận tiện 18 Trong đại số giao hốn ta biết nửa nhóm giao hốn H có luật giản ước ln nhúng vào nhóm Vậy liệu điều có cịn đại số khơng giao hốn hay khơng ? Trong báo tiếng xuất năm 1937, Mal’cev xây dựng ví dụ nửa nhóm H có luật giản ước trái phải mà khơng thể nhúng vào nhóm G Và nữa, Mal’cev thêm đại số nửa nhóm QH (trong Q vành chia khơng giao hốn) miền Vì vậy, theo miền khơng thể nhúng vào vành chia D, D tồn H nhúng vào nhóm đặc trưng U(D) D (đây điều mâu thuẫn) Cái nhìn chủ yếu để làm cho cơng việc khả thi bổ đề đây: Cho a , b, c, d, x , y, u, v phần tử nửa nhóm H Nếu H nhúng vào nhóm G, : (2.2.a) a.x = b y   c.x = d y   c.u = d v ( H ) a.u = b.v  Chứng minh: * Cách 1: Làm việc nhóm G, từ hai phương trình trên, ta có: b−1.a = y.x−1 = d −1.c (1) Mặc khác: a.u = b.v  b−1.a = v.u −1 (2) Từ (1) (2), ta : d −1.c = v.u −1 ( G )  c.u = d v ( H ) (ĐPCM) * Cách 2: Theo đề xuất D.Moulton: c.u = c.x.x −1.a −1.a.u = d y y −1.b −1.b.v = d v  c.u = d v ( H ) Vậy ta có điều phải chứng minh (trong G ) 19 Phương trình (2.2.a) cịn biểu diễn phương trình ma trận sau : a b  x u   0 (2.2.b):    =   c d   − y −v   *  Bằng cách nhân ma trận thông thường , “ * ” “ c.u - d.v ” Do nói H nhúng vào nhóm G (2.2.b) phải ma trận không Theo Mal’cev , ta chứng minh tiếp : 2.3 Định lí Tồn nửa nhóm giản ước H với phần tử a , b, c, d, x , y, u, v cho a.x = b y   c.x = d y  , c.u  d v a.u = b.v  Đặc biệt, H khơng thể nhúng vào nhóm G Chứng minh: * Chứng minh tồn tại: Giả sử Hˆ nửa nhóm tự sinh kí tự A, B, C, D, X, Y, U, V Cho từ W W’, ta định nghĩa W W’ W biến đổi thành W’ số hữu hạn phép biến đổi từ có chiều dài loại sau đây: (2.3.1) AX  BY ; CX  DY ; AU  BV Rõ ràng “ ” quan hệ tương đương tập hợp tất từ Cho H tập hợp - lớp tương đương : H = Hˆ , giả sử w ký hiệu lớp tương đương từ W  Hˆ Phép nhân Hˆ sinh phép nhân H làm cho H trở thành nửa nhóm Các lớp a, b, c, d, x, y, u, v  H A, B, C, D, X, Y, U, V  Hˆ thỏa mãn ax = by, cx = dy, 20 au = bv Nhưng ta khơng có c.u = d v ( H ) , từ CU đơn giản khơng thể biến đổi thành DV Điều cần phải kiểm tra H thỏa mãn luật giản ước hai phía * Chứng minh luật giản ước trái : Ta giả thiết rằng: từ Hˆ rút gọn khơng chứa từ AX, CX, AU Dùng biến đổi (2.3.1), rõ ràng từ W  Hˆ - lớp tương đương với từ rút gọn Từ ta chứng minh luật giản ước trái: Ta chứng minh: (2.3.2) : ww1 = ww2  H  w1 = w  H Giả định w, w1 , w lớp từ rút gọn W, W1 , W2 _ Nếu WW1 WW2 rút gọn được, ta có WW1 = WW2  W1 = W2  Hˆ từ w1 = w  H _ Bây ta giả thiết WW1 không rút gọn được, ta xét trường hợp điển hình : Giả sử W = LA, W1 = XM1 N1 Trong trường hợp này, lớp ww1 biểu diễn từ rút gọn LBYM1 N1 _ Nếu W2 không bắt đầu X hay U , WW2 tự rút gọn được, khơng LBYM1 N1 , mâu thuẫn với ww1 = ww2 _ Nếu W2 bắt đầu U , ww2 cho từ rút gọn có dạng LBV , mâu thuẩn với ww1 = ww2 Vậy ta phải có W2 = XM N2 , dẫn đến ww2 cho từ rút gọn LBYM N2 Nhưng ta phải có M1 N1 = M N2 , với ngụ ý W1 = W2  Hˆ w1 = w  H * Chứng minh luật giản ước phải : ta làm tương tự 21 2.4 Định lí Cho R đại số nửa nhóm kH, H cho (2.3) k miền nguyên giao hoán Khi R miền khơng giao hốn, R khơng thể nhúng vào vành chia Chứng minh: _ Ta dễ dàng chứng tỏ R miền (Vì theo phản chứng : Nếu R khơng miền có w  k có w'  H cho w.w ' =  w.w ' = 0.w ' Vì có luật giản ước nên w = 0(!) ) _ Giả sử thay phương trình: (*) ( i i wi ) (  j  ' j w ' j ) =  R Khi  i  0,  ' j  w i ' s ( hay w 'j ' s ) cho từ rút gọn khác Wi ' s ( hay W' ' s ) Lưu ý “ chiều dài ” phần tử H j định nghĩa tốt, biến đổi cho (2.3.1) bảo tồn chiều dài Vì vậy, ta giả định tất từ Wi ( hay W' ) có chiều j dài (Nếu khơng ta cần thay i i wi tổng cho dạng chiều dài dài nhất, làm tương tự cho  j  ' j w ' j ) Để “ giản ước ” lớp w1w1' , ta phải có w1w1' = w i w 'j với i  1, j  Khi W1  Wi chúng có chiều dài, cách để w 1w 1' = w i w 'j ta phải có : W1 = K LA ; W1' = XMN ; Wi = K LB ; WJ' = YMN Nhưng đó, phương trình (*) trên, ta có dạng 1 'j w1w 'j tương ứng với từ rút gọn K LAYMN mà rõ ràng “ giản ước ” dạng khác (Mâu thuẫn) 22 Từ ví dụ Mal’cev dẫn đến có số câu hỏi lớn đặt ra: 1) Với điều kiện miền nguyên khơng giao hốn R tập nhân S tồn RS vành chia nhúng R vào RS = S \ 0 Nói khác với điều kiện miền ngun R R nhúng đẳng cấu vào vành chia 2) Ngay tồn vành chia RS với miền ngun R RS có phải hay không Ở phần ta trình bày số hướng nghiên cứu gợi mở cho việc trả lời câu hỏi 23 Chương MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU GỢI MỞ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN 3.1 Vấn đề bổ sung thứ tự H Theo quan sát độc lập Chihata Vinogradov năm 1953 nửa nhóm H thực tế xếp : tồn quan hệ thứ tự “ < ” phần tử H cho : ( 3.1a )       H       (   H ) Khi bổ sung thứ tự H, tranh luận liên quan đến dạng hổ trợ tối thiểu R miền Để xây dựng thứ tự H khơng phải khó khăn Chihata : ( 3.1b ) xud c ybav Khi đó, tìm hiểu sâu hơn, ta có mở rộng đặc trưng thứ tự H Tổng hợp lại, ta có số kết luận sau: ● Nửa nhóm có thứ tự (H ,