Một số dạng toán về dãy số trong các kì thi olympic toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLÊ THỊ THANH LUÂN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ THANH LUÂN

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG

CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ THANH LUÂN

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG

CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫnPGS.TS PHẠM QUÝ MƯỜI

Đà Nẵng - 2024

MỤC LỤC

1.1 Dãy số, dãy số bị chặn, dãy số đơn điệu 5

1.2 Giới hạn của dãy số 6

1.3 Các định lí về dãy số 7

1.4 Giới hạn vô cực của dãy số 9

1.5 Các nguyên lí về tính đầy đủ 9

1.6 Một số giới hạn dãy số thường gặp 11

1.7 Cấp số cộng - Cấp số nhân 13

1.8 Dãy truy hồi tuyến tính cấp 1, cấp 2 13

1.9 Hàm số liên tục, khả vi 14

2.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số 16

2.2 Chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy có giới hạn 20

2.3 Tính tổng của một biểu thức chứa các số hạng của dãy 23

2.4 Tìm giới hạn của dãy số 26

2.5 Dạng toán tính giới hạn của tổng n số hạng đầu của dãy số 40 2.6 Chứng minh dãy số lập thành cấp số cộng, cấp số nhân 45

2.7 Dạng Toán tính giá trị biểu thức liên quan đến số hạng của dãy số 46

TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG

CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌCNgành: Phương pháp Toán sơ cấp

Họ tên học viên: Lê Thị Thanh Luân

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Quý Mười

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

Tóm tắt:

Trong luận văn này, tác giả đã hệ thống lại các kiến thức cơ sở đóng vai trò quan trọng làm nền tảng cho lý thuyết về dãy số gồm các định nghĩa của dãy số, dãy số bị chặn, dãy số đơn điệu, giới hạn của dãy số, các định lí về dãy số, các nguyên lí về tính đầy đủ của dãy số, định nghĩa cấp

số cộng, cấp số nhân, dãy truy hồi tuyến tính cấp 1, cấp 2, sai phân của dãy số, hàm số liên tục, khả vi Tiếp theo là các bài tập về dãy số được sắp xếp theo từng dạng như sau: Dạng toán tìm

số hạng tổng quát, dạng toán chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy có giới hạn, dạng toán tính tổng, dạng toán tìm giới hạn của dãy số, dạng toán tính giới hạn của tổng n số hạng đầu của dãy số, dạng toán chứng minh dãy số lập thành cấp số cộng, cấp số nhân, dạng toán tính giá trị biểu thức liên quan đến giới hạn của dãy số Mỗi dạng đều đưa ra phương pháp giải và các ví

dụ minh họa.

Các kết quả nghiên cứu của đề tài được trình bày trong cuốn luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Cuốn luận văn này, sau khi được hoàn thiện, có thể xem như một tài liệu tham khảo dành cho học sinh trung học phổ thông, giáo viên và sinh viên, những người muốn tìm hiểu về lý thuyết dãy số và các bài tập về dãy số trong các kì thi Olympic toán học.

Với những kết quả đã đạt được từ đề tài này, chúng ta có thể tiếp tục nghiên cứu về vấn đề

áp dụng lý thuyết dãy số để sáng tạo nên bài toán sơ cấp có độ khó như mong muốn nhằm thúc đẩy tư duy trong học sinh cũng như phục vụ cho các kì thi học thuật về toán ở bậc trung học phổ thông và Olympic toán dành cho sinh viên.

Từ khóa: Lý thuyết dãy số, dãy số bị chặn, dãy số đơn điệu, giới hạn của dãy số, tính đầy đủ của dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân, dãy truy hồi tuyến tính cấp 1, cấp 2, sai phân của dãy số, hàm số liên tục, khả vi.

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài

NAME OF THESIS: SOME FORM OF MATH ON NUMBERSEQUENCES IN MATHEMATICS OLYMPIC EXAMS.Major: Elementary Mathematics Methods.

Full name of Master student: Le Thi Thanh Luan

Supervisors: Assoc Prof Pham Quy Muoi

Training institution: The University of Danang - University of Science andEducation

Abstract: In this thesis, the author has systematized the basic knowledge that plays an tant role as the foundation for the theory of number sequences, including definitions of number sequences, bounded numbers, monotonic numbers, and limits of arithmetic sequences, theorems about arithmetic sequences, principles of completeness of arithmetic sequences, definitions of arithmetic and multiplicative progressions, first-order and second-order linear recurrence series, differences of arithmetic sequences, functions continuous, differentiable number Next are exercises

impor-on number sequences arranged according to each type as follows: Math form to find general terms, Math form to prove that a series of numbers is increasing, decreasing, bounded, a limited series,

a math form to calculate the sum, a math form to find the limit of a series of numbers, Math form that calculates the limit of the sum of the first n terms of a series of numbers, math form that proves that a series of numbers forms an arithmetic progression, an exponential progression, mathematical form that calculates the value of an expression related to the limit of a series of numbers Each form provides solution methods and illustrative examples.

The research results of the topic will be presented in the master’s thesis This thesis, once completed, can be seen as a reference for high school students, teachers and students who want

to learn about number sequence theory and exercises on number sequences Number sequences in mathematical Olympiads.

With the results achieved from this topic, we can continue to research the issue of applying number sequence theory to create elementary problems with the desired difficulty to promote thinking in learning for students as well as serving academic math exams at the high school level and math Olympiads for students.

Keywords: Sequence theory, bounded sequences, monotonic sequences, limits of sequences, completeness of sequences, arithmetic progressions, exponential progressions, first-order, second- order linear recurrence sequences, differences of series of numbers, continuous and differentiable functions.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dãy số có vai trò đặc biệt quan trọng trong toán học Trong chương trìnhtoán phổ thông, toán về dãy số được giảng dạy ở lớp 11 và là kiến thức nềntảng để phát triển về giới hạn, liên tục và đạo hàm Đây cũng là chủ đề phânloại học sinh và thi học sinh giỏi các cấp, thi Olympic toán ở các bậc họctoán phổ thông, đại học và tiếp tục được nghiên cứu sâu hơn ở bậc học sauđại học Hằng năm, dạng toán dãy số luôn xuất hiện trong đề thi học sinhgiỏi quốc gia bậc Trung học phổ thông và đề thi môn Giải tích trong kì thiOlympic toán học sinh viên toàn quốc Tuy nhiên thời lượng phân phối củaphần dãy số trong chương trình lớp 11 chưa nhiều, đặc biệt trong chươngtrình toán hiện nay đã lược bỏ nhiều định lý quan trọng Hơn nữa, dạng toánnày khó và trừu tượng đối với học sinh nên các em gặp nhiều khó khăn vàrất ngại khi gặp dạng toán về dãy số Do đó, việc nghiên cứu phân loại dạngtoán dãy số, đưa ra các định hướng và phương pháp giải phù hợp là vấn đề

có tính cấp thiết và thời sự hiện nay Trong thời gian vừa qua tôi đã thuthập, tích lũy và hệ thống được một số dạng toán về dãy số nhằm phục vụcho công tác nghiên cứu Mục tiêu của đề tài là trình bày lý thuyết về dãy số

và đưa ra phương pháp giải các bài toán về dãy số trong các kỳ thi Olympictoán sinh viên và học sinh các năm gần đây, giúp học sinh, sinh viên tiếp cậnmột số dạng toán đặc trưng về dãy số Các bài toán được lựa chọn chủ yếucho những học sinh giỏi Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Quý Mười,tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “Một số dạng toán về dãy số trong kìthi Olympic toán học”

Luận văn được phân thành 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản về dãy số.

Chương 2: Một số dạng toán về dãy số trong kì thi Olympic toán học.Nội dung Chương 1 trình bày lý thuyết cơ bản của dãy số Chương 2 phânthành các dạng toán trong đề thi Olympic toán học sinh viên, sự phân chiathành các dạng toán của tôi theo quan điểm chủ quan của mình, do đó khôngtránh khỏi những thiếu sót Vì vậy kính mong các thầy cô và các bạn đồngnghiệp đọc và cho ý kiến góp ý để luận văn: “Một số dạng toán về dãy sốtrong các kì thi Olympic toán học” được hoàn thiện hơn

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu phương pháp và các ứng dụng của dãy số để chọn ra phươngpháp giải dễ hiểu nhất giúp học sinh, sinh viên có thể dễ dàng vận dụng vàogiải các bài toán về dãy số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các khái niệm, định nghĩa, tính chất cơ bản trong lý thuyết về dãy số,giới hạn dãy số

- Một số dạng toán về dãy số trong các kì thi Olympic toán học sinhviên-học sinh toàn quốc

- Phương pháp và các ứng dụng để giải các bài toán về dãy số

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, phân tích và tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung nghiêncứu

- Phân loại và hệ thống hóa lý thuyết

- Trình bày báo cáo tại seminar của nhóm nghiên cứu

- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Các kết quả nghiên cứu của Đề tài sẽ được trình bày trong cuốn luận văntốt nghiệp thạc sĩ Cuốn luận văn này, sau khi được hoàn thiện, có thể xem

như một tài liệu tham khảo dành cho học sinh và giáo viên trung học phổthông, sinh viên, những người muốn tìm hiểu về dãy số và các bài toán vềdãy số trong các kỷ yếu kì thi Olympic Toán sinh viên các năm gần đây.

6 Kết cấu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn được chia thành haichương

Chương 1: Kiến thức cơ bản về dãy số Nội dung chương 1 trình bày nhữngkiến thức cơ sở về dãy số, gồm các nội dung chính sau:

- Dãy số - Dãy số bị chặn - Dãy số đơn điệu

- Giới hạn của dãy số

- Các định lí về dãy số

- Giới hạn vô cực của dãy số

- Các nguyên lí về tính đầy đủ của dãy số

Dạng toán tìm số hạng tổng quát

Dạng toán chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy có giới hạn

Dạng toán tính tổng

Dạng toán tìm giới hạn của dãy số

Dạng toán tính giới hạn của tổng n số hạng đầu của dãy số

Dạng toán chứng minh dãy số lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

Dạng toán tính giá trị biểu thức liên quan đến giới hạn của dãy số

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầyhướng dẫn PGS TS Phạm Quý Mười, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng.Thầy đã truyền cảm hứng và động lực để tôi tìm tòi nghiên cứu các bài toántrong đề tài, Thầy cũng đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn này Nhân dịp này tôi xin bày tỏ

sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, tôi cũng xin gửi lời cảm ơnđến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Phòng Đào tạo,Khoa Toán học, cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học K43 Phươngpháp Toán sơ cấp tại Đà Nẵng đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học,tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần củagia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốtkhóa học và luận văn này

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bảnthân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệmnghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rấtmong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoànthiện hơn

CHƯƠNG1KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương 1 trình bày lý thuyết cơ bản của dãy số, gồm các định nghĩa củadãy số, dãy số bị chặn, dãy số đơn điệu, giới hạn của dãy số, các định lí vềdãy số, các nguyên lí về tính đầy đủ của dãy số, định nghĩa cấp số cộng, cấp

số nhân, dãy truy hồi tuyến tính cấp 1, cấp 2, sai phân của dãy số, hàm sốliên tục, khả vi Trích nguồn từ các tài liệu: [1], [2], [3], [4], [6]

1.1 Dãy số, dãy số bị chặn, dãy số đơn điệu

Định nghĩa 1.1.1 ([4]) Cho tập hợp số nguyên dương N∗ = {1; 2; 3; }.Một ánh xạ u: N∗ → R được gọi là một dãy số thực Nếu đặt un = u(n) thì

ta có thể biểu diễn dãy số thực dưới dạng u1, u2, u3, , un, Ta thường

ký hiệu là (un) Phần tử un được gọi là số hạng tổng quát của dãy

Định nghĩa 1.1.2 ([2]) Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếutồn tại số M sao cho un 6 M, ∀n ∈N.

Dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un ≥ m, ∀n ∈ N.

Dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Dãy số (un) được gọi là:

- Dãy đơn điệu tăng nếu un ≤ un+1, ∀n ∈ N.

- Dãy đơn điệu tăng ngặt nếu un < un+1, ∀n ∈ N.

- Dãy đơn điệu giảm nếu un ≥ un+1, ∀n ∈ N.

- Dãy đơn điệu giảm ngặt nếu un > un+1, ∀n ∈ N.

Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu

1.2 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.2.1 ([4]) Cho dãy số thực (un) Số a ∈ R được gọi là giớihạn của dãy số (un) nếu với mọi ε > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại một

số n0 (phụ thuộc ε) sao cho với mọi n > n0 ta đều có |un − a| < ε

Tức là ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ∈ N, n > n0 ⇒ |un− a| < ε

Khi đó ta nói rằng dãy số thực (un) hội tụ đến a hay tiến đến giới hạn a

và ta viết un → a (n → ∞) hay lim

n→+∞un = a.Dãy có giới hạn gọi là dãy hội tụ và dãy không có giới hạn hữu hạn gọi làdãy phân kì

Định nghĩa 1.2.2 ([2]) Cho tập hợp A 6= ∅ và A ⊂ R Số x được gọi làcận trên của tập A nếu với mọi a ∈ A ta có a ≤ x Lúc này ta nói tập A bịchặn trên

Số x được gọi là cận dưới của tập A nếu với mọi a ∈ A ta có a ≥ x Lúcnày ta nói tập A bị chặn dưới

Cận trên bé nhất (nếu có) của tập A được gọi là cận trên đúng của tậphợp A, ký hiệu: supA Cận dưới bé nhất (nếu có) của tập A được gọi là cậndưới đúng của tập hợp A, ký hiệu inf A

Lưu ý: sup A có thể không thuộc A Nếu sup A thuộc A thì đó chính làgiá trị lớn nhất của A, ký hiệu max A

Tương tự: inf A có thể không thuộc A Nếu inf A thuộc A thì đó chính làgiá trị nhỏ nhất của A, ký hiệu min A

Định nghĩa 1.2.3 ([2]) Dãy con (xnk)của dãy số (xn) là dãy mà các phần

tử của nó được trích từ dãy số ra, trong đó các chỉ số nk thỏa mãn điều kiệnlim

k→+∞nk = +∞ Trong đó n1 < n2 < < nk < nk+1 <

Định nghĩa 1.2.4 ([2]) Dãy con (xnk)của dãy số (xn) là hội tụ thì giới hạncủa nó được gọi là giới hạn riêng của dãy số (xn)

Định nghĩa 1.2.5 ([2]) Cho các dãy(an) và

(i) nk ≥ k , ∀k ∈ N.

(ii) Mọi dãy đều là dãy con của chính nó

(iii) Mọi dãy con của một dãy bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặndưới) thì bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới)

(iv) Mọi dãy con của một dãy đơn diệu là một dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.2.6 ([2]) Giới hạn riêng lớn nhất của dãy số (un) được gọi

là giới hạn trên của nó và ký hiệu là lim

n→+∞supxn.Giới hạn riêng bé nhất của dãy số được gọi là giới hạn dưới của nó và kýhiệu là lim

n→+∞inf xn

1.3 Các định lí về dãy số

Định lý 1.3.1 ([2]) (i) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

(ii) Dãy nhận được bởi một phép hoán vị các số hạng của một dãy hội tụvẫn là một dãy hội tụ và có cùng một giới hạn

Định lý 1.3.2 ([2]) lim

n→+∞an = 0 ⇔ lim

n→+∞ |an| = 0.Định lý 1.3.3 ([2]) lim

n→+∞an = a ⇔ lim

n→+∞(an − a) = 0.Định lý 1.3.4 ([2]) lim

n→+∞an = a ⇒ lim

n→+∞ |an| = |a|.Định lý 1.3.5 ([2]) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Chú ý: Từ kết quả này, ta suy ra được rằng: Mọi dãy không bị chặn đều

là dãy phân kỳ Nhưng điều đảo lại không đúng (vì dãy (−1)n bị chặn vàphân kỳ)

Định lý 1.3.6 ([2]) Nếu an = a ∀n ∈ N, n > n0(n0 hằng số thuộc N) thìlim

n→+∞an = a > α thì tồn tại n1 ∈ N sao cho an > α, ∀ n ≥ n1.(iii) Nếu an ≤ β, ∀ n ≥ n0 thì lim

n→+∞an ≤ β.(iv) Nếu lim

n→+∞an = a < β thì tồn tại n1 ∈ N sao cho an < β, ∀n > n1.(v) Nếu α ≤ an ≤ β, ∀ n ≥ n0 thì α ≤ lim

n→+∞an ≤ β.(vi) Nếu α < lim

n→+∞an = a < β thì tồn tại n1 ∈ N sao cho

α < an < β,∀ n ≥ n1

(vii) Nếu an ≤ bn, ∀ n ≥ n0 thì lim

n→+∞an ≤ lim

n→+∞bn.(viii) Nếu







an ≤ cn ≤ bn∀ n ≥ n0lim

n→+∞an = lim

n→+∞bn = a ⇒ lim

n→+∞cn = a(Tính chất kẹp)Định lý 1.3.8 ([2]) Tập con khác rỗng A của R nếu bị chặn trên thì có sup

A, nếu bị chặn dưới thì có infA

Định lý 1.3.9 ([2]) (Đặc trưng của cận trên đúng, cận dưới đúng)

Trong thực hành ta thường áp dụng định lý sau:

Định lý 1.3.10 ([2]) (Đặc trưng của cận trên đúng, cận dưới đúng)

Cho tập hợp A 6= ∅ và A ⊂ R Nếu tập hợp A bị chặn trên thì tồn tạidãy số (xn) trong A sao cho lim

n→+∞xn=sup A Nếu tập hợp A bị chặn dưới thìtồn tại dãy số (xn) trong A sao cho lim

n→+∞xn=inf A

Định lý 1.3.11 ([2]) Dãy (un) hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều

là dãy hội tụ và có chung một giới hạn Ngược lại, mọi dãy con (un) đều hội

tụ thì hiển nhiên (un) là dãy hội tụ (vì (un) cũng là dãy con của chính nó).Định lý 1.3.12 ([2]) Mọi dãy đều có ít nhất một dãy con đơn điệu

1.4 Giới hạn vô cực của dãy số

Định nghĩa 1.4.1 ([2]) Dãy (un) được gọi là có giới hạn +∞ nếu:

∀A > 0, ∃nA ∈ N, n > nA ⇒ un > A

Kí hiệu lim

n→ +∞un = +∞

Dãy (un) được gọi là có giới hạn −∞ nếu:

∀A > 0, ∃nA ∈ N, n > nA ⇒ un < −A, kí hiệu lim

n→ +∞un = −∞.Dãy (un)được gọi là có giới hạn ∞ nếu:

∀A > 0, ∃nA ∈ N, n > nA ⇒ |un| > A, kí hiệu lim

n→ +∞un = ∞.Chú ý: +∞, −∞, ∞ là những kí hiệu chứ không phải là những số thực,chỉ có những dãy số có giới hạn (tức là giới hạn là một số thực) mới gọi lànhững dãy hội tụ Nếu lim

n→ +∞un = −∞ và (unk) làdãy con bất kì của dãy (un) thì lim

n→+∞unk = +∞ hoặc lim

n→+∞unk = −∞.1.5 Các nguyên lí về tính đầy đủ

Định lý 1.5.1 ([2]) (i) Nếu dãy (xn) dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ

và lim

n→ +∞xn = sup

n ∈N

xn.(ii) Nếu dãy(xn) giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và lim

n→ +∞xn = inf

n ∈Nxn.Chú ý:

i) Nếu dãy số (xn) tăng và không bị chặn trên thì lim

n→+∞

1

xn = 0

ii) Dãy số tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (bị chặn dưới).iii) Cho hai dãy (xn) , (yn) khi đó xn ≤ yn, ∀n = 1, 2, thì:

lim

n→+∞xn ≤ lim

n→+∞yn.Định lý 1.5.2 ([2, Nguyên lý Cantor]) Dãy đoạn {[an, bn]} gọi là thắt dầnnếu: [an, bn] ⊃ [an+1, bn+1] ∀n ∈ N và lim

n→ +∞ (bn− an) = 0.Định lý 1.5.3 ([2, Nguyên lý Bolzano-Weierstrass]) Mọi dãy bị chặn đều

có ít nhất một dãy con hội tụ

Định nghĩa 1.5.4 ([2, Dãy Cauchy]) Dãy (an) gọi là dãy Cauchy (hay dãy

cơ bản) nếu: ∀ε > 0, ∃nε ∈ N : ∀n ∈ N, n > nε ⇒ |am − an| < ε

Định lý 1.5.5 ([2, Nguyên lý Cauchy]) Dãy (an) hội tụ khi và chỉ khi nó làdãy Cauchy

Định lý 1.5.6 ([2, Định lý Lagrange]) Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c ∈ (a; b) thỏa mãn:

1) Phương trình f(x) = x có nghiệm ⇔ Phương trình fn(x) = x có nghiệm.2) Gọi α, β là các mút trái, mút phải của D Biết lim

x→α +[f (x) − x] vàlim

x→β −[f (x) − x] cùng dương hoặc cùng âm Khi đó phương trình f(x) = x cónghiệm duy nhất ⇔ Phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất

b) Nếu x1 > x2 thì dãy (xn) giảm nghiêm ngặt.

Định lý 1.5.10 ([2]) Cho hàm f : D → D là hàm nghịch biến, dãy (xn)thỏa mãn xn+1 = f (xn), ∀x ∈ N∗ Khi đó:

a) Các dãy (x2n+1) và (x2n) đơn điệu, trong đó một dãy tăng, một dãygiảm

b) Nếu dãy (xn) bị chặn thì ∃α = lim2n và β = lim x2n+1

1.6 Một số giới hạn dãy số thường gặp

i) Nếu p > 0 thì lim

n → +∞

1

n p = 0.(ii) Nếu p > 0 thì lim

1pi+ 1 thì:

a→ +∞

n

√

n = 1.Với n ≥ 3, theo bất đẳng thức Cauchy:

n < 1 + √2

n ⇒ 1 < √n

n < 1 + √2

n.Theo (i) ta có lim

= 1 (Do đã chứng minh ở trường hợp

Theo (i) và tính chất kẹp suy ra: lim

n→ +∞

n∝(1+p)n = 0.iv) + Nếu q = 0 thì hiển nhiên lim

n→ +∞qn = 0.+ Nếu 0 < |q| < 1 , ta đặt p = 1 − |q||q| > 0 Khi đó |q| = 1

1 + p

⇒ |q|n = (1+p)1 n

n → +∞

→ 0.v) Đặt an = 1 + n1
n(n ∈ N) Ta có an = 1 + n1
n =



1 − n+11





1 − k−1n+1

+ .+(n+1)!1 1 − n+11 )1 − n+12  .1 − n+1n 

Bởi vì mỗi số hạng trong khai triển của an nhỏ hơn hoặc bằng số hạngtương ứng trong khai triển của an+1, hơn nữa so với khai triển của an thìkhai triển của an+1, còn có thêm một số hạng dương ta có:

được rằng e là số vô tỷ và trị số gần đúng của nó làe ≈ 2, 718281828459 1.7 Cấp số cộng - Cấp số nhân

uk+ un−k với mọi k = 2, 3, , n – 1

(iv) Sn = u1 + u2 + u3 + + un = n2 (u1 + un) = n2 [2u1 + (n − 1) d]Định nghĩa 1.7.3 [Cấp số nhân][[2]]

Dãy số u1, u2, u3, được gọi là một cấp số nhân với công bội q(q 6=

0, q 6= 1) nếu un = un−1q với mọi n = 2, 3,

Định lý 1.7.4 [Cấp số nhân] [[2]]

(i) un = u1qn−1 với mọi n = 2, 3,

(ii) u2k = uk−1uk+1 với mọi k = 2, 3,

Phương trình sai phân là phương trình có dạng G(n, un, ∆un, , ∆kun) =

0 trong đó G : NxRk+1 → R là một hàm số cho trước và (un) là dãy số cầntìm gọi là phương trình sai phân cấp k Phương trình sai phân cấp k có thểđược viết dưới dạng F (n, un, un+1, , un+k ) = 0

Trong giới hạn đề tài chỉ đề cập phương trình sai phân dưới góc độ phươngtrình sai phân là phương trình hàm một biến số trên tập hợp N Giải mộtphương trình sai phân sẽ giúp ta xác định được số hạng tổng quát của dãy

số cho bởi công thức truy hồi

1.9 Hàm số liên tục, khả vi

Định nghĩa 1.9.1 ([6]) Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) Hàm

số được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ (a, b) nếu lim

x→x 0

f (x) = lim

x→x 0

f (x0).Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) liên tục tại điểm x0 ∈ (a, b)

Hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b]

nếu nó liên tục trên khoảng (a;b), lim

x→a + [f (x)] = f (a) và lim

x→b − [f (x)] = f (b).Các hàm số f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì:

f (x) ± g (x), f (x) g (x), f (x)

g (x) (g (x) 6= 0)cũng liên tục tại x0 Các hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác liên tụctrên tập xác định của chúng Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0thì tồn tại ít nhất một điểm x0 ∈ (a; b) sao cho f(c)=0 Tức là phương trìnhf(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Định nghĩa 1.9.2 ([6]) Cho hàm số y=f(x) xác định tại x0và tại lân cận

x0 Khi đó nếu tỉ số f (x)−f (x0 )

x−x có giới hạn khi x → x0 thì ta nói f(x) khả vi

tại x0 hay f(x) có đạo hàm tại x0 và giới hạn đó được gọi là đạo hàm củaf(x) tại x0.

Kí hiệu là f0(x0) hay y0(x0)

Vậy f0(x) = lim

x→x 0

f (x)−f (x 0 ) x−x0 Định lý 1.9.3 ([6])

1/ Cho f(x), g(x) 6= 0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cận x0(x0 hữuhạn hoặc vô hạn) Giả sử lim

x→x 0

f (x) = lim

x→x 0

g(x) = ∞ và g’(x) 6= 0 với mọi xthuộc lân cận , khi đó: Nếu lim

CHƯƠNG2MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ

Nội dung chương 2 trình bày một số dạng toán hay gặp về dãy số, các bàitoán dãy số thường xuất hiện trong Kỷ yếu kì thi Olympic toán Bố cục củachương gồm:

Dạng toán tìm số hạng tổng quát

Dạng toán chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy có giới hạn

Dạng toán tính tổng

Dạng toán tìm giới hạn của dãy số

Dạng toán tính giới hạn của tổng n số hạng đầu của dãy số

Dạng toán chứng minh dãy số lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

Dạng toán tính giá trị biểu thức liên quan đến giới hạn của dãy số

Mỗi dạng đều đưa ra phương pháp giải và các ví dụ minh họa

Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2],[3], ,[17]

2.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Dạng toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường được giải theo phươngpháp sau đây:

Phương pháp 1: Đưa công thức truy hồi cấp cao về công thức truy hồicấp 1 hoặc công thức truy hồi cấp 2

Ví dụ 2.1.1 ([6])

Cho dãy số (xn) xác định theo hệ thức sau:

x1 = 2, x1 + x2 + x3 + + xn = n2xn , ∀n ≥ 2

Tính x2024

Phân tích: Trước tiên ta cần tìm được công thức của số hạng tổng quát.Theo công thức truy hồi ở đề bài, để tính được xn ta cần biết tất cả n-1 sốhạng đầu tiên của dãy Nói cách khác đây là công thức truy hồi có cấp vôhạn, cần đưa nó về về công thức truy hồi cấp 1 hoặc công thức truy hồi cấp 2

để xử lí dễ hơn Ta nhận xét rằng nếu thay n bởi n + 1 ở công thức của đề bàithì vế trái có thêm số hạng, còn vế phải được thay đổi thành (n + 1)2xn+1

Do đó ta phải có xn+1 = (n + 1)2xn+1− n2xn hay xn+1 = n+2n xn

Ta đã nhận được công thức truy hồi cấp hữu hạn Do số cấp chỉ là 1 nênchỉ cần vận dụng công thức trên liên tiếp ta sẽ tìm ra công thức tổng quátcủa (xn).Từ lập luận trên, ta có thể trình bày bài giải như sau:

v0 = −4



−13

un+1+1 = 20161 un −1

un+1.Đặt yn = un −1

u n +1 thì y1 = 13Suy ra yn+1 = 20161 yn = · · · = 20161 ny1

Suy ra y1 = 13 nên yn+1 = 20161 n.13 = 13.20161 n

Suy ra yn = 2016.yn+1 = 2016.13.20161 n= 13.20161n−1

Ta có yn = un −1

u n +1 ⇒ yn(un+ 1) = un − 1 ⇒ yn.un + yn = un − 1 ⇒(yn − 1) un = −yn − 1

1



1 − 3.2016n−13.2016n−1



⇒ un =



−1 − 3.2016n−13.2016n−1

:



1 − 3.2016n−13.2016n−1

quá trình biến đổi cần linh hoạt thay đổi chỉ số n bởi n+1, n+2, để thấy

được mối liên hệ giữa các số hạng của dãy Trong đa số các trường hợp, việc

tìm được công thức tổng quát cũng giúp ta khảo sát được các tính chất khác

như giới hạn, tính đơn điệụ của dãy số

.Tìm công thức tổng quát của xn

2.2 Chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy có giới hạnPhương pháp 1: Sử dụng định nghĩa 1.2.1 và 1.2.3 để chứng minh dãy

Chứng minh rằng dãy số (xn)∞n=1 là một dãy số tăng ngặt và không bịchặn.

Giải

Ta có xn > 1, ∀n ≥ 1

Hơn nữa: 2018(xn+1− xn) = x2n− xn > 0 (do xn > 1), ∀n ≥ 1

Do đó dãy số (xn)∞n=1 là một dãy số tăng ngặt

Giả sử dãy số (xn)∞n=1 là một dãy số bị chặn trên, do tính tăng của dãy,tồn tại giới hạn hữu hạn lim

n→∞xn = a > 1.Chuyển 2018xn+1 = x2n+ 2017xn qua giới hạn ta được:

2018a = a2 + 2017a ⇒ a=0 hoặc a=1(mâu thuẫn)

Vậy dãy số (xn)∞n=1 không bị chặn trên

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp quy nạp

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số nguyên dương n(bằng phương pháp quy nạp), ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: (Bước cơ sở hay bước khởi đầu)

Kiểm tra A(n) đúng với n = 1

Bước 2: (Bước quy nạp)

Giả sử A(n) đúng với n=k (k ≥ 1, k ∈ N), ta chứng minh A(n) đúng với

Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ n).

Với k=n, ta có 1 + n1
n < 1 + nn + nn22 = 3 nên dãy (un) bị chặn trên.Chứng minh dãy (un) tăng

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n+1 số dương không đồng thời bằngnhau, ta có: 1 + 1 + n1
+ 1 + n1
+ + 1 + n1
> (n + 1) n+1q

Suy ra dãy (un) tăng

Vậy dãy (un) tăng và bị chặn trên

Tiếp theo ta chứng minh un > 32 khi và chỉ khi n ≥ 3

Ta có u2 = 1 + 12 = 32 nên từ tính đơn điệu của dãy số (un) ⇒ un > 32 khi

và chỉ khi n ≥ 3

Đặt f (x) = ln(1 + x) − 2+x2x

Ta có f0(x) = x2

(1+x)(2+x)2 ≥ 0, ∀x ≥ 0 Vậy f đơn điệu không giảm trên [0, +∞)

Do đó, f (x) ≥ f (0) = 0, ∀x ≥ 0

Mà x1 ≥ 0 nên xn+1 = f (xn) xác định và không âm , ∀n ≥ 1

2.3 Tính tổng của một biểu thức chứa các số hạng của dãyPhương pháp 1: Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng

đó bằng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếpnhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉcòn chứa xn

3 + √ 13+ √

5 + + √ 1

2n−1+ √

2n+1

.Giải

Ta có √ 1

2n−1+ √

2n+1 =

√ 2n+1− √

2n−1 (2n+1)−(2n−1) =

√ 2n+1

√ 2n−1

3 + √ 13+ √

5 + + √ 1

2n−1+ √

2n+1



!+

√5

2 −

√32

!+ +

√2n + 1

√2n − 12

Hãy tính tổng S = u1 + u2 + + u2023.

Giải

Ta có un = n2 + 1
n! = n2 + n − n + 1
n! = n (n + 1)! − (n − 1) n!Khi đó S = u1 + u2 + + u2023 = (1.2! − 0.1!) + (2.3! − 1.2!) + +(2023.2024! − 2022.2023!) = 2023.2024!

 2 = √ 1

n+1

2 +√

n−1 2

n.Khi đó u1 = 3 và un+1 = 4 (2n + 1) + un

Tiếp theo ta chứng minh dãy số (un) là dãy bị chặn dưới Cụ thể ta chứngminh un > 32, ∀n ≥ 3.

Ta cóu2 = 1+12 = 32 Từ tính đơn điệu tăng của dãy số (un)⇒un > u2 = 32với n ≥ 3

Phương pháp 2: Phương pháp ước lượng, để tính tổng ta có thể rút gọntổng dưới dạng sai phân Dưới đây là cơ sở lý thuyết của phương pháp này.+ Định nghĩa 1: Cho dãy số (un) Xét dãy số (yn) xác định như sau:

Ta có xn+1 − xn = 2018x2n ≥ 0, n = 1, 2, nên (xn) (n = 1, 2, ) là dãytăng và dương Ta chứng minh dãy (xn) không bị chặn trên

Thật vậy, giả sử (xn) bị chặn trên, khi đó (xn) tồn tại giới hạn hữu hạn,

ký kiệu lim xn = a ⇒ a > 0

Khi đó a = 2018a2 + a ⇔ a = 0 (vô lý), Vậy ta có lim xn = +∞