TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLÊ THỊ THANH LUÂN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngư
Dãy số, dãy số bị chặn, dãy số đơn điệu
Một ánh xạ \( u: N^* \to R \) được gọi là dãy số thực, trong đó \( N^* = \{1; 2; 3; \ldots\} \) Dãy số này có thể được biểu diễn dưới dạng \( u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots \), với \( u_n = u(n) \) và ký hiệu là \( (u_n) \) Mỗi phần tử \( u_n \) được gọi là số hạng tổng quát của dãy Dãy số \( (u_n) \) được xem là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số \( M \) sao cho \( u_n \leq M \) với mọi \( n \in N \).
Dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u n ≥m,∀n ∈ N.
Dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Dãy số (u n ) được gọi là:
- Dãy đơn điệu tăng nếu u n ≤ u n+1 , ∀n∈ N.
- Dãy đơn điệu tăng ngặt nếu u n < u n+1 , ∀n∈ N.
- Dãy đơn điệu giảm nếu un ≥ un+1, ∀n ∈ N.
- Dãy đơn điệu giảm ngặt nếu un > un+1, ∀n ∈ N.
Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
Giới hạn của dãy số
Số a ∈ R được định nghĩa là giới hạn của dãy số thực (un) nếu với mọi ε > 0, luôn tồn tại một số n0 (tùy thuộc vào ε) sao cho với mọi n > n0, điều kiện |u n − a| < ε được thỏa mãn.
Dãy số thực (u n) được coi là hội tụ đến a khi nó tiến đến giới hạn a, ký hiệu là u n → a (n→ ∞) hay lim n→+∞u n = a Dãy có giới hạn được gọi là dãy hội tụ, trong khi dãy không có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy phân kì Theo định nghĩa, một số x được gọi là cận trên của tập hợp A (A ⊂ R, A ≠ ∅) nếu với mọi a thuộc A, ta có a ≤ x, do đó, tập A được xem là bị chặn trên.
Số x được gọi là cận dưới của tập A nếu với mọi a ∈ A ta có a ≥ x Lúc này ta nói tập A bị chặn dưới.
Cận trên bé nhất của tập hợp A được gọi là cận trên đúng, ký hiệu là supA Tương tự, cận dưới bé nhất của tập A được gọi là cận dưới đúng, ký hiệu là infA.
Lưu ý: sup A có thể không thuộc A Nếu sup A thuộc A thì đó chính là giá trị lớn nhất của A, ký hiệu max A.
Tương tự như trong trường hợp của tập hợp, phần tử vô hạn của dãy A có thể không thuộc A Nếu phần tử vô hạn này thuộc A, nó sẽ là giá trị nhỏ nhất của A, ký hiệu là min A Dãy con (xn k) của dãy số (xn) được định nghĩa là dãy mà các phần tử của nó được chọn từ dãy số gốc, với các chỉ số n k thỏa mãn điều kiện k→+∞lim n k = +∞, trong đó n 1 < n 2 < < n k < n k+1 < Nếu dãy con (x n k) hội tụ, giới hạn của nó được gọi là giới hạn riêng của dãy số (x n).
(bn), với (b k = a n k ,∀k ∈ N) gọi là dãy con của dãy(an)và kí hiệu là(an k ). Khi đó ta có các tính chất sau:
(ii) Mọi dãy đều là dãy con của chính nó.
(iii) Mọi dãy con của một dãy bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới) thì bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới).
Mọi dãy con của một dãy đơn điệu đều là một dãy đơn điệu Giới hạn riêng lớn nhất của dãy số (un) được gọi là giới hạn trên, ký hiệu là lim n→+∞sup x n Ngược lại, giới hạn riêng bé nhất của dãy số được gọi là giới hạn dưới, ký hiệu là lim n→+∞inf x n.
Các định lí về dãy số
Định lý 1.3.1 ([2]) (i) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Dãy nhận được từ một phép hoán vị các số hạng của một dãy hội tụ vẫn giữ tính hội tụ và có cùng giới hạn Theo Định lý 1.3.2, lim n→+∞a n = 0 tương đương với lim n→+∞ |a n | = 0 Định lý 1.3.3 chỉ ra rằng lim n→+∞an = a nếu và chỉ nếu lim n→+∞(an −a) = 0 Định lý 1.3.4 khẳng định rằng nếu lim n→+∞a n = a thì lim n→+∞ |a n | = |a| Cuối cùng, Định lý 1.3.5 cho biết mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Từ kết quả trên, ta có thể kết luận rằng mọi dãy không bị chặn đều là dãy phân kỳ, tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ như dãy (−1)^n bị chặn nhưng vẫn phân kỳ Theo Định lý 1.3.6, nếu a_n = a với mọi n ∈ N và n > n_0 (với n_0 là hằng số thuộc N), thì giới hạn của a_n khi n tiến tới +∞ là a Định lý 1.3.7 chỉ ra rằng nếu a_n và b_n là các dãy hội tụ và n_0 là một hằng số thuộc N, thì có những tính chất đặc biệt liên quan đến sự hội tụ của các dãy này.
(i) Nếu an ≥ a, ∀ n≥ n0 thì lim n→+∞an ≥ α.
(ii) Nếu lim n→+∞a n = a > α thì tồn tại n 1 ∈ N sao cho a n > α,∀ n ≥n 1 (iii) Nếu a n ≤β, ∀ n ≥ n 0 thì lim n→+∞a n ≤ β.
(iv) Nếu lim n→+∞a n = a < β thì tồn tại n 1 ∈ N sao cho a n < β,∀n > n 1 (v) Nếu α ≤ a n ≤β,∀ n ≥n 0 thì α ≤ lim n→+∞a n ≤ β.
(vi) Nếu α < lim n→+∞a n = a < β thì tồn tại n 1 ∈ N sao cho α < an < β,∀ n≥ n1.
(vii) Nếu an ≤ bn,∀ n ≥n0 thì lim n→+∞an ≤ lim n→+∞bn. (viii) Nếu
a n ≤c n ≤ b n ∀ n≥ n 0 n→+∞lim a n = lim n→+∞b n = a ⇒ lim n→+∞c n = a(Tính chất kẹp) Định lý 1.3.8 ([2]) Tập con khác rỗng A của R nếu bị chặn trên thì có sup
A, nếu bị chặn dưới thì có infA. Định lý 1.3.9 ([2]) (Đặc trưng của cận trên đúng, cận dưới đúng)
Trong thực hành ta thường áp dụng định lý sau: Định lý 1.3.10 ([2]) (Đặc trưng của cận trên đúng, cận dưới đúng)
Cho tập hợp A khác rỗng và A thuộc R, nếu A bị chặn trên, tồn tại dãy số (x_n) trong A sao cho giới hạn của nó khi n tiến tới vô cùng dương là supA Ngược lại, nếu A bị chặn dưới, tồn tại dãy số (x_n) trong A sao cho giới hạn của nó khi n tiến tới vô cùng dương là infA Theo định lý 1.3.11, dãy (u_n) hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung một giới hạn; nếu mọi dãy con (u_n) đều hội tụ, thì dãy (u_n) cũng là dãy hội tụ Định lý 1.3.12 khẳng định rằng mọi dãy đều có ít nhất một dãy con đơn điệu.
Giới hạn vô cực của dãy số
Định nghĩa 1.4.1 ([2]) Dãy (u n ) được gọi là có giới hạn +∞ nếu:
Dãy (un) được gọi là có giới hạn −∞ nếu:
∀A > 0, ∃n A ∈ N, n > n A ⇒ u n < −A, kí hiệu lim n→ +∞u n = −∞. Dãy (u n )được gọi là có giới hạn ∞ nếu:
Đối với mọi A > 0, tồn tại một số tự nhiên n A sao cho n > n A dẫn đến |u n | > A, ký hiệu là lim n→ +∞u n = ∞ Cần lưu ý rằng +∞, −∞, ∞ là các ký hiệu chứ không phải là các số thực Chỉ những dãy số có giới hạn (tức là giới hạn là một số thực) mới được gọi là dãy hội tụ Nếu lim n→ +∞un = +∞ hoặc lim n→ +∞un = −∞, thì với mọi dãy con (un k) của dãy (un), ta có lim n→ +∞un k = +∞ hoặc lim n→ +∞un k = −∞.
Các nguyên lí về tính đầy đủ
Định lý 1.5.1 ([2]) (i) Nếu dãy (xn) dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và lim n→ +∞xn = sup n ∈ N xn.
Nếu dãy số \((x_n)\) giảm và bị chặn dưới, thì dãy này sẽ hội tụ và có giới hạn là \(\lim_{n \to +\infty} x_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} x_n\) Ngược lại, nếu dãy số \((x_n)\) tăng và không bị chặn trên, thì \(\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty\).
Nếu dãy số (x n ) giảm và không bị chặn dưới thì lim n→ +∞x n =−∞ và khi đó n→+∞lim
Trong toán học, một dãy số \(1 \times n = 0\) cho thấy rằng dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên hoặc dưới Nếu có hai dãy số \((x_n)\) và \((y_n)\) với điều kiện \(x_n \leq y_n\) cho mọi \(n\), thì giới hạn của dãy \(x_n\) không vượt quá giới hạn của dãy \(y_n\) khi \(n\) tiến đến vô cùng Dãy đoạn \([a_n, b_n]\) được gọi là thắt dần nếu \([a_n, b_n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}]\) cho mọi \(n\) và giới hạn của hiệu \(b_n - a_n\) tiến đến 0 Định lý Bolzano-Weierstrass khẳng định rằng mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ Dãy Cauchy là dãy \((a_n)\) mà với mọi \(\epsilon > 0\), tồn tại \(n_\epsilon\) sao cho mọi \(n > n_\epsilon\) đều thỏa mãn \(|a_m - a_n| < \epsilon\) Theo định lý Cauchy, dãy \((a_n)\) hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy Định lý Lagrange chỉ ra rằng nếu hàm số liên tục trên đoạn \([a;b]\) và có đạo hàm trong khoảng \((a;b)\), thì tồn tại \(c \in (a;b)\) thỏa mãn phương trình \(f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\) Cuối cùng, định lý kẹp giữa về giới hạn khẳng định rằng nếu với mọi \(n \geq n_0\) có \(u_n \leq x_n \leq v_n\) và cả hai giới hạn \(u_n\) và \(v_n\) đều tiến đến \(a\), thì giới hạn của \(x_n\) cũng tiến đến \(a\).
1) Phương trình f(x) = x có nghiệm ⇔ Phương trình fn(x) = x có nghiệm.
Khi gọi α và β là các mút trái và mút phải của D, nếu giới hạn lim x→α + [f(x) − x] và lim x→β − [f(x) − x] đều dương hoặc đều âm, thì phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu phương trình f^n(x) = x cũng có nghiệm duy nhất.
Định lý 1.5.9 chỉ ra rằng với hàm đồng biến f: D → D và dãy x n+1 = f(x n ), nếu x1 < x2 thì dãy (xn) sẽ tăng nghiêm ngặt, ngược lại, nếu x1 > x2 thì dãy (xn) sẽ giảm nghiêm ngặt Trong khi đó, Định lý 1.5.10 khẳng định rằng với hàm nghịch biến f: D → D, dãy (xn) cũng thỏa mãn x n+1 = f(x n ) Cụ thể, các dãy (x 2n+1) và (x 2n) sẽ đơn điệu, trong đó một dãy tăng và một dãy giảm Nếu dãy (xn) bị chặn, tồn tại giới hạn α = lim 2n và β = lim x 2n+1.
Một số giới hạn dãy số thường gặp
√n n= 1. Với n ≥ 3, theo bất đẳng thức Cauchy:
Do đó, theo tính chất kẹp ta có ngay: lim a→ +∞
√n n= 1 (Do chứng minh trên) ⇒lim n→ +∞
= 1 (Do đã chứng minh ở trường hợp đầu) (p ≥ 1).
Tóm lại, ta luôn có được : lim n→ +∞
Theo (i) và tính chất kẹp suy ra: lim n→ +∞ n ∝ (1+p) n = 0. iv) + Nếu q = 0 thì hiển nhiên lim n→ +∞q n = 0. + Nếu 0 < |q| < 1 , ta đặt p = 1 − |q| |q| > 0 Khi đó |q|= 1 + 1 p
Mỗi số hạng trong khai triển của a n đều nhỏ hơn hoặc bằng số hạng tương ứng trong khai triển của a n+1 Hơn nữa, khai triển của a n+1 còn có thêm một số hạng dương, do đó ta có a n < a n+1 với mọi n thuộc tập số tự nhiên N.
Số e, hay còn gọi là số Napier, là giới hạn của dãy tăng và bị chặn trên, được xác định bởi công thức e = lim n → +∞(n + n^1) n Người ta đã chứng minh rằng số e có vai trò quan trọng trong toán học và ứng dụng thực tiễn.
Cấp số cộng - Cấp số nhân
Định nghĩa 1.7.1 ([2]) [Cấp số cộng]
Dãy số u 1 , u 2 , u 3 , được gọi là một cấp số cộng với công sai d (d 6= 0) nếu un = u n−1 +d với mọi n = 2, 3, Định lý 1.7.2 [Cấp số cộng][[2]]
(iii) Nếu cấp số cộng hữu hạn phần tử u 1 , u 2 , u 3 , , u n thì u 1 + u n u k + u n−k với mọi k = 2, 3, , n – 1.
(iv) Sn = u1 + u2 +u3 + +un = n 2 (u1 +un) = n 2 [2u1 + (n−1)d] Định nghĩa 1.7.3 [Cấp số nhân][[2]]
Dãy số u 1 , u 2 , u 3 , được gọi là một cấp số nhân với công bội q(q 60, q 6= 1) nếu u n = u n−1 q với mọi n = 2, 3, Định lý 1.7.4 [Cấp số nhân] [[2]]
Dãy truy hồi tuyến tính cấp 1, cấp 2
Cho số tự nhiên k ≥ 1 Sai phân cấp k của 1 dãy số ( u n ) là dãy số
Phương trình sai phân là loại phương trình có dạng G(n, u_n, ∆u_n, , ∆^k u_n) = 0, trong đó G: NxR^(k+1) → R là một hàm số đã cho Dãy số (u_n) cần tìm được gọi là phương trình sai phân cấp k Phương trình này có thể được diễn đạt dưới dạng F(n, u_n, u_(n+1), , u_(n+k)) = 0.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào phương trình sai phân dưới góc độ là phương trình hàm một biến số trên tập hợp N Việc giải một phương trình sai phân sẽ giúp xác định số hạng tổng quát của dãy số được biểu diễn bằng công thức truy hồi.
Hàm số liên tục, khả vi
Hàm số f(x) được xác định trên khoảng (a,b) được coi là liên tục tại điểm x0 ∈ (a,b) nếu giới hạn của f(x) khi x tiến gần đến x0 bằng giá trị của f tại x0, tức là lim x→x0 f(x) = f(x0) Điều này có nghĩa là hàm số không có sự gián đoạn tại điểm x0 trong khoảng (a,b).
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) được gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a,b] nếu nó liên tục trên khoảng (a,b), với lim x→a + [f(x)] = f(a) và lim x→b − [f(x)] = f(b) Nếu hai hàm f(x) và g(x) liên tục tại x0, thì các phép toán f(x) ± g(x), f(x)·g(x), và f(x)/g(x) (với g(x) ≠ 0) cũng sẽ liên tục tại x0 Các hàm đa thức, hàm hữu tỉ, và hàm lượng giác đều liên tục trên tập xác định của chúng Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a)·f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm x0 ∈ (a,b) sao cho f(x0) = 0, nghĩa là phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a,b).
0 có giới hạn khi x → x 0 thì ta nói f(x) khả vi tại x 0 hay f(x) có đạo hàm tại x 0 và giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại x0.
Cho hai hàm liên tục và khả vi f(x) và g(x) khác không tại lân cận x₀ (có thể là hữu hạn hoặc vô hạn), nếu lim x→x₀ f'(x) g'(x) = L thì lim x→x₀ f(x) g(x) = L Ngoài ra, nếu lim x→x₀ f(x) = lim x→x₀ g(x) = ∞ và g'(x) khác không trong lân cận, thì cũng có thể khẳng định rằng nếu lim x→x₀ f'(x) g'(x) = L thì lim x→x₀ f(x) g(x) = L.
CHƯƠNG2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ
Chương 2 giới thiệu các dạng toán phổ biến liên quan đến dãy số, những bài toán này thường xuất hiện trong Kỷ yếu kỳ thi Olympic toán Bố cục của chương được sắp xếp hợp lý để giúp người đọc dễ dàng nắm bắt nội dung.
Dạng toán tìm số hạng tổng quát.
Dạng toán chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy có giới hạn.
Dạng toán tìm giới hạn của dãy số.
Dạng toán tính giới hạn của tổng n số hạng đầu của dãy số.
Dạng toán chứng minh dãy số lập thành cấp số cộng, cấp số nhân.
Dạng toán tính giá trị biểu thức liên quan đến giới hạn của dãy số.
Mỗi dạng đều đưa ra phương pháp giải và các ví dụ minh họa.
Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2],[3], ,[17].
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dạng toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường được giải theo phương pháp sau đây:
Phương pháp 1: Đưa công thức truy hồi cấp cao về công thức truy hồi cấp 1 hoặc công thức truy hồi cấp 2.
Cho dãy số (x n ) xác định theo hệ thức sau: x 1 = 2, x 1 +x 2 + x 3 + .+x n = n 2 x n ,∀n ≥2.
Để phân tích bài toán, bước đầu tiên là xác định công thức của số hạng tổng quát Theo công thức truy hồi đã cho, để tính giá trị xn, chúng ta cần biết tất cả n-1 số hạng đầu tiên của dãy, điều này cho thấy đây là công thức truy hồi có cấp vô hạn Để xử lý dễ dàng hơn, cần chuyển đổi về công thức truy hồi cấp 1 hoặc cấp 2 Khi thay n bằng n + 1 trong công thức, vế trái sẽ xuất hiện thêm một số hạng, trong khi vế phải sẽ được điều chỉnh thành (n + 1)² x (n + 1).
Do đó ta phải có x n+1 = (n+ 1) 2 x n+1 −n 2 x n hay x n+1 = n+2 n x n
Đã nhận được công thức truy hồi cấp hữu hạn với số cấp là 1, chúng ta có thể áp dụng công thức này liên tiếp để tìm ra công thức tổng quát cho (xn) Từ lập luận này, bài giải có thể được trình bày như sau:
Thay n bởi n + 1 trong công thức truy hồi đã cho ta có: x 1 +x 2 +x 3 + .+x n +x n+1 = (n+ 1) 2 x n+1
⇒x n+1 = (n+ 1) 2 x n+1 −n 2 x n hay x n+1 = n+2 n x n Áp dụng công thức này liên tiếp n lần ta được: xn+1 = n+2 n xn = (n+1)(n+2) n(n−1) x n−1 = (n+2)!/(1.2) n! x1 = (n+1)(n+2) 4
Cho dãy số thực a 1 , a 2 , a 3 , , a n , xác định bởi a 1 = 2021 và với mọi n>1, ta có: a 1 +a 2 +a 3 + .+a n−1 +a n = n 2 a n (1)
Từ giả thiết ta có a1 +a2 + a3 + .+a n−1 = n 2 a n−1
Kết hợp với (1) ta có:
Phương pháp 2: Đổi biến (lập dãy mới) để đưa công thức truy hồi về công thức truy hồi đơn giản hơn.
Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số(u n ) thỏa mãn:
Giải. Đặt v n = u n+1 −u n , ∀n ≥ 0. vn+1 = −1 3 vn, ∀n ≥ 0. Áp dụng hệ thức này liên tiếp n+1 lần ta được: v n+1 = −1
Cho dãy số (un) xác định bởi:
u 1 = 2. u n+1 = 2017u 2015u n +2015 n +2017, n = 1,2 . Tìm số hạng tổng quát dãy số (u n ).
Suy ra u u n+1 −1 n+1 +1 = 2016 1 u u n −1 n +1. Đặt y n = u u n −1 n +1 thì y 1 = 1 3 Suy ra y n+1 = 2016 1 y n = ã ã ã = 2016 1 ny 1
Ví dụ 2.1.5 ([6]) Cho dãy số (xn) được xác định bởi :
Phương pháp 3 để tìm công thức của dãy số ban đầu là truy ngược lại, linh hoạt thay đổi chỉ số n thành n+1, n+2, v.v nhằm khám phá mối liên hệ giữa các số hạng trong dãy Việc xác định công thức tổng quát không chỉ giúp hiểu rõ hơn về dãy số mà còn cho phép khảo sát các tính chất khác như giới hạn và tính đơn điệu của dãy.
Cho dãy số(xn)được xác định bởi:
.Tìm công thức tổng quát của x n
Do đó : n 2 xn −n 2 = (n−1) 2 x n−1 −(n−1) 2 = = 1 2 x1 −1 2 = a−1.Suy ra công thức tổng quát xn = a−1+n n 2 2
Chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy có giới hạn
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa 1.2.1 và 1.2.3 để chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn.
Cho dãy số (a n ) xác định bởi: an+1 = a a n 2 n 2 −a n +1 Chứng minh dãy số (an) là dãy giảm.
⇒ Dãy số (a n ) là dãy giảm.
Cho dãy số (a n ) được xác định bởi công thức truy hồi:
2an+1 −2an +a 2 n = 0, n = 0,1,2, Chứng minh rằng (an) là một dãy đơn điệu.
Ta có a n+1 −a n = − a 2 2 n ≤ 0 nên dãy (a n ) là một dãy giảm.
Cho (x n ) ∞ n=1 là dãy số xác định bởi các điều kiện: x 1 = 2019, x n+1 = 2018 1 x 2 n + 2017 2018 x n ,∀n≥ 1.
Chứng minh rằng dãy số (x n ) ∞ n=1 là một dãy số tăng ngặt và không bị chặn.
Do đó dãy số (x n ) ∞ n=1 là một dãy số tăng ngặt.
Giả sử dãy số \((x_n)_{n=1}^{\infty}\) là một dãy số bị chặn trên và do tính tăng của dãy, tồn tại giới hạn hữu hạn \(\lim_{n \to \infty} x_n = a > 1\) Khi chuyển đổi phương trình \(2018x_{n+1} = x_n^2 + 2017x_n\) qua giới hạn, ta sẽ thu được kết quả liên quan đến giới hạn của dãy số này.
Vậy dãy số (x n ) ∞ n=1 không bị chặn trên.
Phương pháp quy nạp là một kỹ thuật quan trọng để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số nguyên dương n Để thực hiện phương pháp này, chúng ta cần tuân theo các bước cụ thể.
Bước 1: (Bước cơ sở hay bước khởi đầu).
Giả sử A(n) đúng với n=k (k ≥ 1, k ∈ N), ta chứng minh A(n) đúng với n = k+1.
Bước 3: Kết luận: A(n) đúng với mọi số nguyên dương n.
Chứng minh dãy u n = 1 + n 1 n là dãy tăng và bị chặn trên.
Với n=1; n=2 bất đẳng thức luôn đúng.
Với n≥3 ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:
Thật vậy, với k=1, bất đẳng thức đúng.
Giả sử (1) đúng với k (1 ≤k ≤ n ), tức là 1 + 1 n k < 1 + k n + n k 2 2.
(n+1) 2 Vậy bất đẳng thức đúng với k+1.
Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương k (1≤ k ≤ n).
Với k=n, ta có 1 + n 1 n < 1 + n n + n n 2 2 = 3, do đó dãy (un) bị chặn trên Để chứng minh dãy (un) tăng, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n+1 số dương không đồng thời bằng nhau, ta nhận được: 1 + 1 + n 1 + 1 + n 1 + + 1 + n 1 > (n+ 1) n+1 q.
Vậy dãy (un) tăng và bị chặn trên.
Cho (u n ) ∞ n=1 là dãy số xác định bởi u n n
1 k! = 1! 1 + .+ n! 1 ,∀n ≥1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho u n > 3 2
Giải. Đầu tiên, ta chứng minh dãy số (u n ) là dãy đơn điệu tăng.
Từ định nghĩa ta có: un+1 n+1
1 k! = 1! 1 + .+ (n+1)! 1 > 1! 1 + .+ n! 1 ∀n ≥1⇒un+1 > un,∀n ≥ 1. Vậy dãy số (un) là dãy đơn điệu tăng.
Tiếp theo ta chứng minh u n > 3 2 khi và chỉ khi n≥ 3.
Ta có u 2 = 1 + 1 2 = 3 2 nên từ tính đơn điệu của dãy số (u n ) ⇒u n > 3 2 khi và chỉ khi n ≥ 3.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của hàm số.
Cho (x n ) ∞ n=1 là dãy số xác định bởi các điều kiện: x 1 = 2019, x n+1 = ln (1 +x n )− 2+x 2x n n,∀n ≥1. Chứng minh rằng dãy số (x n ) ∞ n=1 là dãy không âm.
(1+x)(2+x) 2 ≥ 0,∀x ≥0 Vậy f đơn điệu không giảm trên [0,+∞).
Mà x 1 ≥ 0 nên x n+1 = f (x n ) xác định và không âm ,∀n≥ 1.
Tính tổng của một biểu thức chứa các số hạng của dãy
Phương pháp 1: Để tìm giới hạn của tổng, ta thu gọn tổng bằng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu của các hạng tử nối tiếp nhau Qua đó, các hạng tử sẽ triệt tiêu lẫn nhau, giúp đưa tổng về biểu thức chỉ còn chứa x n.
Cho dãy (un) được xác định bởi un = n 2 + 1 n!, n ≥ 1.
Ta có un = n 2 + 1 n! = n 2 +n−n+ 1 n! = n (n+ 1)!−(n−1)n! Khi đó S = u 1 + u 2 + + u 2023 = (1.2! − 0.1!) + (2.3! − 1.2!) + + (2023.2024!−2022.2023!) = 2023.2024!
Cho dãy (u n ) được xác định bởi: u n = √ 1 n+ √ n 2 −1, n ≥ 1. Hãy tính tổng S = u1 +u2 + .+u2011.
Cho dãy số (x n ) như sau: x 1 = 2 3 , x n+1 = 2(2n+1)x x n n +1,∀n= 1,2, Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu của dãy số (x n ).
Do đó x n+1 = 2(2n+1)x x n n +1 ⇔ x 1 n+1 = 2 (2n+ 1) + x 1 n,∀n = 1,2, Đặt un = x 2 n. Khi đó u1 = 3 và un+1 = 4 (2n+ 1) +un.
Cho là dãy số xác định bởi u n n
1 k! = 1! 1 + + n! 1 ,∀n ≥ 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho u n > 3 2
Trước hết ta chứng minh dãy (u n ) là dãy đơn điệu tăng.
Thật vậy, từ định nghĩa ta có: un+1 n+1
1 k! = 1! 1 + .+ (n+1)! 1 > 1! 1 + .+ n! 1 ∀n ≥1.⇒ un+1 > un,∀n ≥1 Vậy dãy số (un) là dãy đơn điệu tăng.
Tiếp theo ta chứng minh dãy số (un) là dãy bị chặn dưới Cụ thể ta chứng minh u n > 3 2 , ∀n ≥ 3.
Ta cóu 2 = 1+ 1 2 = 3 2 Từ tính đơn điệu tăng của dãy số (u n )⇒u n > u 2 = 3 2 với n≥ 3.
Phương pháp ước lượng là một kỹ thuật hữu ích để tính tổng bằng cách rút gọn tổng dưới dạng sai phân Cụ thể, cho dãy số (u n ), ta có thể xác định dãy số (y n ) theo công thức y n = n Phương pháp này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và mang lại kết quả chính xác.
Khi đó (y n ) được gọi là dãy tổng Để rút gọn tổng ta thường biến đổi sai phân tổng f(u k ) = g(u k )−g(u k+1 ) Khi đó y n = g(u 1 )−g(u n+1 ).
Ví dụ 2.3.6 ([6]) Cho dãy số xác định bởi: x 1 = 2018, x n+1 = 2018x 2 n +x n , n= 1,2, Tính tổng n
Ta có x n+1 −x n = 2018x 2 n ≥ 0, n = 1,2, nên (x n ) (n = 1,2, ) là dãy tăng và dương Ta chứng minh dãy (x n ) không bị chặn trên.
Thật vậy, giả sử (x n ) bị chặn trên, khi đó (x n ) tồn tại giới hạn hữu hạn, ký kiệu lim x n = a ⇒ a > 0.
Khi đó a = 2018a 2 +a ⇔ a = 0 (vô lý), Vậy ta có lim xn = +∞.
Ví dụ 2.3.7 ([17]) Cho dãy (x n ) (n= 1,2, ) xác định bởi: x 1 = 1 và x n+1 = px n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1, n = 1,2, Đặt y n n
Từ công thức xác định dãy suy ra x 2 = 5 và x n > 0,∀n = 1,2,
Biến đổi xn+1 = x 2 n + 3xn + 1 ⇔ xn+1 + 1 = x 2 n + 3xn + 2 = (xn + 1)(xn + 2).
⇒ x 1 n+1 +1 = (x 1 n +1)(x n +2) = x 1 n +1 − x 1 n +2 ⇒ x 1 n +2 = x 1 n +1 − x 1 n+1 +1. Bằng quy nạp ta có x n > 3 n−1 ,∀n≥ 2 nên lim x n = +∞.
Tìm giới hạn của dãy số
Tìm số hạng tổng quát của dãy số, từ đó tìm giới hạn của dãy.
Cho x 1 = a ∈ R và dãy (x n ) được xác định bởi:
Quan sát dạng công thức truy hồi ta nhận thấy cần phải biểu diễn được 2n+1 dưới dạng sai phân f(n+1)-f(n) Thử tìm f ở dạng tam thức bậc hai ta được 2n+ 1 = (n+ 1) 2 −n 2
Ta có :(n+ 1) 2 xn+1 = n 2 xn+ 2n+ 1 ⇔(n+ 1) 2 xn+1 = n 2 xn+ (n+ 1) 2 − n 2 ⇔ (n+ 1) 2 x n+1 −(n+ 1) 2 = n 2 x n −n 2
Do đó : n 2 x n −n 2 = (n−1) 2 x n−1 −(n−1) 2 = = 1 2 x 1 −1 2 = a−1 Suy ra công thức tổng quát x n = a−1+n n 2 2
Cho dãy số (xn) được xác định bởi:
Ta phân tích 2n + 1 = (n+ 1) 2 − n 2 Ta có : (n+ 1) 2 x n+1 = n 2 x n + 2n+ 1⇔ (n+ 1) 2 x n+1 = n 2 x n + (n+ 1) 2 −n 2 ⇔ (n+ 1) 2 x n+1 −(n+ 1) 2 n 2 x n −n 2
Do đó : n 2 x n −n 2 = (n−1) 2 x n−1 −(n−1) 2 = = 1 2 x 1 −1 2 = a−1. Suy ra công thức tổng quát x n = a−1+n n 2 2 ,∀n.
Cho dãy số (x n ) được xác định bởi:
Cho dãy số (u n ) thỏa mãn và u n+1 = √ u n 2 +a n , ∀n ≥1, trong đó a ≥ 0.
Tìm a sao cho dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Suy ra u n = q a a−1 n −1 khi a 6= 1 và u n = √ n khi a=1.
Khi a 3 2 , ∀n ≥ 3.
Ta cóu 2 = 1+ 1 2 = 3 2 Từ tính đơn điệu tăng của dãy số (u n )⇒u n > u 2 = 3 2 với n≥ 3.
Ta chứng minh (un) cũng bị chặn trên.
Thật vậy, ta có n! ≥ n(n−1) ⇒ un = 1! 1 + + n! 1 ≤ 1 + 1.2 1 + +
Vì dãy (u n ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ.
(b) Chứng minh rằng giới hạn của dãy số (u n ) ∞ n=1 là một số vô tỉ.
Chứng minh phản chứng, giả sử giới hạn của dãy là số hữu tỉ, tức là
Với m, n nguyên tố cùng nhau, nhân hai vế với n!, ta được: n! 1! 1 + .+ n! 1 + n+1 1 + (n+1)(n+2) 1 + = (n−1)!m.
Vậy giới hạn của dãy số (u n ) ∞ n=1 là một số vô tỉ.
Cho dãy số(a n )xác định bởia 1 = a 2 = 1vàa n+1 = a n + n(n+1) a n−1 , n = 2,3, Chứng minh dãy số (an) có giới hạn hữu hạn.
Ta thấy a n > 0,∀n∈ N ∗ suy ra dãy số (a n )là dãy số tăng.
Theo giả thiết ta có: a n+1 = n(n+1) a n−1 + a n = n(n+1) a n−1 + h (n−1)n a n−2 +a n−1 i = = n(n+1) a n−1 + (n−1)n a n−2 + a n−3
(n−2)(n−1)+ + 3.4 a 2 + 2.3 a 1 +a 2 = n(n+1) a n−1 + (n−1)n a n−2 + (n−2)(n−1) a n−3 + + 3.4 1 + 2.3 1 +1 (∗) Bằng quy nạp ta chứng minh a n < 5 3 ,∀n = 3,4,
Khi đó từ (*) ta có: a n+1 < 5 3 h n(n+1) 1 + (n−1)n 1 + (n−2)(n−1) 1 + + 4.5 1 i+ 3.4 1 + 2.3 1 + 1
Dãy số (a n )tăng và bị chặn trên nên dãy số (a n )có giới hạn hữu hạn.
,∀n ≥ 2, a > 0, u 1 > √ a. Chứng minh rằng dãy ((u n ) có giới hạn Tính giới hạn đó.
Chứng minh quy nạp u n > √ a,∀n ∈ N ∗ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: u n = 1 2 u n−1 + u a n−1
≥ 1 2 2qu n−1 u a n−1 ≥ √ a. Dấu “=” không xảy ra ⇒ un > √ a,∀n ∈ N ∗
Ta chứng minh dãy (u n ) giảm.
Tìm điểm cố định của hàm số để dự đoán giá trị giới hạn của dãy.
Dưới đây là một số bài toán tìm giới hạn dãy số dạng x n+1 = f(x n ), được gọi là dãy số cho dưới dạng lặp Dạng toán này thường gặp trong việc tìm giới hạn dãy số, với dãy số hoàn toàn xác định khi biết hàm f và giá trị ban đầu x 0 Sự hội tụ của dãy số phụ thuộc vào tính chất của f(x) và giá trị khởi đầu x 0 Một điểm quan trọng cần lưu ý là nếu a là giới hạn của dãy số, thì a cũng là nghiệm của phương trình x = f(x).
Phương pháp lặp là một kỹ thuật hữu ích để xác định số hạng tổng quát của dãy số (u n ) Để áp dụng phương pháp này, chúng ta cần xác định các hàm số f(x) và h(x) sao cho thỏa mãn điều kiện f(u n ) = h(f(u n−1 )) Bằng cách sử dụng điều kiện này một cách liên tiếp, chúng ta có thể thu được các giá trị cần thiết cho dãy số.
Từ (**) ta tìm được u 0 Hàm số f được gọi là hàm số phụ, còn hàm số h được gọi là hàm số lặp.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (x n ) cho như sau: x 1 = 3;x n+1 = 7x n −1,∀n = 1,2,
Gọi c là nghiệm của phương trình f(x) = x trong đó f(x) = 7x – 1.
Xét: xn+1 = 7xn−1⇔ xn+1− 1 6 = 7xn−1− 1 6 ,∀n= 1,2,
Cho dãy số (x n ) được xác định như sau: x 1 = 5;x n+1 = 5x x n +4 n +2,∀n∈ N ∗ Chứng minh rằng: x n 6= 4,∀n∈ N ∗ Tính x 2013
Gọi c là nghiệm của phương trình f(x) = x, trong đó f (x) = 5x+4 x+2 Xétphương trình f(c) = c ⇒ 5c+4 c+2 = c ⇔ c 2 −3c−4 = 0 ⇔
Nếu xn+1 = 4 thì 5x x n +4 n +2 = 4 ⇔5xn+ 4 = 4xn+ 8 ⇔ xn = 4 (mâu thuẫn). Vậy: xn 6= 4,∀n∈ N ∗
Ví dụ 2.4.15 ([6]) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (x n ) cho như sau: x1 = α ∈ R;xn+1 = x 2 n −14xn+ 56,∀n= 1,2,
Gọi c là nghiệm của phương trình f(x) = x, trong đó: f (x) = x 2 −14x+ 56. c = c 2 −14.c+ 56 ⇔c 2 −15c+ 56 = 0 ⇔ c = 7;c = 8.
Vậy: Số hạng tổng quát của dãy số (xn)là xn = 7 + (α−7) 2 n−1 ,
Cho dãy số (x n ) được xác định bởi: x 1 = 3 2 ;x n = √
3x n−1 −2,∀n= 2,3, Chứng minh rằng dãy số (x n ) có giới hạn khi n →+∞, tìm giới hạn đó. Giải.
Bằng quy nạp chứng minh 3 2 ≤ xn ≤ 2,∀n = 1,2,
3x n −2−x n = √ −x 3x 2 n +3x n −2 n −2+x n ≥ 0 vì x n ∈ 3 2 ; 2 Vậy dãy số (x n ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim n→+∞x n = a Khi đó a ∈ 3 2 ; 2
3x n−1 −2,∀n = 2,3, cho n→ +∞ ta được: n→+∞lim x n = lim n→+∞
Bằng quy nạp chứng minh 3 2 ≤ x n ≤ 2,∀n = 1,2,
Ta có f 0 (x) = 2 √ 3x−2 3 > 0,∀x ∈ 3 2 ; 2 do đó f(x) là hàm tăng trên 3
2 ≥ 3 2 = x1. Suy ra dãy số (xn) tăng.
Phương pháp so sánh dãy số dựa trên định lý kẹp giữa về giới hạn (Mục 1.4.7)
Cho số thực a > 2 và fn(x) = a 10 x n+10 +x n + +x+ 1.
Đối với mỗi số nguyên dương n, phương trình f n (x) = a luôn có một nghiệm dương duy nhất, được ký hiệu là xn Đồng thời, dãy (xn) này có giới hạn hữu hạn khi n tiến tới vô cùng dương.
+ Vì f n (x) là hàm tăng và liên tục trên (0; +∞) nên hiển nhiên phương trình f n (x) = a luôn có một nghiệm dương duy nhất.
+ Ta có 0 < x n < 1 Ta chứng minh dãy (x n ) tăng, tức là x n+1 > x n Tương tự như trên, xét biểu thức sau: fn+1(xn) =a 10 xn n+11
Vì f n+1 (1) = a 10 +n+ 1 > a nên chỉ cần chứng minh a x n + 1 < a sẽ suy ra x n < x n+1 < 1 Tức là cần chứng minh x n < a−1 a
+ Vậy dãy (x n ) tăng và bị chặn trên bởi 1 nên hội tụ.
Hơn nữa ta còn có lim xn = a−1 a
Thật vậy, đặt c = a−1 a < 1 thì fn(c) −fn(xn) = k.c n ( với k = (a −
Theo định lý Lagrange thì f n (c)−f n (x n ) = f 0 (ξ) (c−x n )với ξ ∈ (x n ;c). Nhưng f 0 (ξ) = (n+ 10)a 10 ξ n+9 +nξ n−1 + + 1 > 1.
Từ đó c−kc n < x n < c suy ra lim x n = c.
+ Trước hết giới hạn của dãy số phải thuộc khoảng (0;1) Giả sử giới hạn của dãy số là b ta có: f n (b) = b n a 10 b 10 + 1 b−1 + 1
1−x n = a (∗) Khi đó chuyển (∗) qua giới hạn ta được:
Dạng toán tính giới hạn của tổng n số hạng đầu của dãy số 40
Để tiến hành giải bài toán trên ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Chỉ ra lim n→∞a n =+∞. Bước 2: tính tổng Pn i=1
Cho dãy số xác định bởi
Suy ra dãy số (an) tăng (1)
Ta chứng minh dãy số (a n )không bị chặn trên (2)
Thật vậy, nếu dãy số (a n ) bị chặn trên thì(a n ) hội tụ.
Từ (1) và (2) suy ra lim n→∞a n =+∞.
Ta có a i+1 −1 = a i (a i −1)⇒ a 1 i = a 1 i −1 − a 1 i+1 −1, i = 1; 2; . Suy ra Pn i=1
Cho dãy số (xn), n = 1,2, xác định bởi
Chứng minh rằng dãy (y n )với y n = P n i=1 x 1 2 i, n = 1; 2; 3 có giới hạn hữu hạn Tìm lim n→+∞y n
Từ giả thiết ta thấy x n > 0,∀n ≥1 nên x n+1 −x n √ x 2 n +4x n +x n
Do đó dãy số (x n ) tăng.
Giả sử lim n→+∞y n =a(a > 0) khi đó a √ a 2 +4a+a
Do đó yn < 6,∀n ≥ 1 và dãy số tăng vì yn+1 = yn + x 1 n+1 > yn.
Vậy dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn và lim n→+∞yn = 6.
Ví dụ 2.5.3 ([16]) Cho dãy số (a n ) xác định bởi:
. Đặt yn = P n i=1 x 1 i +2, n = 1; 2; 3 Tìm lim n→+∞yn. Giải
Từ công thức xác định dãy suy ra a 2 = 5và a n > 0 ∀n = 1; 2; 3 ta biến đổi như sau: pa n (a n + 1) (a n + 2) (a n + 3) + 1 = p(a 2 n + 3a n ) (a 2 n + 3a n + 2) + 1 q
Bằng quy nap ta suy ra được an > 3 n−1 ,∀n ≥ 2.
Cho (x n ) ∞ n=1 là dãy số xác định bởi các điều kiện: x 1 = 2019, x n+1 = 2018 1 x 2 n + 2017 2018 x n ,∀n≥ 1.
Hơn nữa, 2018(xn+1−xn) = x 2 n −xn > 0 (do xn > 1),∀n≥ 1.
Dãy số (x n ) ∞ n=1 là một dãy số tăng ngặt.
Giả sử dãy số (x n ) ∞ n=1 là một dãy số bị chặn trên, do tính tăng của dãy, tồn tại giới hạn hữu hạn lim n→∞x n = a > 1. Chuyển 2018x n+1 = x 2 n + 2017x n qua giới hạn ta được:
Vậy dãy số (xn) ∞ n=1 không bị chặn trên.
∀n≥ 1, ta có: 2018(xn+1−x n ) = x 2 n +2017xn−2018 = (x n + 2018) (xn −1)
Vì dãy dãy số (x n ) ∞ n=1 tăng và không bị chặn trên nên lim n→∞x n = +∞.
(a) Chứng minh dãy (un) là dãy đơn điệu nhưng không bị chặn.
3 −1,∀n≥ 1 có giới hạn, tính giới hạn đó.
Giải. a) Chứng minh quy nạp:
Giả sử u n > u n−1 , ta chứng minh u n+1 > u n (1)
Thật vậy, (1)⇔ un+1 = u 2 n −3un+ 4 > un ⇔ (un −2) 2 > 0 đúng. Vậy dãy (u n ) là dãy tăng.
Giả sử dãy (u n ) là dãy bị chặn, khi đó dãy (u n ) là dãy có giới hạn. Đặt lim n→∞u n = a.
Khi đó (u n ) là dãy tăng, u n > 3,∀n∈ N ⇒a ≥ 3. a = lim n→∞u n+1 = lim u 2 n −3u n + 4 = a 2 −3a+ 4 ⇒a = 2 (vô lý) Vậy (u n ) là dãy không bị chặn ⇒ lim n→∞u n = +∞. b) Từ un+1 = u 2 n −3un + 4 ⇒ un+1 −2 = (un −1) (un−2) ⇒ u 1 n +1 1
Vì u n > 3⇒ Dãy (v n ) là dãy tăng. n→∞lim v n = lim n→∞
Trong nhiều bài toán, khi không thể đơn giản hóa công thức tổng quát bằng các phương pháp như nhân liên hợp hoặc chia cho lũy thừa của n, chúng ta có thể áp dụng định lý giới hạn kẹp để giải quyết vấn đề.
Cho dãy số (a n ) xác định bởi a n+1 = a a n 2 n 2 −a n +1. Chứng minh dãy số (a n ) là dãy giảm.
⇒Dãy số (a n ) là dãy giảm.
Cho dãy số (x n ) được xác định công thức truy hồi:
Từ công thức truy hồi ta có: x 1
Trừ từng vế 2 đẳng thức ta được: x n n = (n+1)x 2 n − n 2 x n−1 ,∀n≥ 3.
Khi đó xn = n+1 2 − 1 n = n 2 x n−1 ⇔xn = n 2 +n−2 n 2 x n−1 ∀n≥ 3, ta có: x n = n 2 +n−2 n 2 x n−1 = (n−1)(n+2) n 2 x n−1 = (n−1)(n+2) n 2 (n−1)
Cho dãy số (x n ) xác định bởi:
Ta có xn+1 −xn = 2008x 2 n > 0, n = 1; 2; 3 nên dãy số (xn) là dãy số tăng và dương.
Ta chứng minh (x n )không bị chặn trên.
Thật vậy, nếu dãy số (x n ) bị chặn trên thì(x n ) hội tụ.
Giả sử limx n = a(a > 0) khi đóa = 2008a 2 +a ⇔ a = 0 (vô lý).
Chứng minh dãy số lập thành cấp số cộng, cấp số nhân
Để chứng minh dãy số (u n ) là một cấp số cộng, ta xét:
Nếu A là hằng số thì (u n ) là một cấp số cộng với công sai d = A.
Nếu A phụ thuộc vào n thì (u n ) không là cấp số cộng.
* Ngoài ra; để chứng minh dãy số (u n ) không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: uk+1 − uk 6= uk − u k−1
Xét dãy số thực vô hạn x 1 , x 2 , x 3 , x n thỏa mãn:
|x m+n −x m −x n |< m+n 1 với mọi số nguyên dương m, n Chứng minh rằng dãy (x n ) là cấp số cộng.
Ta có|(x n+1 −xn)−(xb+1−xb)|= |(x a+b+1 −xa −xb+1)−(xa+b+1 −xb −xa+1)|
Do đó, với mọi giá trị m, n:
Cho a → ∞ ⇒ x m+1 −x m = x n+1 −x n = d,∀n hay đây là một cấp số cộng (điều phải chứng minh).
Dạng Toán tính giá trị biểu thức liên quan đến số hạng của dãy số
Cho các số thực a 1 , a 2 , a 3 , , a m thỏa mãn:
2014 = √ n a 1 +√ n a 2 + .+ √ n a m (1) xảy ra ∀n ∈ N nên khi n → ∞, sử dụng giới hạn cơ bản lim n→∞
√n a = 1 với a>0, ta được m 14 Suy ra: n
Do đó lim n→∞n(√ n a−1) = lna, a > 0 (3) Trong biểu thức (3), cho n → ∞, ta được: ln 1 + ln 2 + .+ ln 2014
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong luận văn này, tôi đã thực hiện được các công việc sau đây.
Đề tài này đã trình bày các dạng toán về giới hạn dãy số, bao gồm giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, cũng như dãy số được xác định bởi phương trình Những bài toán này có phương pháp giải cụ thể, ứng dụng kiến thức về dãy số và các định lý liên quan đến giới hạn.
Đề tài đã lựa chọn những bài toán tiêu biểu cho từng loại, đặc biệt là các bài toán tổng hợp từ các đề thi Olympic sinh viên trong những năm gần đây, qua đó làm nổi bật vai trò quan trọng của bài toán về dãy số trong các kỳ thi này.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi nhận thấy rằng việc phân loại và áp dụng phương pháp giải cụ thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các bài toán khó về dãy số, từ đó tăng hứng thú và sự chủ động trong học tập Thực hiện đề tài này cũng cho thấy năng lực tư duy và kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy của học sinh cải thiện rõ rệt, giúp các em phát triển tư duy học tập tốt hơn không chỉ trong môn học này mà còn ở các môn học khác Học sinh có khả năng phân tích và tổng hợp tốt hơn, nâng cao năng lực tự học một cách hiệu quả.
Để nâng cao chất lượng dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi, cần phát huy tính tích cực và hứng thú học tập của học sinh, đồng thời khuyến khích năng lực tự học Giáo viên cần đam mê chuyên môn và hướng dẫn học sinh không chỉ về kiến thức mà còn về kỹ năng tư duy và cách tổng hợp thông tin Các giáo viên trong tổ chuyên môn nên phối hợp nghiên cứu chuyên đề và phân công nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng cao chất lượng bài giảng Sự quan tâm và chỉ đạo từ nhà trường rất quan trọng; cần có kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi ngay từ đầu năm học và bắt đầu ngay khi học sinh vào THPT Giáo viên cũng cần kết hợp kiến thức thi học sinh giỏi và thi đại học để tạo động lực học tập cho học sinh.
Các bài toán về dãy số thường rất đa dạng và phức tạp, trong đó bài toán tìm giới hạn dãy số là một chủ đề quan trọng Để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh, tôi sẽ mở rộng nghiên cứu về các dạng toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi, bao gồm việc tìm số hạng tổng quát của dãy số và nghiên cứu các tính chất số học của chúng.
Dù đã nỗ lực hết mình, luận văn vẫn còn một số thiếu sót do thời gian và khả năng hạn chế Rất mong nhận được sự đóng góp từ quý thầy cô và các bạn để luận văn trở nên hoàn thiện hơn.
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu , (2008) Chuyên đề chọn lọc dãy số và áp dụng, Nhà Xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
[2] Võ Giang Giai (2005), Cơ sở lý thuyết và một số bài toán về dãy số, Nhà Xuất bản Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh.
[3] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2007), Giáo trình Giải tích tập I, Nhà Xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
[5] Phan Huy Khải (2000), 10.000 bài toán sơ cấp dãy số và giới hạn, Nhà xuất bản Hà Nội 1997.
[6] TS Lê Phương, Ths Bùi Mỹ Thiện (2007), Hướng dẫn ôn thi Olympic sinh viên , Tài liệu lưu hành nội bộ - Đại học Ngân hàng TP Hồ Chí Minh.
[7] Văn Phú Quốc (2011), Bài tập Giải tích Olympic, Tài liệu lưu hành nội bộ - Đại học Quảng Nam.
Trường Đại học Duy Tân, thuộc Đại Học Đà Nẵng, đã tổ chức kỳ thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 21 vào năm 2013 Sự kiện này được phối hợp bởi Hội Toán học Việt Nam và Đại học Kinh tế - Đại học Huế, nhằm thúc đẩy phong trào học tập và nghiên cứu toán học trong sinh viên.
Trường Đại học Phạm Văn Đồng tại Quảng Ngãi đã tổ chức kỳ thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 22, do Hội Toán học Việt Nam phối hợp thực hiện Sự kiện này không chỉ khẳng định vị thế của trường trong lĩnh vực giáo dục toán học mà còn tạo cơ hội cho sinh viên giao lưu, học hỏi và thể hiện năng lực toán học của mình.
[10] Trường Đại học Kinh tế - Đại Học Huế (2015), Kỷ yếu kỳ thi olympic Toán Sinh viên Lần thứ 23, Hội toán học Việt Nam và Đại học Kinh tế
[11] Trường Đại học Quy Nhơn (2016), Kỷ yếu kỳ thi olympic Toán Sinh viên Lần thứ 24, Hội toán học Việt Nam và Trường Đại học Quy Nhơn.
[12] Trường Đại học Phú Yên (2017), Kỷ yếu kỳ thi olympic Toán Sinh viên Lần thứ 25, Hội toán học Việt Nam và Trường Đại học Phú Yên.
[13] Trường Đại học Quảng Bình (2018), Kỷ yếu kỳ thi olympic Toán Sinh viên Lần thứ 26, Hội toán học Việt Nam vàTrường Đại học Quảng Bình.
[14] Trường Đại học Nha Trang (2019), Kỷ yếu kỳ thi olympic Toán Sinh viên Lần thứ 27, Hội toán học Việt Nam và Trường Đại học Nha Trang.
Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, thuộc ĐHQG Hà Nội, đã tổ chức kỳ thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 28, được phối hợp với Hội Toán học Việt Nam Kỷ yếu của sự kiện này đã được công bố vào năm 2022, phản ánh những nỗ lực và thành tích của sinh viên trong lĩnh vực toán học.
Nguyễn Hoàng Vinh (2014) đã biên soạn tài liệu ôn thi HSG quốc gia, cung cấp những kiến thức và phương pháp hữu ích cho học sinh Tài liệu này tập trung vào chuyên đề giới hạn của dãy số, giúp người học nắm vững các khái niệm và kỹ năng cần thiết để đạt kết quả cao trong kỳ thi Để tìm hiểu thêm, bạn có thể truy cập vào liên kết: https://thuvientoan.net/chuyen-de-gioi-han-cua-day-so-on-thi-hsg-quoc-gia-mon-toan-nguyen-hoang-vinh.
[17] Báo Toán học tuổi trẻ số 342.