SKKN phân loại một số dạng toán thường gặp về số phức theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó giúp học sinh lớp 12 ôn thi tốt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY TỪ DỄ ĐẾN KHÓ GIÚP HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI TỐT Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC 1 MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU …… 1.1 Lý chọn đề tài ………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… 1.5 Những điểm SKKN ……………………………………… 2 3 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Đặt vấn đề …… 2.3.2 Cơ sở lý thuyết ……………………………………………… 2.3.3 Phân loại số dạng toán thường gặp số phức Dạng 1: Tổng hợp kỹ cộng, trừ, nhân, chia số phức ……… Dạng 2: Phương trình bậc hai với hệ số thực…….……………… Dạng 3: Xác định yếu tố số phức thoả mãn điều kiện cho trước ………………………………………… Dạng 4: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức … …………… … Dạng 5: GTLN – GTNN mô đun số phức……… ………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giái dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 3 4 4 6 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Tài liệu tham khảo - Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên ……… 12 14 17 18 20 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : Những năm gần đây, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông thường xuyên xuất toán số phức theo mức độ từ dễ đến khó, đặc biệt từ mơn Tốn kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan số phức đề thi trắc nghiệm chiếm tỉ trọng không nhỏ đa dạng kể dạng tốn mức độ nhận thức, ln quan tâm đặc biệt học sinh giáo viên Sự xuất câu hỏi số phức nhiều mức độ khác nhận biết, thông hiểu, vận dụng vận dụng cao đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông làm cho khơng học sinh lúng túng muốn phân dạng tập số phức để tìm tịi lời giải Mặt khác với hình thức trắc nghiệm áp lực kiến thức mà áp lực thời gian lớn Chính định hướng cách suy luận lôgic cách giải tốn để tìm đáp án quan trọng làm thi Bên cạnh đó, tài liệu tham khảo cho dạng toán chưa có xuất rời rạc toán đơn lẻ đề thi thử Do việc tổng hợp, phân loại đưa phương pháp giải dạng toán theo mức độ cần thiết cho học sinh trình ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông Xuất phát từ thực tế trên, với số kinh nghiệm trình giảng dạy tham khảo số tài liệu, mạnh dạn chọn đề tài “ Phân loại số dạng toán thường gặp số phức theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó giúp học sinh 12 ôn thi tốt” nhằm giúp em hiểu có kỹ giải tốt toán số phức để đạt kết tốt kì thi 1.2 Mục đích nghiên cứu : - Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn toán theo hướng phát triển phẩm chất, lực học sinh nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng 3 - Giúp cho học sinh nắm kiến thức chương số phức, thành thạo làm toán trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầm tay, giúp giáo viên xây dựng chủ đề dạy học cách có hệ thống - Định hướng giải phân loại dạng tập số phức thường gặp theo mức độ từ dễ đến khó giúp học sinh giải toán số phức, đặc biệt toán số phức mức độ vận dụng cách xác nhanh chóng Từ kích thích khả tư duy, ham hiểu biết học sinh môn học 1.3 Đối tượng nghiên cứu : Đối tượng nghiên cứu phân loại số dạng toán thường gặp số phức theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó Đối tượng mà tơi hướng đến học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu : Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : 1.4.1 Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục,… có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung toán số phức - Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học - Tập hợp vấn đề nảy sinh, băn khoăn, lúng túng học sinh q trình giải tốn số phức Từ đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành học kinh nghiệm 1.5 Những điểm SKKN : Đề tài tập trung hướng dẫn học sinh biết cách phân loại số dạng toán thường gặp số phức theo mức độ từ dễ đến khó thường gặp đề thi Đề tài ý rèn luyện cho học sinh kỹ quan sát, phán đoán hướng làm tư sáng tạo để giải toán NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm : 4 Để thực tốt Chương trình mơn Tốn Chương trình GDPT 2018 theo hướng phát triển phẩm chất, lực học sinh đòi hỏi giáo viên học sinh phải nỗ lực Từ hình thành phát triển lực toán học bao gồm lực tư lập luận tốn học, lực mơ hình hố toán học, lực giải vấn đề toán học, lực giao tiếp toán học, lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Góp phần hình thành phát triển học sinh phẩm chất chủ yếu lực chung theo với mức độ phù hợp với môn học Nhằm phục vụ cho lý luận dựa theo lý luận : bồi dưỡng cho học sinh kiến thức vấn đề sau tạo cho học sinh khả tự học độc lập suy nghĩ, từ học sinh tự phân loại dạng tập theo chuyên đề Có học sinh dễ dàng làm tốt thi kỳ thi tốt nghiệp THPT 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Với đề thi trắc nghiệm 50 câu mơn Tốn số câu hỏi số phức chiếm tỉ trọng theo mức độ từ nhận biết đến vận dụng cao Các tập liên quan đến chúng nhiều, phong phú đa dạng vừa liên quan đến kiến thức đại số vừa liên quan đến kiến thức hình học phẳng Tốn số phức có nhiều dạng hay khai thác đề thi trắc nghiệm khách quan Đứng trước tốn này, học sinh trường THPT nói chung trường THPT Lê Lợi nói riêng cịn có lúng túng Sáng kiến kinh nghiệm phân loại số dạng toán thường gặp số phức theo mức độ từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh giải hiệu gặp toán số phức 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề : 2.3.1 Đặt vấn đề : Trong q trình ơn thi tốt nghiệp THPT cho học sinh lớp 12 phần Số phức Học sinh giải số toán mức độ nhận biết, thông hiểu , gặp số toán yêu cầu cao mức độ vận dụng đa số em chưa đưa hướng giải ngay, có em đưa hướng giải giải chậm chưa triệt để tốn 5 Vì thực tiễn giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT, phân loại số dạng toán thường gặp số phức đề thi nhằm giúp học sinh phát hướng giải dạng đạt kết cao kỳ thi tốt nghiệp THPT tới 2.3.2 Cơ sở lý thuyết : Căn vào lý thuyết chương Số phức chương trình Giải tích 12 Tơi tóm tắt nội dung lý thuyết sau: Định nghĩa số phức a + bi a b Một số phức biểu thức có dạng , số z = a + bi i = −1 i z thực số thỏa mãn , kí hiệu số phức viết a b i gọi đơn vị ảo, gọi phần thực gọi phần ảo số z = a + bi phức Biểu diễn hình học số phức r u ( a; b ) z = a + bi, ( a,b ∈ R ) M ( a; b ) Số phức biểu diễn điểm Oxy mặt phẳng tọa độ Phép cộng phép trừ số phức a Tổng hai số phức: z = a + bi, z ' = a '+ b ' i ( a, b, a ', b ' ∈ R ) * Định nghĩa: Tổng hai số phức số z + z ' = a + a '+ ( b + b ') i phức z , z ', z " ∈ C * Tính chất: Cho z + z ' = z '+ z + Tính giao hoán: ( z + z ') + z " = z + ( z '+ z ") + Tính kết hợp: z+0=0+ z = z + Cộng với 0: z = a + bi, ( a,b ∈ R ) − z = − a − bi + Số phức số phức gọi số phức đối z b Phép trừ hai số phức: z z' z −z ' * Định nghĩa: Hiệu hai số phức tổng , tức là: 6 z − z ' = z + ( − z ') Phép nhân số phức * Định nghĩa: Tích hai số phức z.z ' = ( a.a '− b.b ' ) + ( a.b '+ a '.b ) i phức * Tính chất: z.z ' = z '.z + Tính chất giao hốn: ( z.z ') z " = z.( z '.z ") + Tính chất kết hợp: z.1 = 1.z = z + Nhân với 1: z = a + bi, z ' = a '+ b ' i ( a.b.a ', b ' ∈ R ) số z ( z '+ z '') = z.z '+ z.z " + Tính chất phân phối ( phép nhân với phép cộng) Số phức liên hợp mô đun số phức a Số phức liên hợp: z = a + bi, ( a,b ∈ R ) z = a − bi * Khái niệm: Số phức Ta gọi số phức số phức z liên hợp * Một số tính chất số phức liên hợp  z' z'  ÷= z.z ' = z.z ' z = z; z z z − z' = z − z' + + ; + ; + ; + ( ) z + z' = z + z' b Mođun số phức: * Định nghĩa: Modun số phức z a + b2 kí hiệu * Tính chất: z = z z z = z z = a + bi, ( a,b ∈ R ) z' z' = , z≠0 z z z z ' = z z ' + ;+ ; + Phép chia cho số phức khác a Định nghĩa: ;+ z z + z' ≤ z + z' ;+ z −1 = + Số phức nghịch đảo số phức số thực không âm z [ 2] z khác số + Thương z' z z đảo , tức b Chú ý: Nếu phép chia z' = z '.z −1 z z≠0 z' cho z khác z' tích với số phức nghịch z ' z '.z z '.z = = z z.z [1] z 2.3.3 Phân loại số dạng toán thường gặp số phức : DẠNG 1: TỔNG HỢP KỸ NĂNG CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC Phương pháp chung : Trong dạng chủ yếu kiểm tra kiến thức rèn luyện kỹ tính toán của học sinh các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, kết hợp với số kiến thức khác modun của số phức, số phức liên hợp, phần thực phần ảo của số phức Yêu cầu:- Nắm vững các khái niệm rèn luyện kỹ tính toán chính xác - Biết sử dụng máy tính bỏ túi Casio để tính toán kiểm tra kết VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1(Nhận biết) ( Đề minh hoạ lần năm 2021 của Bộ GD & ĐT) z-w z = 3+ i w = + 3i Cho hai số phức Số phức : + 4i A Chọn câu B B − 2i C + 4i D − 2i z − w = ( + i ) − ( + 3i ) = − 2i Ta có : Ví dụ (Thơng hiểu) ( Đề minh hoạ lần năm 2021 của Bộ GD & ĐT) Cho số phức z = + 4i 50 Mô đun số phức 10 (1+ i) z : 10 A B C Chọn câu D Cách ( Tự luận - Dùng tính chất mơ đun tích ) (1+ i) z D = + i z = + i + 4i = 2.5 = Cách ( Hỗ trợ máy tính – Trắc nghiệm ) Vào Mode (đối với máy Casio 570) Menu (đối với máy Casio 580) 8 + i + 4i Nhập bấm “ = ” kết Ví dụ (Vận dụng ) ( Đề minh hoạ lần năm 2021 của Bộ GD & ĐT) z = Có số phức z thoả mãn A B Chọn câu C a, b ∈ ¡ z = a + bi Đặt với ( z + 2i ) ( z − ) C số ảo ? D ( z + 2i ) ( z − ) = ( a + bi + 2i ) ( a − bi − ) = a ( a − ) + b ( b + ) + ( a − ) ( b + ) − ab  i  a + b =   a ( a − ) + b ( b + ) = Do đó, ta có hệ Giải hệ nghiệm hay a + b =  a − b = Bài tập đề nghị : [1] Bài : Cho hai số phức 5 A z = 2−i B [2] Bài : Cho hai số phức Biết w = − 4i z1 = z2 C 5 Tính D z1 = ( m + 2n ) − ( m + 3) i , khẳng định sau ? m−n =0 m−n =5 z1 + z1.z2 z1 = ( n − 3m ) − ni m−n=3 m, n∈ ¡ , với m − n = −3 A B C D [3] Bài : Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D điểm biểu diễn số phức S? z1 = −1 + i, z1 = + 2i, z3 = − i, z4 = −3i A 21 B 19 Gọi S diện tích tứ giác ABCD Tính C 23 D 17 z =2 Bài : Cho số phức z thoả mãn phần thực : A B z số thực Số C 2− z có D Kết khác DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 9 ±i | a | a0 ∆=0 ∆ a = ⇒ ⇒P=7 2 ⇔  b = ( b − 1) + b = ( + b ) Lời bình: Việc đặt ẩn phụ giải tốn số phức góp phần làm cho lời giải bớt cồng kềnh biến đổi, chí nhanh đến kết Ví dụ (Vận dụng ) (Đề thi thử TN THPT của ĐH Hồng Đức – Thanh Hoá - z − 2020i = 2021 2021) Có số phức z thoả mãn đồng thời điều kiện z2 số ảo ? A Chọn câu C B Gọi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ C D ) z − 2020i = 2021 ⇔ a + bi − 2020i = 2021 ⇔ a + ( b − 2020 ) = 2021 ⇔ a + ( b − 2020 ) = 20212 ⇔ a + b − 4040b + 20202 = 20212 ( 1) Ta có: z = ( a + bi ) = ( a − b ) + 2abi Lại có: số ảo nên a − b2 = ⇔ a = b2 ( ) ⇒ 2b − 4040b + 2020 = 20212 ⇔ 2b − 4040b − 4041 = ( *) 2 Từ (1) (2) Dễ thấy (*) có nghiệm b trái dấu không đối nhau, suy b cho hai giá trị a phân biệt Vậy có số phức z thoả mãn u cầu tốn Ví dụ (Vận dụng cao) (Đề thi chính thức TN THPT của Bộ GD&ĐT–MĐ 103 - 2018) Có số phức z thoả mãn điều kiện A Chọn câu D Đặt 14 B z = a ≥ ( a∈¡ ) C z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z ? D , ta có : 14 z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z ⇔ a ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z ⇔ ( a − + i ) z = 6a + − 2i ⇔ ( a − + i ) z = 6a + ( a − ) i ⇔ a − + i z = 6a + ( a − ) i 2 ⇔ ( a − ) + 1 a = 36a + ( a − ) ⇔ a − 14a + 13a + 4a − =   a = ⇔ ( a − 1) ( a3 − 13a + ) = ⇔   a − 13a + = f ( a ) = a − 13a ( a ≥ ) Xét hàm số , ta có bảng biến thiên : 26 a f ′( a) - +∞ + +∞ f ( a) − 8788 27 a − 13a + = Đường y = - cắt đồ thị hàm số f(a) điểm nên phương trình f ( 1) ≠ có nghiệm phân biệt khác ( Mỗi giá trị a cho ta số phức z Vậy có số phức thoả mãn điều kiện Bài tập đề nghị : z + z = − 8i [5] Bài : Cho số phức z thoả mãn A −15 − 8i B −15 + 2i [6] Bài : Số phức z thoả mãn hệ thức A z = −3 + 4i, z = B Bài : Tìm số phức z thoả mãn 15 3+ i B Tìm số phức liên hợp z : + 4i C −15 + 7i z − ( + i ) = 10 z = + 4i, z = −5 [7] A ) C − 2i : D z = − 4i, z = −5 −15 + 8i D z.z = 25 z = + 4i, z = z − ( − 2i ) z = + 14i C D −2 − i 15 z− z = [8] Bài : Cho số phức z thoả mãn Biết phần thực z a z Tính theo a A a + a2 + B a + a2 + C a ± a2 + D 1− a DẠNG 4: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Chủ yếu đề cập đến biểu diễn hình học các số phức hoặc tìm điểm, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn vài điều kiện đó Yêu cầu: - Nắm vững các khái niệm điểm biểu diễn hình học, modun của số phức - Biết vận dụng các kiến thức tởng hợp để biến đởi phương trình, hệ phương trình - Biết sử dụng các kiến thức hình học tọa độ mặt phẳng vào xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức Phương pháp chung: * Cách 1: ( Phương pháp đại số ) - Đặt z = x + yi ( x, y ∈ R ) a, b - Đưa yếu tố toán cho phương trình ẩn Dùng yếu tố hai số phức nhau, modun số phức để đưa phương trình, hệ phương trình ẩn điểm biểu diễn số phức a, b từ xác định hình dạng tập hợp * Cách 2: ( Phương pháp hình học ) z = x + yi ( x, y ∈ R ) - Đặt Sử dụng độ dài véc tơ, khái niệm modun số phức để đưa hình học suy tập hợp điểm biểu diễn số phức * Cách 3: ( Trắc nghiệm Casio ) Dùng máy tính Casio để loại trừ phương án sai Tập hợp điểm biểu diễn số phức thường gặp : ax + by + c = - Phương trình đường thẳng : - Phương trình đường trịn : ( x − a) - Phương trình đường Elip : + ( y − b) = R2 x y + =1 a b VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ (Nhận biết) Tập hợp điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn cho số 16 16 phức z thoả mãn điều kiện z2 số ảo là: A Trục hoành (trừ gốc toạ độ O) B Trục tung (trừ gốc toạ độ O) C Hai đường thẳng y = ±x (trừ gốc toạ độ O) D Đường tròn x2 + y2 = Chọn câu C z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = ( x + yi ) = ( x − y ) + xyi Gọi  x2 − y =  y = ±x ⇔ ⇔  x; y ≠ 2 xy ≠ z2 số ảo Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng y = ±x (trừ gốc toạ độ O) z − i = z − + 2i Ví dụ (Thơng hiểu) Cho số phức z thoả mãn Tập hợp w = z + 2i điểm biểu diễn số phức mặt phẳng toạ độ đường thẳng Phương trình đường thẳng : 2x − y − = 2x + y − = A B Chọn câu D * Cách 1: ( Phương pháp đại số ) Từ w = z + 2i ⇒ z = w − 2i Gọi w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) C x + 3y − = D x − 3y + = w − 3i = w − vào giả thiết, ta có : ta có: w − 3i = w − ⇒ x + ( y − ) i = ( x − 1) + yi ⇔ x + ( y − ) = ( x − 1) + y ⇒ x − y + = * Cách 2: ( Phương pháp hình học ) Từ w = z + 2i ⇒ z = w − 2i M ( x; y ) w − 3i = w − vào giả thiết, ta có : A ( 0;3) , B ( 1;0 ) biểu diễn số phức w MA = MB mặt phẳng phức ta có Gọi biểu diễn số phức z1 = 3i, z2 = x − 3y + = Vậy tập hợp điểm M đường trung trực AB có phương trình * Cách 3: ( Trắc nghiệm Casio ) w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Ta gọi ( ngầm hiểu – không cần ghi ) mà đường thẳng qua điểm phân biệt nên ta vào Mode ( Hoặc Menu ) nhập cặp ( x; y ) khác đường thẳng thoả mãn giả thiết X + Yi − 3i − X + Yi − → Bấm bấm CALC x = 1, y = → - Phương án A: Ta nhập Khơng thoả mãn Loại A loại B 17 17 x = 2, y = → - Phương án C: Ta nhập Không thoả mãn Loại C Vậy chọn D Ví dụ (Vận dụng ) (Đề thi thử TN THPT của Chuyên KHTN - 2021) Xét số z+2 z − 2i phức z thoả mãn số ảo Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn : 2 2 A B C D Chọn câu B Đặt w= = z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z Ta có: z + x + yi + ( x + ) + yi ( x + ) + yi   x − ( y − ) i  = = = z − 2i x + yi − 2i x + ( y − ) i x2 + ( y − 2) x ( x + ) + y ( y − ) +  xy − ( x + ) ( y − )  i x2 + ( y − 2)  x ( x + ) + y ( y − ) = ( 1)  2  x + ( y − ) ≠ Có W số ảo ⇒ M thuộc đường trịn tâm I(-1 ; 1), bán kính ( 1) ⇔ x + y + x − y = R= Bài tập đề nghị : Bài 1[9] : Gọi đường cong (C) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z z + z − z = : (H) hình phẳng giới hạn bở (C) Diện tích hình phẳng (H) 2π π 2π 5 π A B C D [10] ( z − 2i + 1) ( z + i ) Bài : Xét số phức z thoả mãn điều kiện số thực Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình y = ax + b Mệnh đề sau sai ? a+b = a + 3b = 5b − a = a − b = −2 A B C D [11] Bài : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả z − + z + = 12 mãn 18 : A Một đường parabol C Một đường tròn B Một đường elip D Một đường thẳng 18 z + m −1 + i = Bài : Gọi M điểm biểu diễn số phức z thoả mãn Tìm tất số thực m cho tập hợp điểm M đường tròn tiếp xúc với trục Oy A m = −5; m = B m = 5; m = −3 C m = −3 D m=5 DẠNG 5: GTLN – GTNN CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC Phương pháp chung: * Cách 1: ( Phương pháp hình học ) - Bước 1: Tìm tập hợp (G) điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện - Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm M thuộc (G) cho độ dài đoạn OM ngắn (hoặc dài nhất) * Cách 2: ( Phương pháp đại số - Bất đẳng thức ) z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) - Bước 1: Gọi Suy mô đun số phức cần tìm min, max theo a b - Bước 2: Từ giả thiết ta hệ thức liên hệ a b - Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhia Copski để đưa đến kết * Cách 3: ( Trắc nghiệm Casio ) Dùng công thức trắc nghiệm nhanh máy tính Casio z−A = z−B Chú ý: Nếu đường thẳng có dạng z − C cần tính C−A − C−B z − C = 2 A− B ta tham khảo cơng thức : VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ (Vận dụng ) Trong số phức z thoả mãn điều kiện z + 3i = z + − i z Tìm giá trị nhỏ 5 A B Chọn câu C Cách 1: ( Phương pháp hình học ) Gọi M ( x; y ) biểu diễn số phức z z1 = −3i, z2 = −2 + i C 5 A ( 0; −3) , B ( −2;1) D biểu diễn số phức z + 3i = z + − i ⇔ MA = MB mặt phẳng phức hợp điểm M đường trung trực AB có phương trình 19 , nên tập ( d ) : x − y −1 = 19 = 5 OM = d ( O; d ) = z = OM Ta có : nhỏ Cách 2: ( Phương pháp đại số - Bất đẳng thức ) Gọi z = a + bi, ( a , b ∈ ¡ ) ⇒ z = a + b a + ( b + 3) = ( a + ) + ( b − 1) ⇒ a − 2b = 2 Từ giả thiết ta có Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Copski, ta có : ( + ( −2 ) ) ( a = a − 2b ≤ 2 + b2 ) ⇒ z ≥ 5 ⇒ z = 5 Cách 3: ( Phương pháp đại số - Khảo sát ) Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = x + y x + ( y + 3) = ( x + ) + ( y − 1) ⇒ x = y − Từ giả thiết ta có ⇒ z = x2 + y = ( y − 1) 2 + y2 = y2 + y + ≥ 5 ⇒ z = 5 Cách 4: ( Trắc nghiệm Casio ) Áp dụng công thức trắc nghiệm nhanh z − C = z−A = z−B Nếu đường thẳng có dạng C−A − C−B 2 A− B ⇒ A = −3i; B = −2 + i; C = ⇒ z = −3i − −2 + i 2 −3i + − i = 5 Từ giả thiết Ví dụ (Vận dụng ) (Đề thi thử TN THPT của Chuyên Sơn La - 2020) z − + 2i = Cho số phức z thoả mãn phức z có mơ đun : w = z +1+ i A B C Chọn câu A Cách 1: ( Phương pháp đại số - Bất đẳng thức ) z − + 2i = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = ( x + 1) + ( y − ) i Đặt Khi ta có : có mơ đun lớn Số D ta có x2 + y = (1) w = x + + ( y − 1) i ⇒ w = ( x + ) + ( y − 1) = x + y + x − y + = 10 + x − y 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Copski, ta có : 20 20 w = 10 + x − y ≤ 10 + (4 + 2 ) ( x + y ) = 10 + 10 = 20 ⇒ max w = 4 x − y = 10 x = ⇔ ⇒ z = − 3i ⇒ z =  −2 x = y  y = −1 H M Cách 2: ( Phương pháp hình uur học vectơ ) K I K ( 1; −2 ) , I ( −1; −1) ⇒ IK = ( 2; −1) O Gọi Để IM lớn M cần tìm H cho uuu r uur uuu r IK + R IH = ( t + 1) IK , t = − = ⇒ IH = ( 4; −2 ) ⇒ H ( 3; −3) IK OH = z = Suy Cách 3: ( Phương pháp hình học tởng hợp ) Áp dụng định lý hàm số cosin cho ∆OIK, ta có: OI + IK − OK · cosOIK = cosα = = 2OI IK 10 Sau lại áp dụng định lý hàm số cosin cho ∆OIH, ta có: =3 10 OH = z = OI + IH − 2OI IH cosα = + 20 − 2.2 10 Cách 4: ( Phương pháp hình học vectơ ) Gọi Để ur uuuu r uuu r uuu r uuur uuuu r r uuuur w = OM + OA = OA + OK + KM = u + KM K ( 1; −2 ) , A ( 1;1) ur w max ta có : r uuuur u KM ta chọn hướng với ( ) r uuuur ur u = ( 2; −1) ⇒ KM = t ( 2; −1) ⇒ t = ⇒ w ur r w = ( t + 1) u Do đó: uuuu r uuur r , với max r =2u =2 OM = OK + u = ( 3; −3) ⇒ z = OM = Và Ví dụ (Vận dụng cao ) ( Đề minh hoạ lần năm 2021 của Bộ GD & ĐT) Xét hai số phức 3z1 + z2 − 5i − 19 21 thoả mãn z1 = 1, z2 = z1 − z2 = Giá trị lớn : A Chọn câu B Đặt z1 , z2 B z1 = a + bi z2 = c + di , + 19 với a , b , c, d ∈ ¡ C −5 + 19 D + 19 Theo giả thiết : 21 a + b = 1, c + d = 4, ( a − c ) + ( b − d ) = Do : Ta có: a − 2ac + c + b − 2bd + d = ⇒ ac + bd = 3z1 + z2 = ( 3a + c ) + ( 3b + d ) i nên : 3z1 + z2 = ( 3a + c ) + ( 3b + d ) = ( a + b ) + ( c + d ) + ( ac + bd ) = 19 2 z + z ′ ≤ z + z′ Áp dụng bất đẳng thức , ta có : z1 + z2 − 5i ≤ 3z1 + z2 + −5i = 19 + ⇒ z1 + z2 − 5i max = 19 + Bài tập đề nghị : z − − 3i = w = z +1+ i [12] Bài : Số phức z thoả mãn Khi có mơ đun lớn ? 13 + 13 + A B C D z + − 2i = z − 4i z, w w = iz + [13] Bài : Xét số thoả mãn Giá trị nhỏ w : 2 2 2 B C D w −i = z1 , z2 z, w z + = iw [14] Bài : Xét số thoả mãn Gọi A z số phức mà tai đạt giá trị nhỏ giá trị lớn Mô đun : 6 A B C D Bài [15]   z − − 2i ≤    z − − 4i ≤ : Cho số phức z thoả mãn −1 5+2 A B Giá trị +1 C z1 + z2 S = z + max z D : + −1 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường : 22 22 * Trước thực đề tài : Tôi cho học sinh lớp 12A3 có lực học trung bình làm kiểm tra sau 15 phút : ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG : z − z = −7 + 3i + z Câu : Cho số phức z thoả mãn A B 13 Tính C ) 25 z +1 = Câu : Cho số phức z thoả mãn ( z : D Biết tập hợp điểm biểu w = 1+ i z + i diễn số phức : A đường trịn Bán kính R đường tròn B 36 D C Kết không khả quan sau : Điểm Giỏi SL Lớp 12A3 Khá % 12% SL 12 TB % 29% SL 16 Yếu % 38% SL % 21% (Sĩ số 42 ) * Sau thực đề tài: Kết thúc đề tài tổ chức cho em học sinh lớp 12A3 làm đề kiểm tra 15 phút với mức độ nâng cao nội dung xác định số phức thoả mãn điều kiện cho trước thuộc dạng có đề tài : ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG 2z − = z + 1+ i Câu : Biết có số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện ( z − i ) ( z + + 2i ) A − i 3 số thực Tích hai số : B + i 3 Câu : Cho số phức z thoả mãn diễn số phức 23 w = ( − i ) z − 3i + C − − i 3 z + − 3i = D − + i 3 Biết tập hợp điểm biểu đường tròn Xác định tâm I bán kính 23 R đường trịn I ( −6; −4 ) , R = A C I ( 6; ) , R = B D I ( 6;4 ) , R = 10 I ( −6; ) , R = Kết khả quan, cụ thể sau: Điểm Lớp 12A3 Giỏi SL 11 % 26% Khá SL 19 TB % 45% SL 10 % 24% Yếu SL % 5% (Sĩ số 42 ) Rõ ràng có khác biệt trước sau thực đề tài Như việc phân loại số dạng toán thường gặp số phức theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó giúp học sinh lớp 12 làm tốt khả tư phát triển hơn, giúp em tỏ say mê, hứng thú học tập, coi thành cơng người giáo viên Chắc chắn việc phân loại tập số phức theo hướng phát triển phẩm chất, lực giúp em tự tin học tập thi Tốt nghiệp trung học phổ thông KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: * Kết áp dụng: Qua việc thực chuyên đề lớp 12A3 có học lực trung bình khá, kết thu khả quan, giúp học sinh có nhìn tổng qt nhận biết dạng toán thường gặp số phức phương pháp giải phù hợp, từ có kỹ giải thành thạo toán thuộc chủ đề Tạo cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần đổi phương pháp Bộ Giáo dục Đào tạo * Tự đánh giá : Sáng kiến có tính khả thi, áp dụng để dạy học toán chuyên đề số phức trường THPT Lê Lợi, Thọ Xuân Qua thực tế áp dụng, thấy em học sinh nắm vững phương pháp, biết cách áp dụng vào tốn 24 24 cụ thể mà cịn hứng thú học tập phần Khi học lớp qua lần thi thử Tốt nghiệp THPT, số học sinh làm số phức đề thi cao hẳn năm trước em khơng học chun đề Trong q trình nghiên cứu thực đề tài không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế, thân tơi mong đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ đóng góp ý kiến để đề tài hồn chỉnh hơn, nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy Đồng thời giáo viên tổ Tốn áp dụng cho học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có thêm kỹ giải tốn số phức 3.2 Kiến nghị: Từ kết nghiên cứu đạt đây, xin mạnh dạn đề xuất số kiến nghị sau: Một là, Sở giáo dục đào tạo: Cần tổ chức tập huấn cho giáo viên nhiều việc đổi phương pháp dạy học hướng phát triển phẩm chất, lực học sinh Hai là, nhà trường: cần tạo điều kiện thuận lợi sở vật chất, trang thiết bị hỗ trợ giáo viên Có chế độ khen thưởng kịp thời giáo viên có nhiều sáng kiến kinh nghiệm trình giảng dạy Ba là, giáo viên: Cần phối hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực q trình dạy học, đổi phương pháp theo hướng phát triển phẩm chất, lực học sinh nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng Giáo viên nên đa dạng hóa hình thức học tập để tránh nhàm chán cho học sinh trình học XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2021 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết SKKN : Đỗ Thị Thủy 25 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo Toán học Tuổi trẻ từ năm 2018 đến Sách giáo khoa Giải tích 12 – NXB Giáo dục Sách giáo viên Giải tích 12 – NXB Giáo dục Hướng dẫn ôn thi TN THPT từ năm 2018 -> 2020 Bộ GD&ĐT Chuyên đề số phức vận dụng cao – vận dụng cao Nguyễn Xuân Chung Phân dạng phương pháp giải toán số phức, Lê Hồnh Phị , nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Đề thi minh họa thi TN THPT từ năm 2018 đến năm 2021 mơn Tốn GD&ĐT Tuyển tập đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2020, 2021 trường nước qua Internet [1] Đề thi thử TN THPT Sở GD & ĐT Lào Cai – 2021 [2] Đề thi thử TN THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp Hồ Chí Minh – 2021 [3] Đề thi thử TN THPT Mai Anh Tuấn – Thanh Hoá – 2021 [4] Đề thi thử TN THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh – 2021 [5] Đề thi thử TN THPT Nguyễn Đức Cảnh – Thái Bình – 2021 [6] Đề thi thử TN THPT Quốc Oai – Hà Nội – 2021 [7] Đề thi thử TN THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội – 2021 [8] Đề thi thử TN THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2021 [9] Đề thi thử TN THPT Chuyên Quốc học Huế – 2021 [10] Đề thi thử TN THPT Chu Văn An – Thái Nguyên – 2021 [11] Đề thi thử TN THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội – 2021 [12] Đề thi thử TN THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – 2020 [13] Đề thi thử TN THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – 2020 [14] Đề thi thử TN THPT Chuyên Đại học Vinh – 2020 [15] Đề thi thử TN THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phước – 2021 DANH MỤC 26 26 CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Thị Thủy Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Lê Lợi - Thọ Xuân - Thanh Hóa T T Tên đề tài SKKN Nhận dạng tam giác phương pháp sử dụng tam thức bậc hai tích vơ hướng Hướng dẫn học sinh ôn thi đại học giải số dạng tập cực trị hình học giải tích lớp 12 Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải số toán Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2010 – 2011 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2012 – 2013 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2014 – 2015 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2016 – 2017 hình học khơng gian Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại số dạng tốn viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ Oxyz thường gặp đề thi Cấp đánh Kết giá xếp đánh giá Năm học loại xếp loại đánh giá (Phòng, (A, B, xếp loại Sở, C) Tỉnh…) Sở GD&ĐT C 2008 – 2009 Thanh Hóa THPT Quốc gia Rèn luyện cho HS lớp 12 Trường THPT Lê Lợi kỹ giải số dạng tốn phương trình mặt cầu phương pháp phân loại thông qua số tập thực hành 27 Hướng dẫn cho học sinh lớp 11 27 học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia sử dụng số kỹ thuật tìm nghiệm phương trình Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2017 – 2018 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2018 – 2019 lượng giác có điều kiện Hướng dẫn học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia sử dụng số phương pháp để giải toán khoảng cách hình học khơng gian 28 28 ... sinh môn học 1.3 Đối tư? ??ng nghiên cứu : Đối tư? ??ng nghiên cứu phân loại số dạng toán thường gặp số phức theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó Đối tư? ??ng mà tơi hướng đến học sinh lớp 12 ôn thi tốt. .. loại dạng tập số phức thường gặp theo mức độ từ dễ đến khó giúp học sinh giải tốn số phức, đặc biệt toán số phức mức độ vận dụng cách xác nhanh chóng Từ kích thích khả tư duy, ham hiểu biết học sinh. .. phát triển tư từ dễ đến khó giúp học sinh lớp 12 làm tốt khả tư phát triển hơn, giúp em tỏ say mê, hứng thú học tập, coi thành cơng người giáo viên Chắc chắn việc phân loại tập số phức theo hướng