ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁNTRONG KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC ...24 2.1.. Tính cấp thiết Lĩnh vực về Tích phân có vị trí rất đặc biệt trong toán học, nó không
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN
Tích phân bất định
1.1.1 Một số khái niệm về tích phân bất định.
Cho hàm số f có nguyên hàm là F trên khoảng mở ( a , b ) Khi đó, ta nói rằng hàm số F xác định trong (a, b) là một nguyên hàm của f nếu F khả vi trong (a, b) và
F’(x) = f(x) với mọi x ∈ ( a ,b). b Dạng tổng quát của nguyên hàm. Định lý: Cho hàm f xác định trên khoảng (a,b) Khi đó, tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f xác định trong khoảng (a,b) được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu là
Nếu F là một nguyên hàm của f trên khoảng (a ,b) thì
1.1.1.2 Tích phân bất định a Định nghĩa: Định nghĩa 1.4.3 Nếu hàm số f x( )có một nguyên hàm là F x( ) thì biểu thức
F x( ) +C được gọi là tớch phõn bất định của hàm số f x x( ), ẻ ( , )a b và ký hiệu là f x dx( ) ò f x dx( ) =F x( )+C ò ò f x ( ) f x dx ( ) biểu thức dưới dấu tích phân, x gọi là biến lấy tích phân. b Các tính chất của tích phân bất định: i) ộờởũ f x dx( ) ự =ỳỷÂ f x( ), d f x dx ũ ( ) = f x d ( ) x ii) Giả sử F x ( ) có đạo hàm là f x ( ) thì ò dF x ( ) = F x ( ) + C iii) Với k là hằng số thìò kf x dx( ) =k f x dx ò ( ) iv) Nếu các hàm số đều có nguyên hàm thì f x g x dx f x dx g x dx
( ( )+ ( )) = ( ) + ( ) ò ò ò v) Nếu có ò dF x( )=F x( )+C và u = j ( ) x thì f u du( ) =F u( )+C ò c Bảng tích phân cơ bản:
1.1.2 Phương pháp cơ bản tính tích phân bất định.
Tích phânò f x dx( ) có thể tính được bằng cách phân tích hàm số f x( ) thành tổng các hàm số đơn giản hơn hay dễ tính tích phân hơn như sau: f x( )=f x 1 ( )+f x 2 ( ) + +f x n ( ) và áp dụng công thức f x d( ) x= f x d 1 ( ) x+ f x d 2 ( ) x + + f x d n ( ) x ò ò ò ò
Dạng 1 Giả sử biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: f u x u x dxộờở( ) ( )ự Âỳỷ trong đó u x ( ) là một hàm số khả vi, ta có thể đổi biến bằng cách đặt u = u x ( ) , khi đó ta có
Dạng 2 Đặt x=j ( )t , trong đó j ( )t là hàm khả vi đơn điệu đối với biến t, dx=j ¢( )t dt, khi đó f x dx( ) = f ộờởj ( ) ( )t ự Âỳỷj t dt = g t dt( ) ò ò ò
Ví dụ: Tính I =òsin cos 3 x xdx Đặt t=sinx thì dt =cosxdx Khi đó
Một số công thức tích phân cơ bản mở rộng.
2) dx tg x C c x ln os 2 4 ổ pửữ ỗ ữ
1.1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u=u x( ) và v=v x( ) là hai hàm số khả vi và có đạo hàm liên tục uÂ=u xÂ( ); vÂ=v xÂ( ) Ta cú: d uv( ) =udv vdu+ ị udv=uv vdu-
Suy ra ò udv= vu- ò vdu
Chú ý: Công thức tính tích phân từng phần thường được áp dụng để giải quyết một số tích phân có các dạng sau.
Các tích phân có dạng:
Khi đó ta thường đặt P x( ) =u, phần còn lại là dv. Đối với các tích phân có dạng
P x( )lnxdx; P x( )arcsinxdx; P x( )arccosxdx; P x( )arctgxdx; ẳ ò ò ò ò thỡ ta đặt u =ln , arcsin , arccos , arctg , x x x x ẳ
Ta có thể áp dụng công thức tích phân từng phần nhiều lần.
Tích phân xác định
1.2.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong.
Giả sử cho hình thang cong aABb giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x =a, x =b và đường cong y= f x( ), trong đó f x( ) liên tục và đơn trị trên a b
[ , ] Hãy tìm diện tích hình thang cong đó
Giả sử f x( )>0 trên [ , ].a b Ta chia tùy ý [ , ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b
Từ các điểm đó ta dựng các đường thẳng song song với trục Oy Khi đó hình thang cong aABb được chia thành n hình thang cong nhỏ.
Trong mỗi đoạn nhỏ [ x i - 1 , ], ( x i i = 1,2, , ) n ta lấy một điểm x i tùy ý; khi đó tung độ y i ứng với hoành độ x i là y i =f x ( ) i
Nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ [ x i - 1 , ] x i ta dựng một hình chữ nhật có kích thước x y 0 a x1 xi -1 xi x0 x2 xn b
B A là ( x i - x i - 1 ) và f x ( ) i thì diện tích của nó là f ( ) ( x i x i - x i - 1 ). Do đó diện tích của tổng n hình chữ nhật đó là
Nếu tổng S n dần tới một giới hạn xác định S khi n ® ¥ sao cho x i 0 D ® thì S được gọi là diện tích hình thang cong aABb Khi đó diện tích hình thang cong được tính theo công thức: i ( ) n i i m x i
1.2.2 Định nghĩa tích phân xác định. Định nghĩa: Cho hàm số y =f x( ) xác định trên [ , ]a b Chia tùy ý [ , ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a=x 0