(SKKN 2022) ứng dụng đạo hàm và tích phân vào một số bài toán cơ học trong bồi dưởng học sinh giỏi THPT

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đối với đa số học sinh, mơn Vật lí môn học thú vị, hấp dẫn, mơn học khó Tốn học cơng cụ khơng thể thiếu việc giải toán khoa học tự nhiên nói chung, mơn Vật lí nói riêng Trong đề thi học sinh giỏi, bên cạnh việc yêu cầu học sinh phải hiểu chất vật lí tượng, cịn địi hỏi học sinh cần có kiến thức tốn học vững phải sử dụng kiến thức này, đặc biệt kiến thức đạo hàm tích phân Các kiến thức xuất từ tập học vật lí lớp 10 lại nằm chương trình tốn học lớp 11 12 Do trình giảng dạy đội tuyển HSG, cần thiết giáo viên phải cung cấp hướng dẫn cho học sinh sử dụng cách hiệu từ lớp 10 Hiểu điều trình giảng dạy thân tơi tâm tìm tịi, nghiền ngẫm vấn đề đọc để đưa cách khai thác số toán cách giải mà từ em hiểu học Đặc biệt dạy cho học sinh biết tìm tịi cách giải hay, ngắn gọn Hơn làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo trình học, mặt khác giúp cho em biết vận dụng giải tốn vật lí nói chung sau Cũng từ điều giáo viên truyền thụ từ toán vận dụng cách giải sáng tạo, em phát triển tốt tư học vật lí, em có học lực trở lên phân tích tượng vật lí tốt, linh hoạt phương pháp giải, cách giải ngắn gọn, xúc tích Tơi biết hiểu tượng, phân tích tốt tượng cách giải linh hoạt triển vọng người học giỏi vật lí thành cơng đường học vấn Nhận thức tầm quan trọng phần kiến thức này, qua trình giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi mơn Vật lí trường THPT Hậu Lộc 4, đúc kết vài kinh nghiệm Tôi mạnh dạn đề xuất “Ứng dụng đạo hàm tích phân vào số toán học bồi dưởng học sinh giỏi THPT” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU + Hệ thống kiến thức phép tính đạo hàm tích phân + Xây dựng trình bày số tập minh họa, hệ thống tập phần học áp dụng phép tính đạo hàm, tích phân + Trong công tác dạy đội tuyển HSG, giúp học sinh giỏi có kiến thức tảng phép tính đạo hàm, tích phân vận dụng tốt kiến thức để giải số tập phần học 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU + Học sinh THPT giỏi học sinh tham gia bồi dưỡng đội tuyển HSG Trong nội dung sáng kiến tập áp dụng cho nhóm học sinh theo hình thức nhóm nhỏ nghiên cứu thảo luận + Phạm vi nghiên cứu chủ yếu số toán học chương trình vật lý THPT áp dụng phép tính đạo hàm, tích phân 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết + Phương pháp nêu vấn đề giảng dạy + Kết hợp phân tích tổng hợp kiến thức học để giải toán NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 2.1.1 Đạo hàm Trong vật lí, hóa học, sinh học, … có nhiều tốn đưa việc tìm giới lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 , Trong y = f(x) hàm số cho, giới hạn hạn dạng: x x dẫn đến khái niệm quan trọng tốn học khái niệm đạo hàm Ta xét toán vật lí sau: Một chất điểm chuyển động trục s’Os Quãng đường chuyển động hàm số thời gian s = s(t) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 Trong khoảng thời gian t - t0 chất điểm quãng đường: s(t) - s(t0) Nếu chất điểm chuyển động s(t) s(t0) s’ s O khơng vận tốc trung bình chất điểm khoảng thời gian t - t0 là: vtb gần v(t0) vtb  v  t  lim t t Vậy vận tốc tức thời t0 là: 2.1.1.1 Định nghĩa đạo hàm điểm a) Định nghĩa : Cho hàm số x0   a ; b  y  f  x s t   s  t  t  t Khi t gần t thì s t   s t  t  t0 a ; b xác định khoảng  , đạo hàm hàm số điểm x0 là: * Chú ý :  Nếu kí hiệu f '  x0   lim x  x  x0 ; y  f  x0  x   f  x0  f  x0  x   f  x0  x  x0  Nếu hàm số x  x0 y  f  x f '  x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 thì: y x  x  lim có đạo hàm x0 liên tục điểm b) Ý nghĩa đạo hàm * Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y  f  x C có đồ thị    f '  x0  hệ số góc tiếp tuyến đồ  C  hàm số M  x0 , y0    C  thị tan   y  f  x MH y  M H x Ta có:  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x điểm M  x0 , y0    C  : y  f '  x0   x x0  y0 * Ý nghĩa vật lí :  Vận tốc tức thời thời điểm t chuyển động thẳng: Một chuyển động thẳng có phương trình tọa độ x = x(t) Vận tốc tức thời thời điểm t đạo hàm tọa độ theo thời gian:  Gia tốc đạo hàm theo thời gian vận tốc, đạo hàm bậc hai tọa độ theo thời gian:  Tốc độ góc tức thời: Một vật rắn quay xung quanh trục có phương trình tọa độ góc φ = φ(t) Tốc độ góc tức thời thời điểm t đạo hàm tọa độ góc theo thời gian:  Gia tốc góc tức thời đạo hàm theo thời gian tốc độ góc, đạo hàm bậc hai tọa độ góc:  Cường độ dòng điện tức thời thời điểm t đạo hàm hàm điện lượng q = q(t) theo thời gian:  Suất điện động cảm ứng tức thời xuất mạch kín: Xét mạch kín có từ thơng biến thiên theo thời gian ϕ = ϕ(t) Suất điện động cảm ứng tức thời xuất mạch đạo hàm bậc từ thông theo thời gian:  Suất điện động tự cảm tức thời: Xét mạch kín có độ tự cảm L có dịng điện chạy qua, cường độ dịng điện hàm bậc thời gian i = i(t) Suất điện động tự cảm mạch kín là: 2.1.1.2 Qui tắc tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm a) Các quy tắc : Cho u  u  x ; v  v  x ; C : u  v  '  u ' v '   số   C.u    C.u    u.v  '  u '.v  v '.u  C.u   u  u '.v  v '.u  C  , v           v2 u2 v u  Nếu y  f  u , u  u  x  yx  yu ux b) Các công thức :     C   ;  x    x  n.x   x   21x n   n.u n  un ,  x  0  n u   u    2uu ,  u  0    sin x   cos x   sin u    u. cos u    cos x    sin x   cos u    u .sin u   cos x  cot x      e  e   a   a   tan x    x x sin x u cos u   cot u     u sin u   e u  x x   tan u     eu ln a  ln x    x u    a u  a u ln a.u   u   ln u   u 2.1.1.3 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số a) Xét tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K (K khoảng, đoạn nửa khoảng của)  Nếu f’(x) > với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến K  Nếu f’(x) < với x thuộc K hàm số f(x) nghịch biến K b) Tìm cực trị hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng ( a; b) Nếu hàm số có cực đại cực tiểu xo f’(xo) = Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (xo – h; xo + h), với h > Khi đó:  Nếu f’(xo) = ; f’’(xo) > xo điểm cực tiểu  Nếu f’(xo) = ; f’’(xo) < xo điểm cực đại 2.1.2 Nguyên hàm tích phân Ta xét tốn vật lí sau: Một lắc lị xo gồm vật nhỏ có khối lượng m gắn vào đầu lị xo có độ cứng k có khối lượng khơng đáng kể, đầu lị xo giữ cố định Vật m trượt mặt phẳng nằm ngang khơng có ma sát Từ vị trí cân O kéo lị xo giãn đoạn nhỏ A buông nhẹ, ta thấy vật m dao động quanh vị trí cân O Xác định công lực đàn hồi vật từ vị trí x1 đến vị trí x2 Chọn trục Ox trùng với phương chuyển động hệ, gốc tọa độ vị trí cân (vị trí x vật lị xo khơng biến dạng) Tọa độ x vật giá trị đại số độ biến dạng lò xo, tức vừa xác định độ lớn, vừa cho biết chiều biến dạng x O x1 Δx x2 Lực đàn hồi xuất lò xo bị biến dạng, ngược chiều với độ biến dạng có độ lớn tỉ lệ thuận với độ biến dạng: F = -kx Vì lực đàn hồi thay đổi theo độ biến dạng x, nên ta chia nhỏ độ biến dạng tồn phần thành n đoạn biến dạng vơ nhỏ Δx cho tương ứng với độ biến dạng lực đàn hồi coi không đổi Công nguyên tố lực đàn hồi thực đoạn biến dạng Δx có giá trị: ΔA = F Δx = -kx Δx Cơng tồn phần tổng tất công nguyên tố Trên đồ thị biểu diễn mối liên hệ độ lớn lực đàn hồi độ biến dạng x cơng ngun tố diện tích hình chữ nhật có hai cạnh kx Δx Cộng tất diện tích nguyên tố phạm vi giới hạn trục x từ giá trị x đến x2, ta cơng tồn phần A n n i 1 i 1 A  ΔAi  F Δ xi Nếu n lớn xi nhỏ độ xác lớn: n A lim  ΔA i n   i 1 Giới hạn phía phải kí hiệu là: x2 n lim  ΔA n   i 1 i  F  x .dx x1 2.1.2.1 Nguyên hàm Δx f ( x ) Cho hàm số xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K, F '( x)  f ( x) , với x  K 2.1.2.2 Tích phân Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đọan [a;b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay gọi tích phân xác định đoạn [a;b] hàm số f(x)) Kí hiệu là: b  f ( x)dx a b f  x dx F  x  b a F b  F  a  Vậy: 2.1.2.3 Tính chất tích phân Cho hàm số f ( x), g ( x ) liên tục K a, b, c ba số thuộc K a a f  x dx 0 a b a f  x dx  f  x dx a b b c a a b f  x dx f  x dx  f  x dx c b a a b n f  x dx n.f  x dx (n số) b b b a a a  f  x  g  x dx f  x dx g  x dx 2.1.2.4 Bảng tích phân CƠNG THỨC CƠ BẢN dx x  C  x dx  dx x x  C  1 ln x  C CÔNG THỨC MỞ RỘNG du u  C u  1  u du  C   1 1 (ax  b) dx  a ln ax  b  C  ax  b  a n 1 n 1 n (ax  b) dx  e x C dx e x  C ax a dx  ln a  C cos x.dx sin x  C u e n ax  b x ; cos x C (n  1).u n  1 dx  e ax  b  C a u a du  au C ln u cos(ax  b)  C a cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C sin(ax  b)dx  cos nx  C n u dx u cos(nx).dx  n sin nx  C sin x.dx  cos x  C ; sin nx.dx  dx u  n dx   u' dx  (1  tg x) tgx  C sin2 x dx (1  cot gx)  cot gx  C dx x  a  x arcsin a  C dx x a  x  a arctan a  C du u'  u dx 2 u'  ln u  C ; u C ; C u dx ax a  x  2a ln a  x  C dx  x  a ln x  x  a  C u dx  2.1.2.5 Ứng dụng vật lí Quãng đường S mà vật với vận tốc biến thiên v(t) khoảng thời gian từ t1 đến t2 xác định tích phân xác định: t2 S  v t  dt t1 Công A lực thay đổi cho hàm số F = F(x) có hướng dọc theo trục Ox điểm đặt lực di chuyển từ a đến b xác định tích phân xác định: b A  F x  dx a 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Từ thực tế giảng dạy học sinh lớp, qua số năm bồi dưỡng đội tuyển HSG cấp, nhận thấy: Các tập sử dụng kiến thức xuất từ chương trình vật lí lớp 10, lại nằm chương trình tốn học lớp 11 12 Do trình giảng dạy đội tuyển HSG, cần thiết giáo viên phải cung cấp hướng dẫn cho học sinh sử dụng kiến thức cách hiệu từ lớp 10 Tuy vậy, thực tế cho thấy số lượng học sinh nắm vững áp dụng kiến thức vào việc giải tập không nhiều Trên sở lơ-gic kiến thức, khó khăn thân học sinh gặp phải, hiểu sai lệch tượng… Để giúp cho em hiểu hiểu sâu sắc vấn đề, tơi tìm cách khai thác số toán để hỗ trợ cho học sinh, với mục đích giúp học sinh có kiến thức tảng phép tính đạo hàm, tích phân vận dụng tốt kiến thức để giải số tập phần học 2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ ÁP DỤNG  Để thực nội dung đề tài, tiến hành bước sau:  Hệ thống cách ngắn gọn kiến thức đạo hàm tích phân  Đưa dạng tập, đồng thời lấy ví dụ minh họa cho dạng  Đưa số tập, ví dụ nhằm củng cố nội dung đề tài, để học sinh vận dụng Dạng Bài tập liên quan đến quỹ đạo chuyển động: ứng dụng ý nghĩa hình học đạo hàm Ví dụ 1: [5] Bốn rùa đứng bốn đỉnh hình vng cạnh a, chúng bắt đầu chuyển động khơng đổi với vận tốc có độ lớn v, cho rùa bị ln hướng bên cạnh theo chiều kim đồng hồ Xem rùa chất điểm a) Các rùa gặp đâu, sau y bao lâu? b) Quĩ đạo chuyển động rùa có dạng nào? Hướng dẫn giải: r  x O a) Xét rùa hệ tọa độ cực,  thời điểm t: xác định r ,  - Ta có: x r cos  ; y r sin v  r vv dr cos   r sin dt dr v y  sin  r cos  dt vx  d dt d dt  dr   d  2 v v  v     r  v r  v  dt   dt  dr d vr  v r  r dt vận tốc xuyên tâm; dt - Trong đó: vận tốc phương vị  r r , v - Vì ln tạo với góc 45 ( qua tâm hình vng) - Do x y v r  v cos 450  v 2 const v v sin 450 v const 2 ; t a a  vr v - Bốn rùa gặp lúc chúng tiến đến tâm với thời gian b) Phương trình quĩ đạo: r r   ; (  có chiều + chiều kim đồng hồ) - Từ vr  dr d  dr   v v r v rd  dt ; dt - Với t = r a  ;    r a  a 4 ln    ln   c e 2c - Suy ra: c r a e       4  - Vậy: phương trình quĩ đạo rùa - Các rùa 2, 3, có quĩ đạo là: r2  a e  3        ; r3  a e  5        ; r4  a e 7         Ví dụ 2: [3] Có hai tàu A B cách khoảng a đồng thời tàu A B chuyển động với vận tốc không đổi v u Tàu B chuyển động đường thẳng (đường thẳng vng góc với đoạn thẳng nối vị trí ban đầu hai tàu, cịn tàu A ln hướng tầu B Hỏi sau tàu A đuổi kịp tàu B? Hướng dẫn giải: Ta gắn hệ trục trùng với mặt phẳng nước trục 0x phương chiều với chuyển động tàu B , tàu A nằm phần dương trục 0y vị trí ban đầu có toạ độ Tàu A chuyển động với vận tốc ln hướng phía tàu B với vận tốc gồm hai thành phần: Lấy vế chia vế hai phương trình ta rút ra: (1) Ta lại có: (2) Đạo hàm vế (2) ta được: (3) Thay (1) vào (3) ta suy ra: (4) Mặt khác: (5) Thay dt từ (5) vào (4): hay Lấy tích phân vế: Mặt khác ta lại có: nên (*) Lấy tích phân vế phương trình (*): hay Vậy sau thời gian tàu A đuổi kịp tàu B Dạng Bài tốn có gia tốc, vận tốc hàm thời gian: Xác định vận tốc, quãng đường tọa độ Ví dụ 1: [KÌ THI KHU VỰC GIẢI TỐN VẬT LÍ TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY - BỘ GD & ĐT - NĂM 2009]: Từ độ cao h = 30m so với mặt đất, vật ném theo phương ngang với tốc độ ban đầu vo = 15m/s Bỏ qua ma sát Hãy tính: a) Tầm xa vật b) Tốc độ trung bình độ lớn vận tốc trung bình vật khoảng thời gian t = 2s Hướng dẫn giải: a) Tầm xa vật tính theo cơng thức ≈ 37,1028 (m) b) Thời gian từ ném vật đến vật chạm đất ≈ 2,4735(s) > 2(s) suy thời điểm t = 2(s) vật chưa chạm đất * Tốc độ trung bình: - Quãng đường vật thời gian 2s S = - Tốc độ trung bình khoảng thời gian 2s ≈ 18,5581 (m/s) * Vận tốc trung bình: - Độ dời vật vật chuyển động 2s - Vận tốc trung bình khoảng thời gian 2s sau ném ≈ 17,9212 (m/s) Ví dụ 2: [CUỘC THI QUỐC GIA GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL - BỘ GD & ĐT - NĂM 2013]: Một chất điểm chuyển động chậm dần đường thẳng với gia tốc có độ lớn Tại thời điểm t = 0, vận tốc vật v0 = m/s Tính quãng đường vật dừng lại thời gian vật hết quãng đường Hướng dẫn giải: Vì chất điểm chuyển động chậm dần nên Khi vật dừng lại v = t = Quãng đường s= Ví dụ 3: [4] Một hạt chuyển động chậm dần đường thẳng với gia tốc a mà độ lớn phụ thuộc vận tốc theo quy luật |a| = k v , k số dương Tại thời điểm ban đầu vận tốc hạt v Tìm quãng đường hạt dừng lại thời gian hết quãng đường Hướng dẫn giải: + Ta có a= k v =- dv dt  -kdt = v-1/2dv kt    v0  2 + Lấy tích phân ta có v =  v0 + Thời gian chuyển động dừng hẳn t = k 10 2   k  2 kt    v - k v0 t +   t  dt  v0 -       + Quãng đường dS = vdt = dt =  v0 / k   k  2 0  v0 - k v0 t +   t  dt   + Vậy quãng đường đến dừng hẳn S = 2v3/2 + Kết S = 3k Ví dụ 3: [2] Một chất điểm chuyển động chậm dần bán kính R, cho điểm gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến ln có độ lớn Tại thời điểm ban đầu t = 0, vận tốc chất điểm v0 Hãy xác định: a) Vận tốc chất điểm theo thời gian theo quãng đường b) Gia tốc toàn phần theo vận tốc quãng đường Hướng dẫn giải: a) Theo đề ta có: a t a n   dv v  dt R v - Từ (1) dv ds  v R (2) dv dt  v2 R (1) v0 v 1 t  v R t dv dt 1 t       R v v0 R v v0 - Lấy tích phân vế ta có:    (ds = vdt ) v  - Lấy tích phân vế phương trình (2): S dv ds v s    ln   v R v0 R v0 S  v  v0 e R b) Gia tốc toàn phần: 2 a  a t  a n a t a n - Gia tốc toàn phần theo vận tốc: v2 a R 2 v0 e - Gia tốc toàn phần theo quãng đường được: a  R  2s R Dạng Giải tốn chuyển động hệ có khối lượng thay đổi Ví dụ 1: [KÌ THI KHU VỰC GIẢI TỐN VẬT LÍ TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY - BỘ GD & ĐT - NĂM 2009]: Một tên lửa có tổng khối lượng m0 = đặt mặt đất Người ta khởi động tên lửa cho tên lửa chuyển động thẳng đứng lên cách cho khí phía sau với tốc độ u = 4km/s so với tên lửa, khối lượng khí cách đặn μ = 30kg/s Khơng tính đến sức cản khơng khí; coi gia tốc trọng trường không đổi theo độ cao g Hãy tính khoảng thời gian khí cần thiết để tên lửa đạt đến vận tốc v’ = 1,2km/s so với mặt đất Hướng dẫn giải: Giả sử thời điểm t tên lửa có khối lượng m chuyển động thẳng đứng lên với vận tốc v so với mặt đất Sau khoảng thời gian dt 11 khối lượng tên lửa (m + dm) (dm < 0), vận tốc (v + dv), khối lượng khí phía sau – dm, vận tốc khí so với đất (v – u) Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm tên lửa khí trọng lực mg Phương trình động lực học viết cho hệ tên lửa (m + dm)(v + dv) + (– dm).(v – u) – mv = – mgdt Bỏ qua số hạng vô bé dv.dm ta phương trình mdv + udm = – mgdt (1) Mặt khác ta có khối lượng tên lửa thời điểm t tính m = m0 – μt → dm = – μdt (2) Thay (2) vào (1) ta Lấy tích phân hai vế ta Gọi thời gian cần phụ khí t ta có phương trình Giải phương trình ta t ≈ 19,5953 (s) Ví dụ 2: [3] Một đạn rốc-két ban đầu đứng yên, sau tự phóng thẳng đứng từ lên khối lượng khí phía sau với vận tốc khơng đổi u (so với rốc-két) Coi gia tốc trọng trường không đổi g Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian gia tốc vận tốc rốc-két Hướng dẫn giải: + Do chuyển động thẳng nên chọn trục x trùng với đường thẳng chuyển động, chiều dương chiều chuyển động, phương trình chuyển động mdv udm   mg dt dt (*) + Do dm/dt = số m = m0, dv/dt = t = 0, nên phương trình cho mg dm  dt u gt + Lấy tích phân phương trình ta có m = m0(1 - u ) g 2t m0 g 2t gt dv dv + Thay vào (*) ta có m0(1 - u ) dt = (m0 – m)g = u Hay a = dt = u  gt g 2t + Vận tốc thời điểm  dv = u  gt dt  gt dt g u  gt u => v = -g  + uln u  g + Hay v = 0 Chú ý:  biểu thức vận tốc v t biểu thức gia tốc a Ví dụ 3: [Báo Vật lí & tuổi trẻ TH5/96 - số 96 - tháng 8/2011]: Một cục nước đá gắn vào tường nhờ lò xo, thực dao động mặt phẳng ngang nhẵn với biên độ ban đầu A0 Hỏi cục nước đá tan khối lượng cịn nửa biên độ dao động thay đổi nào? Giả sử nước đá tan chậm nước tạo thành khơng ảnh hưởng đến dao động Hướng dẫn giải: 12 Xét chu kì biên độ dao động A, tần số góc dao động ω Do tan nước đá diễn chậm nên xem chu kì dao động A ω khơng đổi Ta có: x = Acosωt; v = -Aωsinωt Gọi μ tốc độ tan chảy nước đá: Sau chu kì dao động, lượng bị là: Xét sau thời gian dt, khối lượng biến đổi dm, biên độ biến đổi dA, vật thực dao động, ta có: Dạng Tính cơng mơmen lực lực biến đổi Ví dụ 1: [KÌ THI KHU VỰC GIẢI TỐN VẬT LÍ TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY - BỘ GD & ĐT - NĂM 2009]: Phía mặt bàn nằm ngang cố định có đĩa đồng chất hình trụ, bán kính R = 20cm, khối lượng m quay quanh trục thẳng đứng với tốc độ góc ω = 1500 vòng/phút Đĩa hạ thấp dần thật chậm để tiếp xúc nhẹ nhàng (khơng va chạm) với mặt bàn Biết hệ số ma sát đĩa mặt bàn μ = 0,1 Hãy tính thời gian từ đĩa bắt đầu tiếp xúc với mặt bàn đến dừng hẳn góc mà đĩa quay thời gian Hướng dẫn giải: Sau đĩa tiếp xúc với mặt bàn, lực ma sát có tác dụng cản trở chuyển động quay đĩa Xét yếu tố vi phân diện tích dS = rdrdα mặt tiếp xúc đĩa mặt bàn Vi phân momen lực ma sát tác dụng lên đĩa Momen lực ma sát tác dụng lên tồn đĩa Momen qn tính đĩa Gia tốc góc đĩa = số Thời gian từ đĩa bắt đầu tiếp xúc với mặt bàn đến dừng ≈ 24,0265 (s) Góc mà đĩa quay thời gian ≈ 1887,0367 (rad) ≈ 300,3312 (vịng) Ví dụ 3: [Báo Vật lí & tuổi trẻ TH1/93 - số 93 - tháng 5/2011]: Trên mặt phẳng nằm ngang, nhẵn có đĩa nhỏ nằm vòng tròn giới hạn tường thẳng đứng, xù xì Nếu truyền cho đĩa vận tốc ban đầu sau vòng, đĩa quay trở lại điểm xuất phát với vận tốc nửa lúc đầu Hãy tìm hệ số ma sát trượt μ đĩa với bề mặt tường, cho khơng thay đổi Hướng dẫn giải: Phản lực N tường đóng vai trò lực hướng tâm Theo phương tiếp tuyến phương hướng tâm ta có: Suy 13 Tích phân vế Ví dụ 4: [KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA NĂM HỌC 2011-2012]: Một dây AB có chiều dài l , treo thẳng đứng vào điểm cố định A hình vẽ Khối lượng m dây phân bố chiều dài tạo lực căng a) Tính tốc độ truyền sóng ngang dây điểm M cách đầu B dây khoảng x b) Tính thời gian để chấn động từ đầu A dây hết chiều dài dây Hướng dẫn giải: + Tốc độ truyền sóng điểm cách đầu B đoạn x: mgx v  gx ( Lực căng trọng lượng phần MB, F = l ) + Chấn động khoảng dx thời gian: A M x B t l dx dx dx dx l     dt   t 2 o v g gx g x g x Ví dụ 5: [5] Viết phương trình chuyển động vật rơi tự theo thời gian  dt   kể đến lực cản khơng khí Fc  kv , k số dương Hướng dẫn giải:    - Áp dụng định luật II Newton cho vật: ma  p  Fc - Chiếu phương trình lên phương chuyển động, chiều dương hướng xuống ta có: ma mg  kv  m dv dv dt mg  kv   dt mg  kv m k  t mg v  C1e m k - Lấy tích phân ta được: - C1 số tích phân xác định từ điều kiện đầu, v(0) = v   0  mg mg  C1  C1  k k k  t mg v (1  e m ) k - Do đó: k k  t  t dx mg mg m m v  (1  e )  dx  (1  e )dt dt k k - Mặt khác ta lại có: k x mg m2 g  t t  e m  C2 k k - Lấy tích phân hai vế ta được: - C2 số tích phân xác định từ điều kiện đầu, x(0) = x  0  m2 g m2 g  C  C   2 k2 k2 14 k x  t mg m2 g t  (1  e m ) k k - Phương trình chuyển động vật là: * Chú ý: Bài toán ta giải định lí biến thiên động sau: - Trong chuyển động vật kể đến lực cản khơng khí nên vật biến thiên Lực cản sinh công âm cản trở chuyển động rơi vật Giả thiết sau thời gian t vật quãng đường x đạt vận tốc v - Công nguyên tố ngoại lực dA dAC  dAP đó: Cơng lực cản: dAC = - FCdx Công trọng lực: dAP = mgdx Wđ  mv 2 - Động vật: - Áp dụng định lí biến thiên động dạng đạo hàm: dWđ dA dv dx dv dt   mv  mg  kv    dt dt dt dt mg  kv m - Các bước lại giải giống phần đầu Dạng Xác định khối tâm số vật rắn đồng chất Hướng dẫn: Với toán giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách phân tích vi phân chiều dài dl; vi phân diện tích dS (xem có dạng hình chữ nhật); vi phân thể tích dV (xem có dạng hình hộp chữ nhật) Nhận xét khối lượng phân bố vi phân tương ứng để vi phân dm nhằm giúp học sinh quen dần cách lập biểu thức tính tích phân Ví dụ 1: [6] Xác định tọa độ trọng tâm vật đồng chất có khối lượng  đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng đoạn dây hình cung, bán kính R, chắn góc  Áp dụng cho đoạn dây nửa đường trịn bán kính R Hướng dẫn giải: d + Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G đoạn dây nằm trục Ox αRα + Xét phần tử vi phân chiều dài bé O x R có độ dài khối lượng tương ứng  dl  R.d   dm   R.d +Tọa độ khối tâm G xG   1 dm.R cos    m  m   R  .R cos.d    cos.d    2 R sin      xG    ( với m    R ) 2R  + Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn Ví dụ 2: [6] Xác định tọa độ trọng tâm vật đồng chất có khối lượng  đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng phẳng hình quạt bán kính R, góc tâm  Áp dụng cho bán nguyệt bán kính R 15 Hướng dẫn giải: + Trọng tâm nằm trục Ox + Xét phần tử vi phân diện tích dS giới hạn hai đường trịn bán kính r (r + dr) có góc tâm d có khối lượng tương ứng dm với  dS  dl.dr  r.d.dr   dm   dS   r.d dr (Vì khối lượng phân bố theo diện tích) + Tọa độ khối tâm G  R xG   r dr  cos d   m0   m 4.R sin 3 dr dφ O r C x  2  R 2 ) (với + Áp dụng cho hình bán nguyệt     xG  4R 3 Ví dụ 3: [6] Xác định tọa độ trọng tâm vật đồng chất có khối lượng  đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng hình quạt cầu bán kính R, góc tâm  Áp dụng cho nửa hình cầu bán kính R Hướng dẫn giải: + Trọng tâm nằm trục Ox + Xét phần tử vi phân thể tích dV dạng hình hộp chữ nhật tâm M cách O khoảng r, độ dài ba cạnh hộp theo tọa độ cực là: dr; r.d ; r cos  d , có khối lượng tương ứng dm với  dV  r cos dr.d d   dm   dV   r cos dr.d d + Tọa độ khối tâm G  R xG   r dr  cos  d  R     cos.d   r dr  cos d   d  R4 sin 2 (  )2sin  3R sin 2   (2  ) R 16  2sin  2 3 xG  R + Áp dụng cho nửa hình cầu 16 Dạng Xác định mơmen qn tính số vật rắn Hướng dẫn: Với toán này, GV nên yêu cầu hướng dẫn học sinh: - Cách sử dụng phép tính tổng cách phân tích vi phân để sử dụng định nghĩa tích phân tính tốn - Cách sử dụng linh hoạt cơng thức tính, tính chất cộng mơ men qn tính, định lí Steiner để xác định mơ men qn tính vật rắn khơng có hình dạng tạo từ hình Ví dụ 1: [6] Xác định cơng thức tính mơ men qn tính a) Thanh dài đồng chất tiết diện với trục quay qua trọng tâm, với m khối lượng vật, l chiều dài b) Vành tròn với trục quay qua trọng tâm, với m khối lượng vật, R bán kính vành c) Đĩa trịn đồng chất tiết diện với trục quay qua trọng tâm, với m khối lượng vật, R bán kính đĩa d) Khối cầu đồng chất với trục quay qua trọng tâm, với m khối lượng vật, R bán kính khối cầu Hướng dẫn giải: x a) Thanh dài đồng chất tiết diện với trục quay qua trọng tâm + Gọi dx nguyên tố có khối O lượng d m   dx đặt cách trọng tâm G đoạn x mơ men qn tính ngun tố trục vng góc với 2 qua G dI  x dm  x  dx + Mơ men qn tính l l 0 I   dI    x dx  1  l.l  ml 12 12 b) Vành tròn với trục quay qua trọng tâm + Xét vành trịn đồng tính có bề dày khơng đáng kể, tỉ trọng dài   m  2 R. + Gọi dx nguyên tố vành có khối lượng dm   dx đặt cách trọng tâm G vành đoạn R mơ men qn tính ngun tố trục vng góc với mặt phẳng vành qua trọng tâm G x G dI  r dm  r  dx z + Mơ men qn tính I 2 R  dI  2 R   r dx  2 R  mR C c) Đĩa tròn đồng chất tiết diện với trục quay qua trọng tâm O G φ x r M dr dφ ds 17 + Xét đĩa trịn đồng tính có bề dày không đáng kể, tỉ trọng mặt   m   R  + Gọi dS nguyên tố đĩa có khối lượng dm   dS   r.dr.d  đặt cách trọng tâm G đĩa đoạn r mơ men qn tính nguyên tố trục 2 vuông góc với mặt phẳng đĩa qua trọng tâm G dI  r dm  r  dr.d + Mơ men qn tính R 2 1 I    r dr  d   R  mR 2 0 d) Khối cầu đồng chất với trục quay qua trọng tâm + Xét khối cầu đồng tính, tỉ trọng (khối lượng G   m   R3  riêng) + Gọi dV nguyên tố thể tích có khối lượng dm   dV  r sin  dr.d d (vì tọa độ vị  x  r sin  cos   y  r.sin  sin   trí đặt dV tọa độ cầu  z  r cos  đặt cách trọng tâm G khối cầu đoạn r mơ men qn tính ngun tố trục khối cầu qua trọng tâm G dI  (r sin  ) dm   r sin  dr.d d 2  R 2R2 I    d  r dr  sin 3 d   R  mR 5 0 + Mơ men qn tính Ví dụ 2: [6] Xác định mơ men qn tính vật có hình dạng, trục quay tương ứng sau a) Đĩa trịn đồng chất bán kính R bị kht lỗ trịn bán kính r, tâm cách tâm đĩa lớn đoạn a với trục quay vng góc với đĩa qua tâm đĩa lớn, khối lượng m b) Quả cầu rỗng, mỏng, đồng chất khối lượng m, bán kính R với trục qua tâm c) Hình trụ đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với trục qua hai tâm Từ suy mơ men qn tính vật rắn hình trụ rỗng đồng chất, khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với trục qua hai tâm Hướng dẫn giải: a) Đĩa trịn đồng chất bán kính R bị kht lỗ trịn bán kính r… + Mơ men quán tính đĩa lớn I1  1 m1 R   R 2 + Mơ men qn tính đĩa nhỏ 1 I  m2 r  m2 a   r   r a 2 G + Mơ men qn tính phần cịn lại I  I1  I  1  R  (  r   r a )   ( R  r )   r a 2 2 18 I 1 mr a  ( R  r )   r a  m( R  r )  2 2 R r Do m   ( R  r ) nên b) Quả cầu rỗng, mỏng, đồng chất khối lượng m… + Từ cơng thức tính mơ men qn tính cầu đặc I1  2 m1 R    R 5 + Mơ men qn tính cầu rỗng giới hạn hai mặt cầu bán kính R r 2 m1 R  m2 r    ( R  r ) 5 ( R5  r ) R2r 2 3  I  m  m ( R  r  ) m  m1  m2    ( R  r ) 3 2 ( R  r ) R  Rr  r + Do I  mR + Với cầu mỏng R= r thay vào I2  c) Hình trụ đặc đồng chất, khối lượng m… + Xét phần tử lớp hình trụ mỏng giới hạn hai đường trịn bán kính r ( r + dr) tích dV  2. r.dr.h Do khối lượng phân bố theo thể tích nên dV có khối lượng dm  x m m dV  dV V  R3 h R R m 2 hr dr  m.R R h I   dm.r   + Mô men qn tính Tương tự cách xét với hình cầu mỏng bán kính R ta có mơ men qn tính hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với trục qua hai tâm I  m.R O 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Thông qua tiến hành giảng dạy đội tuyển HSG năm gần với đề tài “Ứng dụng đạo hàm tích phân vào số tốn học bồi dưởng học sinh giỏi THPT”, thu số kết quả, đa số em hiểu chất vấn đề vận dụng linh hoạt kiến thức vào đề thi học sinh giỏi cấp, đạt số giải Nhất HSG cấp tỉnh, cấp Quốc gia Cụ thể số năm học gần trường THPT Hậu Lộc mà trực tiếp giảng dạy cầm đội tuyển HSG, thu kết sau: Đạt nhiều giải HSG cấp Tỉnh (Văn hóa MTCT), cấp Quốc gia, bật có: + 01 giải Ba (huy chương Đồng) kì thi giải tốn MTCT cấp Quốc gia năm 2009: Em Đoàn Minh Vương + 01 giải Nhất (huy chương Vàng) kì thi giải tốn MTCT cấp Quốc gia năm 2011: Em Vũ Văn Hài + 02 giải Nhất kì thi HSG cấp tỉnh mơn văn hóa: Em Nguyễn Hà Văn (năm 2012) em Trần Sang Anh (năm 2017) KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 19 Tài liệu dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời tài liệu tham khảo hữu ích cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi Do thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài dừng lại nghiên cứu ứng dụng giải số tập phần học, khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến nhận xét quý báu từ thầy cô đồng nghiệp để đề tài tiếp tục được hoàn thiện nội dung hình thức Tơi xin chân thành cảm ơn ! 3.2 Kiến nghị: Không XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phạm Văn Lượng 20 ... tài ? ?Ứng dụng đạo hàm tích phân vào số toán học bồi dưởng học sinh giỏi THPT? ??, tơi thu số kết quả, đa số em hiểu chất vấn đề vận dụng linh hoạt kiến thức vào đề thi học sinh giỏi cấp, đạt số giải... u   u 2.1.1.3 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số a) Xét tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K (K khoảng, đoạn nửa khoảng của)  Nếu f’(x) > với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến... với x thuộc K hàm số f(x) nghịch biến K b) Tìm cực trị hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng ( a; b) Nếu hàm số có cực đại cực tiểu xo f’(xo) = Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng