sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản

MỤC LỤC Trang Phần MỞ ĐẦU 1- Mục đích sáng kiến 2- Đóng góp sáng kiến Phần NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở khoa học sáng kiến 1.Cơ sở lý luận sáng kiến 2.Cơ sở thực tiễn sáng kiến Chương 2: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến đề cập đến Chương 3: Những giải pháp mang tính khả thi………………… Phần KẾT LUẬN 1- Những vấn đề quan trọng đề cập 2- Hiệu thiết thực sáng kiến 3- Kiến nghị với cấp quản lý Phần PHỤ LỤC - Tài liệu tham khảo SÁNG TẠO BÀI TỐN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN CƠ BẢN Phần MỞ ĐẦU: Mục đích sang kiến: Trong chương trình Tốn phổ thơng ,Tích phân phần quan trọng môn Giải tích lớp 12 Các tốn tích phân đa dạng phong phú, thường có mặt kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng Đây tập gây cho học sinh khơng khó khăn dẫn đến tâm lý sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 Bộ trưởng Bộ GD&ĐT nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập học sinh” Trong trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả phát toán từ tốn có; cần khơi dậy phát triển tiềm sáng tạo tiềm ẩn học sinh Bài viết xin đưa biện pháp áp dụng dạy chủ đề tự chọn Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 “sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản”, nhằm giúp em học sinh có kiến thức sâu, rộng tích phân; có thêm nhiều tập để rèn luyện kỹ năng, giúp học sinh phát triển tư sáng tạo Đóng góp sáng kiến thực tế giảng dạy trường THPT Yên Phong số 2: - Học sinh lớp 12 trường THPT Yên Phong số hứng thú với làm tốn tích phân tích cực sáng tạo tốn tính tích phân làm phong phú thêm hệ thống tập - Học sinh nắm vững kiến thức Nguyên hàm Tích phân; nâng cao kỹ tìm Ngun hàm tính Tích phân -Giải pháp giúp học sinh lớp 12 làm tốt kiểm tra, thi phần câu hỏi tìm nguyên hàm, tính tích phân Phần NỘI DUNG : Chương I: Cơ sở khoa học sáng kiến Cơ sở lí luận: Có nhiều tập tính tích phân ví dụ SGK giải xong học sinh chưa hiểu lại giải vậy, tốn vận dụng phương pháp giải Khi gặp tốn có số điểm tương tự với toán giải học sinh vận dụng mà không phát nhầm lẫn Nhiều giáo viên đưa nhiều phương pháp giải vấn đề có hiệu như: Phân dạng tập theo phương pháp giải giải nhiều tập cho học sinh ghi nhớ Theo phương pháp học sinh cảm thấy sợ phải ghi nhớ nhiều; chí có học sinh tưởng biết tất phương pháp giải dẫn đến khơng cịn hứng thú giải tốn tích phân Cơ sở thực tiễn: Chương 2: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến đề cập đến 1) Thực trạng việc dạy giáo viên: Có số giáo viên vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo thường dừng lại mức độ nhỏ lẻ khai thác tốn tương tự, tìm giải toán tổng quát 2) Thực trạng việc học học sinh: Đa số học sinh biết giải tập tích phân tương tự với mà giải rồi, bế tắc gặp tốn tích phân Nhiều học sinh khơng có chút suy nghĩ tìm lời giải gặp tốn tích phân Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2011-2012: Lớp Số lượng 12A1 Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Số lượng % Số lượng % 40 13 32,5 27 67,5 12A10 39 23,1 30 76,9 12A11 42 15 35,7 27 64,3 3) Sự cần thiết đề tài: Qua phân tích thực trạng việc học học sinh việc dạy giáo viên, nhận thấy đề tài cần thiết giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu kinh nghiệm phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu dạy tích phân cho học sinh lớp 12 Chương 3: Những giải pháp mang tính khả thi: a) Vấn đề đặt ra: Hiện cách dạy phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh học tập rèn luyện Để phát huy điều đó, cần phải đưa phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú học tập, để đem lại kết học tập tốt hơn, hiệu giảng dạy cao b) Sơ lược trình thực sáng kiến kinh nghiệm: Để hồn thành đề tài, tơi tiến hành bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương lập kế hoạch; Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài c) Các bước sáng tạo tốn tính tích phân từ số tốn tính tích phân bản: Trước tiên ta tốn tích phân hàm số thường gặp mà khơng có bảng ngun hàm hàm số thường gặp sách giáo khoa Giải tích 12: e ln xdx Bài tốn 1: Tính tích phân : I  � Giải: � e u  ln x � du  dx � e e �� dx  ( x ln x  x)  x , ta có : I  ( x ln x)  � Đặt � dv  dx � � vx � b ln u ( x) dx ( với u ( x) hàm số 1.1) Tìm số tích phân dạng � a thường gặp), ví dụ: 1 ln(3 x  1)dx ; a) I  � I � ln( x  3x  2)dx ; 0 1 ln( x  1)dx ; b) I  � I � ln( x  x  1)dx ; I � ln( x  1) dx ;    ln(sin x)  x cot x  dx ; c) I  � d) I  �  ln(cos x)  x tan x  dx ;  x � � x ln(e  1)  x � dx ; e) I  � � e  1� 0� � � ln(ln x)  dx ; g) I  � � ln x � � e� e   x � � ln(tan x )  x tan x  dx ; h) I  � � tan x �  � � I� ln(1  tan x) dx ; ln(1  x )dx ; i) I  � I � ln( x  x  9)dx ; b 1.2) Tìm số tích phân dạng f ( x).ln xdx � I� ln( x  x  1)dx ; (với f ( x) hàm số a thường gặp), ví dụ: e x ln xdx( �1) ; a) I  � e e 1 I � (2 x  1).ln xdx ; I  � (3x  x  5).ln xdx ; e I � (  x).ln xdx ; x e I  ln xdx ; b) � x  e x (ln x  )dx ; c) I  � x sin x � � cos x ln x  dx ; d) I  � � x �  � �   cos x � � sin x ln x  dx ; e) I  � � x �  � � tan x � �ln x  dx ; g) I  � � cos x x �  � �   �ln x cot x �  dx ; h) I  � � sin x x �  � � ln(cos x) � � tan x ln x  dx ; k) I  � � � x  � �  ln(sin x) � � cot x ln x  dx ; l) I  � � � x  � � e ln xdx m) I  � u '( x)ln u ( x)dx ( với u ( x) hàm 1.3) Tìm số tích phân dạng � số thường gặp), ví dụ:  x ln( x  1)dx ; a) I  � cos x ln(sin x)dx ; c) b ) I�   e x ln(e x  1)dx ; d) I  � I� sin x ln(cos x)dx ; 0  ln(ln x) dx ; e) I  � x e ln(tan x) g) I  � dx ; cos x  e  ln(cot x ) h) I  � dx ; sin x  x ln(1  x  1) dx i) I  � b 1.4) Tìm số tích phân dạng f (ln x) dx ( với f ( x) hàm số x � a thường gặp), ví dụ: a) I  ln x � x dx( �1) ; e e   x ln x  dx ); (I  � x ln x e dx ; b) I  � e x ln x e 2ln x  I � dx ; x (ln x  4) I � dx ; x (ln x  4) e e e I  e c) � x 1 3ln x e dx ; dx ; d) I  � x (1  ln x ) e  ln x I � dx ; x e e I  dx ; e) � x  ln x  ln x I � dx ; x e ln(1   ln x ) g) I  � dx ; x ln(ln x   ln x ) I � dx ; x ln x  dx ; h) I  � e x (ln x  1) ln x  I� dx ; e x (ln x  1) e e e2 e2 e2 I� dx e x (ln x  1)  1.5) Tìm tích phân dạng log a xdx , �   log a u ( x)dx , �   f ( x).log � a xdx ,   u '( x)log � a u ( x)dx   f (log a x) dx (với u ( x) , f ( x) hàm số thường gặp), ví dụ: x �  log xdx ; a) I  � 1 I � log ( x  1) dx ; 2 x log xdx( �1) ; b) I  � 1 x log ( x  1)dx ; c) I  � I � log (3 x  1)dx ; I � log ( x  x  2)dx ; I � (3 x  x  5)log xdx ;  I� cos x log (sin x)dx ;    log (tan x) I� 2 dx ; cos x  I� sin x log (cos x)dx ;  6  log (cot x) I� 2 dx ; sin x  I log (ln x) dx x e e � 4log x  I� dx ; 2log x  1) x (2  log x dx ; d) I  � log x  1) x (1  log 32 x  dx � x ( log x   2) I 16 2 Do học sinh không làm quen với cách đặt x  a cos t x  a sin t toán giải phương trình vơ tỉ có chứa biểu thức ax, ax Ta được: a  x nên cịn khó hiểu giải toán sau đây: Bài toán Tính tích phân sau: (Bài tập SGK) a b) I  � dx ( với a  ) 2 a x a) I    x dx ; Giải:  a) Đặt x  sin t , với t �[0; ] , ta có : dx  cos tdt x0 với t  0,   0 x 1 với I  �1  sin t cos tdt  � cos tdt   t   1  (1  cos 2t )dt  (t  sin 2t )  � 20 2  b) Đặt x  a sin t , với t �[0; ] , ta có : dx  a cos tdt với x  t  , với x     a t  Ta được:  I� cos tdt  dt  t  � 0  sin t  Sau giảng giải cho học sinh hiểu cách tường minh toán lại chọn cách đặt mà khơng lựa chọn cách đặt khác Thì ta bắt đầu với toán sau : 2.1) Qua toán ta thấy xuất biểu thức lượng giác sin t cost thay vị trí biến x a  x ; tốn tích phân hàm số vơ tỉ chuyển thành tốn tích phân hàm số lượng giác Chính mà ta nghĩ đến việc thay biểu thức sin t cost tốn tích phân hàm số lượng giác đơn giản biến x a  x để tốn tích phân mới, ví dụ: 1 I  dx ; b) � 1  x2 1 dx ; 1) a) I   1 1 x 2) a) I   x  1 x dx ; b) I  � x  x2 1 dx ; a dx ( a  ); c) I  � 2 x a x 2x a d) I  � dx ( a  ) 2 x a x x dx ; b) I  � x  x2 dx ; 3) a) I  � x  x2 a c) I  � x dx ( a  ) 2 x a x x dx ; 4) a) I  �  x2  1  x2 b) I  � x 2012    2011 1 x  2012 dx ; x 2012  x dx Lập hệ thức I 2012 I 2014 c) Cho I 2012  � 5) Cho I 2012  2 �  x 2012 1 x  2013 6) a) I  �1  x  x dx ; dx Lập hệ thức I 2012 I 2014 b) I  �4 x  3x  1dx ; c) I  �16 x  20 x  x  1dx Lưu ý: Nếu đặt x  a sin t thay vào tốn tích phân có chứa biểu a  x ta chọn giá trị cận tương ứng thức bảng T  x a   2a  a 3a Theo cách ta đưa loạt tập tương tự với toán cho (bài tốn 2) Ta tiếp tục với việc tìm kiếm tốn ẩn chứa (bài tốn 2) sau: 2.2) Vì hàm số f ( x )  a  x hàm số chẵn nên ta nghĩ đến   f ( x) toán  x dx f ( x)dx (với a  0,   f (x) hàm số chẵn đoạn [   a 1  ;  ]) (Chứng minh xem toán 5), chọn số hàm số chẵn đơn giản có chứa biểu thức a  x để tạo tích phân : a2  x2 a) I  � x dx (với a  ) ; a  a  x2 b) I  � x dx ; 2  a e2  x c) I e  � dx ; x e  e a x a2  x2 d) J  � x dx (với a  ) ; e) a 1 a e a x  x J2  � dx ;  2x 1 f) J e   2.3) Kết hợp với toán: f ( x) ln(e  e x e2  x �  e x dx e e  x  1)dx  xf ( x)dx (với   , f (x) hàm số lẻ đoạn [  ;  ])(Chứng minh xem toán 5.7), ta chọn số hàm số lẻ đơn giản có chứa biểu thức a  x , ta tích phân : 10 b d) J  � 3b  a dx ax  bx ; J1  � dx x 1   x ; J1  � dx ; x 3  5 x e) J  � a  x  b  x dx ; ba b J1  � dx ; x 1   x J1  � dx ; x3  5 x  2.8) Hoặc dạng �(a  x)(b  x)dx , ví dụ :    a) I1  � x    x dx ;     b) I  � x    x dx ; c) I  �  x   x dx 2.9) Ta xét thêm tích phân :  �ax   bx  cdx  � b  � �  b � a ��x   x� dx � � 2a �  � � 2a �  (với a  ,   b  4ac  ) cách đặt x x b    t 2a 2a b    b    sin u hay x   sin u , 2a a 2a a 2a ta chọn giá trị cận tương ứng bảng u x   b 2a    2b 4a  2  2b 4a  3  2b 4a  b 2a ví dụ : 14 1 a) I  �2 x  x dx ; b) I  �3  x  x dx ; 1 ( x  1)  x  x dx ; c) I  � 1 dx ; e) I  � 1 x   2x  x2 1 I  dx ; d) �  2x  x 2x dx g) I  � 1 x    2x  x2 2.10) Thay x  ln t vào tích phân 2.9) ta có tích phân: a) 2ln x  ln x I � dx ; x e  2ln x  ln x b) I  � dx ; x e dx c) I  � x  2ln x  ln x e 2.11) Thay x  2t x  3t vào tích phân 2.9) ta có tích phân: a) I  �2 x 1  dx ; x 1 2x x b) I  �3  6.3  5dx 2.12) Từ việc quen thuộc với cách giải tốn tích phân có chứa biểu thức a  x nên ta đưa tốn tích phân có chứa biểu a2  x2 thức giải theo phương pháp đổi biến khác (đặt t  a  x ) để so sánh, ví dụ như: x  x dx ; a) I  � xe b) I  � 1 x dx ; x ln(1   x )dx c) I  � Ta khai thác tốn tích phân có chứa biểu thức nên tìm đến tốn tích phân có chứa biểu thức a  x x2  a2 , x  a để so sánh : Bài tốn 3: Tính tích phân sau: a 2 a) I   x  a dx, (a  0) ; (J  5a �x  a dx,(a  0) ) 2a 15 a b) I   x2  a2 (J  dx, (a  0) ; 5a �x 2a  a2 dx,(a  0) ) 3.1)Tính tích phân: a a) I   x a b) J  dx, (a  0) ; 5a �x 2a  a2 dx,(a  0) a 2 Giải: a)Tính I   x  a dx, (a  0)  dt  (1  tan t )dt , với Cách 1: Đặt x  a tan t với t �[0; ] , ta có : dx  cos t x  t  , với x  a t    Ta được:   1 2 I� (1  tan t ) dt   tan tdt  dt  ln(1  2) � � 0 cos t  tan t Cách 2: x Đặt t  x  x  a ta có dt (1  x2  a2 ) dx  x2  a2  x x2  a2 dx � dt  t dx x  a2 ; với x  � t  a , với x a  t (1  )a Suy I  (1 ) a dt (1 ) a  (ln t ) a �t a b)Tính J  �x 2a  a2 dx,(a  0) t  x x a Đặt � 5a dt  t dx x2  a2 Suy J  (2  ) a (1 ) a ta có dt  (1  x x a )dx  x2  a2  x x a 2 dx ;với x  2a � t  (1  2)a , với x  5a � t  (2  5) a dt �t  ln(1  2) ( 2 ) a  (ln t ) (1 )a  ln 2 1 3.2) Tính tích phân: : 16 a a) I  �x  a dx,(a  0) ; 5a b) J  �x  a dx,(a  0) 2a a 2 Giải: a) Tính I  �x  a dx,(a  0)  dt  (1  tan t )dt , với Cách 1: Đặt x  a tan t với t �[0; ] , ta có : dx  cos t  Ta được: x  t  , với x  a t    1 a2 I  a �1  tan t dt  a � dt  (  ln(1  2)) cos t 0 cos t 2 Cách 2: x � du  dx � u  x2  a2 � � 2 � x a Đặt � Suy � dv  dx � � vx � x2 a a a a a a2 I  (x x  a )  � dx  ( x x  a )  �x  a dx  � dx 0 0 x  a2 x  a2 2 2 2 a a a2 � 2I  ( x x  a )  � dx 0 x  a2 a a 0 � I  ( x x  a )  a ln( x  x  a ) a a x a2 a2 2 Vậy I  ( x  a )  ln( x  x  a )  (  ln(1  2)) 2 b)Tính J  5a �x  a dx,(a  0) 2a x � du  dx � u  x2  a2 � � �� Đặt � x2  a2 dv  dx � � vx � J  (x x  a ) 2 5a 2a  5a �x 2a x2  a2 Suy dx  ( x x  a ) 2 5a 2a  5a �x 2a  a dx  5a �x 2a a2  a2 17 dx � 2J  (x x  a ) 2 � 2J  ( x x2  a2 ) x x  a2 ) Vậy J  ( 5a 2a 5a  5a �x 2a a2  a2 dx 5a  a ln( x  x  a ) 2a 5a a2  ln( x  x  a ) 2a 5a 2a a2 a2   (2  2)  ln 2 1 3.3) Thay giá trị a vào toán 3.1) 3.2) ta số tích phân ví dụ: a) I1  � dx ; x 1 b) I1  �x  1dx ; I2  � dx ; x 4 I2  c) I1  dx ; � x  x 1 J1  �x 5 �x  x 4 2 1 J �x  4dx ; �x I2  dx ;  1dx ; J1  dx ; �x  x 1 2 dx 3.4) Từ toán 3.1), 3.2) 3.3) ta đưa tốn tích phân có chứa biểu thức x  a x  a giải theo phương pháp khác (đặt t  x  a t  x  a ), ví dụ: a) I1  �x x dx ; 1 x x  1dx ; b) I1  � I2  �x I2  x3 4 J1  dx ; x5 �x J x3 x  4dx ; � 1 dx ; x  1dx ; x � ln( x  x  1)dx c) I  � 3.5)Kết hợp toán 3.3) tốn 3.4) ta có tích phân mới: a) I1  �x ;( J1  x 1 x 1 � x  1dx ); b) I  dx ; 1 x3  x2 �x 4 dx ; c) J1  x 1 �x 2 1 dx ( x   x  1) dx ; d) J1  � 18 4 e) I (2 x  1) x  9dx ; x g) I   x b b x2  dx b 3.6)Từ công thức : udv (u.v) a  vdu , ta xem tích phân toán 3.1) a 3.2) biểu thức a b b vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức udv , ta có a a tích phân sau: a x ln( x  x  a )dx,(a  0) ; a) I  � x ln( x  x  1)dx b) I1  � 0 Bài toán : Tính tích phân sau: 1 dx ( Bài tập SGK )  25 x dx (ví dụ SGK ); 1 x b) I   a) I   Giải:  dt  (1  tan t )dt , với x  a)Đặt x  tan t ,với t �[0; ] , ta có : dx  cos t t  , với x  t    Ta được:     I� (1  tan t ) dt  dt  t �  tan t   b) Đặt x  tan t ,với t �[ ; ] , ta có : dx  dt  (1  tan t )dt , với cos t   t  , với x  t  Ta được: 5 x    6 4  I� (1  tan t ) dt  dt  t  � 15  180 15    tan t 4.1) Đặt x vào vị trí tan t tốn tích phân hàm số lượng giác đơn giản ta có tích phân sau: 19 1 1 x a) I   dx ; 1 x  x  x2 I  dx ; b)  1 x2 x4 I  dx ; c) � 1 x  x2 d) I  � dx ; x xn e) Cho I n  � dx (với n ��* ) Lập hệ thức I n I n  1 x 4.2) Thay x  ln t vào tích phân ta có: dx ; a) I  � x (1  ln x ) ln x dx b) I  � x (1  ln x ) e e b b b 4.3) Từ công thức : udv (u.v) a  vdu , ta xem tích phân tốn 4) a a b biểu thức b vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức a udv , ta có tích a phân : b) I  ln(1  x )dx ; a) I  � x ln x dx 2 ) �(1  x 2 4.4) Qua hai ví dụ tốn 4) khiến ta khơng thể khơng xét tốn qt: I  �2 dx , (với a  ) a  x a Giải: a  dt  a(1  tan t )dt , Đặt x  a tan t , với t �[0; ] , ta có: dx  cos t với x0  t  0, với xa t  Ta được:     I� (1  tan t ) dt  dt  t �  tan t 4.5) Và toán tổng quát: 20  dx 1 dx  � � 2 a� b �  ax  bx  c �  � �x  � � � � a � � 4a � (với a �0 ,   b  4ac  ) cách đặt x  b   tan t , ta 2a 4a chọn giá trị cận tương ứng bảng t  x  b 2a   b  12a 2a   b  4a 2a 3 b  4a 2a ví dụ : x3 I  dx ; c) b) � 1 x  x  dx ; a) I   x  x  x  3x  I  �2 dx ; 1 x  x  1 4x  dx d) I   ( x  )( x  ) Bài toán 5: Cho f (x) hàm số chẵn đoạn [  ;  ] Chứng minh :   f ( x) dx  f ( x) dx (với a  0,   ) x    a 1 Hướng dẫn:    f ( x) a x f ( x) dx  dx  f ( x)dx  Đặt t  x  dt  dx , ta có:  x x  a  a         f ( x) f ( x)  2 x dx  f ( x )dx   x dx 2 f ( x )dx    a 1    a 1   f ( x) dx x 1  a   f ( x) dx  f ( x)dx x  a   5.1) Thay f (x) số hàm số cụ thể chọn a e ta có tích phân sau: x x x 1 e e dx ; b) J   x dx ; x 1 e 1  e 1 a) I   a2  x2 đ) N  � x dx ( a  ); e 1 a a  cos x dx ; e x 1 c) K     d) H   x sin x dx ; x 1 �  e   x2 N1  � x dx ; 1 e  1 21 x2  P1  � x dx ; 1 e  x2  a2 e) P  � x dx ( a  0,   ); e 1   f)  ( x  1) cos x M  dx ; e x 1   g) J  ln( x  x  1) J1  � dx ; x e  1 ln( x  x  a ) dx ( a  0,   ); � x e     �  � sin x � ln(  x)  ln(  x) � � �dx ; h) Q  � x e 1    ln( x  1) J  dx i) � x e 1 1 b b b 5.2) Từ công thức : udv (u.v) a  vdu , ta xem tích phân 5.1) a a b b biểu thức vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức a udv , ta có tích a phân :  e x sin x K  b)  (e x  1) dx ; x ( x  x )e dx ; a) I   x  (e  1) e x ln( x  x  a ) dx ( a  0,   ); c) J  � x (e  1)    e x ln( x  x  1) J1  � dx ; (e x  1) 1 a e x ( a  x )3 dx ; d) N  � x x ( e  1) a  e x (4  x )3 N2  � x dx ; x(e  1)2 1 e 5.3) Thay f (x) số hàm số cụ thể chọn a  ta có tích phân sau: 22  x ( x  1)e dx ; a) I   x e 1 1 x e cos x K  x dx ; c) H   e 1 b)   e x ( x  1)cos x dx ; � x e    2  a e x x sin x ex a2  x2 dx ; e) N  � x dx , (với a  ); � x e   e 1 a  đ) M  ex  x2 N1  � x dx ; e 1 1 ex x2  a2 f) P  � x dx ,(với a  0,   ); e 1  ex x2  P1  � x dx e 1 1  5.4) Thay f (x) số hàm số cụ thể chọn a  ta có tích phân sau: a) I   ( x cos x  sin x ) x dx ; � x    ln(1  x ) dx b) I  � x 1 1 5.5) Từ toán 5.1) 5.3) ta rút toán sau: Cho f (x) hàm số chẵn đoạn [  ;  ].Chứng minh rằng:    a x f ( x) f ( x) dx  dx  f ( x)dx (với a  0,   )(hoặc: �x �x �  a   a  b b ax 1 �x f ( x)dx  )  a   b 5.6) Từ công thức : udv (u.v) a  vdu , ta xem tích phân 5.3) a a b b biểu thức vdu để hướng đến tích phân cần tìm biểu thức udv , ta có tích a a phân sau:  x b) K  sin x ln(e  1)dx ; c) a) I  ( x  x) ln(e x  1)dx ; 1   I  ln( x  x  1) ln(e x  1)dx ; d) I  x  x ln(e x  1)dx 1 1 5.7)Từ tích phân 5.6) ta có tốn tổng qt : Cho f (x) hàm số lẻ đoạn [  ;  ] Chứng minh :   x f ( x) ln(e  1)dx xf ( x)dx (với   )  23 5.8)Từ tốn 5.7) thay e x t , ta có toán sau: f (x) Cho e hàm số lẻ đoạn [ 1;1 ].Chứng minh rằng: f (ln x) ln(x  1) e dx  xf ( x )dx x  5.9) Thay f ( x)  x , f ( x) ln( x  x  1) vào tốn 5.8) ta có tích phân sau: e a) I  ln x ln( x  1) e e dx x ; b) I  ln(ln x  ln x  1) ln( x  1) e dx x 5.10) Từ toán 5.7) thay x cos t , ta có tốn sau: Cho f (x) hàm số lẻ đoạn [ 1;1 ].Chứng minh rằng:  sin xf (cos x) ln(e cos x  1)dx xf ( x)dx 5.11) Thay f ( x)  x vào tốn 5.10) ta có tích phân sau:   cos x a) I  sin x ln(e  1)dx ; cos x b) I  [ x  ln(e  1)] sin xdx 0 5.12) Từ toán 5.7) thay x sin t , ta có tốn sau: Cho f (x) hàm số lẻ đoạn [ 1;1 ] Chứng minh :  sin x cos xf (sin x) ln(e  1)dx xf ( x)dx    sin x 5.13)Thay f ( x)  x vào toán 5.12) ta có tích phân: I  sin x ln(e  1)dx   1 f ( x) e x f ( x) I  dx J  dx ( với f (x) hàm số 5.14)Từ tích phân �x � x e  1 e  1 chẵn đoạn [ 1;1 ]) toán 5.1) 5.3); thay t  e x ta có tích e f (ln x) f (ln x) dx J  � dx , ví dụ : phân I  � x 1 x ( x  1) e e e 24 e ln x J  � dx ; x 1 e ln x I  dx ; � a) x ( x  1) e e  ln x b) I  �x( x  1) dx ; 1  ln x J � dx ; x 1 e e e e e  ln x I  �x( x  1) dx ; c) e  ln x J � dx ; x 1 1 e e ln(ln x   ln x ) dx ; d) I  � x( x  1) ln(ln x   ln x ) J � dx x 1 e e e e Chương 4: Kiểm chứng giải pháp triển khai sáng kiến: Qua thực sáng kiến kinh nghiệm, tơi nhận thấy em có nhiều tiến qua tiết học, lớp dạy thử nghiệm 12A1 Đối tượng học sinh 12A (2008-2009) có trình độ ngang (đối chứng) với 12A (thực nghiệm) Còn lớp thực nghiệm, đa số em giải toán đạt xác cao Với biện pháp áp dụng, sau thực nghiệm đối chứng đề tài lớp, thu kết sau: Lớp 12A Số lượng 50 Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu Số Số lượng 17 % 34 Đạt yêu cầu Lớp Số lượng Số lượng % lượng 33 % 66 Không đạt yêu cầu Số lượng % Ghi Đối chứng Ghi 25 12A 50 29 58 21 42 Thực nghiệm Với kết trên, thấy học sinh có tiến qua kiểm tra Nhiều em giải tốn tích phân đạt kết xác cao Tạo điều kiện cho tiếp tục áp dụng kết đạt cho năm học sau Phần KẾT LUẬN: Để đạt mục đích đề sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức tích phân, có nhiều tập cho em rèn luyện kỷ phát triển tư sáng tạo cho học sinh lớp 12A trường THPT n Phong số 2, Tơi nghiên cứu tìm hiểu thêm lớp khác, tài liệu chuyên môn khác, sử dụng hình thức so sánh đối chiếu giảng dạy Những vấn đề quan trọng đề cập đến sáng kiến: Qua thử nghiệm nêu trên, thấy kết thu cao dạy đối chứng Điều chứng tỏ để học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo hiệu học tập ; người giáo viên cần sử dụng linh hoạt nhuần nhuyễn biện pháp giảng dạy, phát huy tính sáng tạo giảng dạy; song song cần tích cực nghiên cứu sách trau dồi lực chuyên mơn Khi nghiên cứu đề tài “Sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản”, tơi nhận thấy thân trở thành người sáng tạo, kiến thức mở rộng thêm Bên cạnh mặt đạt hạn chế, số học sinh yếu không nắm nguyên hàm hàm số thường gặp nên chưa tiếp cận cách khai thác tốn tích phân mà tơi đưa Tơi cố gắng tìm biện pháp để nâng cao hiệu năm tới Mong đồng nghiệp bạn giáo viên tổ, trường hỗ trợ nhiều cho phương pháp dạy học “Sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản” 26 Trong viết đề tài này, thân khơng tránh khỏi sai sót, mong Sở Giáo dục anh chị đồng nghiệp góp ý chân thành để rút kinh nghiệm cho năm sau viết tốt Hướng phổ biến áp dụng đề tài: Đề tài thực có hiệu lớp 12A ; phổ biến khối 12 trường THPT Yên Phong số 2, lớp khối 12 trung học phổ thông Khai thác thêm tốn tích phân cần phải sử dụng kết hợp hai phương pháp( phương pháp đổi biên phương pháp phần) để giải Bổ sung vào đề tài thực nghiệm thêm nhiều lớp khối 12 trường THPT Yên Phong số Kiến nghị với cấp quản lý Yên Phong, ngày 30 tháng 11 năm 2013 Người viết Ngô Bá Giang 27 Tài liệu tham khảo 1.Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên) tác giả: Hướng dẫn thực chương trình, sách giáo khoa lớp 12- NXBGD,2008 2.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Vũ Tuấn (chủ biên) tác giả: Giải tích 12 – NXBGD,2008 Bộ Giáo dục Đào tạo :Đề thi tuyển sinh – Mơn Tốn - NXBGD,1996 Trần Văn Hạo (Chủ biên) tác giả: Chuyên đề luyện thi vào đại học Giải tích – đại số tổ hợp-NXBGD,2002 Bộ Giáo dục Đào tạo :Tạp chí Tốn học& Tuổi trẻ-NXBGD Nhận xét , đánh giá xếp loại Hội đồng khoa học trường THPT Yên Phong số 2: 28 ...SÁNG TẠO BÀI TỐN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN CƠ BẢN Phần MỞ ĐẦU: Mục đích sang kiến: Trong chương trình Tốn phổ thơng ,Tích phân phần quan trọng mơn Giải tích lớp 12 Các tốn tích. .. bước sáng tạo tốn tính tích phân từ số tốn tính tích phân bản: Trước tiên ta tốn tích phân hàm số thường gặp mà khơng có bảng nguyên hàm hàm số thường gặp sách giáo khoa Giải tích 12: e ln xdx Bài. .. dụng dạy chủ đề tự chọn Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 ? ?sáng tạo tốn tích phân từ số tốn tích phân bản? ??, nhằm giúp em học sinh có kiến thức sâu, rộng tích phân; có thêm nhiều tập để rèn luyện