tiểu luận hình học ở bậc trung học và thực hành giải toán

Gọi E,F theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng PN vàBC, QM BC.Chứngminhrằng làtrungđiểmcủavà I EF.... Cho sáu điểmA,B,C,D,E,Fcùng nằm trên một đường tròn sao cho các cặp đường thẳn

2.1.1 Góc giữa hai tia 14

2.1.2 Góc giữa hai vectơ 14

2.1.3 Góc giữ hai đường thẳng 14

4.1.2 Trục đẳng phương của hai đường tròn 33

4.1.3 Hai đường tròn trực giao 34

Nếutrong3đườngthẳngAM,BN,CPcóítnhấthaiđườngcắtnhau.Khôngmấttínhtổngquát, giả sử BN,CP cắt nhau Lấy M0∈ BC sao cho AM0,BN,CP đồng quy Theo kết quả chiều

Cho tam giác ABCcó AC >AB Phân giác gócAvà trung trực củaBCcắt nhau tại D GọiH,K lầnlượtlàhìnhchiếucủaD lênAC,AB.Gọi làtrungđiểmcủaI BC.Chứngminh

Cho tam giác ABCcó I là trung điểm củaBC QuaI kẻ d1lần lượt cắt AC,AB tạiM,N, kẻ d2lần lượt cắt AC,AB tại P,Q Gọi E,F theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng PN vàBC, QM BC.Chứngminhrằng làtrungđiểmcủavà I EF.

Cho tam giácABC Dựng về phía ngoài tam giác này các hình vuôngABEF,ACGH Vẽ đườngthẳng điquad AvàvuônggócvớiBC.Chứngminhrằngd,BG,CEđồngquy.

IMIC= 1.SuyraIMIC= −1 hayI làtrungđiểmcủaMC.ÁpdụngđịnhlýMenelaus chotamgiácOCMtacó:

Cho tam giác ABC Trên BC,CA,AB lần lượt lấy các điểmD,E,Fsao choAD,BE,CF đồng quy GọiI,J,K,M,N,Plần lượt là trung điểm củaAD,BE,CF,BC,CA,AB Chứng minhrằngMI,NJ,P Kđồngquy.

Chứngminh Theotínhchấtcủađườngtrungbình,tacócácbộbađiểmthẳnghànglàP IN,NKM,M JP ÁpdụngđịnhlýCevachotamgiácMNPvớichúýAD,BE,CF đồngquy,tacó:

Cho tam giác ABCvà điểm O bất kì nằm trong tam giác Đường thẳng quaOsong song với BClần lượt cắtAB,AC tại C2,B1 Đường thẳng quaOsong song vớiCAlần lượt cắt BC,ABtạiA2,C1.ĐườngthẳngquaO songsongvớiABlầnlượtcắtAC,BC tạiB2,A1.Vẽ các hính bình hànhOA A13A2,OB1 3 2B B,OC1C C3 2 Chứng minh rằngAA3,BB ,CC33đồng quy.

ChotamgiácABC.Đườngtròntâm nộitiếptamgiácI ABClầnlượttiếpxúcvớiBC,CA,AB theo thứ tự tại D,E,F Vẽ các điểmD0,E0, F0là điểm đối xứng của D,E,F qua I Chứng minhrằngcácđườngthẳngAD0,BE0, CF0đồngquy.

Cho sáu điểmA,B,C,D,E,Fcùng nằm trên một đường tròn sao cho các cặp đường thẳng ADvà BE, BCvàEF, CDvàFA cắt nhau theo thứ tự tạiK,M,M Chứng minh rằng

Chứngminh GọiP làgiaođiểmcủaCD,AB, QlàgiaođiểmcủaBC,DE.Tacótheotínhchất củatýsốkép:A DB( |FC) = E(DB|FC).Suyra(DP|NC) = (QB MC| ).VậyDQ,PB,MNđồng quynênK,M,Nthẳnghàng.

CholụcgiácABCDEFngoạitiếpđườngtròn.ChứngminhrằngAD,BE,CFđồngquy (ĐịnhlýBrianchon)

Chứngminh GiảsửABCDEFngoạitiếp( )O GọitiếpđiểmcủaAB,BC,CD,DE,EF,FA với (O) lần lượt làM,N,P,Q,R,S Gọi I,J,Klần lượt là giao điểm các cặp đường thẳngSM và PQ, MNvàQR, NP RS.ÁpdụngđịnhlýPascalcholụcgiácMNPQRS tacóvà I,J,Kthẳng hàng.DễthấyI,J,KlàcựccủacácđườngthẳngAD,BE,CFđốivới(O) nênAD,BE,CFđồng quy.

Địnhnghĩa2.1 ChohaitiaOx,Oy.GócđịnhhướngtừOxđếnOy,kíhiệulà(Ox,Oy)làgóc tạothànhkhiquayOxđếnvịtrícủaOytâmquay O

16 CHƯƠNG2 GÓCĐỊNHHƯỚNG Địnhlý2.9 • Gócởtâm(OA,OB)(mod2 )π

• Gócnộitiếp(CA,CB) ≡1 2(OA,OB) (modπ)

• ∆ làtiếptuyếntạiA của(ABC ⇔) (∆,AB) ≡ (CA,CB (mod )) π • A,B,C,D cùngthuộcmộtđườngtròn⇔ (AB,AC) ≡ (DB,DC) (mod )π • ChohaiđiểmA,Bcốđịnh.QuỹtíchcủađiểmC thỏamãn(CA,CB) ≡ α (modπ)là

Cho tam giácABCcó đường caoAH Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H lênAB,AC GọiP,R lầnlượtlàhìnhchiếucủaM,N lênAC,AB.ChứngminhrằngPRsongsongvớiBC.

Cho tam giácABCcó đường caoAH Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H lênAB,AC Vẽ M P,NR lần lượt song song vớiAC,AB (P,Rnằm trênBC) Chứng minh bốn điểm M,N,P,R cùngthuộcmộtđườngtròn

Chứngminh Do MP //AC, N R//AB và tứ giácAMHNnội tiếp(AH) nên (M N, MP) ≡ (MN,AC) ≡ MN,NA) ≡ (HM,HA Lạicó: HM,HA) ≡ AB,BC) ≡ (RN,BC) ≡ RN, RP( ) ( ( ( ) vìHM⊥AB,HA⊥BCSuyra:(MN, MP) ≡ RN, RP)( haybốnđiểmM,N,P,Rcùngthuộcmột

Chứngminh Gọi G,H,K lần lượt là điểm đối xứng củaP qua BC,CA,AB Suy ra:(C1) ≡ (BGC , C) ( 2) ≡ (AHC), C( 3) ≡ AKB) Gọi là giao điểm thứ hai của( I (C1) và (C2) Ta chứng minhI ∈ (C3).Thậtvậy:

(IA,IB) ≡ IA,IC) + (IC,IB( ) ≡ (HA,HC) + (GC,GB) Sửdụngtínhchấtđốixứngtacó:

(HA,HC) ≡− PA, PC), GC,GB) ≡− PC, PB), KA,KB) ≡− PA, PB( ( ( ( ( ) Khi đó:(IA,IB) ≡−(PA, PC) − (PC, PB) ≡−(PA, PB) ≡ (KA,KB) VậyI ∈ (C3)nên ba đườngtròn(C1), C( 2), C( 3)cómộtđiểmchunglà I

Chứngminh GọiM,N,P,Q,E,F lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnhAB,BC,CD,DA,AC,BD Ta chứng minh bốn đường tròn(M NE), (NPF PQE), ( ), (MQF)có một điểm chung Gọi làI giaođiểmthứhaicủa(MN E) và(PQE TachứngminhI ∈ (NPF) vàI ∈ () MQF Chúýtính)

Cho tứ giác nội tiếpABCD Dựng bốn đường tròn bất kì lần lượt đi quaAB,BC,CD.DA Các cặp đường tròn lần lượt quaA,B,C,Dcắt nhau tại điểm thứ haiA0,B ,C ,D000 Chứng

Chobađườngtròncốđịnh(DAB , (DAC , DBC) vàđiểmM thayđổitrên) ) ( (DBC).VẽMB cắt(DAB) tạiđiểmthứhaiNvàMCcắt(DAC)tạiđiểmthứhaiP ChứngminhrằngNP

ChotamgiácABCvàbađiểmD,E,FlầnlượtthuộcbacạnhBC,CA,AB a)Chứngminhrằngbađườngtròn(AEF , BFD) và(CDE) cómộtđiểmchung ) ( M b)TìmquỹtíchcủaM khiD,E,Fthẳnghàng.

Cho điểmM nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC GọiA0,B ,C00lần lượt là các điểm đối xứng củaM qua ba cạnhBC,CA,AB Gọi Hlà trực tâm tam giácABC Chứng

Địnhnghĩa3.2 A,B,C,D làhàngđiểmđiềuhòanếu(AB CD| ) = 1−

Địnhlý3.3 • Nếu(AB CD| ) = −1 thì(BA CD| ) = (AB DC| ) = (CD AB| ) = −1 • (AB|CD) = −1 ⇔ IA2=IB2= IC.IDvớiI làtrungđiểmAB(HệthứcNewton).

Địnhnghĩa3.4 Chochùmbốnđườngthẳnga,b,c,d.Mộtđườngthẳng bấtkìsongsongvới∆ a vàcắtb,c,d tạiB,C,D.NếuB làtrungđiểmCDthìtanóia,b,c,dlậpthànhchùmđiềuhòa.Kí

3.2 BÀITẬP 27

Chohaiđườngthẳngd vàd0cắtnhautạiA.Trênd lấybađiểmB,C,Dvàtrênd0lấybađiểm B0,C ,D00saocho(AB CD| ) = (AB0|C0D0) = − Chứngminhrằng1 BB0,CC ,DD00đồngquy.

Chứngminh GọiI làgiaođiểmcủaBB0,CC0 D00 làgiaođiểmcủaIDvàd0.Khiđó:(AB CD| ) = −1 ⇒ I(AB CD) = −1 ⇒ I(AB| 0|C0D00) = −1 Suy ra: AB( 0|C0D00) = −1 hay D0≡ D00 Vậy

Cho hình vuông và một đường tròn nội tiếp trong hình vuông đó Một tiếp tuyến bất kì của đường tròn cắt các cặp cạnh đối của hình vuông tại A,B và C,D Chứng minh rằng (AB CD| ) = − 1

Chứngminh DễthấyOC,OD làphângiáchaigócbùnhaulà(OI,OH), OH,OJ) nên( OC OD⊥ ChứngminhtươngtựtacóOA OB⊥ Tachứngminh:OClàphângiáctronggóc(OA,OB).Tức làchứngminh(OA,OC) = (OC,OB) hay(OA,OI) = (OH,OB) (vì(OI,OC) = (OC,OH)).Do OA⊥OB,OI⊥OW nên (OA,OI) = (OB,OW) Mà dễ thấy (OB, OW) = (OH,OB) Như vậy

Chứngminh ĐườngkínhEFvuônggócvớiBCnênE,FlàcácđiểmchínhgiữacungBC.Suy ra:A(EF|BC) = −1 hay(EF|GH) = −1.Khiđó:OG.OH= OE2khôngđổi.

ChotamgiácABC.QuađiểmM trênBCkẻđườngthẳngsongsongvớiACcắtABtại ,P kẻđườngthẳngsongsongvớiABcắtACtạiQ.GọiRlàgiaođiểmcủaBCvàPQ.Chứng

Chứngminh GọiI làgiaođiểmcủaAM, PQ.DoAPMQlàhìnhbìnhhànhnênI làtrungđiểm củaAM, PQ.GọiNlàđiểmđốixứngvớiC quaR.KhiđóAN //IR.DễthấyAMđiquatrung điểmPQ nênA(M N BC| ) = −1 hay(MN BC| ) = −1 VậyRM2=RB.RC.

ChođườngtròntâmOcốđịnh.ChohaiđiểmB,Ccốđịnh,điểmAdiđộngtrên(O).Đường kính DEvuông góc với BCcắt ABvàAClần lượt tại MvàN Lấy hai điểmP,Qsao cho (AB|MP) = (AC NQ| ) = −1.Chứngminhrằng:

a)PQ điquamộtđiểmcốđịnh b)PA.QC PB.QA+ = 0.

Chứngminh a)Gọi làgiaođiểmcủaI MNvàBC I làtrungđiểmBCnênIcốđịnh.Theotính chấtcủabàitập2.1:(AB|MP) = (AC NQ| ) = −1 nênBC, MN, PQ đồngquytạiIcốđịnh.

Cho hình bình hànhABCD Gọi là đường thẳng thay đổi quad A và cắtBD,BC,CDlần lượttạiE,F,G.Chứngminhrằng: 1

Chứngminh GọiI làgiaođiểmcủaAC,BD.DoABCDlàhìnhbìnhhànhnên làtrungđiểmI của AC,BD Gọi K là điểm đối xứng củaA qua E Khi đóCK //BD Do CAđi qua trung điểm của BDnên C(KA BD| ) = −1 hay (AK|FG) = −1 Khi đó: 2

xOy.Vèhaiđườngthẳngdidộngqua nhưngluônđốixứngquaA OA,mộtđườngcắtOx tạiM,đườngcònlạicắtOy N.Chứngminhrằngtại MNluônđiquamộtđiểmcốđịnh.

Chứngminh Gọi I là giao điểm của OAvà MN Đường thẳng vuông góc với OAtạiAcắt MNtại J Ta chứng minh cố định Thật vậy:J A(JI MN| ) = −1 hay (JI M N| ) = −1 Suy ra O(JI M N| ) = −1.DođóOJcốđịnhdoOI,OM,ON cốđịnh.MàAJcốđịnhvìlàđườngthẳng quaA cốđịnhvuônggócvớiOAcốđịnh.Vậy cốđịnh.J

32 CHƯƠNG3 ĐIỀUHÒA

ChođườngtrònđườngkínhCDtâmO.TrênCDlấyA1,A2saocho(A A CD12| ) = −1.Qua A1A2lần lượt vẽ các đường thẳng D1,D2vuông góc với CD Một tiếp tuyến thay đổi của đườngtròncắtD1,D2lầnlượttạiM1,M2.ChứngminhrằngOM1

Chứngminh Xét các giao điểm như hình vẽ Dễ thấyOE,OFlà phân giác hai góc bù nhau là (OC,OI , (OI,OD) nênchúngvuôngvớinhau.Do) (A1A CD2| ) = −1 nên(M M12|EF) = −1.Suy raOElàphângiácgóc(OM1,OM2).Khiđó:OM1

OM2=EM1 EM2=CA1

CA2 khôngđổi.

• Nếu(O)⊥(O0) thìPO/(O0)= R2, PO0/(O)= R02

• Cho (O) (, O0) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Đường kính MNcủa (O) cắt(O0)tại P,Q.Khiđó:(O)⊥(O0) ⇔ (MN |PQ) = 1−

ChotamgiácABC.ĐườngthẳngvuônggócvớiABtạiB cắtAC Dtại Đườngthẳngvuông góc với ACtại C cắt ABtại E Xác định trục đẳng phương của hai đường tròn (ABD) và (ACE).

Chứngminh GọiH làgiaođiểmcủaBDvàEC.DotứgiácBCDEnộitiếp(DE) nênHB.HD= HC.HE.HayPH/ ABD()= PH/ ACE().SuyraAHlàtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtròn(ABD)

Chứngminh GọiM,N lầnlượtlàtrungđiểmcủaBC,AH (ME,NE) ≡ (ME,BE) + (BE,N E)

Chứngminh Vẽ hai đường caoBP,CQcủa tam giácABCcắt nhau tại Tứ giácH BQPCnội tiếp(BC) nênHB.HP= HC.HQ.HayPH/ BE()= PH/ CD().TachứngminhPA/ BE()= PA/ CD() hay AD.AQ= AE.AP Thật vậy:Tứ giácBQPCnội tiếp(BC) nên AB.AQ= AP.AC Suy ra

AD Vậy trục đẳng phương của hai đườngtròn(BE) và(CD) làđườngcaoAHcủatamgiácABC.

ChotứgiácABCD.GọiOlàgiaođiểmcủaACvàBD.GọiI,Jlầnlượtlàtrungđiểmcủa AB,CD GọiH,Klần lượt là trực tâm của tam giác OADvà tam giácOBC Chứng minh

Chứngminh Kíhiệu( ) (I , J) làđườngtrònđườngkínhAB,CD.TứgiácADMQnộitiếp(AD) nênHD.HQ= HA.HM.SuyraPH/(I)= PH/(J).HoàntoàntươngtựPK/(I)= PK/(J).Dođó HKlàtrụcđẳngphươngcủahaiđườngtròn(I), (J) nênHK IJ⊥

4.2 BÀITẬP 37

ChobađiểmA,B,C cốđịnhsaochoBnằmgiữaA vàC.Gọi(O)làmộtđườngtrònđiqua haiđầumútA vàB.GọiE làđiểmchínhgiữacunglớnAB.KẻđườngkínhEFcắtdâyAB tạiD.TiaCEcắt(O)tạiI.ChứngminhrằngFIluônđiquađiểmcốđịnhkhiđườngtròn

Chứngminh Gọi T là giao điểm của FI và AB Tứ giácEDTInội tiếp(ET) nên CI.CE= CD.CT Tứ giác ABIE nội tiếp (O) nên CI.CE = CA.CB Suy ra CD.CT = CA.CB Do A,B,C,D cốđịnhnênT cốđịnh.VậyFIluônđiquađiểmT cốđịnh.

Chođườngtròn(O)vàhaiđiểmA,Bcốđịnhnằmngoàiđườngtròn.Mộtđườngthẳngquay quanhA,cắt(O) tạiM vàN.Chứngminhrằng tâmđườngtrònngoạitiếptamgiácBM N

38 CHƯƠNG4 PHƯƠNGTÍCH Chứngminh Lấy C thuộc AB sao cho AB.AC = PA/(O) Khi đóC là điểm cố định Ta có

AM.AN= AB.ACnênbónđiểmB,C,M,N cùngthuộcmộtđườngtròn.Suyratâmcủa(BMN) luônthuộcđườngcốđịnhlàđườngtrungtrụccủaBC.

TừđiểmP nằmngoài(O) vẽcáctiếptuyếnPA vàPB.GọiM làtrungđiểmcủaAPvàN làgiaođiểmcủaBMvà( )O (N khôngtrùng ).ChứngminhrằngB PN = 2M N

Chứngminh TừtínhchấtcủaphươngtíchtacóMA2= MB.MNsuyraMP2= MB.MN.Khi đó hai tam giác PMN và BM P đồng dạng nhau nênPN

ChobađiểmcốđịnhA,B,Cthẳnghàngtheothứtựđó.Gọi(O)làđườngtròndiđộngluôn điquaB vàC.VẽhaitiếptuyếnAMvàANvớiđườngtròn(O).GọiH vàI lânlượtlàtrung điểm của MN và BC Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giácOHIluôn đi qua

4.2 BÀITẬP 39 Chứngminh Gọi J là giao điểm của AC và MN Tứ giác OIJH nội tiếp OJ nên AI.AJ =

AH.AO Mà AH.AO=AM2=AB.AC Nên AI.AJ=AB.AC Do A,B,C,I cố định nên J cố cắtnhautạiX vàY Gọi làmột điểmbấtkìthuộcP XY.VẽCPcắtđườngtrònđườngkính ACtại M, BP cắt đường tròn đường kính BDtại N Chứng minh rằng AM,DN và XY đồngquy.

Chứngminh GọiI làgiaođiểmcủaAM,DN, HlàgiaođiểmcủaPI, AD.DoXYlàtrụcđẳng phươngcủahaiđườngtròn(AC), BD) nênPB.PN( =PC.PM.SuyratứgiácBNM Cnộitiếp DễthấytứgiácPNIM nộitiếp( )PI Khiđó:(BC,CM ) ≡ PN,MN) ≡ PI, IM)( ( nêntứgiác HIM Cnộitiếp.SuyraPI⊥BCdođóI ∈ XY.VậyAM,DN,XY đồngquy.

Cho tam giácABCcó trực tâm H GọiM và N lần lượt là chân hai đường cao kẻ từ B và C.LấyđiểmWbấtkỳtrêncạnhBC.VẽđườngkínhWXcủađườngtrònngoạitiếpcủatam giácBN WvàđườngkínhWY củađườngtrònngoạitiếpcủatamgiácCMW.GọiZlàgiao điểmcủađườngtrònngoạitiếptamgiácBN WvàđườngtrònngoạitiếptamgiácCMW(với Z 6≡W )

a)ChứngminhrằngA,Z,Wthẳnghàng b)ChứngminhrằngX,Y,Zthẳnghàng.

Chứngminh a) Ta cóZWlà trục đẳng phương của hai đường tròn(BNW , CMW) ( ) Tứ giác BN MCnội tiếp (BC) nên AN.AB=AM AC Hay PA/(BN W ) = PA/(CMW ) Suy ra A,Z,W thẳnghàng.

b)TacóXZ⊥ZWvàZY⊥ZWnênX,Y,Z thẳnghàng.

Cho M là một điểm trên đường tròn tâmOđường kínhAB Vẽ MH vuông góc vớiAB Đường tròn đường kính MH lần lượt cắt M A,MB và (O) tại P,Q,N Chứng minh rằng

Chứngminh GọiI làgiaođiểmcủaPQ,AB.TachứngminhI,M,Nthẳnghàng.DễthấyMN là trục đẳng phương của hai đường tròn(MH), AB( ) Ta cóMP.MA = M H2= M Q.MBnên tứgiácAPQBnộitiếp.SuyraIA.IB= IP.IQ.HayPI/ AB()= PI/ MH().SuyraI,M,Nthằng hàngnênMN,P Q,ABđồngquy.

Địnhnghĩa5.2 Cho(O,R).ChoM 6≡O.TìmquỹtíchN saochoM( )O ↔ N.

Chứngminh Kẻ NH⊥MO,H ∈M O Ta chứng minhHlà điểm cố định Ta có:M( )O ↔ N ⇔ (MN )⊥(O) ⇔ PQ|MH) = −1 ⇔ OH.OM= OP( 2= R2 Vậy quỹ tích củaNlà đường thẳng

vuông góc với OMtại H với H thỏa đẳng thứcOH.OM= R2, gọi là đường đối cực củaMđối

NếuđiểmM nằmtrong(O) tadựngđiểmH thỏamãnOH.OM= R2.Khiđóđườngđốicực củaM làđườngthẳngquaHvuônggócvớiOH.

Dùngcáttuyến Địnhlý5.6

Cho tứ giácABCDnội tiếp( )O GọiM, N,Plần lượt là giao điểm củaABvà CD, ACvà BD, ADvàBC.Khiđó,bađiểmM,N,P đôimộtliênhợpnhauqua( )O.

Suyra(ME CD| ) = − DođóP (ME CD1 | ) = −1 hay(MF|BA) = − TừđótacóEF= ∆1 M nênP liênhợpvớiM, NliênhợpvớiM qua( )O.Chứngminhtươngtựchocặpđiểmcònlại.

Chođườngtròntâm ChotamgiácO ABCthỏamãnđườngđốicựccủamỗiđỉnhmỗiđỉnh tamgiácđốivới(O)chínhlàcạnhđốidiện.ChứngminhrằngOlàtrựctâmtamgiácABC.

Chứngminh Xétđườngtròn( )O : BC= ∆A.SuyraOA BC⊥ Hoàntoàntươngtự:OB⊥AC,OC⊥AB VậyO làtrựctâmtamgiácABC.

Chứng minh rằng hai điểm M và N liên hợp với nhau đối với đối với(O)khi và chỉ khi MN2= PM/(O)+ PN/(O).

TừđiểmMnằmngoàiđườngtròn(O)kẻcáccáttuyếnthayđổiMCD,MEF đến(O).GọiI làgiaođiểmcủaCFvàDE.Cáctiếptuyếncủa(O) tạiC,Dcátnhautại CáctiếptuyếnA của(O) tạiE,F cátnhautại B

a)Chứngminhrằng thuộcmộtđườngthẳngcốđịnh.I b)ChứngminhrằngA,B,Ithẳnghàng.

Cho tam giácABCnội tiếp ( )O Gọi D,D0là chân hai đường phân giác trong và ngoài của gócA.Gọi làgiaođiểmhaitiếptuyếntạiP B,C.Gọi làtrungđiểmcủaI DD0 a)ChứngminhrằngIB.IC= ID2.TừđósuyraIAlàtiếptuyếncủa(O) b)ChứngminhAPvuônggócvớiOI.

Chứngminh a) A DD BC( 0| ) = −1 nên (DD BC0| ) = − Suy ra1 ID2=IB.IC Do đóIA2= IB.IChayIAlàtiếptuyếntạiA của(O).

b) IAlà tiếp tuyến tại A của (O) nên IA= ∆Ahay I( )O ↔ A PB, PC là tiếp tuyến với(O)nên BC= ∆P.SuyraI( )O ↔ P Dođó:AP= ∆I.VậyAP⊥OI.

ChođườngtròntâmOđườngkínhAB.Vẽđườngthẳng vuônggócvớid ABtạimộtđiểmI bất kì trênAB GọiMlà điểm di động trên(O) Hai đường thẳng MA,M Blần lượt cắtd

b)GọiE làgiaođiểmcủaMN,AB.TachứngminhE làđiểmcốđịnh.Theokếtquảđườngđối cực dựng bằng cát tuyến: PQ = ∆M Suy ra I( )O ↔ E hay(EI AB| ) = −1 DoA,B,Icố định nên E cốđịnh.

48 CHƯƠNG5 CỰCVÀĐỐICỰC

Cho tam giácABCnội tiếp(O) Ba đường phân giác trong gócA,B,Clần lượt cắt(O)tại A0,B ,C00 Ba cặp tiếp tuyến của (O) tạiA,A0, tạiB,B0, tạiC,C0cắt nhau tạiA00,B ,C0000.

Cho tam giácABCnội tiếp (O).Các tiếp tuyến của (O) tại B,Ccắt nhau tạiM Từ M vẽ đườngthẳngsongsongvớitiếptuyếntạiA của(O) lầnlượtcắtAB,AC tạiP,Q.Chứngminh M làtrungđiểmcủaPQ.

Chứngminh Trườnghợp1:TamgiácABCkhôngcân tại A

GọiE làgiaođiểmcủatiếptuyếntạiA của(O) vàBC, F làgiaođiểmcủaAM,BC MB,MClà tiếptuyếnvới(O) nênBC= ∆M.SuyraE( )O ↔ M EAlàtiếptuyếntạiA của(O) nênEA= ∆A Suy ra E( )O↔ A Khi đó: AM = ∆E nên E( )O ↔ F hay (EF|BC) = −1 Do đóA(EF|BC) = −1.

Từ điểm P ở ngoài (O) vẽ các tiếp tuyếnPA, PBvới đường tròn TừB hạ BDvuông góc vớiđườngkínhACcủa(O).ChứngminhrằngPCđiquatrungđiểmcủaBD.

Chứngminh GọiE làgiaođiểmcủaPB vàAC.TachứngminhP (AC DE| ) = −1 hay(AC DE| ) =

−1 EBlàtiếptuyếntạiB của(O) nênE( )O ↔ B.MàBD⊥OEnênBD= ∆E.SuyraE( )O ↔ D hay (ED AC| ) = − 1

Cho tam giácABCcó đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnhBC,CA,AB lần lượt tại M, N, P.ĐườngkínhquaM cắtNPtạiQ.ChứngminhrằngAQđiquatrungđiểmBC Chứngminh Trườnghợp1: TamgiácABCcântại Khiđó:A A,Q,I,MthẳnghàngvàMlà