độ đo và tích phân – nhiều tác giả

Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán nào đó nếu kết quả thực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó.. 1.1.1 Đại số Một đại số hay tr

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

KHOA TOÁN – TIN

ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

Nhiều tác giả

t hái t huần q uang

Bài giảng

ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mục lục

1.1 Đại số tập hợp 1

1.1.1 Đại số 1

1.1.2 σ-đại số 2

1.1.3 σ-đại số Borel 3

1.2 Độ đo trên một đại số tập hợp 3

1.2.1 Hàm tập hợp 3

1.2.2 Độ đo 4

1.3 Thác triển độ đo 8

1.3.1 Độ đo ngoài 8

1.3.2 Định lý thác triển 11

1.4 Độ đo trên Rk 14

1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R 14

1.4.2 Độ đo trên không gian Rk, (k > 1) 19

1.5 Hàm số đo được 21

1.5.1 Các định nghĩa và phép toán 21

1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được 24

1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” 26

1.5.4 Hội tụ theo độ đo 27

Chương 2 Tích phân Lebesgue 33 2.1 Tích phân Lebesgue 33

2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm 33

2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm 34

2.1.3 Tích phân các hàm đo được 36

2.2 Các tính chất sơ cấp 37

2.2.1 Tính chất cộng tính 37

2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự 39

2.2.3 Tính chất tuyến tính 40

2.2.4 Tính chất khả tích 42

2.3 Qua giới hạn dưới dấu tích phân 43

2.3.1 Các kết quả về giới hạn 43

2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue 46

2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập 47

2.4 Tích độ đo - Tích phân lặp 50

2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các thiết diện của nó 51

2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue 54

2.4.3 Định lý Fubini 55

Chương 1

Độ đo

1.1 Đại số tập hợp 1

1.2 Độ đo trên một đại số tập hợp 3

1.3 Thác triển độ đo 8

1.4 Độ đo trên Rk 14

1.5 Hàm số đo được 21

1.1 Đại số tập hợp

Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập X cho trước Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quả thực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó 1.1.1 Đại số

Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng)

Định lý 1.1.1.1 Một lớp C là một đại số và chỉ khi C 6= ∅ và thỏa mãn hai điều kiện

a) A, B ∈ C =⇒ A ∪ B ∈ C,

b) A ∈ C =⇒ Ac= X \ A ∈ C

1.1 Đại số tập hợp 2Chứng minh Điều kiện cần suy ra từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện đủ.Với A, B ∈ C, theo b) ta có Ac, Bc ∈ C Khi đó theo a) Ac∪ Bc∈ C và theo b)

A ∩ B = (Ac∪ Bc)c∈ C Bằng quy nạp ta chứng minh được C đóng kín đối với phépgiao hữu hạn

C(M) gọi là đại số sinh bởi M

Chứng minh Bao giờ cũng có một đại số bao hàm M đó là P(X) Gọi C(M) là giaocủa tất cả các đại số trên X bao hàm M Dễ thấy C(M) là một đại số C(M) nhỏnhất vì nó chứa trong mọi đại số bao hàm M, và nó là duy nhất vì nếu có một đại số

Chứng minh Giả sử C 6= ∅ thỏa mãn a) và b) Khi đó tồn tại A ∈ C nên Ac∈ C.Xét A1 = Ac, Ai = A (i ≥ 2) Khi đó X =

∞

[

i=1

Ai ∈ C Do đó ∅ = X \ X ∈ C.Nếu Ai ∈ C thì Ac

Tương tự như đối với một đại số ta có

1.2 Độ đo trên một đại số tập hợp 3Định lý 1.1.2.2 Cho trước một lớp M 6= ∅ Khi đó tồn tại một σ-đại số duy nhất

F (M) bao hàm M và chứa trong tất cả các σ-đại số bao hàm M

F (M) gọi là σ-đại số sinh bởi M

1.1.3 σ-đại số Borel

Một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian metric X gọi

là σ-đại số Borel của không gian X Mỗi phần tử của σ-đại số này gọi là tập hợpBorel Như vậy tập hợp Borel là những tập thu được bằng cách xuất phát từ nhữngtập mở và thực hiện một số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợptrên các tập đó

Tập H trong không gian metric X được gọi là tập dạng Fσ nếu H là hợp củamột số đếm được các tập đóng

Tập G trong không gian metric X được gọi là tập dạng Gδ nếu G là giao củamột số đếm được các tập mở

Các tập dạng Fσ, Gδ đều là các tập Borel Tập các số hữu tỷ trên đường thẳng

Vì mỗi một tập mở trên đường thẳng là hợp không quá đếm được những khoảng

mở nên một σ-đại số trên R là σ-đại số nhỏ nhất chứa lớp các khoảng mở

1.2 Độ đo trên một đại số tập hợp

1.2.1 Hàm tập hợp

Cho M ⊂ P(X) Một hàm f : M → R được gọi là một hàm tập hợp

Hàm tập f được gọi là cộng tính nếu

1.2 Độ đo trên một đại số tập hợp 4Nếu f là σ-cộng tính và f (∅) = 0 thì f cũng cộng tính.

Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo

Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < +∞

Độ đo µ được gọi là σ-hữu hạn nếu tồn tại dãy {Xn}n∈N⊂ C sao cho X =

Ví dụ 1.2.2.1 1) µ : C → R cho bởi µ(A) = 0 với mọi A ∈ C là một độ đo trên C

Ta gọi độ đo này là tầm thường Từ nay về sau để cho gọn ta sẽ viết µA thay choµ(A)

2) Cho X là tập đếm được và µ : P(X) → R cho bởi

µA =

(

n nếu A có n phần tử+∞ nếu A có vô hạn phần tửthì µ là một độ đo Ta gọi độ đo này là độ đo đếm

3) Cho X là tập hợp khác rỗng Cố định a ∈ X và định nghĩa δa : P(X) →[0, +∞] bởi δa(A) = 1 nếu a ∈ A và δa(A) = 0 nếu a /∈ A Khi đó δa là một độ đo

và gọi là độ đo Dirac tại điểm a ∈ X

Định lý 1.2.2.2 Nếu µ là một độ đo trên đại số C thì

Vì µ(B \ A) ≥ 0 nên µA ≤ µB

1.2 Độ đo trên một đại số tập hợp 5Nếu µA < +∞ thì ta có thể chuyển vế trong đẳng thức trên và thu đượcµ(B \ A) = µB − µA.

∞

X

i=1

µAi.c) Vì

1.2 Độ đo trên một đại số tập hợp 6b) Vì A ⊂ A ∪ B nên µ(A ∪ B) ≤ µA + µB = µA ≤ µ(A ∪ B) Do vậyµ(A ∪ B) = µA.

Mặt khác, vì 0 ≤ µ(A ∩ B) ≤ µB nên µ(A ∩ B) = 0 Từ đó

µ(A \ B) = µ(A \ A ∩ B) = µA − µ(A ∩ B) = µA

Định lý 1.2.2.5 Cho µ là độ đo trên đại số C Khi đó

B1= A1, B2= A2\ A1, , Bn= An\ An−1, Lúc đó các Bi ∈ C, rời nhau và

1.2 Độ đo trên một đại số tập hợp 7Định lý 1.2.2.6 (Đảo của định lý 1.2.2.5) Cho µ là một hàm tập không âm,cộng tính trên đại số C sao cho µ(∅) = 0 Khi đó µ sẽ là một độ đo nếu một tronghai điều kiện sau thỏa mãn:

Định lý 1.3.1.2 (Carathéodory) Cho µ∗ là độ đo ngoài trên X và L là lớp tất

cả các tập con A của X sao cho

µ∗E = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) với mọi E ⊂ X (1.1)Khi đó L là một σ-đại số và hàm tập µ = µ∗ L là một độ đo trên L

Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗ Tập A thỏa mãn điềukiện (1.1) gọi là tập µ∗-đo được

Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng điều kiện (1.1) tương đương với

µ∗E ≥ µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) với mọi E ⊂ X (1.1’)

vì bất đẳng thức ngược lại luôn đúng theo tính chất của độ đo ngoài

Ta tiến hành chứng minh theo các bước sau:

Vậy L kín đối với phép toán lấy phần bù

Ta kiểm tra L kín đối với phép hợp hữu hạn

1.3 Thác triển độ đo 9Xét A, B ∈ L Với E ⊂ X ta có

X

i=1

µ∗Ai.Cuối cùng, nếu {Ai}i∈N ⊂ L thì đặt

1.3 Thác triển độ đo 111.3.2 Định lý thác triển

Định lý 1.3.2.1 Cho m là một độ đo trên một đại số C ⊂ P(X) Với mỗi A ⊂ X

Chứng minh Dễ thấy µ∗∅ = 0 và nếu A ⊂ B thì mỗi phủ của B bởi một họ đếmđược các phần tử của C cũng là một phủ của A nên µ∗A ≤ µ∗B

Bây giờ ta chứng minh µ∗A = mA với A ∈ C

Hơn nữa ta có A = A ∪ ∅ ∪ ∅ nên µ∗A ≤ mA + m∅ + m∅ + , tức là

µ∗A ≤ mA Vậy µ∗A = mA

N ⊂ E, µE = 0 =⇒ N ∈ L, µN = 0.

Định lý 1.3.2.3 Độ đo µ cảm sinh bởi một độ đo ngoài µ∗ bao giờ cũng là độ đo

đủ (trên σ-đại số L các tập µ∗-đo được) và họ các tập có độ đo µ bằng 0 trùng với

1.3 Thác triển độ đo 13Định lý 1.3.2.4 độ đo m trên một đại số C Khi đó tồn tại độ đo µ trên σ-đại số

L ⊃ F (C) ⊃ C sao cho

1) µA = mA với mọi A ∈ C, trong đó µ là mở rộng của m;

2) µ là hữu hạn (σ-hữu hạn) nếu m hữu hạn (σ-hữu hạn);

Nếu A có dạng (1.6) thì hiển nhiên A ∈ L

Ngược lại, ta giả sử A ∈ L

• Nếu µA < +∞ thì theo cách xây dựng µ∗ với mỗi k ∈ N tồn tại họ {Pi}i∈N ⊂ Csao cho

1.4 Độ đo trên Rk 14Vậy A = D \ N với D ∈ F (C) và µN = 0.

Bây giờ, nếu A ∈ L thì X \ A ∈ L nên

1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R

Ta gọi một gian trên đường thẳng R là một tập hợp có một trong các dạng sau:(a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (−∞, +∞), (−∞, a), (−∞, a], (a, +∞), [a, +∞).Như vậy giao của hai gian cũng là một gian, phần bù của một gian cũng là một gianhoặc là hợp của hai gian rời nhau

Gọi C là tập hợp tất cả các tập con của R có thể biểu diễn thành hợp của một

số hữu hạn các gian đôi một rời nhau:

i=1|∆i| trong đó |∆i| chỉ độ dài của gian ∆i

Bổ đề 1.4.1.2 Hàm tập m là một độ đo trên đại số C

1.4 Độ đo trên Rk 15Chứng minh Rõ ràng m không âm và m∅ = 0.

1.4 Độ đo trên Rk 17

Định nghĩa 1.4.1.3 Mở rộng tiêu chuẩn của độ đo m theo sơ đồ tổng quát củađịnh lý 1.3.2.4 được gọi là độ đo Lebesgue trên R

Thật vậy, gọi α và β là hai số xác định bởi vế phải của (1.7) và (1.8) Vì mỗi khoảng

mở ∆k đều thuộc C nên α ≤ β Ngược lại, với mọi họ {Pi}i∈N ⊂ A mà

∞

[

i=1

Pi ⊃ Athì

Do vậy β ≤ α + ε Do ε tùy ý nên β ≤ α

• Một tập A được gọi là đo được Lebesgue nếu nó thỏa mãn điều kiện (1.1), tức là

µ∗E = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) với mọi E ⊂ X

Lúc đó µA = µ∗A

• Độ đo Lebesgue trên R là σ-hữu hạn và R =S∞

n=1[−n, n] Hiển nhiên nó là độ đođủ

• Có thể thấy rằng σ-đại số F (C) ở đây chính là σ-đại số Borel trên R vì nếu gọi B

là σ-đại số Borel trên R thì F(C) ⊃ B (vì F(C) cũng chứa lớp các khoảng mở).Mặtkhác, vì B ⊃ C nên B ⊃ F (C) Vậy mọi tập Borel trên R đều đo được

Tóm lại, độ đo Lebesgue là độ đo đủ, σ-hữu hạn và bất kỳ một tập đo được nàocũng là một tập Borel thêm hay bớt đi một tập có độ đo không

Kết quả sau là một đặc trưng của một tập có độ đo không trên R Đây là hệ quảcủa (1.8)

1.4 Độ đo trên Rk 18Định lý 1.4.1.4 Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 có thể tìmđược một hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng mở {∆k}k phủ N và có tổng độ dài

mà không đếm được, chẳng hạn như tập Cantor

Kết quả sau là một đặc trưng của một tập đo được theo Lebesgue (hay L-đođược)

Định lý 1.4.1.6 A ⊂ R, ta có các mệnh đề sau là tương đương:

1) A là L-đo được;

2) Với mỗi ε > 0 tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ∗(G \ A) < ε;

3) Với mỗi ε > 0 tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗(A \ F ) < ε

Chứng minh 1) ⇒ 2) Ta xét hai trường hợp

1.4 Độ đo trên Rk 19Tập G =

∞

[

n=1

Gn là tập mở chứa A vàµ(G \ A) ≤

µ∗(B \ A) ≤ µ∗(Gn\ A) < 1

n, ∀n ∈ Nnên µ∗(B \ A) = 0 Vì µ đủ nên B \ A ∈ L Khi đó A = B \ (B \ A) đo được.1) ⇔ 3) Tập A đo được khi và chỉ khi Ac đo được, tức là khi và chỉ khi với ε > 0tồn tại G mở, G ⊃ Ac sao cho µ∗(G \ Ac) < ε Khi đó tập F = Gc ⊂ A và

1.4.2 Độ đo trên không gian Rk, (k > 1)

Những kết quả ở phần trên có thể mở rộng cho không gian Rk, k > 1

Trong Rk ta gọi gian là một tập bằng tích Descartes của k gian trong R, tức làtập hợp các điểm x = (ξ1, ξ2, , ξk) trong đó ξi chạy trong một gian nào đó của R.Nếu ξi thuộc gian có hai đầu mút αi, βi(i = 1, 2, , k) thì thể tích của gian ∆ bằng

Nếu có một gian mà αi = βi thì ta quy ước |∆| = 0, còn nếu có một gian trong R

vô hạn và không có gian nào có độ dài bằng 0 thì |∆| = +∞

Gọi Ck là lớp các tập hợp của Rk có thể biểu diễn thành hợp của một số hữuhạn các gian rời nhau Ta có kết quả tương tự như với đô đotrên R

1.4 Độ đo trên Rk 203) Độ đo m có thể mở rộng thành một độ đo µktrên một σ-đại số Lk⊃ F (Ck) ⊃

Ck Độ đo µk này gọi là độ đo Lebesgue trên Rk, và các tập thuộc Lk gọi là tập đođược theo Lebesgue trên Rk

F (Ck) chính là σ-đại số Borel trong Rk (do đó mọi tập Borel trong Rk đều đođược

Các định lý 1.4.1.4 và 1.4.1.6 cũng đúng đối với Rk và cũng được chứng minhtương tự

Một đặc điểm đáng chú ý của độ đo Lebesgue trên Rk là nó bất biến qua phépdời, tức la nếu E0 là ảnh của E qua một phép dời nào đó và nếu tập này đo đượcthì tập kia cũng đo được và µE = µE0

Tập hợp đo được theo Lebesgue cũng không bao gồm tất cả mọi tập con của

Rk Người ta chứng minh được rằng trong mỗi không gian Rk dều tồn tại tập không

đo được theo Lebesgue Điều này không có nghĩa là khái niệm đo được Lebesgue làchưa đủ rộng bởi vì người ta cũng chứng minh được rằng trong mỗi không gian Rkkhông thể xây dựng một độ đo σ-hữu hạn sao cho

a) Độ đo xác định trên mọi tập con của Rk;

b) Đọ đo bất biến qua phép dời;

c) Độ đo cả mỗi gian trùng với thể tích của gian đó

Ví dụ 1.4.2.1 (Tập không đo được trong R)

Để xây dựng ví dụ này ta cần nhắc lại tiên đề chọn: Nếu {Ai}i∈I là một họ gồmcác tập khác rỗng, rời nhau từng đôi một thì tồn tại tập E ⊂S

i∈IAi sao cho E ∩ Aichứa duy nhất một phần tử với mọi i ∈ I

Gọi µ là độ đo Lebesgue trên R Trên [0, 1] ta xét quan hệ tương đương ∼ xácđịnh như sau: x, y ∈ [0, 1], x ∼ y khi và chỉ khi x − y ∈ Q Dễ thấy ∼ là một quan hệtương đương trên [0, 1] Khi đó [0, 1] được phân hoạch thành các lớp tương đương.Theo tiên đề chọn tồn tại tập E ⊂ [0, 1] sao cho giao của nó với mọi lớp tương đươngnói trên gồm đúng một điểm Khi đó E không đo được Lebesgue

Thật vậy, giả sử E đo được Lebesgue ta đánh số tất cả các số hữu tỷ trong[−1, 1] là r1, r2, Với mỗi n ∈ N đặt En = {rn+ x : x ∈ E} và nhận xét rằng

En là đo được Lebesgue Dễ thấy rằng En∩ Em = ∅ nếu n 6= m và µEn = µE vớimọi n ∈ N (vì µ bất biến đối với phép tịnh tiến) Hơn nữa, [0, 1] ⊂

∞

[

n=1

En⊂ [−1, 2].Theo tính σ-cộng tính của µ ta có

số liên tục, kín đối với các phép toán giải tích, gọi là lớp hàm số đo được.

1.5.1 Các định nghĩa và phép toán

Định nghĩa 1.5.1.1 Cho F là một σ-đại số các tập con của X và A ∈ F Mộthàm số f xác định trên X được gọi là đo được trên tập A đối với σ-đại số F nếu

(∀a ∈ R), {x ∈ A : f (x) < a} ∈ F (1.9)Khi trên σ-đại số F có một độ đo µ ta bảo f đo được đối với độ đo µ hay µ-đo được.Nếu X = Rk, F = Lk thì ta nói f đo được theo nghĩa Lebesgue hay (L)-đo được.Nếu X = Rk, F = Bk (σ-đại số Borel trên Rk) ta nói f đo được theo nghĩa Borelhay f là một hàm Borel

Điều kiện (1.9) trong định nghĩa trên có thể thay bằng một trong ba điều kiệnsau:

(∀a ∈ R), {x ∈ A : f (x) > a} ∈ F (1.10)(∀a ∈ R), {x ∈ A : f (x) ≤ a} ∈ F (1.11)(∀a ∈ R), {x ∈ A : f (x) ≥ a} ∈ F (1.12)

Ta thấy (1.9) ⇔ (1.12) vì {x ∈ A : f (x) < a} = {x ∈ A : f (x) ≥ a}c và F là mộtσ-đại số

1.5 Hàm số đo được 22(1.11) ⇒ (1.9) Ta có

Từ định nghĩa suy ra một số tính chất sau:

1) Nếu f đo được trên A thì nó cũng đo được trên mọi tập con của A thuộc F Thật vậy, nếu B ⊂ A, B ∈ F thì

{x ∈ B : f (x) < a} = B ∩ {x ∈ A : f (x) < a} ∈ F 2) Nếu f đo được trên A thì {x ∈ A : f (x) = a} ∈ F với mọi a ∈ R Thật vậy,vì

5) Nếu µA = 0 và µ đủ thì f xác định trên A sẽ đo được (Bài tập)

Ví dụ 1.5.1.1 1) Trên không gian Rk với độ đo Lebesgue nếu f là hàm liên tụctrên A ∈ Lk thì f sẽ đo được trên A

Thật vậy, với mỗi a ∈ R thì

{x ∈ A : f (x) < a} = f−1(−∞, a) = A ∩ Gvới G là tập mở của Rk, do đó {x ∈ A : f (x) < a} ∈ Lk

2) Với A ⊂ X, ta định nghĩa hàm đặc trưng của A như sau

χA(x) =

(

1, nếu x ∈ A

0, nếu x /∈ A

1.5 Hàm số đo được 23Với a ∈ R thì

Do đó χA đo được trên X khi và chỉ khi A ∈ F

Định lý 1.5.1.2 1) Nếu f đo được trên A thì |f |α(α > 0) cũng đo được

2) Nếu f, g đo được trên A và hữu hạn thì các hàm số f ± g, f.g,max{f, g}, min{f, g} cũng đo được, và nếu g(x) 6= với mọi x ∈ A thì fg cũng đođược

Chứng minh Ta ký hiệu A[f > a] để chỉ {x ∈ A : f (x) > a}

1) Với a > 0 ta có

A[|f |α < a] = A[|f | < aα1] = A[−aα1 < f < a1α] = A[f < aα1] ∩ A[f < −a1α] ∈ F

vì mỗi tập A[f < aα1], A[f < −aα1] ∈ F do f đo được

Nếu a ≤ 0 thì A[|f |α < a] = ∅ ∈ F

Vậy |f |α đo được trên A

2) a) Cho a ∈ R và r1, r2, , rn, là dãy tất cả các số hữu tỷ Ta có

Vì mỗi tập (A[f < rn], A[g < a − rn]) ∈ F nên A[f + g < a] ∈ F

Chứng minh tương tự cho f − g

b) Tính đo được của các hàm f.g, max{f, g}, min{f, g} suy ra từ kết quả a) vàcác đẳng thức sau

1.5 Hàm số đo được 24nên g12 đo được Ta có fg = f.g.g12 nên fg đo được Định lý 1.5.1.3 Nếu {fn}n∈N là một dãy các hàm số đo được và hữu hạn thì cáchàm số sup

Chứng minh Với mỗi a ∈ R ta có

đó cho thấy rằng lớp các hàm số đo được Lebesgue trong Rk rộng hơn nhiều so vớilớp các hàm số liên tục Chẳng hạn, hàm số Dirichlet là hàm đo được mặc dù nógián đoạn tại mọi điểm trên R

1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được

Định nghĩa 1.5.2.1 Một hàm số f xác định trên A ∈ F được gọi là hàm đơn giảnnếu f đo được và chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hữu hạn

Giả sử f (A) = {c1, c2, , cn} ⊂ R Với mỗi i = 1, 2, , n ta đặt Ai = {x ∈ A :

f (x) = ci} Dễ thấy các tập Ai đo được, đôi một rời nhau và A =

n

[

i=1

Ai thì f sẽ

là một hàm đơn giản trên A

Cấu trúc của một hàm số đo được thể hiện qua định lý dưới đậy

Định lý 1.5.2.2 Mỗi hàm số đo được trên một tập A ∈ F đều là giới hạn của mộtdãy {fn}n∈N các hàm số đơn giản trên A :

f = lim

n→∞fn.Nếu f ≤ 0 trên A thì có thể chọn các fn để cho 0 ≤ fn≤ fn+1 với mọi n ∈ N

1.5 Hàm số đo được 25Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng:

1) Nếu f là hàm số đo được trên A thì f = f+− f− với

f+= max{f, 0} và f−= min{f, 0}

Hai hàm f+, f− đều không âm và đo được trên A Hơn nữa, |f | = f++ f−.2) Nếu f là hàm số đơn giản trên A và a ∈ R thì f + a, a.f, f.g, f g đều là nhữnghàm đơn giản trên A

Ta chứng minh cho trường hợp f ≥ 0 trên A

Dễ thấy fn là hàm đơn giản trên A và fn≥ 0

Ta chứng minh fn(x) ≤ fn+1(x) với mọi n ∈ N, với mọi x ∈ A

1.5 Hàm số đo được 26Vậy fn(x) ≤ fn+1(x) với mọi n ∈ N.

Bây giờ ta chứng minh lim

n→∞fn−= f− Đặt fn= fn+− fn− Khi đó fn cũng là hàm đơn giản và

lim

n→∞fn= f+− f−= f

Nhận xét rằng, trong trường hợp f ≥ 0, dãy hàm đơn giản {fn} trong chứngminh trên có tính chất 0 ≤ fn≤ n với mỗi n ∈ N

1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi”

Giả sử (X, A, µ) là một không gian độ đo với A là một σ-đại số Ta nói một tínhchất P (x) nào đó thỏa mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A nếu tồn tại B ∈ A sao cho

µB = 0 và P (x) thỏa mãn với mọi x ∈ A \ B Đôi khi để chỉ rõ độ đo µ (trongtrường hợp đang xét nhiều độ đo) ta viết “µ- h.k.n” thay cho “h.k.n”

Ví dụ 1.5.3.1 1) Hàm f : A → R là hữu hạn h.k.n trên A nếu f (x) ∈ R với mọi

Định lý 1.5.3.1 Nếu µ là độ đo đủ thì mọi hàm số g tương đương với một hàm f

đo được trên A cũng đo được trên A

1.5 Hàm số đo được 27Chứng minh Từ định nghĩa của hàm tương đương ta suy ra hai tập hợp A[f < a]

và A[g < a] chỉ sai khác nhau một tập có độ đo 0 (do µ đủ) nên nếu A[f < a] ∈ A

Trong giải tích cổ điển, khái niệm tương đương của các hàm số không có vai trò

gì quan trọng, vì khi đó ta chỉ xét các hàm số liên tục, mà đối với các hàm số đótính tương đương trùng với tính đồng nhất Chính xác hơn, nếu hai hàm số liên tụctrên một đoạn mà tương đương (với độ đo Lebesgue) thì chúng đồng nhất Thậtvậy, nếu f (x0) 6= g(x0) tại một điểm x0 thì bởi tính liên tục của f và g, tồn tại mộtlân cận của x0 trên đó f (x) 6= g(x) Vì độ đo của mỗi lân cận như vậy là dương nênđiều này mâu thuẫn với giả thiết tương đương của f và g

Đối với các hàm đo được tùy ý, nói chung tính tương đương không kéo theo sựđồng nhất Ví dụ, hàm số nhận giá trị 1 tại các điểm hữu tỷ và nhận giá trị 0 tạicác điểm vô tỷ là tương đương với hàm không

1.5.4 Hội tụ theo độ đo

Định nghĩa 1.5.4.1 Một dãy hàm {fn}n∈N đo được trên A ∈ A được gọi là hội

tụ theo độ đo về hàm đo được f trên A nếu

0 ≤ µ(A[|fn− g| ≥ ε]) ≤ µ(A[|fn− f | ≥ ε]) → 0 khi ∈ n → ∞

1.5 Hàm số đo được 28lúc đó |f (x) − g(x)| < ε tức là x cũng không thuộc tập hợp ở vế trái Vậy

Định lý 1.5.4.2 Nếu một dãy hàm số {fn}n∈Nđo được trên A hội tụ h.k.n về mộthàm f thì f đo được trên A, và nếu µA < +∞ thì fn→ f.µ

Chứng minh Đặt B = {x ∈ A : fn(x) 9 f (x)} Lúc đó µB = 0

Do µ đủ nên f đo được trên B Còn trên A \ B thì fn→ f nên f đo được trên

A \ B Vậy f đo được trên A = B ∪ A \ B

Bây giờ ta chứng minh fn→ f trên A nếu µA < +∞.µ

x ∈ Ai, suy ra |fi(x) − f (x)| ≥ ε Vậy fi(x) 9 f (x) nên x ∈ B Suy ra C ⊂ B MàµB0 nên µC = 0 Do đó lim

p→∞µCp = 0

Vì Ap ⊂ Cp với mọi p nên µAp ≤ µCp và do đó lim

p→∞µAp = 0, nghĩa là fn → fµ

1.5 Hàm số đo được 29Nhận xét.

a) Ở đây không những lim

µ

9 0

c) Sự hội tụ theo độ đo của một dãy hàm nói chung không kéo theo sự hội tụh.k.n của dãy đó Thật vậy, với mỗi k ∈ N ta xác định k hàm số fik, (i = 1, 2, , k)trên [0, 1] như sau:

Định lý 1.5.4.3 Nếu dãy hàm đo được {fn}n∈N hội tụ theo độ đo về hàm f thì

có dãy con {fnk} của dãy {fn}n∈N hội tu h.k.n về f

Chứng minh Chọn dãy số dương εk sao cho

|fnk(x) − f (x)| < ε Do εk → 0 nên fnk(x) → f (x) Vì µB = 0 nên fnk hội tụ h.k.n

Hai định lý được trình bày (không chứng minh) dưới đây nêu lên những tínhchất sâu sắc của các hàm số đo được

Định lý 1.5.4.4 (Egorov) Cho một dãy hàm số {fn}n∈N đo được, hữu hạn h.k.n

và hội tụ h.k.n trên một tập hợp A với µA < +∞ Khi đó với mỗi ε > 0 tồn tại mộttập hợp đo được B ⊂ A sao cho µ(A \ B) < ε và dãy {fn}n∈N hội tụ đều trên B.Định lý 1.5.4.5 (Lusin) Cho tập hợp A ⊂ Rk có µA < ∞ Một hàm số f xácđịnh và hữu hạn trên A là đo được khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại tập đóng

F ⊂ A sao cho µ(A \ F ) < ε và f liên tục trên F

1.3 Cho µ là một độ đo trên đại số C và A, B ∈ C Chứng minh rằng

µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µA + µB

1.4 Cho µ là một độ đo trên đại số C Nếu A, B ∈ C thì ta viết A ∼ B nếuµ(A∆B) = 0 Chứng minh rằng “∼" là một quan hệ tương đương và nếu A ∼ B thì

µA = µB = µ(A ∩ B)

1.5 Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X Chứng minh rằng với mọi A, B ⊂ X tacó

|µ∗A − µ∗B| ≤ µ∗(A∆B)

1.5 Hàm số đo được 31 1.6 Cho đại số C = {∅, X} và độ đo µ xác định trên C như sau: µ(∅) = 0 vàµ(X) = 1 Hãy tìm độ đo ngoài µ∗ và σ-đại số các tập µ∗-đo được.

1.7 Cho m là một độ đo hữu hạn trên đại số C, µ∗ là độ đo ngoài cảm sinh bởi

m Chứng minh A ⊂ X là µ∗-đo được khi và chỉ khi với mỗi ε > 0, tồn tại C ∈ Csao cho µ∗(A∆B) < ε

1.8 Cho m là một độ đo trên đại số C, µ là một mở rộng tiêu chuẩn của m lênσ-đại số L các tập µ∗-đo được Chứng minh

µ∗E = inf{µA : A ⊃ E, A ∈ L}

Từ đó suy ra rằng tồn tại G ∈ L sao cho G ⊃ E và µ∗E = µG

1.9 Trên Rk với độ đo Lebesgue, hãy chứng minh ba mệnh đề sau tương đương:a) E là L-đo được

b) Tồn tại tập K loại Gδ, K ⊃ E sao cho µ∗(K \ E) = 0

c) Tồn tại tập H loại Fσ, H ⊂ E sao cho µ∗(E \ H) = 0

1.10 Cho A ⊂ [0, 1] có độ đo lớn hơn 12 Chứng minh rằng A phải chứa một tậpcon có độ đo dương và đối xứng qua điểm giữa của đoạn [0, 1]

1.11 Chứng minh rằng tập hợp A ⊂ R có độ đo 0 khi và chỉ khi có thể tìm đượcmột dãy những khoảng mở (∆n)n∈N sao cho mỗi x ∈ A đều thuộc về vô số khoảng

1.13 Cho A là một tập con đo được của [a, b] Xét hàm số f : [a, b] → R mà

f (x) = µ(A ∩ [a, x]) với x ∈ [a, b]

Chứng minh f liên tục trên [a, b]

1.14 Cho A là tập con đo được của R với µA = p > 0 Chứng minh rằng nếu

0 < q < p thì tồn tại một tập con đo được của A có độ đo bằng q

1.15 Cho (X, A) là một không gian đo được, A ∈ A, f : A → R là một hàm đođược và p là một số nguyên dương Chứng minh rằng hàm số sau đo được trên A

1.5 Hàm số đo được 32trong đó β−, β+ tuỳ ý thuộc R.

1.16 Chứng minh rằng nếu hàm số [f (x)]3 là hàm số đo được trên E thì f (x)cũng đo được trên E

1.17 Chứng minh rằng nếu hàm số [f (x)]2 là hàm số đo được trên E thì khôngthể suy ra f (x) đo được trên E

1.18 Giả sử f : Rn → R là hàm liên tục, còn g1, , gn : R → R là những hàm

đo được Chứng minh rằng hàm h(x) = f (g1(x), , gn(x)) là hàm đo được

1.19 Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) đo được trên doạn bất kỳ [α, β], với

a < α, β, b, thì f (x) đo được trên toàn [a, b]

1.20 Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) là hàm số đo được trên E thì hàm sốsau đo được trên E

Chương 2

Tích phân Lebesgue

2.1 Tích phân Lebesgue 33 2.2 Các tính chất sơ cấp 37 2.3 Qua giới hạn dưới dấu tích phân 43 2.4 Tích độ đo - Tích phân lặp 50

2.1 Tích phân Lebesgue

Trong chương này ta xét không gian độ đo (X, A, µ)

2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm

Giả sử f là hàm đơn giản không âm xác định trên một tập hợp A ∈ A Khi đó

2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm

Để chuẩn bị cho định nghĩa ta cần các bổ đề sau:

Bổ đề 2.1.2.1 Nếu f, g là các hàm đơn giản không âm trên A mà f ≤ g thìZ

2.1 Tích phân Lebesgue 35Tương tự

A

fk≤Z

A

f

... 2

Tích phân Lebesgue

2.1 Tích phân Lebesgue 33 2.2 Các tính chất sơ cấp 37 2.3 Qua giới hạn dấu tích phân 43 2.4 Tích độ đo - Tích phân lặp 50... =⇒ N ∈ L, µN = 0.

Định lý 1.3.2.3 Độ đo µ cảm sinh độ đo ngồi µ∗ độ đo

đủ (trên σ-đại số L tập µ∗ -đo được) họ tập có độ đo µ trùng với