Bài giảng độ đo và tích phân Nguyễn Thành Long

1 Nguyễn Thành Long Chương 1. ĐỘ ĐODƯƠNG-HÀM SỐĐO ĐƯỢC 1. TẬP ĐO ĐƯỢC A. Ta nhắclạimộtsố phép toán về họ tậphợp. Cho X là tập khác trống và I là tập các chỉ số.Nếu ứng vớimột chỉ số i ∈ I, ta có duy nhấtmộttậpconA i ⊂ X, ta nói rằng ta có một họ tậphợp ký hiệulàA i  i∈I , hay A i  i∈I , hay A i ,i ∈ I, hay A i ,i ∈ I. Ta định nghĩa phầngiaocủahọ tậphợp A i  i∈I ,làtậpconcủa X đượckýhiệulà i∈I ∩ A i và đượcxácđịnh bởi i∈I ∩ A i  x ∈ X : x ∈ A i vớimọi i ∈ I. Nói khác đi, x ∈ i∈I ∩ A i  x ∈ A i vớimọi i ∈ I. Ta định nghĩa phầnhộicủahọ tậphợp A i  i∈I ,làtậpconcủa X đượckýhiệulà i∈I  A i và đượcxácđịnh bởi i∈I  A i  x ∈ X : x ∈ A i vớiítnhấtmột i ∈ I. Nói khác đi, x ∈ i∈I  A i  ∃i ∈ I : x ∈ A i . Trường hợp riêng với i) I  1,2, ,n : ta viết i∈I ∩ A i  i1 n ∩ A i  A 1 ∩ A 2 ∩ ∩A n , i∈I  A i  i1 n  A i  A 1  A 2  A n . ii) I  ℕ : ta viết i∈I ∩ A i  i1  ∩ A i  A 1 ∩ A 2 ∩ , i∈I  A i  i1   A i  A 1  A 2  Chú ý: X  i∈I ∩ A i  i∈I  X  A i , X  i∈I  A i  i∈I ∩ X  A i . 2 Nếu không sợ nhầmlẫntacònkýhiệu A c  X  A. Do đó: i∈I ∩ A i c  i∈I  A i c , i∈I  A i c  i∈I ∩ A i c . Ví dụ.(Xemnhư bài tập). Xác định i∈I ∩ A i và i∈I  A i ,với A i   −1 i , 3 2i1 . B. Ta qui ướcmộtsố ký hiệu và các phép tính −,    −     , −,    , −,    −, a      a   nếu 0 ≤ a ≤, và a.  .a  ,nếu 0  a ≤, 0, nếu a  0. Các qui tắcvề dấu(âm,dương) tương tự như phép nhân thông thường), chẳng hạn a.  .a  − nếu − ≤ a  0, 0nếu a  0. C. Giớihạntrênlimsup và giớihạndưới liminf. C1. Giớihạntrênlimsup. Ta cho dãy số a n  ⊂ ,tađặt i Nếu a n  không bị chận trên, ta đặt n→ lim sup a n  . ii Nếu a n  bị chận trên, ta đặt b k  supa k ,a k1 ,a k2 ,   n≥k sup a n , k  1,2,3, Khi đó, b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ ii 1 Nếu b k  không bị chậndưới, ta đặt n→ lim sup a n  −. ii 2 Nếu b k  bị chậndưới, thì b k  ↘ k≥1 inf b k .Tađặt n→ lim sup a n  k→ lim b k  k→ lim n≥k sup a n  k≥1 inf n≥k sup a n . C2. Giớihạndưới liminf. Xét dãy số a n  ⊂ ,tađặt i Nếu a n  không bị chậndưới, ta đặt n→ lim inf a n  −. ii Nếu a n  bị chậndưới, ta đặt c k  infa k ,a k1 ,a k2 ,   n≥k inf a n , k  1,2,3, 3 Khi đó, c 1 ≤ c 2 ≤ c 3 ≤ ii 1 Nếu c k  không bị chận trên, ta đặt n→ lim inf a n  . ii 2 Nếu c k  bị chận trên, thì c k  ↗ k≥1 sup c k .Tađặt n→ lim inf a n  k→ lim c k  k→ lim n≥k inf a n  k≥1 sup n≥k inf a n . Chú ý 1: Đôi khi ngườitacũng dùng các ký hiệu n→ lim a n và n→ lim a n ,lầnlượt thay cho n→ lim sup a n và n→ lim inf a n . Chú ý 2:Tacũng định nghĩa n→ lim sup a n , n→ lim inf a n cho dãy a n  ⊂  ,như sau n→ lim sup a n  k≥1 inf n≥k sup a n , n→ lim inf a n  k≥1 sup n≥k inf a n . Chú ý 3: n→ lim sup −a n   − n→ lim inf a n . Chú ý 4: n→ lim inf a n ≤ n→ lim sup a n . Chú ý 5:Nếu a n  hộitụ thì n→ lim sup a n  n→ lim inf a n  n→ lim a n . Chú ý 6: Ta cho dãy số a n  ⊂  ,tađặt A  a ∈  : a  k→ lim a n k ,với a n k  là dãy con của a n  . Khi đótồntại a max , a min ∈ A sao cho a min ≤ a ≤ a max , ∀a ∈ A.Khiđótacó n→ lim sup a n  a max và n→ lim inf a n  a min . Ví dụ.(Xemnhư bài tập). Cho dãy số thực a n , sao cho n→ lim sup a n ≤ 0 ≤ a n với mọi n ∈ ℕ.Chứng minh rằng a n → 0. C3. Cho dãy hàm f n , f n : X →  .Khiđó n sup f n , n inf f n , n→ lim sup f n và n→ lim inf f n là các hàm đượcxácđịnh trên X bởi 4 n sup f n x  n sup f n x, n inf f n x  n inf f n x, n→ lim sup f n x  n→ lim sup f n x  k≥1 inf n≥k sup f n x , n→ lim inf f n x  n→ lim inf f n x  k≥1 sup n≥k inf f n x , n→ lim f n x  n→ lim f n x. Nếu fx  n→ lim f n x,tồntại ở mọi x ∈ X,khiđótagọi f là giớihạntừng điểm của dãy f n . Định nghĩa1.1.1.ChoX là tập khác trống. Mộthọ M các tậpconcủa X đượcgọi là một  − đạisố trong X nếucácđiềukiệnsauđây thỏa: i X ∈ M, ii Nếu A ∈ M,thì X  A ∈ M, iii Nếu A j ∈ M, j  1,2, thì  j1  A j ∈ M. Chú ý:Tasuytừ i − iii,rằng 4i  ∈ M,vì  X  X ∈ M. 5i Nếulấy A n1  A n2    trong (iii), ta thấyrằng  j1 n A j ∈ M,nếu A j ∈ M với j  1,2, ,n. 6i Nếu A j ∈ M, j  1,2, thì ∩ j1  A j ∈ M, vì ∩ j1  A j   j1  X  A j  ∈ M. 7i Nếu A, B ∈ M,thìA ∩ B  X  A  B ∈ M và A  B  A ∩ X  B ∈ M. Định nghĩa1.1.2.Nếu X có một  − đạisố M trong X thì ta gọicặp X,M (hoặc vắntắt X)làmột không gian đo được (measurable space), và phầntử củ a M được gọilàtập đo được trong X. Ví dụ 1.1.1.(Xemnhư bài tập). Cho X là tập khác trống và M , X. Nghiệmlại rằng M là một  − đạisố trong X.Câuhỏitương tự với M  PX là họ tấtcả các tập con của X. Ví dụ 1.1.2.(Xemnhư bài tập). Cho X  0,1 và M  PX.Tập  1 2 ,1 có đo được không? Ví dụ 1.1.3.(Xemnhư bài tập). Cho X  0,1 và M  , X, 0, 1 2 , 1 2 ,1.Tập  2 3 ,1 có đo được không? 5 Chú thích 1.1.1.Choℱ ⊂ PX.Khiđótồntạimột  − đạisố nhỏ nhất M ∗ trong X sao cho ℱ ⊂ M ∗ .Tacòngọi M ∗ là  − đạisố sinh bởi ℱ. Thậtvậy, ta gọi  là họ tấtcả các  − đạisố M trong X chứa ℱ.VìPX cũng là một  − đạisố (Ví dụ 1.1.1), nên  ≠ .Gọi M ∗  M∈ ∩ M.Dễ thấyrằng ℱ ⊂ M ∗ ,bởi vì ℱ ⊂ M vớimọi M ∈ .Tachỉ cầnchứng minh rằng M ∗ là một  − đạisố. Giả sử rằng A j ∈ M ∗ ,với j  1,2, ,vànếu M ∈ ,thìA j ∈ M,như vậy  j1  A j ∈ M,bởivìM là một  − đạisố.Vì j1  A j ∈ M,vớimọi M ∈ ,takếtluận rằng  j1  A j ∈ M ∗ . Hai tính chấtcònlại trong định nghĩa X ∈ M ∗ ,vàX  A ∈ M ∗ với mọi A ∈ M ∗ đượcchứng minh tương tự. Định nghĩa1.1.3.(Độ đodương)ChoX là một không gian đo đượcvớimột  − đạisố M và cho hàm  : M → 0,. Ta nói  là một độ đodương trên M nếu  thoả mãncáctínhchất sau: i Tính chấtcộng đếm được (countably additive):    j1  A j   ∑ j1    A j  ,nếu A j ∈ M, j  1,2, và A i ∩ A j  , ∀i ≠ j. ii ∃A ∈ M :   A   . Định nghĩa1.1.4.(Độ đophức)ChoX là một không gian đo đượcvớimột  − đại số M và cho hàm  : M → ℂ. Ta nói  là một độ đophức trên M nếu  thoả mãn tính chất sau:    j1  A j   ∑ j1    A j  ,nếu A j ∈ M, j  1,2, và A i ∩ A j  , ∀i ≠ j. Định nghĩa1.1.5.ChoX là một không gian đo đượcvớimột  − đạisố M và cho hàm  là một độ đo(dương hoặcphức) trên M. Ta nói X,M, là một không gian đo (measure space). Chú thích 1.1.2. i Với độ đophức, chuỗi ∑ j1    A j  hộitụ vớimọi dãy A j  rời nhau như trên, là hộitụ tuyệt đối. ii Nếu  là một độ đodương và nếu A, B ∈ M,vàA ⊂ B thì   A  ≤   B  .(XemVí dụ 1.1.6). iii Cũng vậy, nếu A j ∈ M, j  1,2, và A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ ,thì   j1  A j   n→ lim A n .(XemVídụ 1.1.7). iv Tương tự,nếu A j ∈ M, j  1,2, và A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ ,và  A 1   ,thì   ∩ j1  A j   n→ lim A n .(XemVídụ 1.1.8). vi Nếu  là một độ đodương và nếu A j ∈ M, j  1,2, ,thì    j1  A j  ≤ ∑ j1    A j  .(XemVídụ 1.1.9). Ví dụ 1.1.4.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ đodương trên M Chứng minh rằng μ  0. 6 Hướng dẫn:Lấy A 1  A, A 2  , , A n1  , , ta có A   j1  A j và   A   . Từ tính chấtcộng đếm được,     A      j1  A j   ∑ j1    A j  .Dochuỗi ∑ j1    A j  hộitụ nên j→ lim   A j   0,màA j   vớimọi j ≥ 2, nên      j→ lim   A j   0. Ta cũng chú ý rằng, với độ đodương , điềukiện ii ∃A ∈ M :   A    trong định nghĩa 1.1.3 có nghĩalà ≠mà có thể thay bằng điềukiệntương đương      0.Vídụ 1.1.4. chỉ ra rằng  ≠      0. Đảolại, thì hiển nhiên, vì ta lấy A  . Ví dụ 1.1 .5.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ đodương trên M.Chứng minh rằng (tính chấtcộng hữuhạn):    j1 n A j   ∑ j1 n   A j  , nếu A j ∈ M, j  1,2, ,n,và A i ∩ A j  , ∀i ≠ j. Hướng dẫn:Lấy A n1  A n2   ,tacó j1 n A j   j1  A j .Vậy    j1 n A j      j1  A j   ∑ j1    A j   ∑ j1 n   A j   ∑ jn1    A j   ∑ j1 n   A j  . Ví dụ 1.1.6.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ đodương trên M Chứng minh rằng nếu A, B ∈ M,vàA ⊂ B thì   A  ≤   B  . Ta có B  A  B  A và A ∩ B  A  .Tasuytừ Ví dụ 1.1.5 rằng B  A  B  A ≥ A. Ví dụ 1.1.7.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A j ∈ M, j  1,2, và A 1 ⊂ A 2 ⊂ ,thì    j1  A j   n→ lim A n . Hướng dẫn: Đặt B 1  A 1 , B 2  A 2  A 1 , ,B j  A j  A j−1 với j  2,3,4, Khiđó B j ∈ M,và B i ∩ B j  , ∀i ≠ j, A n   j1 n A j   j1 n B j và  j1  A j   j1  B j .Dođó A n   ∑ j1 n   B j  và  j1  A j   ∑ j1    B j   n→ lim ∑ j1 n   B j   n→ lim A n . Ví dụ 1.1.8.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A j ∈ M, j  1,2, và A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ , và   A 1   ,thì  ∩ j1  A j   n→ lim A n .Chomộtphảnthídụđểthấy điềukiện ”  A 1   ” không thể bỏ qua được. Hướng dẫn: Đặt C j  A 1  A j .Khiđó C j ∈ M,vàC 1 ⊂ C 2 ⊂ C 3 ⊂ , C j   A 1  − A j ,  j1  C j   j1  A 1  A j   A 1  ∩ j1  A j . Ta suy từ Ví dụ 1.1.7 rằng A 1  − ∩ j1  A j   A 1  ∩ j1  A j    j1  C j   n→ lim C n   A 1  − n→ lim A n . Vậy   ∩ j1  A j   n→ lim A n . Phảnthídụ:Talấy X  ℕ,và là độ đo đếm trên X,(Xemvídụ 1.1.10). Giả sử 7 A n  n,n  1,n  2, .Khiđó A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ , ∩ n1  A n  ,nhưng A n    với mọi n  1,2,3, ,tứclà  ∩ n1  A n  ≠ n→ lim A n . Ví dụ 1.1.9.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đovới  là một độ đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A j ∈ M, j  1,2, ,thì   j1  A j  ≤ ∑ j1    A j  . Hướng dẫn: Đặt B 1  A 1 , B 2  A 2  A 1 , B 3  A 3  A 1  A 2 , ,B j  A j   n1 j−1 A n  với j  2,3,4, Khiđó B j ∈ M,và B i ∩ B j  , ∀i ≠ j,  j1  A j   j1  B j và B j ⊂ A j với j ∈ ℕ.Dođó  j1  A j    j1  B j   ∑ j1 n   B j  ≤ ∑ j1 n   A j  . Ví dụ 1.1.10.(Xemnhư bài tập). Cho X là tậpbấtkỳ,với E ⊂ X ,tađịnh nghĩa X   nếu E là tậpvôhạnvàE là số phầntử trong E nếu E là tậphữuhạn. Khi đó X,PX, là một không gian đovới độ đo  gọilàmột độ đo đếm (counting measure)trênX. Ví dụ 1.1.11.(Xemnhư bài tập). Cho X là tậpbấtkỳ,vàchox 0 ∈ X cốđịnh. Ta định nghĩa E  1 x 0 ∈ E, 0 x 0 ∉ E, với E ⊂ X.Khiđó,  là độ đotrênPX.Tagọi  là khốilượng đơnvị tập trung tại x 0 . Ví dụ 1.1.12.(Xemnhư bài tập). Cho X,M, là một không gian đo, và f : X → Y là một song ánh. Ta đặt N fE : E ∈ M,vàD    f −1 D  , ∀D ∈ N .Chứng minh rằng, Cho Y,N, là một không gian đo. Hướng dẫn: (a) Y,N là một không gian đo được: (i) Y ∈ N vì Y  fX, X ∈ M, (ii) Y  D ∈ N ∀D ∈ N vì, Y  D  fX  fE  fX  E, X  E ∈ M, (iii) Nếu D j ∈ N, j  1,2, và  j1  D j   j1  fE j   f   j1  E j  ,  j1  E j ∈ M. (b)  là một độ đodương trên Y,N. i ∃D ∈ N :   D   .???. Theo giả thiếttacó∃E ∈ M :   E   .Chọn D  fE,tacóD ∈ N và D    f −1 D     E   . ii Tính chấtcộng đếm được: Nếu D j  fE j  ∈ N, j  1,2, và D i ∩ D j  , ∀i ≠ j,tacóE j ∈ N, j  1,2, và E i ∩ E j  f −1 D i  ∩ f −1 D j   f −1 D i ∩ D j   , ∀i ≠ j . Do tính chấtcộng đếm đượccủa ,tađược    j1  D j     f −1   j1  D j      j1  f −1 D j       j1  E j   ∑ j1    E j   ∑ j1    f −1 D j    ∑ j1  D j . Định nghĩa1.1.6.(Đầy đủ hóa một không gian đo) Cho X,M, là một không 8 gian đo. Đặt M ∗  E ⊂ X : ∃A,B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và B  A  0. Ta đặt  ∗ E  A. Định lý 1.1.6. X,M ∗ , ∗  là một không gian đo. Định nghĩa1.1.7. X,M ∗ , ∗  đượcgọilàđầy đủ hóa của X,M,.Nếu M ∗  M thì ta gọi  là một độ đo đầy đủ. Hướng dẫnchứng minh định lý 1.1.6:Trướchếttakiểmtralạirằng  ∗ được xác định tốtvớimọi E ∈ M ∗ .Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B, A 1 ⊂ E ⊂ B 1 và B  A  B 1  A 1   0,với A, B, A 1 , B 1 ∈ M.Chúýrằng A  A 1 ⊂ E  A 1 ⊂ B 1  A 1 , do đótacóA  A 1   0,dođó A  A ∩ A 1   A  A 1   A ∩ A 1 .Lýluận tương tự, A 1   A 1 ∩ A.VậytacóA 1   A.Tiếp theo, nghiệmlạirằng M ∗ thoả 3 tính chấtcủamột  − đạisố. (i) X ∈ M ∗ ,bởivìX ∈ M và M ⊂ M ∗ . (ii) Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B,khiđó X  B ⊂ X  E ⊂ X  A.Vậy E ∈ M ∗ dẫn đến X  E ∈ M ∗ ,bởivìX  A  X  B   X  A ∩ B  B  A, X  A  X  B  B  A  0. (iii) Giả sử rằng A i ⊂ E i ⊂ B i , E   i1  E i , A   i1  A i , B   i1  B i ,khiđó A ⊂ E ⊂ B và B  A   i1  B i  A ⊂ i1  B i  A i . Vì hội đếm đượccáctậpcóđộ đozerocũng là tậpcóđộ đo zero, do đó 0 ≤ B  A ≤  i1  B i  A i   0.Tasuyrarằng B  A  0,như vậy E   i1  E i ∈ M ∗ ,nếu E i ∈ M ∗ với i  1,2,3, Cuối cùng, nếucáctập E i ∈ M ∗ là rời nhau từng đôi mộtnhư trong bước (iii), thì các tập A i cũng rời nhau từng đôi mộtgiống như vậy, và ta kếtluậnrằng  ∗ E  A  ∑ i1  A i   ∑ i1   ∗ E i . Điềunầychứng tỏ rằng  ∗ cộng đếm đượctrênM ∗ . 2. HÀM ĐO ĐƯỢC Định nghĩa1.2.1.ChoX,M là một không gian đo được, hàm s : X → ℂ có dạng dưới đây đượcgọilàmột hàm đơngiản (simple function), vắntắtgọilàhàm đơn hay hàm bậc thang sx  ∑ j1 m  j  A j x ∀x ∈ X, với  1 , , m ∈ ℂ, A 1 , ,A m ∈ M, trong đó  A x  1 x ∈ A, 0 x ∈ X  A. Định nghĩa1.2.2.ChoX,M là một không gian đo được, và hàm f : X → −,. Ta gọi f là một hàm thực đo được trên X,M nếu f −1 a,  x ∈ X : fx  a ∈ M 9 vớimọi a ∈ . Định nghĩa1.2.3.ChoX,M là một không gian đo được, và hai hàm u,v : X → . Ta gọi f  u  iv là một hàm phức đo được trên X,M nếu u và v là các hàm đo được trên X,M. Ví dụ 1.2.1.(Xemnhư bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm f : X →   −, hàm thực đo đượctrênX ,M.Chứng minh rằng các tập f −1 a,, f −1 −,a, f −1 −,a, f −1 a,, f −1 a,b, f −1 a,b, f −1 a,b và f −1 a là đo được. Hướng dẫn: (j) f −1 a, ∈ M ∀a ∈ .(Dođịnh nghĩa). (jj) f −1 −,a ∈ M ∀a ∈ .? Chú ý rằng −,a   n1  −,a − 1 n    n1  a − 1 n , , vì x ∈  n1  −,a − 1 n ∃n ∈ ℕ : x ∈ −,a − 1 n − ≤ x  a. Vậy f −1 −,a  f −1  n1  a − 1 n ,   n1  f −1 a − 1 n ,   n1  f −1     f −1  a − 1 n ,    n1   X  f −1 a − 1 n ,  ∈ M, do định nghĩa 1.1.1.(i)-(iii), ( 6i). (jjj) f −1 −,a ∈ M ∀a ∈ .?Chúýrằng −,a   n1  −n,a − 1 n    n1   −,a − 1 n  ∩ −n,    n1  a − 1 n , ∩ −n, , vì x ∈  n1  −n,a − 1 n ∃n ∈ ℕ : x ∈ −n,a − 1 n −  x  a. Vậy 10 f −1 −,a  f −1  n1  a − 1 n , ∩ −n,   n1  f −1 a − 1 n , ∩ −n,   n1  f −1 a − 1 n , ∩ f −1 −n,   n1  f −1     f −1 a − 1 n , ∩ f −1 −n,   n1   X  f −1 a − 1 n ,  ∩ f −1 −n,  ∈ M, do định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i). (4j) f −1 a, ∈ M ∀a ∈ .?Chúýrằng a,   n1  a  1 n ,n   n1   −,n ∩ a  1 n ,    n1  −,n ∩ −,a  1 n  , vì x ∈  n1  a  1 n ,n∃n ∈ ℕ : x ∈ a  1 n ,na  x  . Vậy f −1 a,  f −1  n1  −,n ∩ −,a  1 n    n1  f −1 −,n ∩ −,a  1 n    n1  f −1 −,n ∩ f −1 −,a  1 n    n1   f −1 −,n ∩  X  f −1 −,a  1 n   ∈ M, do (jj) và định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i). (5j) f −1 a,b ∈ M ∀a,b ∈ .?Chúýrằng a,b  −,b ∩ a,  −,b ∩ −,a . Vậy f −1 a,b  f −1 −,b ∩ −,a  f −1 −,b ∩ f −1 −,a  f −1 −,b ∩  X  f −1  −,a  ∈ M, do (jj) và định nghĩa 1.1.1.(i)–(ii), (7i). (6j) f −1 a,b ∈ M ∀a,b ∈ .?Chúýrằng [...]... là các hàm đo được, không âm Theo như trên thì có hai dãy hàm đơn s  , s −  lần lượt hội tụ từng điểm đến các hàm f  , f − Do đó s n  s  − s − là n n n n  −  − hàm đơn và s n  s n − s n → f − f  f 15 Chương 2 TÍCH PHÂN VỚI ĐỘ ĐO DƯƠNG TỔNG QUÁT 1 TÍCH PHÂN HÀM DƯƠNG ĐO ĐƯỢC Định nghĩa 2.1.1 Cho X, M là một không gian đo được và cho hàm  là một độ m đo trên M Cho E ∈ M và một hàm đơn... cả 4 tích phân trong (*) là hữu hạn Vậy (*) xác định và tích phân  fd ∈ ℂ E Trong trường hợp hàm f : X → −,  đo được trên X, cho E ∈ M Ta định nghĩa  fd   f  d −  f − d nếu ít nhất một trong 2 tích phân  f  d,  f − d là hữu hạn E E E Như vậy tích phân  fd ∈ −,  E E E Định lý 2.2.1 Cho X, M,  là một không gian đo, cho f và g ∈ ℒX,  và  ∈ ℂ Khi đó f  g, f ∈ ℒX,  và. .. k→ 19 2 HÀM KHẢ TÍCH LEBESGUE Định nghĩa 2.2.1 Cho X, M,  là một không gian đo, ở đây  là một độ đo dương trên X Ta ký hiệu ℒX,  là tập tất cả các hàm đo được f : X → ℂ sao cho X |f|d   Một hàm f ∈ ℒX,  gọi là hàm khả tích Lebesgue trên X theo độ đo  Chú ý rằng tính đo được của f dẫn đến tính đo được của |f| (môđun của f), do đó  |f|d được X xác định Nếu chỉ xét một độ đo , không sợ... , và ta gọi  sd là tích phân của s trên E E Chú thích 2.1.1 Qui ước 0.  0 được dùng ở đây; có thể xảy ra rằng  j  0 và E ∩ A j    với một j nào đó Định nghĩa 2.1.2 Cho X, M,  là một không gian đo, cho E ∈ M và một hàm f : X → 0,  đo được trên X, M Ta đặt E fd  sup E sd : s là hàm đơn trên X sao cho 0 ≤ s ≤ f , và ta gọi  fd là tích phân Lebesgue của f trên E đối với độ đo. .. hết phụ thuộc vào độ đo cho trước và để cho rõ ta sẽ viết " P đúng h.h. trên E ", hay " P đúng a.e  trên E " Ví dụ như, nếu hai hàm f và g đo được trên X và nếu x ∈ X : fx ≠ gx  0, thì ta nói rằng f  g h.h  trên X Cho X, M,  là một không gian đo, với  là một độ đo dương trên X Khi đó ℒX,  là một không gian vectơ trên  đối với phép cộng và nhân thông thường Cho f và g ∈ ℒX,... 1.2.4 (Xem như bài tập) Cho X, M là một không gian đo được và hàm f : X →  hàm thực đo được trên X, M, và k ∈  Chứng minh rằng kf là hàm đo được trên X, M Hướng dẫn: Thật vậy, nếu k  0, thì x ∈ X : kfx  a  x ∈ X : fx  a  ∈ M, k còn nếu như nếu k ≤ 0, thì hiển nhiên Ví dụ 1.2.5 (Xem như bài tập) Cho X, M là một không gian đo được và và hàm f, g : X →  hai hàm thực đo được trên X,... không gian đo Ta gọi  là độ đo trên đồ thị X Định nghĩa 3.3.3 Cho c, d, M,  là một không gian đo và độ đo Lebesgue thu hẹp trên c, d Cho f  f 1 ,   , f n  ∈ C 1 c, d;  n  Ta đặt X  fc, d, N  fE : E ∈ M, A   −1 f A ′2 ′2 f 1     f n d, ∀A ∈ N Khi đó X, N,  là một không gian đo Ta gọi  là độ đo trên đường cong X Định lý 3.3.1 Cho c, d, M,  và X, N, ... M Khi đó , M,  là một không gian đo và độ đo dương  gọi là độ đo Lebesgue trên  30 Định lý 3.1.6 (i) Cho E ∈ M và B ⊂  sao cho B ⊂ E và E  0 Khi đó B ∈ M (ii) M chứa tất cả các tập mở và đóng của  (iii) Với mọi E ∈ M ta có E  inf G : E ⊂ G, G mở trong  (iv) Với mọi E ∈ M ta có E  sup K : K ⊂ E, K compact trong  (v) Với mọi E ∈ M, và a ∈  a ≠ 0, ta có a  E  E,... Định nghĩa 3.2.5 Đặt  n A   ∗ A, A ∈ M n Khi đó  n , M n ,  n  là một không gian đo và độ đo dương  n gọi là độ đo Lebesgue trên  n Nếu E ∈ M n thì ta nói E là tập Lebesgue đo được Định lý 3.2.6 (i) Cho E ∈ M n và B ⊂  n sao cho B ⊂ E và  n E  0 Khi đó B ∈ M n (ii) M n chứa tất cả các tập mở và đóng của  n (iii) Với mọi E ∈ M n ta có  n E  inf  n G : E ⊂ G, G mở trong  n...   0 n1 n→ Ví dụ 2.2.2 (Xem như bài tập) Cho f : X → −,  và f ∈ ℒX,  Chứng minh rằng x ∈ X : |fx|    0 Hướng dẫn: Dùng bài tập trên với f thay bởi |f| Ví dụ 2.2.3 (Xem như bài tập) Cho X, M,  là một không gian đo với độ đo dương  (a) Giả sử f : X → 0,  đo được, E ∈ M và  fd  0 Chứng minh rằng f  0 a.e E trên E (b) Giả sử f ∈ ℒX,  và  fd  0 ∀E ∈ M Chứng minh rằng . f −  f. 15 Chương 2. TÍCH PHÂN VỚI ĐỘ ĐODƯƠNG TỔNG QUÁT 1. TÍCH PHÂN HÀM DƯƠNG ĐO ĐƯỢC Định nghĩa2.1.1.ChoX,M là một không gian đo được và cho hàm  là một độ đotrênM.ChoE ∈ M và một hàm đơn không. gian đo, cho E ∈ M và một hàm f : X → 0, đo đượctrênX,M.Tađặt  E fd  sup  E sd : s là hàm đơntrênX sao cho 0 ≤ s ≤ f , và ta gọi  E fd là tích phân Lebesgue của f trên E đốivới độ đo. 2.1.2.Một hàm số có thể có nhiều tích phân tùy vào cách chọn độ đo. Định lý 2.1.1.ChoX,M, là một không gian đo, cho A, B, E ∈ M, 0 ≤ c   và hai hàm f, g : X → 0, đo đượctrênX,M.Khiđótacó (i)  E fd