độ đo và tích phân – nguyễn bích huy

Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F.. 2 Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F... Độ đo Lebesgue trên R Tồn tại một σ−đại số F các tập con

ii Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F

2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X, F ) gọi là một không gian đo được

; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được đối với F hay F − đo được)

Tính chất

Giả sử F là σ−đại số trên X Khi đó ta có :

1) ø ∈ X

Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F

2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F

3) Nếu A ∈ F , B ∈ F thì A \ B ∈ F

2 Độ đo

Định nghĩa :

Cho một không gian đo được (X, F )

1) Một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞] được gọi là một độ đo nếu :

Giả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞ Ta quy ước :

Độ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là :

1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞

2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {An} ⊂ F sao cho

3 Độ đo Lebesgue trên R

Tồn tại một σ−đại số F các tập con của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theoLebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọi là độ đo Lebesguetrên R ) thỏa mãn các tính chất sau :

1) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng, là (L)−đo được Nếu I làkhoảng với đầu mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞) thì µ(I) = b − a

2) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L)−đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0

3) Tập A ⊂ R là (L)−đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập đóng F , tập mở

G sao cho

F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε4) Nếu A là tập (L)−đo được thì các tập x + A, xA cũng là (L)−đo được và :

µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A)5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn

2 PHẦN BÀI TẬP

1 Bài 1 Cho không gian độ đo (X, F, µ), tập Y 6= ø và ánh xạ ϕ : X −→ Y Ta định nghĩa :

A = {B ⊂ Y : ϕ−1(B) ∈ F }

γ(B) = µ(ϕ−1(B))Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên A

• Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo

Với B ∈ A ta có ϕ−1(B) ∈ F nên số µ[ϕ−1(B)] xác định, không âm Vậy số γ(B) ≥ 0,xác định

2 Bài 2 Cho không gian độ đo (X, F, µ) và các tập An∈ F (n ∈ N∗) Đặt :

nên

µ(Ck) ≥ µAk ∀k ∈ N∗và

ii Nếu A1, A2 ∈ F, A1∩ A2 = ø thì µ(A1∪ A2) = µ(A1) + µ(A2)

(Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn)

GiảiGiả sử Bn ∈ F (n ∈ N∗), Bn∩ Bm = ø (n 6= m) và B =

Cho n → ∞ trong (2) ta có (1).

4 Bài 4 : Ký hiệu µ là độ đo Lebesgue trên R Cho A ⊂ [0, 1] là tập (L)−đo được vàµ(A) = a > 0 Chứng minh rằng trong A có ít nhất một cặp số mà hiệu của chúng là sốhữu tỷ

Giải

Ta viết các số hữu tỷ trong [0, 1] thành dãy {rn}n và đặt An = rn+ A (n ∈ N∗) Ta chỉcần chứng minh tồn tại n 6= m sao cho An∩ Am 6= ∅ Giả sử trái lại, điều này khôngđúng Khi đó ta có

Do đó vế phải của (1) bằng +∞ còn vế trái ≤ 2, vô lý

5 Bài 5 : Cho tập (L)− đo được A ⊂ R Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ Cvới B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L)−đo được, có độ đo Lebesgue bằng 0

Giải

Do tính chất 3) của độ đo Lebesgue, với mỗi n ∈ N∗ta tìm được tập mở Gn ⊃ A sao choµ(Gn\ A) < 1

nĐặt B =

µ(C) ≤ 1

n ∀n = 1, 2, Vậy µ(C) = 0

6 Bài 6 : Cho tập L− đo được A ⊂ [0, 1] với µ(A) = a > 0 Chứng minh:

1) Hàm f (x) = µ(A ∩ [0, x]) liên tục trên [0, 1]

2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo được, µ(B) = b

Giải1) Với 0 ≤ x < y ≤ 1 ta có

f (y) =µ(A ∩ [0, y])

=µ(A ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y])

⇒ f (y) − f (x) = µ(A ∩ (x, y])

⇒ 0 ≤ f (y) − f (x) ≤ y − x

Do đó f liên tục trên [0, 1]

2) Ta có f (0) = 0, f (1) = a và f liên tục nên tồn tại xo ∈ (0, 1) thỏa f (xo) = b hayµ(A ∩ [0, xo]) = b Tập B := A ∩ [0, xo] cần tìm

Các tập hợp A[f ≤ a], A[f > a], A[f ≥ a] được định nghĩa tương tự.

Ta nói hàm f đo được trên A (đo được đối với σ-đại số F hay F -đo được) nếu:

A[f < a] ∈ F , ∀a ∈ RĐịnh lý 1:

Các mệnh đề sau tương đương

1) f đo được trên A

3 Hàm đo được theo Lebesgue

Hàm đo được đối với σ-đại số các tập (L) đo được gọi là hàm đo được theo Lebesgue hay(L) đo được

Định lý 2

Nếu A ⊂ R là tập (L)-đo được và hàm f : A → R liên tục thì f là hàm (L)-đo được

4 Hàm đơn giản

Định nghĩa : Cho không gian đo được (X, F ) và tập A ∈ S

Hàm f : A → R gọi là hàm đơn giản nếu nó có dạng

Như vậy, hàm đơn giản là hàm đo được, chỉ nhận hữu hạn giá trị

g đo được trên A2 và A3 vì là hàm hằng trên các tập này

g đo được trên A1 vì f đo được trên A1

Do đó g đo được trên A1∪ A2∪ A3 = X

Cách 2:

Ta dễ dàng kiểm tra rằng g(x) = min{b, max{a, f (x)}}

Từ các hàm đo được qua phép lấy max, min ta nhận được hàm đo được Do đó g

đo được

Bài 2 : 1) Cho các hàm f, g : X → R đo được Chứng minh tập

A := {x ∈ X : f (x) = g(x)} là đo được (nghĩa là thuộc F )

2) Cho dãy hàm {fn} đo được trên X Chứng minh rằng tập

n→∞µ(A\An) = 0Chú ý rằng f bị chặn trên An Do đó ta chỉ cần chọn B = An khi n đủ lớn.

Bài 4 : Cho không gian đo được (X, F ) và các hàm f1, f2 : X → R đo được, hàm F : R2 → R

là (L)-đo được trên (a, b)

Thật vậy, trên (a, b −n1) hàm fn liên tục (vì f khả vi nên f liên tục) trênb − 1

n, b

fn cũng là hàm liên tục nên fn là (L)- đo được)

Từ (1),(2) ta có f0 là (L)-đo được

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)

Phần 3 Độ Đo Và Tích Phân

§3 TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE

Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán

(Phiên bản đã chỉnh sửa)

PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006

1 PHẦN LÝ THUYẾT

1 Điều kiện khả tích theo Riemann

Nếu hàm f khả tích trên [a, b] theo nghĩa tích phân xác định thì ta cũng nói f khả tíchtheo Riemann hay (R)−khả tích

Định lý 1

Hàm f khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điiều kiện sau :

i f bị chặn

ii Tập các điểm gián đoạn của f trên [a, b] có độ đo Lebesgue bằng 0

2 Định nghĩa tích phân theo Lebesgue

Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ∈ F, f : A −→ R là hàm đo được

(a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A và f =

(c) Nếu f là hàm đo được thì f+(x) = max{f (x), 0}, f−(x) = max{−f (x), 0} là cáchàm đo được, không âm và ta có f (x) = f+(x) − f−(x) Nếu ít nhất một trong cáctích phân

Z

A

f+dµ,Z

Do vậy ta nói "f (x) = g(x) hkn trên A " thì có nghĩa là µ(B) = 0

2) Nếu f đo được trên A thì tập B = {x ∈ A : |f (x)| = +∞} thuộc F Ta nói "fhữu hạn hkn trên A" thì có nghĩa µ(B) = 0

3) Cho các hàm đo được fn, f (n = 1, 2, ) Ta nói "Dãy {fn} hội tụ hkn trên A

về F thì có nghĩa B = {x ∈ A : fn(x) 6→ f (x)} có độ đo 0

Sự không phụ thuộc tập độ đo 0

Nếu µ(A) = 0 và f đo được trên A thì

• Nếu f đo được trên A thì f khả tích trên A khi và chỉ khi |f | khả tích trên A

• Nếu f đo được, g khả tích trên A và |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f cũng khả tíchtrên A

• Nếu f đo được, bị chặn trên A và µ(A) < ∞ thì f khả tích trên A

4 Qua giới hạn dưới dấu tích phân

Định lý Levi (hội tụ đơn điệu)

5 Liên hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue

Nếu A ⊂ R là tập (L)−đo được thì tích phân theo độ đo Lebesgue cũng ký hiệu(L)

f±dµ < ∞ Suy ra f khả tích (Bài này cũng có thể

giải dựa vào bất đẳng thức |f (x)| ≤ |g(x)| + |h(x)|)

Bài 2

1 Cho hàm số f ≥ 0, đo được trên A Xét các hàm

1 Ta dễ dàng kiểm tra rằng fn(x) = min{n, f (x)} Do đó :

• fn(x) đo được, không âm

• Sử dụng tính chất σ−cộng của tích phân ta suy ra γ có tính σ−cộng

2 • Đầu tiên ta kiểm tra rằng đẳng thức đúng khi f là hàm đơn giản, không âm :

Từ đây ta có đpcm

(Phương pháp chứng minh đã biết)

Lấy tích phân hai vế ta có d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)

2 Ta cần chứng minh lim

n→∞d(fn, f ) = 0Đặt hn= |fn− f |

Cho f là hàm đo được, dương, hữu hạn hkn trên A Với mỗi k ∈ Z đặt Ak = {x ∈ A : 2k−1 <

f (x) ≤ 2k} Chứng tỏ rằng f khả tích trên A khi và chỉ khi :

Vì 2k−1µ(Ak) ≤

A k

f dµ ≤ 2kµ(Ak) ta có

12

Vì các hàm fn đo được nên f đo được

Vì dãy {fn} hội tụ đều trên A về f nên có số no ∈ N∗ thỏa mãn

|fn(x) − f (x)| ≤ 1 ∀x ∈ A, ∀n ≥ no (1)

• Từ (1) ta có |f (x)| ≤ 1 + |fn(x)| Vì µ(A) < ∞ nên hàm 1 + |fn| khả tích trên A Do đó

f khả tích trên A

• Cũng từ (1) ta có |fn| ≤ 1 + |f | trên A (∀n ≥ no) và hàm 1 + |f | khả tích trên A Ápdụng định lý Lebesgue ta có đpcm

• fn (L)−đo được trên [0, ∞).

• Với mỗi x ∈ [0, ∞) thì x ∈ [0, n] khi n đủ lớn, do đó :

Giải

Ở đây ta không thể áp dụng định lý Lebesgue cho dãy hàm fn(x) = nx

n

1 + x vì không tìm đượchàm g khả tích sao cho |fn(x)| ≤ g(x) ∀n