Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân phần 2

Chương Tích phân Lebesgue trừu tượng Hàm khả tích Bây giờ, ta xét trường hợp hàm f định nghĩa E nhận giá trị R, R C 5.1 5.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa ∗ Hàm f đo từ (E, B, µ) vào (R, BR ) gọi µ − khả tích f + dµ < +∞ E ∗ f − dµ < +∞ E Ta đặt: ∗ f dµ = L(f ) = E f E f − dµ dµ − E E f − dµ f + dµ − = ∗ + E Điều mở rộng trường hợp hàm f ≥ (f − = 0) L(f ) gọi tích phân Lebesgue trừu tượng f E (Ta cần xét trường hợp E A ∈ B hệ thức: f · 1A dµ f dµ = A E thiết lập cho trường hợp hàm dương suy rộng cho trường hợp tổng quát này) 5.1.2 Ví dụ Ta lấy lại ví dụ nêu chương 5.1 Định nghĩa tính chất 60 Độ đo Dirac: δa khối lượng điểm a Với A, ta có: ∗ 1A dδa = 1A (a) = δa (A) = a ∈ A a ∈ /A E Mặt khác giả sử f ≥ f −→ f (a) thỏa mãn điều kiện (i) (ii) định lý tồn tại, đẳng thức chứng tỏ thỏa mãn (iii), đó: ∗ f dδa = f (a) E Vậy f δa − khả tích f (a) < +∞ (f ≥ 0) Với f bất kỳ, f δa − khả tích |f (a)| < ∞ Độ đo rời rạc: µ hình thành khối lượng αn đặt điểm xn với phương pháp, ta có kết quả: ∗ αn · f (xn ) f dµ = n E Như f µ − khả tích ∗ ∞ f (n) f µ − khả tích chuỗi f dµd = tổng Trường hợp riêng αn · |f (xn )| < ∞, tức họ khả n n=1 N {f (n)} hội tụ tuyệt đối Độ đo Borel Lebesgue R: Đối với độ đo này, ta thấy sau lớp quan trọng hàm mà tích phân định nghĩa tích phân Riemann Tương tự độ đo Borel-Stiltjes R với tích phân Riemann -Stieltjes 5.1.3 Hệ Suy từ tính chất f + f − : Nếu f hàm giá trị thực (chứ không dương) ánh xạ υ : A −→ υ(A) = f dµ A không độ đo dương (mà có dấu) Nhưng hàm tập σ − cộng tính, tức là: ∞ f dµ, f dµ = ∞ ∪ Ai i=1 A Ai ∩ Aj = ∅, i = j i Mọi hàm f µ − khả tích hữu hạn µ − hkn Nếu f = g µ − hkn f µ − khả tích g µ − khả tích ta có: L(f ) = L(g) 5.1 Định nghĩa tính chất 61 Định lý 5.1 (i) Không gian hàm thực µ−khả tích R−không gian tuyến tính ánh xạ L : f −→ L(f ) = f dµ phiếm hàm tuyến tính không gian E (ii) Nếu f đo được, g µ − khả tích |f | ≤ g Khi đó, f µ − khả tích (iii) Hàm f đo µ−khả tích |f | Với hàm f µ−khả tích, ta có |L(f )| ≤ L(|f |) Dấu xảy f có dấu không đổi µ − hkn Chứng minh (i) Giả sử: f = f1 − f2 , f1 f2 ≥ 0, µ − khả tích Khi đó, f µ − khả tích Thực vậy: f + = sup(f, 0) = f1 − inf(f1 , f2 ) f − = sup(−f, 0) = f2 − inf(f1 , f2 ) Do L(f + ) ≤ L(f1 ) < ∞ L(f − ) ≤ L(f2 ) < ∞ Suy f µ − khả tích Hơn L(f ) = L(f1 ) − L(f2 ) Thực f + − f − = f1 − f2 , suy f + + f2 = f − + f1 Suy L(f + + f2 ) = L(f − + f1 ) (cộng tính với hàm dương) Do đó: L(f + ) − L(f − ) = L(f1 ) − L(f2 ) số hạng hữu hạn Bây giả sử f g µ − khả tích Khi đó: h = f + g = f + + g + − (f − + g − ) = h1 − h2 ta áp dụng kết phần trên: L(f + g) = L(h1 ) − L(h2 ) = L(f + + g + ) − L(f − + g − ) Suy L(f + g) = L(f ) + L(g) Ta suy L(αf + βg) = αL(f ) + βL(g) ∗ f + dµ < ∞ (ii) |f | ≤ g, f + + f − ≤ g, suy f + ≤ g f − ≤ g Khi E ∗ f − dµ < ∞ Suy f khả tích E (iii) Nếu f µ − khả tích, f + f − nên |f | = f + + f − khả tích (µ − khả tích) Ngược lại |f | khả tích, suy f µ − khả tích theo (ii) Hơn nũa: E f − dµ ≤ f + dµ − f dµ = E E f − dµ f + dµ + E E Suy f dµ ≤ E |f | dµ E Ghi chú: f đo được, suy |f | đo được, ngược lại sai Từ cần thiết phải xác hóa f − đo (ii) (iii) 5.1 Định nghĩa tính chất 62 Định lý 5.2 Nếu f µ − khả tích với ε > 0, tồn δ(ε, f ) cho với A ∈ B với µ(A) ≤ δ thì: |f | dµ ≤ ε A Chứng minh Phương pháp cắt cụt: Giả sử {fn } dãy định nghĩa bởi: |f (x)| n fn (x) = |f (x)| ≤ n |f (x)| ≥ n {fn } dãy hàm dương, đo được, {fn } tăng ta có: sup fn = |f | Theo định lý Beppo-Levi: |f | dµ = lim fn dµ n E E ε ε (|f | − fn0 ) dµ ≤ Xét tập A ∈ B E cho µ(A) ≤ 2n0 Giả sử n0 thỏa mãn E Khi |f | dµ = A (|f | − fn0 ) dµ + A fn0 dµ A Suy |f | dµ ≤ ε + n0 µ(A) = ε A 5.1.4 Hàm nhận giá trị C Giả sử f = R(f ) + iJ(f ), theo định nghĩa: R(f ) dµ + i f dµ = E E J(f ) dµ E Các tính chất thấy mở rộng, chúng với hàm R(f ) J(f ) có giá trị thực Đặc biệt, ta chứng minh rằng: f dµ ≤ E |f | dµ E Giả sử L(f ) = 0, giả sử α ∈ C: R(αL(f )) = L(R(αf )) ≤ L(|α| · |f |) = |α| · L(|f |) Đặt α = L(f ) , ta có |α| = Suy |L(f )| ≤ L(|f |) |L(f )| Bài tập: Chứng minh rằng: dấu xảy f = eiα ϕ µ − hkn, α thực, ϕ hàm nhận giá trị dương (BT 3) 5.2 Định lý hội tụ 5.2 63 Định lý hội tụ Định lý 5.3 (Beppo-Levi) Giả sử {fn } dãy tăng hàm µ − khả tích, nhận giá trị R Khi đó: lim fn dµ fn dµ = lim n→∞ n→∞ E E lim fn µ − khả tích Chứng minh Ta cần xét dãy {ϕn } định nghĩa bởi: ϕn = sup fn − fn , ϕn ≥ {ϕn } ∗ ϕ1 dµ < ∞ thỏa mãn dãy giảm Điều kiện E ∗ (lim fn ) dµ − ϕ1 dµ = E f1 dµ < ∞ n E E Áp dụng định lý 4.8, ta suy điều phải chứng minh Định lý 5.4 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) Giả sử {fn } dãy hàm đo thỏa mãn với n, |fn | ≤ g µ − hkn, với g µ − khả tích Khi đó: lim fn dµ ≤ lim (i) n→∞ fn dµ n→∞ E E lim fn dµ ≤ lim (ii) n→∞ fn dµ n→∞ E E (iii) Đặc biệt lim fn tồn µ − hkn lim n→∞ fn dµ = n→∞ E lim fn dµ n→∞ E ∗ Chứng minh Các fn µ − khả tích với n ∈ N Ta giả thiết |fn (x)| ≤ g(x), với x ∈ E với n ∈ N∗ (i) Vì −g(x) ≤ fn (x) ≤ g(x), ta có: fn (x) + g(x) ≥ Vậy ta áp dụng bổ đề Fatou cho dãy {fn + g} dãy hàm dương, đó: ( lim fn ) dµ ≤ g dµ + g dµ + lim n→∞ E fn dµ n→∞ E E E Suy điều phải chứng minh Nó coi mở rộng bổ đề Fatou với điều kiện phụ |fn | ≤ g (ii) Ta biết lim un = − lim (−un ) Sử dụng (i) suy điều phải chứng minh n→∞ n→∞ (iii) Suy từ (i) (ii) Kết (iii) mở rộng cho trường hợp dãy hàm nhận giá trị phức Định lý 5.5 (Lebesgue hội tụ giới nội đều) Giả sử {fn } dãy hàm đo thỏa mãn: lim fn = f µ−hkn, với |fn | ≤ M < ∞ với n ∈ N∗ Khi µ(E) < ∞, n→∞ ta có: lim fn dµ = E lim fn dµ = E f dµ E 5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp độ đo Lebesgue) 64 Chứng minh Đơn giản hệ định lý 5.4 hàm M µ − khả tích E độ đo µ(E) < ∞ (giới nội) Ví dụ: fn (x) = e−nx cos nx [0, A], |fn (x)| ≤ [0, A] Khi đó: n→∞ e−nx cos nx dλ −−−→ [0,A] 5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp độ đo Lebesgue) 5.3.1 Nhắc lại tích phân Riemann Giả sử f hàm xác định bị chặn [a, b], đoạn giới nội Ta xét phân hoạch P đoạn [a, b] thành khoảng {I1 , I2 , , In } Độ dài khoảng Ip ký hiệu |Ip | Các tổng Darboux gắn với f P định nghĩa bởi: n n (sup f (x)) · |Ik | S(f, P ) = k=1 (inf f (x)) · |Ik | s(f, P ) = Ik k=1 Ik ta xét: S∗ (f ) = inf S(f, P ) P ∈P s∗ (f ) = sup s(f, P ) P ∈P P ký hiệu tập hợp tất phân hoạch [a, b] Ta biết f khả tích b Riemann S∗ (f ) = s∗ (f ) giá trị chung ký hiệu f (x) dx, gọi tích a phân Riemann hàm f đoạn [a, b] 5.3.2 Hàm f ∗ f∗ n j Trong phần tiếp theo, ta sử dụng phân hoạch {Pj }∞ j=1 với Pj = {Ij,k }k=1 cho sup |Ij,k | → j → ∞, hàm f j fj gắn với Pj sau: k nj j nj (sup f (x)) · 1Ij,k f = k=1 (inf f (x)) · 1Ij,k fj = Ij,k k=1 Ij,k Định nghĩa f ∗ f∗ , ta đăt: f ∗ (x) = lim f (y) = lim sup f (y) f∗ (x) = lim f (y) = lim inf f (y) y→x y→x Tính chất: (i) f∗ (x) ≤ f (x) ≤ f ∗ (x) ε→0 y∈[x−ε,x+ε] ε→0 y∈[x−ε,x+ε] 5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp độ đo Lebesgue) 65 (ii) lim f j = f ∗ λ − hkn, lim fj = f∗ λ − hkn j→∞ j→∞ (iii) f ∗ f∗ đo f ∗ dλ = S∗ (f ), (iv) [a,b] f∗ dλ = s∗ (f ) [a,b] Chứng minh (i) suy trực tiếp, trường hợp lại ta chứng minh cho f ∗ , với f∗ chứng minh tương tự (ii) Giả sử x0 ∈ [a, b], x0 không thuộc đầu mút khoảng Ij,k , với k = 1, 2, , nj với j Khi tồn ε0 (phụ thuộc j k) cho: [x0 ε0 , x0 + ε] ⊂ Ij,k Khi f ∗ (x0 ) ≤ f (y) ≤ sup f (x) = f j (x0 ) sup x∈Ij,k y∈[x0 −ε0 ,x0 +ε0 ] qua giới hạn j: f ∗ (x0 ) ≤ lim f j (x0 ) Ngược lại với ε > 0, điều kiện lim sup |Ij,k | = j→∞ k Suy tồn j0 (phụ thuộc x0 ε) k cho Ij,k ⊂ [x0 − ε, x0 + ε] với j > j0 Suy bất đẳng thức: lim fj (x0 ) ≤ f ∗ (x0 ) j→∞ Suy điều phải chứng minh cho x0 ∈ / ∂Ij,k với k, với j Do tập hợp x ∈ ∂Ij,k với k, với j tập hợp đếm có độ đo Lebesgue 0, ta có: (iii) Các hàm f j đo được, chúng hàm bậc thang tập Lebesgue đo Từ (ii) suy f∗ đo (iv) Ta áp dụng định lý hội tụ giới nội (định lý 5.5) dãy hàm f j f giới nội Khi f ∗ dλ f j dλ = lim [a,b] [a,b] Nhưng nj lim j j→∞ [a,b] (sup f (x)) · |Ij,k | = S∗ (f ) f dλ = lim j→∞ k=1 Ij,k theo tính chất S∗ (f ) 5.3.3 Hệ Từ tính chất mà ta có: f khả tích Riemann khi: f ∗ dλ = [a,b] f∗ dλ [a,b] mà f∗ (x) ≤ f (x) ≤ f ∗ (x) điều kiện: f ∗ dλ − [a,b] [a,b] (f ∗ − f∗ ) dλ = f∗ dλ = [a,b] 5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số 66 Suy f ∗ = f∗ = f λ − hkn ngược lại Do f R − khả tích suy f đo được, L − khả tích Khi b f dλ = f (x) dx a [a,b] Hơn f ∗ = f∗ λ − hkn f liên tục λ − hkn Suy định lý Lebesgue đây: Định lý 5.6 (Lebesgue) Một hàm giới nội [a, b] khả tích Riemann [a, b] liên tục hầu khắp nơi độ đo Lebesgue Khi khả tích theo nghĩa Lebesgue hai tích phân Tính chất hai tích phân suy rộng cho tích phân suy rộng Riemann hội tụ tuyệt đối, không tích phân bán hội tụ Thực trường hợp đầu cần xét hàm dương định nghĩa dãy {fn }: fn (x) = f (x) x ∈ [a, n] x > n n +∞ f (x) dx = Theo định lý a lim n→∞ [a,∞[ fn dλ n f (x) dx = lim a [a,∞[ f (x) dx n→∞ a f dλ {fn } dãy tăng, suy dấu fn dλ = [a,∞[ Kết luận: Những định lý hội tụ chứng minh độ đo Lebesgue áp dụng khuôn khổ tích phân Riemann Trong thực hành, ta có lợi sử dụng cách hệ thống (nếu có thể) định lý Lebesgue (hội tụ bị trị, hội tụ bị chặn) cho phép "tiết kiệm" hội tụ 5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số f hàm từ E × [a, b] → R Ta giả thiết hàm x −→ ft (x) = f (x, t) đo với t ∈ [a, b] (ft ∈ M(E, B; R, BR )) ta quan tâm đến tính chất hàm t −→ f (x, t) dµ(x) với µ độ đo dương B E Định lý 5.7 (Tính liên tục) Giả sử lim f (x, t) = l(x) với x ∈ E, t0 ∈ [a, b], t→t0 |f (x, t)| ≤ g(x), g µ − khả tích với t ∈ [a, b] Khi lim f (x, t) dµ(x) = t→t0 E l(x) dµ(x) E Chứng minh Giả sử {tn } ⊂ [a, b] tn → t0 n tiến vô Ta xét dãy {fn }: fn : x −→ fn (x) = f (x, tn ) ta áp dụng định lý hội tụ bị trị 5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số 67 Hệ quả: Nếu hàm t −→ f (x, t) liên tục đoạn [a, b] với x ∈ E tồn hàm g µ − khả tích E cho |f (x, t)| ≤ g(x) Khi hàm số: F : t −→ F (t) = f (x, t) dµ(x) E liên tục [a, b] Ví dụ: a tf (x) π dx = f (0+ ) 2 t +x lim a→0 (f liên tục [0, a], đặt x = tX) Định lý 5.8 (Tính khả vi) Với điều kiện sau đây: (i) Tồn t0 ∈ [a, b] cho x −→ f (x, t0 ) µ − khả tích E (ii) ∂f tồn E × [a, b] ∂t (iii) Tồn hàm g µ − khả tích E cho: Khi đó, hàm số t −→ F (t) = ∂f (x, t) ≤ g(x) với t ∈ [a, b] ∂t f (x, t) dµ(x) khả vi [a, b] ta có: E dF (t) d = dt dt df (x, t) dµ(x) dt f (x, t) dµ(x) = E E ∂f f (x, tn ) − f (x, t) f (x, tn ) − f (x, t) (x, t) = lim , x ∈ E Nhưng ϕn (x) = tn →t ∂t tn − t tn − t ∂f hàm đo (theo x) Suy (x, t) đo với t ∈ [a, b] Áp dụng định ∂t lý số gia hữu hạn ∂f f (x, t) − f (x, t0 ) = (t − t0 ) · (x, θ) ∂t ta có: Chứng minh |f (x, t)| ≤ |f (x, t0 )| + (t − t0 )g(x) (theo gt (iii)) Suy x −→ f (x, t) µ − khả tích (giả thiết (ii)v(iii)) với t ∈ [a, b] Mà F (tn ) − F (t) = tn − t f (x, tn ) − f (x, t) dµ(x) tn − t E theo (iii), ta áp dụng định lý hội tụ bị trị f (x, tn ) − f (x, t) ≤ g(x) tn − t Suy điều phải chứng minh Ghi chú: Ta ý điều kiện (i): Không cần phải giả thiết x −→ f (x, t) µ − khả tích với t Điều suy từ (ii) (iii) 5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số 68 Định lý 5.9 (Tính khả tích Riemann) Dưới điều kiện sau: (i) t −→ f (x, t) liên tục [a, b] với x ∈ E (ii) Tồn g µ − khả tích E cho: |f (x, t)| ≤ g(x) Khi đó, hàm số t −→ F (t) = f (x, t) dµ(x) khả tích Riemann [a, b] ta có: E b b b F (t) dt = a f (x, t) dt dµ(x) f (x, t) dµ(x) dt = a E E a Chứng minh Các tích phân theo t tích phân Riemann Đặt h hàm định nghĩa E × [a, b] bởi: t (x, t) −→ h(x, t) = f (x, s) ds a ∂h = f (x, t) (vì f : t −→ f (x, t) liên tục) Do tích phân Riemann tồn tại, ∂t giới hạn dãy tổng Riemann Suy ánh xạ x −→ h(x, t) đo với Khi t ∈ [a, b] Mặt khác |f (x, t)| ≤ g(x), suy |h(x, t)| ≤ (b − a)g(x) nên x −→ h(x, t) µ − khả tích E với t ∈ [a, b] Đặt H : t −→ H(t) = h(x, t) dµ(x), áp dụng lên E H định lý trước: ∂h (x, t) dµ(x) = ∂t dH(t) = dt E f (x, t) dµ(x) = F (t) E Từ đó, ta nhận được: b F (t) dt = H(b) − H(a) = a (h(x, b) − h(x, a)) dµ(x) E b b F (t) dt = a f (x, t) dt dµ(x) E a Vấn đề liên quan đến định lý đổi thứ tự lấy tích phân tích phân Riemann tích phân Lebesgue Trường hợp hai tích phân Lebesgue xét phần tích phân theo độ đo tích (Định lý Fubini, chương 8) Ghi chú: Các tính chất liên quan đến x đòi hỏi với µ − hkn +∞ Ví dụ: (BT 8) Xét tính liên tục khả vi hàm: t −→ F (t) = √ π F −F =− √ t e−tx dx Suy + x2 6.8 Bài tập chương 91 (b) Trong trường hợp p = Chứng minh điều kiện sau dẫn đến hội tụ mạnh: yếu (i) fn −−→ f (n → ∞) (ii) ||fn ||2 → ||f ||2 (n → ∞) Bài (a) Ta thấy phiếm hàm tuyến tính định nghĩa L1 bởi: f −→ Φ(f ) = f g dµ, g ∈ L∞ E phiếm hàm tuyến tính liên tục L1 có chuẩn ||g||∞ µ σ − hữu hạn (b) Bây giờ, ta xét hoàn cảnh tổng quát hơn: giả sử µ có tính chất tập có độ đo hữu hạn, tức là: ∀A ∈ B, µ(A) > 0, ∃B ∈ B, B ⊂ A với < µ(B) < +∞ (F) (α) Chứng minh với điều kiện (F), tính chất (a) Hướng dẫn: xét tập A = {x : |g(x)| > ||g||∞ − ε} chứng minh định lý 6.11 (β) Chứng minh tính chất (F), ta xác định hàm g ∈ L∞ cho: ||g||∞ = f g dµ = với f ∈ L1 E ˆ R , λ) Bài 10 Trong không gian có độ đo (R, B (a) Giả sử {fn } dãy hàm định nghĩa R với n ≥ bởi: fn (x) = nα , (|x| + n)β β > Chứng minh cách tính ||fn ||p fn ∈ Lp , p ∈ [1, +∞] với α (b) Chứng minh với γ, hàm gn định nghĩa R bởi: gn (x) = nγ · e−n|x| ∈ Lp , ∀p ∈ [1, ∞] (c) Suy từ (a) (b) ≤ p ≤ q ≤ ∞, topo cảm sinh lên Lp ∩ Lq topo Lp Lq không so sánh Chương Các dạng hội tụ Ta cố định không gian xác xuất (E, B, µ) Hội tụ µ − hầu 7.1 7.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 7.1 Ta nói {fn } hội tụ µ − hầu E f với ε > 0, tồn Aε ∈ B với µ(Aε ) ≤ ε cho {fn } hội tụ f CAε = Acε Ta viết {fn } hội tụ µ − hđ hay lim fn = f µ − hđ n→∞ Chú ý là: hội tụ µ − hđ hội tụ tập có độ đo không Xem ví dụ sau: fn = n · 1 , n 2n fn → µ − hđ R tập µ − không để {fn } hội tụ tập Hệ trực tiếp: • Hội tụ kéo theo hội tụ µ − hđ • Hội tụ µ − hđ kéo theo hội tụ µ − hkn Nhưng điều ngược lại nói chung không c A = ∩n≥1 A , µ(A) = 0, w ∈ Ac ⇔ w ∈ ∪∞ n=1 A tồn n ≥ cho n n→∞ n w ∈ Ac1 ⇒ fn (w) −−−→ f (w) n 7.1.2 Định lý Egoroff Định lý 7.1 (Định lý Egoroff) Nếu µ bị chặn {fn } hội tụ µ − hkn f {fn } hội tụ µ − hđ f Chứng minh Có thể giả thiết fn → f khắp nơi E Cho K số tự nhiên cố định Am ∩ {x : |fn (x) − f (x)| < }, m = 1, 2, n>m k 7.2 Hội tụ theo độ đo 93 ∞ ∞ ∞ {Am } dãy tăng ∪ Am = E Thật ∪ Am ⊂ E, cm ∪ Am ⊃ E m=1 m=1 m=1 n→∞ x ∈ E ⇒ fn (x) −−−→ f (x) Như tồn n0 cho với n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < , k ∞ k cố định ⇒ x ∈ An0 Do ∪ Am = E {Am } dãy tăng nên tồn mk (= m(ε, k)) m=1 cho: µ(Amk ) ≥ µ(E) − ε , 2k µ(Amk ) < ∞ ∞ ∞ Đặt A = ∪ CAmk ⇒ µ(A) ≤ k=1 µ(Amk ) ≤ ε CA = ∩ Amk , ta có CA ⊂ Amk ⇒ k=1 k=1 ∀x ∈ CA, ∀n ≥ mk ta có: ε 2k |fn (x) − f (x)| < k Như với k > 0, tồn mk cho n ≥ mk ⇒ sup |fn (x) − f (x)| < CA hội tụ CA với µ(A) < ε 7.1.3 Suy k Áp dụng: Xuất phát từ định lý Egoroff, ta nhận lại định lý Lebesgue hội tụ bị chặn: (fn − f ) dµ ≤ E |fn − f | dµ = E |fn − f | dµ + A |fn − f | dµ CA nên (fn − f ) dµ ≤ 2M ε + εµ(CA) E 7.1.4 Trường hợp µ không bị chặn Phản ví dụ: E = R, B = BR , µ = λ, fn = 1[n,n+1] , fn → khắp nơi R Dãy không hội tụ µ − hđ có tập mà λ(An ) = sup |fn | = Ở không áp dụng định lý Egoroff λ(R) = +∞ 7.2 7.2.1 Hội tụ theo độ đo Định nghĩa Định nghĩa 7.2 (i) Dãy hàm {fn } gọi dãy Cauchy theo độ đo fn đo ∀α > 0, ∀ε > tồn n0 cho: n, m ≥ n0 suy µ({x : |fn (x) − fm (x)| ≥ α}) ≤ ε (ii) Dãy {fn } gọi hội tụ theo độ đo hàm f đo fn đo được, ∀α > 0: lim µ({x : |fn (x) − f (x)| ≥ α}) = n→∞ Tính chất trực tiếp: 7.2 Hội tụ theo độ đo 94 • Hội tụ kéo theo hội tụ theo độ đo • Hội tụ µ − hkn nói chung không kéo theo hội tụ theo độ đo (Chỉ cần xét ví dụ trước: fn = 1[n,n+1] , fn → khắp nơi, nhiên {fn } không hội tụ theo độ đo) Đồng thời hội tụ theo độ đo không kéo theo hội tụ µ − hkn Xem ví dụ sau: f n = 1[ 7.2.2 j j+1 , ] 2k 2k , với n = j + 2k , j = 1, 2, , 2k − 1, k ∈ N Tính chất a) Nếu {fn } hội tụ theo độ đo f giới hạn µ − hkn Giả sử tồn f g, đó: |f (x) − g(x)| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − g(x)| Suy A(α) = {x : |f (x)−g(x)| ≥ α} ⊂ An ( α2 )∪Bn ( α2 ), với An ( α2 ) = {x : |f (x)−fn (x)| ≥ α } Bn ( α2 ) = {x : |fn (x) − g(x)| ≥ α > 0, nên f = g µ − hkn α }, với α > Như µ(A(α)) = với b) Mọi dãy hội tụ f theo độ đo dãy Cauchy theo độ đo Ta giả thiết f = Đặt An,m (α) = {x : |fn (x) − fm (x)| ≥ α} Khi An,m (α) ⊂ An ( α2 ) ∪ Am ( α2 ) cách đặt: An ( α2 ) = {x : |fn (x)| ≥ α2 } Do |fn (x) − fm (x)| ≤ |fm (x)| + |fn (x)| nên suy α α + µ Am ⇒ dpcm 2 c) Nếu {fn } dãy Cauchy theo độ đo tồn dãy {fnk } hội tụ µ(An,m ) ≤ µ An theo độ đo hàm f đo Khi dãy {fn } hội tụ theo độ đo f Kỹ thuật chứng minh giống trên, sử dụng: |fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fnk (x)| + |fnk (x) − f (x)| 7.2.3 Không gian metric hội tụ theo độ đo a) Ánh xạ f, g ∈ M −→ d(f, g) = inf{δ : δ > µ(A(δ)) ≤ δ}, A(δ) = {x : |f (x) − g(x)| ≥ δ}, định nghĩa nửa khoảng cách M (xem BT 2) Bằng cách chuyển qua không gian thương M Nµ (f ∼ g ⇔ f − g ∈ Nµ ), ta nhận khoảng cách không gian metric ⇒ đpcm b) Nếu µ độ đo bị chặn, chứng minh rằng: |f − g| dµ + |f − g| (f, g) −→ d(f, g) = E định nghĩa khoảng cách tương đương với khoảng cách trước (Xem BT 3) Định lý 7.2 Mọi dãy Cauchy theo độ đo hội tụ Nói cách khác, không gian metric hội tụ theo độ đo đầy đủ 7.2 Hội tụ theo độ đo 95 Chứng minh Ta cần chứng minh tồn dãy {fnk } hội tụ theo độ đo hàm f đo (i) Tồn dãy {gk } hội tụ µ − hkn hàm f đo Với k, tồn ∞ {gk } cho µ(Ak ) ≤ k với Ak = {x : |gk+1 (x) − gk (x)| ≥ 21k } Xét ∪ Aj = Bk ⇒ j=k µ(Bk ) ≤ k−1 với i ≥ j ≥ k x ∈ / Bk , ta nhận bất đẳng thức: i−1 |gi (x) − gj (x)| ≤ |gp+1 (x) − gp (x)| ≤ p=j 2i−1 + ··· + 1 ≤ j−1 j 2 (1) ∞ Đặt B = ∩ Bk (µ(B) = µ(B) = lim µ(Bk ) = 0) Vậy {gk (x)} dãy Cauchy với k→∞ x ∈ CB Đặt f sau: f (x) = lim gk (x) x ∈ CB x ∈ B Suy {gk } hội tụ f µ − hkn, f đo (ii) {gk } hội tụ µ − hầu f Suy từ bất đẳng thức (1): |gj (x) − f (x)| ≤ 2j−1 Suy {gi } hội tụ f CBk với µ(Bk ) ≤ ≤ 2k−1 ⇒ đpcm 2k−1 (iii) {gk } hội tụ theo độ đo f Chọn k cho µ(Bk ) ≤ k−1 ≤ inf(α, ε) Với j ≥ k, ta có: {x : |f (x) − gj (x)| ≥ α} ⊂ x : |f (x) − gj (x)| ≥ k−1 Suy µ({x : |f (x) − gj (x)| ≥ α}) ≤ µ(Bk ) < ε, ∀j ≥ k ⇒ dpcm Hệ quả: Ta suy từ điểm (i) (ii) chứng minh kết sau: • Hội tụ theo độ đo suy hội tụ µ − hkn dãy (Định lý Riesz) • Hội tụ theo độ đo suy hội tụ µ − hđ dãy (Không có khả có hội tụ dãy Xem phản ví dụ mục 7.2.1) 7.2.4 Hội tụ theo độ đo µ − hầu Định lý 7.3 Nếu dãy {fn } hàm đo được, hội tụ µ − hầu f hội tụ theo độ đo Ngược lại dãy hội tụ theo độ đo tồn dãy hội tụ µ − hầu Chứng minh Ta cần chứng minh phần đầu Tồn Aε cho µ(Aε ) ≤ ε {fn } hội tụ f CAε , nên với n ≥ n0 , tập hợp {x : |fn (x) − f (x)| ≥ α} chứa Aε độ đo nhỏ ε 7.3 Bài tập chương 7.2.5 96 Hội tụ theo độ đo µ − hầu Định lý 7.4 Nếu dãy {fn } hội tụ theo độ đo f tồn dãy hội tụ µ − hkn f Ngược lại {fn } hội tụ µ − hkn f µ(E) < ∞ dãy {fn } hội tụ theo độ đo f Chứng minh Ta cần chứng minh phần đảo Nó suy từ định lý Egoroff, áp dụng cho dãy {fn } µ(E) < ∞ từ định lý 7.3 7.2.6 Hội tụ theo độ đo hội tụ Lp Định lý 7.5 Nếu dãy {fn } hội tụ f Lp hội tụ f theo độ đo Chứng minh Đặt An (α) = {x : |fn (x) − f (x)| ≥ α} thì: |fn − f |p dµ ≥ αp µ(An (α)) |fn − f |p dµ ≥ E An (α) n→∞ n→∞ Vì α ≥ 0: ||fn − f ||p −−−→ ⇒ µ(An (α)) −−−→ Định lý 7.6 (Hội tụ bị trị (làm già)) Giả sử {fn } dãy hàm Lp , hội tụ theo độ đo f g ∈ Lp cho: |fn (x)| ≤ g(x) f ∈ Lp {fn } hội tụ f Lp Chứng minh (∗) f ∈ Lp Vì tồn dãy hội tụ f µ − hkn, hội tụ Lp f (∗∗) Giả sử {fn } không hội tụ f Lp tồn dãy {fnk } ε > cho: ||fnk − f ||p > ε với k = 1, 2, Vì {fnk } dãy con, hội tụ theo độ đo f ⇒ tồn dãy {gk } {fnk } hội tụ µ − hkn f Vậy {gk } hội tụ f Lp (định lý hội tụ bị trị làm già Lp ) Nhưng điều mâu thuẫn với ||gk − f ||p > ε với k Vậy {fn } hội tụ f Lp 7.3 Bài tập chương Bài Chứng minh định nghĩa hội tụ theo độ đo dãy {fn } f tương đương với định nghĩa sau: ∀ε > 0, ∃n0 cho n ≥ n0 ⇒ µ(Aε ) < ε, Aε = {x : |fn (x) − f (x)| ≥ ε} Bài Giả sử (E, B, µ) không gian có độ đo, M = M(E, B; R, BR ) Xét ánh xạ d : M × M −→ R+ định nghĩa bởi: (f, g) −→ d(f, g) = inf (δ > : µ(Aδ ) ≤ δ) δ 7.3 Bài tập chương 97 Aδ = {x : |f (x) − g(x)| ≥ δ} Chứng minh d nửa metric M Từ suy ra, ta xây dựng không gian metric cách chuyển qua không gian thương Không gian không gian metric hội tụ theo độ đo Bài Giả sử (E, B, µ) không gian xác xuất (µ(E) = 1), f hàm số đo Φ hàm Borel dương định nghĩa R (a) Ta giả sử Φ hàm chẵn không giảm [0, ∞[ Chứng minh bất đẳng thức kép với α ≥ 0: ∗ ∗ Φ(f (x)) dµ − Φ(α) E Φ(f (x)) dµ ≤ µ(Aα ) ≤ N∞ (Φ(f )) E Φ(α) Aα = {x : |f (x)| ≥ α} Chỉ bất đẳng thức kép E có độ đo hữu hạn (b) Nếu f ∈ Lp , p > Chứng minh rằng: αp µ(Aα ) ≤ Npp (f ), ∀α ≥ |x| + |x| Chứng minh tính chất sau: Không gian lớp tương đương M modulo theo Bài Giả sử µ(E) < ∞, sử dụng (a) tập hàm x −→ Φ(x) = quan hệ: f = g µ − hkn không gian metric đầy đủ định nghĩa khoảng cách: |f − g| dµ + |f − g| d(f , g) = (f g lớp tương đương f g) Hội tụ không gian tương đương với hội tụ theo độ đo Bài Cho không gian ([0, 1], B[0,1] , λ), ta xét dãy hàm: fn,m (x) = x ∈ m−1 m ;n n , m = 1, 2, , n; n = 1, 2, ngược lại Nghiên cứu hội tụ dãy {fn,m } Lp , theo độ đo, λ − hkn, λ − hđ Bài Cho Lp = Lp (R, BR , λ), < p < ∞ Ta xét fn = √ · 1[1,en ] Chứng minh n fn ∈ Lp fn hội tụ R Với trợ giúp hàm g : x −→ g(x) = · 1[1,∞] x Chứng minh {fn } không hội tụ yếu Lp Chứng minh trường hợp µ bị chặn: hội tụ kéo theo hội tụ yếu Bài Lp = Lp ([0, 1], B[0,1] , λ), fn = n · 1[0, ] Chứng minh fn → λ − hkn theo n độ đo, fn không hội tụ yếu Bài Chứng minh định lý sau: {fn } ⊂ Lp (E, B, µ), < p < ∞ thỏa mãn: 7.3 Bài tập chương 98 (i) ||fn ||p ≤ M , M số hữu hạn n→∞ (ii) fn −−−→ f µ − hkn yếu Khi fn −−→ f Lp Bài Chứng minh định lý tương tự tập cách thay (ii) (ii) : fn → f theo độ đo Bài 10 Lp = Lp ([a, b], B[a,b] , λ), < p < ∞, a b hữu hạn Chứng minh dãy {fn } ⊂ Lp hội tụ yếu f Lp khi: (i) ||fn || ≤ M fn (x) dλ → (ii) [a,y] f (x) dλ, ∀y ∈ [a, b] [a,y] Chương Độ đo tích Độ đo ảnh Độ đo cảm sinh 8.1 Độ đo tích Định nghĩa tính chất 8.1.1 Nhập môn Xét hai không gian đo (E1 , B1 ), (E2 , B2 ), với Bi σ − đại số E1 × E2 trang bị σ − đại số tích B = B1 ⊗ B2 B σ − đại số sinh tập có dạng A1 × A2 , Ai ∈ Bi , i = 1, (E1 , B1 , µ1 ), (E2 , B2 , µ2 ) hai không gian có độ đo tương ứng Rõ ràng (E1 × E2 , B1 ⊗ B2 ), ta định nghĩa nhiều độ đo khác thú vị xét độ đo mà xây dựng từ µ1 µ2 điều xảy cho phép tổng quát hóa tính chất tích phân bội Ta hoán vị thứ tự lấy tích phân trước tiên Ta chứng minh tồn độ đo, ký hiệu µ1 ⊗ µ2 cho ∀A ∈ B ta có : 1A (x)d(µ1 ⊗ µ2 ) = E1 ×E2 dµ1 E1 1A dµ2 = E2 dµ2 E2 1A dµ1 E1 µ1 µ2 σ − hữu hạn Ký hiệu: x ∈ E1 , y ∈ E2 , A ∈ B, ta gọi nhát cắt A x (hay y) tập hợp: Ax = {y : (x, y) ∈ A} (Ay = {x : (x, y) ∈ A}) Định nghĩa tính chất µ1 ⊗ µ2 8.1.2 Định lý 8.1 Giả sử µ1 µ2 hai độ đo σ − hữu hạn B1 B2 Khi với A ∈ B, ta có: (i) Ax ∈ B2 với x ∈ E1 , Ay ∈ B1 với y ∈ E2 (ii) x −→ µ2 (Ax ) hàm đo x (B1 -đo được) y −→ µ1 (Ay ) hàm đo y (B2 - đo được) ∗ ∗ µ2 (Ax ) dµ1 = (iii) E1 µ1 (Ay ) dµ2 E2 8.1 Độ đo tích Định nghĩa tính chất 100 n Chứng minh Bước Giả sử µ1 µ2 hữu hạn Đặt A = ∪ (Aj × Bj ), Aj ∈ E1 , j=1 Bj ∈ E2 , Aj × Bj đôi không giao Rõ ràng n 1Aj (x) · 1Bj (y) 1A (x, y) = j=1 Do n 1Ax (y) = 1Aj (x) · 1Bj (y) ⇒ ∗ n 1Ax B2 -đo j=1 Như 1Aj (x) · µ2 (B) 1Ax dµ2 = µ2 (Ax ) = j=1 E2 Suy x −→ µ2 (Ax ) hàm B1 đo ∗ n µ1 (Aj ) · µ2 (Bj ) µ2 (Ax ) dµ1 = j=1 E1 Bằng cách đổi vai trò x y ta nhận kết tương tự: ∗ ∗ n µ1 (Aj ) · µ2 (Bj ) = µ1 (Ay ) dµ2 = j=1 E2 µ2 (Ax ) dµ1 E1 Để kết luận phần này, ta định lý µ1 µ2 hữu hạn tập σ − đại số C tạo hợp hữu hạn tập có dạng Aj × Bj , Aj ∈ B1 , Bj ∈ B2 Ta ký hiệu P tập hợp tính chất (i), (ii), (iii) định lý (∗) Họ tập B có tính chất P lớp đơn điệu Giả sử {An } họ đếm ∞ ∞ n=1 tăng hàm An có tính chất P cho: A = ∪ An Khi Ax = ∪(An )x , {(An )x } họ đếm tăng {(An )x } B2 - đo ⇒ Ax B2 - đo µ2 (Ax ) = lim µ2 [(An )x ] n→∞ ⇒ x −→ µ2 (Ax ) B1 - đo Hơn ∗ lim ∗ µ2 (An )x dµ1 = n→∞ E1 ∗ lim µ2 [(An )x ] dµ1 = µ2 (Ax ) dµ1 n→∞ E1 E1 theo định lý Beppo -Levi hội tụ đơn điệu Tương tự cho A2 , ta có: ∗ ∗ µ2 (A) dµ1 = E1 µ1 (Ay ) dµ2 E2 Vậy A có tính chất P (∗∗) Trường hợp dãy (đếm được) giảm, ta có chứng minh tương tự cách áp ∗ µ1 [(A1 )y ] dµ2 hữu hạn µ1 dụng định lý hội tụ cho dãy giảm (Tích phân thứ E1 8.1 Độ đo tích Định nghĩa tính chất 101 µ2 độ đo hữu hạn) ⇒ Tính chất P cho tập thuộc B M(C) = σ(C) = B ∞ ∞ 1 Bước µ1 µ2 σ −hữu hạn Ta cần chứng minh E1 = ∪ Fk , E2 = ∪ Gk với µ1 (Fk ) ∞ µ2 (Gk ) hữu hạn, {Fk }, {Gk } tăng Đặt C = ∩ Cn , {Cn } dãy giảm Trong không n=1 gian Fk × Gk , tính chất với tập Cn ∩ (Fk × Gk ), {Cn ∩ (Fk × Gk )} giảm {C ∩ (Fk × Gk )} ⇒ Kết chứng minh cho {C ∩ (Fk × Gk )} nên cho C C giới hạn dãy C ∩ (Fk × Gk ) Ghi chú: Ví dụ sau chứng minh giả thiết µ1 µ2 σ − hữu hạn cần thiết Giả sử (R, BR , λ) (R, P(R), µd ), µd độ đo đếm C = {(x, y) : x = y}, C ∈ BR ⊗ P(R) Cx = {(x, x)}, Cy = {(y, y)}, Cx Cy chứa điểm nên: ∗ ∗ µd (Cx ) dλ R λ(Cx ) dµd = R Trong phần tiếp theo, ta giả thiết µ1 µ2 σ − hữu hạn Định lý 8.2 (Định lý tồn định nghĩa) Tồn độ đo k k j=1 B1 ⊗ B2 cho độ đo ∪(Aj × Bj ) µ1 (Aj ) · µ2 (Bj ) với µ1 µ2 độ đo σ - hữu hạn Độ đo gọi độ đo tích µ1 µ2 B ký hiệu µ1 ⊗ µ2 , thỏa mãn tính chất: ∗ ∗ 1E (x, y) d(µ1 ⊗ µ2 ) = E1 ×E2 ∗ ∗ 1E dµ1 = dµ2 E2 E1 ∗ 1E dµ2 , dµ1 E1 E2 ∗ Chứng minh Sự tồn tại: Giả sử E ∈ B, E −→ ∀E ∈ B ∗ µ2 (Ex ) dµ1 = E1 µ1 (Ey ) dµ2 (theo E2 định lý trước) Quan hệ xác định độ đo, tính σ − cộng tính suy từ định lý Beppo - Levi Tính nhất: Nếu tồn hai độ đo υ1 υ2 thỏa mãn hai đẳng thức sau: k k υ1 (∪(Aj × Bj )) = k µ1 (Aj ) · µ2 (Bj ) = υ2 (∪(Aj × Bj )) j=1 Chúng trùng σ − vành C có đơn vị, tạo hợp hữu hạn tập có dạng Aj × Bj Vì µ1 µ2 σ − hữu hạn υ1 , υ2 nên theo định lý Hahn, υ1 υ2 trùng σ − đại số sinh C Ta ký hiệu độ đo µ1 ⊗ µ2 B, định nghĩa cách tồn chứng minh 8.2 Tích phân độ đo tích 102 Tính chất: ∗ ∗ ∗ 1E (x, y) d(µ1 ⊗ µ2 ) = (µ1 ⊗ µ2 )(E) = E1 ×E2 với ∗ ∗ µ2 (Ex ) dµ1 1E dµ2 dµ1 = E1 E2 E1 ∗ E1 E2 ∗ ∗ ∗ µ1 (Ey ) dµ2 1E dµ1 dµ2 = E2 µ1 (Ey ) dµ2 µ2 (Ex ) dµ1 = E2 E1 Ghi chú: (*) Ta vừa chứng minh µ1 ⊗ µ2 σ − hữu hạn (**) Nếu µ1 µ2 đủ µ1 ⊗ µ2 chưa đủ B (***) Nếu ta có λ⊗λ, λ độ đo Lebesgue BR , ta không tự động có (BR × BR , λ⊗λ) ≡ (BR2 , λ(2) ) Thật ta có bao hàm thức: không gian thứ nằm thứ hai 8.2 Tích phân độ đo tích Định lý 8.3 (Định lý Fubini) Giả sử f hàm dương, (x, y) −→ f (x, y) B - đo đươc Khi đó: (i) Với x ∈ E1 : y −→ f (x, y) hàm B2 - đo ∗ f (x, y) dµ2 E2 hàm B1 đo (ii) Với y ∈ E2 : x −→ f (x, y) hàm B1 - đo ∗ f (x, y) dµ1 E1 hàm B2 đo ∗ ∗ f (x, y)d(µ1 ⊗ µ2 ) = (iii) E1 ×E2 ∗ dµ1 E1 f (x, y) dµ2 = E2 dµ2 E2 f (x, y)dµ1 E1 Theo định lý trước, mệnh đề với hàm tiêu tập B − đo ⇒ với hàm bậc thang đo được, qua giới hạn ⇒ với hàm B − đo dương Bây giờ, ta quan tâm đến hàm khả tích Ta xét L1 (E1 × E2 , B, µ1 ⊗ µ2 ) ta ký hiệu L1 (µ1 ⊗ µ2 ) Định lý 8.4 (Định lý Fubini) Giả sử f ∈ L1 (µ1 ⊗ µ2 ) Khi 8.3 Độ đo ảnh 103 ∗ f (x, y) dµ2 ∈ L1 (µ1 ) (i) f (x, y) ∈ L1 (µ2 ) µ1 − hkn E2 ∗ f (x, y) dµ1 ∈ L1 (µ2 ) (ii) f (x, y) ∈ L (µ1 ) µ2 − hkn E1 (iii) Hơn f (x, y) d(µ1 ⊗ µ2 ) = E1 ×E2 dµ1 E1 E1 E2 E2 f (x, y)dµ1 dµ2 f (x, y)dµ2 = Chỉ cần xét f + f − theo định lý f + d(µ1 ⊗ µ2 ) = E1 ×E2 f + dµ2 = dµ1 f + ∈ L1 (µ1 ⊗µ2 ), số hạng thứ hữu hạn ⇒ Suy f + ∈ L (µ1 ) µ2 − hkn theo y f + f + dµ1 dµ2 E1 E2 E2 E1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ f + dµ2 ∈ L1 (µ1 ) E2 f + dµ1 ∈ L1 (µ2 ) E1 ∈ L (µ2 ) µ1 − hkn theo x Do f = f + − f − ⇒ đpcm Hệ quả: kết sau hữu ích thực hành: Giả sử f B - đo được, ∗ ∗ |f | d(µ1 ⊗ µ2 ); tích phân sau hữu hạn E1 ×E2 ∗ |f | dµ2 ; dµ1 E1 ∗ E2 ∗ |f | dµ1 hai dµ2 E2 E1 tích phân lại ta có đẳng thức: f d(µ1 ⊗ µ2 ) = E1 ×E2 dµ1 E1 f dµ2 = E2 dµ2 E2 f dµ1 E1 Ghi chú: (∗) Các định lý 8.3 8.4 σ − đại số B độ đo µ1 ⊗ µ2 bổ sung B µ1 ⊗ µ2 , µ1 µ2 đủ (BT 4) Ghi quan trọng thực hành để áp dụng độ đo Lebesgue R2 (tổng quát Rn ) (∗∗) Trong trường hợp hàm liên tục bị chặn tập mở bị chặn, có biên quy R2 tích phân Riemann trùng với tích phân Lebesgue 8.3 8.3.1 Độ đo ảnh Mở đầu Xét hai không gian (E1 , B1 ), (E2 , B2 ), µ1 độ đo B1 , π : (E1 , B1 ) −→ (E2 , B2 ) ánh xạ đo Xét ánh xạ: A −→ µ(π −1 (A)), A ∈ B2 độ đo B2 theo quan hệ: π −1 (∪ An ) = ∪ π −1 (An ) n n 8.3 Độ đo ảnh 104 Định nghĩa 8.1 Giả sử (E1 , B1 ), (E2 , B2 ) hai không gian khả xác xuất, µ1 độ đo B1 , π : (E1 , B1 ) −→ (E2 , B2 ) ánh xạ đo Độ đo ảnh độ đo µ1 độ đo µ2 định nghĩa B2 bởi: µ2 (A) = µ1 (π −1 (A)), A ∈ B2 ký hiệu π(µ1 ) Tính chất: π2 (π1 (µ1 )) = (π2 ◦ π1 )(µ1 ) Suy từ định nghĩa từ quan hệ: π1−1 (π2−1 (A)) = (π2 ◦ π1 )−1 (A) 8.3.2 Tích phân độ đo ảnh Định lý 8.5 Trong điều kiện định nghĩa f : E2 → R+ B2 -đo được, f ◦ π B1 -đo (E1 , B1 ) ta có: ∗ ∗ f ◦ π dµ1 f dµ2 = E2 E1 Chứng minh Để chứng minh, ta dùng kỹ thuật sử dụng chứng minh định lý Fubini mục 8.2: (i) Đẳng thức hàm f có dạng hàm tiêu 1A , A ∈ B2 theo định nghĩa quan hệ: 1A ◦ π = 1π−1 (A) (ii) Do tính tuyến tính, định lý cho hàm bậc thang cho hàm đo tính trù mật định lý Beppo -Levi Định lý 8.6 Với điều kiện định nghĩa, giả sử f : E2 −→ R B2 - đo Khi đó: (i) f ∈ L1 (E2 , B2 , µ2 ) f ◦ π ∈ L1 (E1 , B1 , µ1 ) f ◦ π dµ1 f dµ2 = (ii) E2 E1 ∗ Do f đo được, f ∈ L1 (E2 , B2 , µ2 ) |f | dµ2 < ∞, suy (i) định E2 + − lý 8.5 Bằng cách viết f = f − f , ta suy (ii) sử dụng định lý 8.5 8.4 Độ đo cảm sinh 8.4 105 Độ đo cảm sinh 8.4.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 8.2 Giả sử B σ − đại số tập E A ∈ B, tập hợp tập B ∈ B B ⊂ A σ − đại số A mà ta ký hiệu BA Rõ ràng BA ⊂ B hạn chế độ đo µ B lên BA độ đo mà ta ký hiệu µA BA gọi σ − đại số cảm sinh B lên A µA gọi độ đo cảm sinh µ lên A Tính chất: Nếu A2 ⊂ A1 ⊂ E, A1 , A2 ∈ B µA2 = (µA1 )A2 Để hạn chế f lên A thuộc vào M(A, BA ; R, BR ) cần đủ fXA ∈ (E, B; R, BR ) 8.4.2 Tích phân theo độ đo cảm sinh Định lý 8.7 Giả sử f : E −→ R+ đo được, fA :hạn chế f lên A thuộc vào M(A, BA ; R, BR ) ta có ∗ ∗ f XA dµ fA dµ = A E Ta cần chứng minh tích phân theo phương pháp sử dụng 8.2 8.3 cho định lý tương tự Ta cần chứng minh tính chất cho hàm tiêu Giả sử f = 1B B ⊂ B, B ⊂ A, ta có µA (B) = µ(B) nên: ∗ ∗ (1B )A dµA = A ⇒ dpcm 1B dµ E Định lý 8.8 Trong điều kiện định nghĩa, giả sử f : E −→ R đo Khi đó: (i) fA ∈ L1 (A, BA , µA ) f 1A ∈ L1 (E, B, µ) fA dµA = (ii) A f 1A dµ E ∗ Chứng minh ∗ |f |1A dµ < ∞ theo định lý 8.5 |fA | dµ < ∞ (i) E A (ii) Ta dùng f = f + − f − ∗ A f dµ A ∗ f 1A dµ Ta ký hiệu f dµ = Chú ý: Ta ký hiệu tương tự ∗ E ∗ fA dµA A f dµ, A [...]... chương 5 72 (a) Chứng minh rằng nếu f có tích phân suy rộng trên R thì f liên tục λ − hkn Xét mệnh đề đảo (b) Nếu f ≥ 0 và có tích phân suy rộng thì nó là λ − khả tích và hai tích phân bằng nhau Cho một phản ví dụ khi f không dương Bài 8 Giải bài tập nêu ở mục 5.4 Bài 9 λ là độ đo Lebesgue, f và g là các hàm đo được Xét tích phân: f (t − x)g(x) dλ, t ∈ R R (a) Chứng minh rằng x −→ f (t − x)g(x) và x −→... nghĩa 7 .2 (i) Dãy hàm {fn } gọi là dãy Cauchy theo độ đo khi và chỉ khi fn đo được và ∀α > 0, ∀ε > 0 tồn tại n0 sao cho: n, m ≥ n0 suy ra µ({x : |fn (x) − fm (x)| ≥ α}) ≤ ε (ii) Dãy {fn } gọi là hội tụ theo độ đo về một hàm f đo được khi và chỉ khi fn đo được, ∀α > 0: lim µ({x : |fn (x) − f (x)| ≥ α}) = 0 n→∞ Tính chất trực tiếp: 7 .2 Hội tụ theo độ đo 94 • Hội tụ đều kéo theo hội tụ theo độ đo • Hội... kéo theo hội tụ theo độ đo (Chỉ cần xét ví dụ trước: fn = 1[n,n+1] , fn → 0 khắp nơi, tuy nhiên {fn } không hội tụ về 0 theo độ đo) Đồng thời hội tụ theo độ đo cũng không kéo theo hội tụ µ − hkn Xem ví dụ sau: f n = 1[ 7 .2. 2 j j+1 , ] 2k 2k , với n = j + 2k , j = 1, 2, , 2k − 1, k ∈ N Tính chất a) Nếu {fn } hội tụ theo độ đo về f thì giới hạn này là duy nhất µ − hkn Giả sử tồn tại f và g, khi đó: |f (x)... ⊂ An ( 2 )∪Bn ( 2 ), với An ( 2 ) = {x : |f (x)−fn (x)| ≥ α } 2 và Bn ( 2 ) = {x : |fn (x) − g(x)| ≥ α > 0, nên f = g µ − hkn α }, 2 với mọi α > 0 Như vậy µ(A(α)) = 0 với mọi b) Mọi dãy hội tụ về f theo độ đo là một dãy Cauchy theo độ đo Ta có thể giả thiết f = 0 Đặt An,m (α) = {x : |fn (x) − fm (x)| ≥ α} Khi đó An,m (α) ⊂ An ( 2 ) ∪ Am ( 2 ) bằng cách đặt: An ( 2 ) = {x : |fn (x)| ≥ 2 } Do... µ Am ⇒ dpcm 2 2 c) Nếu {fn } là một dãy Cauchy theo độ đo và nếu tồn tại một dãy con {fnk } hội tụ µ(An,m ) ≤ µ An theo độ đo về một hàm f đo được Khi đó dãy {fn } hội tụ theo độ đo về f Kỹ thuật chứng minh giống như ở trên, sử dụng: |fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fnk (x)| + |fnk (x) − f (x)| 7 .2. 3 Không gian metric của sự hội tụ theo độ đo a) Ánh xạ f, g ∈ M −→ d(f, g) = inf{δ : δ > 0 và µ(A(δ)) ≤... 7 Cho 1 < p < 2 và f1 · · · fk ∈ Lp Khi đó tồn tại một dãy εj = ±1, j = 1, 2, , k sao cho: k ||ε1 f1 + · · · εk fk ||pp ||fj ||pp ≤ j=1 Hướng dẫn: (suy luận theo cách truy hồi và sử dụng bất đẳng thức Clarkson) Chứng minh trực tiếp rằng bất đẳng thức này còn đúng với p = 2 và ta cũng có một dãy εj = ±1, j = 1, 2, , k sao cho: ||ε1 f1 + · · · εk fk | |22 ≥ ||f1 | |22 + · · · + ||fk | |22 Bài 8 Một dãy... là đo được cần và đủ là nó bằng µ − hkn với một hàm đo được từ E vào F β) Giả sử F = R hoặc R Từ quan hệ tương đương R: f Rg khi và chỉ khi f (x) = g(x) µ − hkn, với g là một hàm số đo được từ E vào F Ta xây dựng không gian vector của các lớp tương đương f Chúng gồm các hàm số đo được tương đương với f (không gian thương) 5.6.3 Tích phân của một hàm đo được định nghĩa µ − hkn Ta định nghĩa tích phân. .. thuộc lớp C 1 trên R và: df = −2iπxf dy Tổng quát hơn nếu xk f là λ − khả tích trên R thì f thuộc lớp C k trên R và ta có: dp f = (−2iπ)p xp f dy p ∀p = 1, 2, , k Chứng minh các tính chất này suy từ định lý 5.7 và 5.8 ở trên 5.6 Mở rộng cho trường hợp hàm định nghĩa µ − hkn 5.5.3 70 Ví dụ α) Phép biến đổi Fourier của hàm χ(a,b) là: χ(a,b) : y −→ χ(a,b) (y) = e−2iπay − e−2iπby 2iπy 2 2 β) Phép biến đổi... này không phụ thuộc vào đại uv dµ định nghĩa bởi E E diện được lựa chọn Giả sử f ∈ L2 , g ∈ L2 , khi đó f g ∈ L2 (Holder) nên f g dµ tồn tại E ⇒ uv dµ có nghĩa Kiểm tra được rằng với tích vô hướng trên, chuẩn sinh từ nó trùng E với ||.| |2 vì ||f | |2 = f · f dµ 1 2 Hơn nữa L2 là đầy đủ E Mẫu cụ thể về các không gian Hilbert: Định lý 6.9 dưới đây là một định lý đảo của định lý 6.8 và cung cấp theo một... lồi và u > β > α: Φ(u) − Φ(β) Φ(u) − Φ(α) Φ(β) − Φ(α) ≥ ≥ u−β u−α β−α Bài 6 Ta nói rằng một không gian Banach là lồi đều nếu: với mọi ε ∈]0, 2] , tồn tại x+y δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y, ||x|| = ||y|| = 1, ||x − y|| ≥ ε ⇒ ≤ 1 − δ 2 Cho các bất đẳng thức Clarkson: f +g 2 f +g 2 p f −g + 2 p p p + p p f −g 2 p ≤ p 1 1 ||f ||pp + ||g||pp 2 2 1 1 ≤ ||f ||pp + ||g||pp 2 2 1 p−1 nếu p ≥ 2 nếu 1 < p < 2, ... phần tiếp theo, ta giả thiết µ1 2 σ − hữu hạn Định lý 8 .2 (Định lý tồn định nghĩa) Tồn độ đo k k j=1 B1 ⊗ B2 cho độ đo ∪(Aj × Bj ) µ1 (Aj ) · 2 (Bj ) với µ1 2 độ đo σ - hữu hạn Độ đo gọi độ. .. Chương Độ đo tích Độ đo ảnh Độ đo cảm sinh 8.1 Độ đo tích Định nghĩa tính chất 8.1.1 Nhập môn Xét hai không gian đo (E1 , B1 ), (E2 , B2 ), với Bi σ − đại số E1 × E2 trang bị σ − đại số tích B... hiệu độ đo µ1 ⊗ 2 B, định nghĩa cách tồn chứng minh 8 .2 Tích phân độ đo tích 1 02 Tính chất: ∗ ∗ ∗ 1E (x, y) d(µ1 ⊗ 2 ) = (µ1 ⊗ 2 )(E) = E1 ×E2 với ∗ ∗ 2 (Ex ) dµ1 1E d 2 dµ1 = E1 E2 E1 ∗