• Giả sử E có vô hạn phần tử; C là họ các tập con có hữu hạn phần tử của E; C làmột Vành Boole... • Tập hợp của các hợp hữu hạn của các khoảng là một vành Boole có đơn vị đại số.. Tính c
Trang 11 Đại số, σ − đại số các tập con của một tập cho trước 5
1.1 Đại số các tập con 5
1.2 Vành Boole có đơn vị hay dại số các tập con (ngắn gọn đại số) 6
1.3 Vành Boole và đại số sinh bởi một họ Ω các tập con 6
1.4 Nửa vành 6
1.5 σ − vành, σ − đại số (σ − vành có đơn vị) 7
1.6 σ − vành và σ − đại số sinh bởi một họ Q 8
1.7 σ − đại số sinh bởi topo trong một không gian topo 9
1.7.1 Các tập Borel và σ − đại số Borel 9
1.7.2 Trường hợp R 9
1.8 σ − vành sinh bởi các tập compact 9
1.9 Lớp đơn điệu 10
1.9.1 Định nghĩa 10
1.9.2 Ví dụ 10
1.9.3 Lớp đơn điệu sinh bởi Q ∈ P(E) 10
2 Độ đo dương 11 2.1 Đại cương về độ đo dương 11
2.1.1 Hàm tập cộng tính 11
2.1.2 Độ đo dương 13
2.1.3 Tính chất của độ đo dương 15
2.1.4 Op´erations sur les mesures positives 18
2.1.5 Độ đo chính quy (trên một không gian topo) 19
2.2 Độ đo ngoài 20
2.2.1 Độ đo ngoài 21
2.2.2 Độ đo ngoài liên kết với độ đo µ 21
2.2.3 Tập hợp T − đo được (theo nghĩa Caratheodory) 22
2.2.4 Thác triển (Nới rộng) một độ đo 24
2.3 Độ đo đầy đủ Bổ sung một độ đo 26
2.3.1 Tập hợp µ − bỏ qua được (µ − không) 26
2.3.2 Độ đo đủ 26
2.3.3 Bổ sung một độ đo 27
2.3.4 Trở lại vấn đề đã đặt ra 28
2.3.5 Ứng dụng cơ bản: Độ đo Lebesgue và Lebesgue Stieltjes 29
2.4 Thác triển cơ bản của một độ đo 31
2.5 Bài tập chương 2 32
1
Trang 23 Không gian đo được Ánh xạ và hàm số đo được 34
3.1 Không gian đo được Ánh xạ đo được 34
3.1.1 Không gian đo được 34
3.1.2 Ánh xạ đo được 34
3.1.3 Tính chất 35
3.1.4 Tích các không gian đo được, khả xác xuất 35
3.2 Hàm đo được (giá trị thực) 37
3.2.1 Hàm bậc thang 39
3.2.2 Xấp xỉ một hàm đo được bằng các hàm bậc thang đo được 39
3.2.3 Hàm µ − đo được Ghi chú 42
3.3 Thuật ngữ của lý thuyết xác xuất 42
3.3.1 Biến cố và biến cố ngẫu nhiên 42
3.3.2 Luật xác xuất (hay phân phối xác xuất) 42
3.4 Bài tập chương 3 42
4 Tích phân (hàm dương) 44 4.1 Tích phân trên của một hàm dương 44
4.1.1 Định nghĩa 44
4.1.2 Tính chất trực tiếp 46
4.2 Các định lý hội tụ 52
4.3 Trở lại khái niệm tích phân trên 54
4.3.1 Tồn tại và duy nhất 54
4.3.2 Chứng minh mới về sự tồn tại của tích phân trên (hay là xây dựng theo quan điểm giải tích hàm) 55
4.4 Bài tập chương 4 57
5 Tích phân Lebesgue trừu tượng Hàm khả tích 59 5.1 Định nghĩa và tính chất 59
5.1.1 Định nghĩa 59
5.1.2 Ví dụ 59
5.1.3 Hệ quả 60
5.1.4 Hàm nhận giá trị trong C 62
5.2 Định lý hội tụ 63
5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp độ đo Lebesgue) 64
5.3.1 Nhắc lại tích phân Riemann 64
5.3.2 Hàm f∗ và f∗ 64
5.3.3 Hệ quả 65
5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số 66
5.5 Một ví dụ áp dụng: Phép biến đổi Fourier của hàm một biến 69
5.5.1 Định nghĩa 69
5.5.2 Tính chất trực tiếp của ˆf 69
5.5.3 Ví dụ 70
5.6 Mở rộng cho trường hợp hàm định nghĩa µ − hkn 70
5.6.1 Định nghĩa 70
5.6.2 Tính chất 70
5.6.3 Tích phân của một hàm đo được định nghĩa µ − hkn 70
5.7 Bài tập chương 5 71
Trang 36 Các không gian Lebesgue Lp và Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 73
6.1 Nửa chuẩn tổng quát Np 73
6.1.1 Định lý 73
6.1.2 Ví dụ 76
6.1.3 Ghi chú 76
6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 76
6.2.1 Mở đầu 77
6.2.2 Tính chất 77
6.2.3 Định lý Riesz-Fischer 78
6.2.4 Các định lý hội tụ 80
6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 81
6.3.1 Định nghĩa 81
6.3.2 Các tính chất trực tiếp 81
6.3.3 Quan hệ giữa hội tụ theo trung bình với hội tụ đều và hội tụ µ − hkn 82 6.3.4 Trường hợp L2 83
6.3.5 Mở rộng 84
6.4 Các không gian L∞ và L∞ 84
6.4.1 Nửa chuẩn N∞ 84
6.4.2 Các không gian L∞ và L∞ 85
6.4.3 Tính chất của L∞ 85
6.5 Xấp xỉ trong Lp Định lý trù mật Tính khả ly 85
6.6 Không gian đối ngẫu 87
6.7 Quan hệ giữa các Lp 88
6.7.1 Trường hợp µ bị chặn 88
6.7.2 Trường hợp µ không bị chặn 89
6.8 Bài tập chương 6 89
7 Các dạng hội tụ 92 7.1 Hội tụ µ − hầu đều 92
7.1.1 Định nghĩa 92
7.1.2 Định lý Egoroff 92
7.1.3 Áp dụng: 93
7.1.4 Trường hợp µ không bị chặn 93
7.2 Hội tụ theo độ đo 93
7.2.1 Định nghĩa 93
7.2.2 Tính chất 94
7.2.3 Không gian metric của sự hội tụ theo độ đo 94
7.2.4 Hội tụ theo độ đo và µ − hầu đều 95
7.2.5 Hội tụ theo độ đo và µ − hầu đều 96
7.2.6 Hội tụ theo độ đo và hội tụ trong Lp 96
7.3 Bài tập chương 7 96
8 Độ đo tích Độ đo ảnh Độ đo cảm sinh 99 8.1 Độ đo tích Định nghĩa và tính chất 99
8.1.1 Nhập môn 99
8.1.2 Định nghĩa và tính chất của µ1⊗ µ2 99
8.2 Tích phân đối với độ đo tích 102
8.3 Độ đo ảnh 103
8.3.1 Mở đầu 103
8.3.2 Tích phân đối với độ đo ảnh 104
Trang 48.4 Độ đo cảm sinh 105
8.4.1 Định nghĩa và tính chất 105
8.4.2 Tích phân theo độ đo cảm sinh 105
Trang 5Đại số, σ − đại số các tập con của
một tập cho trước
1.1 Đại số các tập con
Cho E là một tập hợp bất kỳ Các phần tử của E còn gọi là điểm, ký hiệu bằng cácchữ nhỏ như: x, y, , a, b, c, hoặc w, x là phần tử thuộc E: x ∈ E Các tập con của
E ký hiệu bằng các chữ in: A, B, C, X, Y, A ⊂ E := A là tập con của E Mỗi phần
tử x của E cũng có thể coi là một tập con gồm một phần tử của E Khi đó, ta ký hiệu{x} ⊂ E
Tập hợp tất cả mọi tập hợp con của E ký hiệu là P(E) Một tập hợp nào đó cáctập con của E còn gọi là một họ các tập con của E, thường ký hiệu bởi các chữ hoa:
A, B, C, F, Chúng là một tập con nào đó của P(E); A ⊂ P(E) Trên E luôn định nghĩacác phép toán tập hợp thông thường
Chương này chúng ta tập trung vào nghiên cứu, phân tích các tính chất của các họtập conA, B, của một tập hợp E cho trước Trước mắt ta cố định E là một tập hợpnào đó cho trước
Định nghĩa 1.1 Vành Boole các tập con của một tập E nào đó là một tập hợp con Ccủa P(E) thỏa mãn các tính chất (các tiên đề sau):
(i) A, B ∈C ⇒ A ∪ B ∈C,
(ii) A, B ∈C ⇒ A \ B ∈C
Ví dụ:
• P(E) là một Vành Boole (viết tắt là VB) {∅, E} cũng là một VB
• Giả sử E có vô hạn phần tử; C là họ các tập con có hữu hạn phần tử của E; C làmột Vành Boole (Chú ý là E /∈C)
Hệ quả 1.1 • ∅ ∈C vì ∅ = A \ A ∈ C
• A ∈C, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C vì A ∩ B = A ∪ B \ ((A \ B) ∪ (B \ A)).THU Ộ C c
Trang 6NếuC là một vành Boole các tập con của E và E ∈ C thì C gọi là vành Boole có đơn
vị hay đại số Boole
Hệ quả 1.2 Nếu A ∈C thì A = CA ∈ C
Ví dụ:
• P(E) là một đại số
• Tập hợp của các hợp hữu hạn của các khoảng là một vành Boole có đơn vị (đại số)
• Cho E = [α, β[⊂ R; tập hợp của các hợp hữu hạn các khoảng có dạng [a, b[⊂ [α, β[
là một đại số các tập con của [α, β[ Ngược lại tính chất trên không còn đúng cho
Định lý 1.1 Cho Ω là một họ các tập con của tập E: Ω ⊂ P(E) Trong số các vànhBoole chứa Ω tồn tại một vành Boole nhỏ nhất gọi là vành Boole sinh bởi Ω ký hiệu làC(Ω)
Tính chất: Mỗi phần tử củaC(Ω) được chứa trong một hợp hữu hạn các phần tử của Ω
Chứng minh Giả sử A ⊂ E và A ⊂ ∪n
p=1Op với Op ∈ Ω Tập hợp tất cả các phần tử Anhư thế là một vành BooleC0 Vành này chứa các phần tử của Ω ⇒C(Ω) ⊂ C0 Vậy ta cóđiều phải chứng minh
1.4 Nửa vành
Nửa vành (Boole) các tập con của E là một họ A, A ⊂ P(E) thỏa mãn:
(i) A, B ∈A ⇒ A ∩ B ∈ A
Trang 7(ii) A, B ∈A thì tồn tại một họ hữu hạn các phần tử của A, ký hiệu là {Aj}n
j=1, từngcặp không giao nhau sao cho:
A \ B = ∪n
j=1AjMột nửa vành gọi là có đơn vị nếu nó chứa E
Hệ quả 1.3 • Một nửa vành ổn định dưới giao hữu hạn
j = 1, , n (có dấu bằng hay không) là nửa vành
• Trong E × E0, ta xét họ {A × A0} trong đó A ∈ A, A0 ∈A0 với A và A0 là các nửavành Họ trên là một nửa vành mà ta ký hiệu là A ⊗ A0 Tính chất này suy từ hai
• P(E), {∅, E}, mọi vành hữu hạn
• Giả sử E là một tập hợp không đếm được Họ các tập con của E đếm được hoặc cóphần bù đếm được là một σ − đại số
Trang 8Hệ quả 1.4 Mọi σ − vành ổn định (đóng) đối với giao đếm được.
Tính chất: Cho S là một vành (σ − vành, σ − đại số) trên E E0 là một tập con của E.Vết củaS trên E0 là họ tập hợp có dạng: A ∩ E0, A ∈S
Định lý 1.3 Vết của một vành S (σ − vành, σ − đại số) trên E0
(E0 ⊂ E) là một vành
S0 (σ − vành, σ − đại số) các tập con của E0
Ghi chú: Nếu E0 ∈ S thì S0 là một vành (σ − vành, σ − đại số) gồm các phần tử của Snằm trong E0
Định lý 1.4 Nghịch ảnh của một vành (σ − vành, σ − đại số) là một vành (σ − vành,
σ − đại số)
Hệ quả 1.5 Định lý này áp dụng cho vết cho ta định lý 1.3, nếu lấy ánh xạ j là phépnhúng canonique từ E0 vào E; ký hiệu j : E0 7−→ E, x 7−→ j(x) = x; j−1(A) = A ∩ E0.Định lý 1.5 Cho f là một ánh xạ từ E vào F S0
là một σ − vành các tập con của E.Khi đó, họ các tập con A của F sao cho f−1(A) ∈S0 là một σ − vành trên F
Nói ngắn gọn: nếu nghịch ảnh của một họ nằm trong một σ − vành (hoặc trường hợpriêng là một σ − vành) thì bản thân họ đó là một σ − vành Chứng minh định lý này suyđược từ tính chất của f−1(A \ B) và f−1(∞∪
1 An)
Định lý 1.6 Họ các tập con của E (cục bộ -địa ) trong một σ − vành là một σ − đại số
B0 là họ các tập con của E cục bộ - địa trong một σ − vành S gồm các tập A códạng: A ∈B0 ⇔ A ∩ B ∈S, ∀B ∈ S
Chứng minh (∞∪
1 An) ∩ B =∞∪
1(An∩ B); (A \ A0) ∩ B = A ∩ B \ A0∩ B E ∩ B = B ∈S ⇒
E ∈B Ký hiệu B = loc(S) Rõ ràng nếu S có đơn vị thì S ⊂ loc(S) Do đó S = loc(S)
1.6 σ − vành và σ − đại số sinh bởi một họ Q
Định nghĩa 1.3 Cho Q là một họ các tập con của E Khi đó tồn tại một σ − vành(σ − đại số) nhỏ nhất chứa Q gọi là σ − vành (σ − đại số) sinh bởi Q, ký hiệu là σ(Q).Tính chất: Mỗi phần tử của σ(Q) được chứa trong một hợp đếm được các phần tử của
Q Chứng minh tương tự như trong định lý 1.1
Định lý 1.7 Giả sử Q là một họ các tập con của F f là một ánh xạ bất kỳ từ một tập
E vào F Khi đó: f−1(σ(Q)) = σ(f−1(Q))
Trang 91.7 σ − đại số sinh bởi topo trong một không gian
topo
1.7.1 Các tập Borel và σ − đại số Borel
Cho (X,T) là một không gian topo, T là một họ các tập mở Khi đó, σ − đại số sinhbởiT được gọi là σ − đại số Borel của X σ − vành này rõ ràng là có đơn vị vì X ∈ T Ta
ký hiệu nó làBX(T) hoặc là BX nếu không sợ nhầm lẫn với topo khác trên X Mọi phần
tử củaBX(T) gọi là tập Borel của X
1.7.2 Trường hợp R
Định lý 1.8 Cho I là tập hợp các khoảng của R (tương ứng: tập hợp các khoảng mở,nửa mở, đóng; có dạng ] − ∞, b], ] − ∞, b[, ]a, +∞[, [a, +∞[) Khi đó BR(T) = σ(I) và
BR(T) = σ(I ∪ {−∞} ∪ {+∞})
Chứng minh Dựa trên chứng minh bao hàm thức đúp: I ⊂ σ(T) và T ⊂ σ(I)
Trường hợp các khoảng mở: I ⊂T ⇒ σ(I) ⊂ BR Ngược lại σ(I) chứa các hợp đếmđược các khoảng mở mà mọi tập mở của R là hợp đếm được của các khoảng mởnào đó Do đó T ⊂ σ(I) ⇒ σ(T) ⊂ σ(I) Suy ra BR= σ(I)
Trường hợp khác: Chẳng hạn I = Ip = {[a, b[} (mở bên phải) Do ]a, b[= ∪
n∈N[a +n1, b[.Suy ra ]a, b[ ∈ σ(Ip) Do đó T ∈ σ(Id) Ta cũng có Ip ⊂ σ(T) vì
]a, b[ = ∩
n∈N
]a − 1
n, b[
∈ σ(T)
Do đó Ip ⊂ σ(Id) ⊂ σ(T) Kết luận: BR= σ(Ip)
Các trường hợp khác chứng minh tương tự
1.8 σ − vành sinh bởi các tập compact
Cho (X,T) là một không gian topo tách Ký hiệu K(X) là tập hợp các tập compactcủa X, còn σX(K) là σ − vành sinh bởi họ K Ta có:
Trang 10P(E) là một lớp đơn điệu Mọi σ − vành là lớp đơn điệu.
1.9.3 Lớp đơn điệu sinh bởi Q ∈ P(E)
• Giao của một họ các lớp đơn điệu là một lớp đơn điệu
• Q ⊂ P(E) là lớp đơn điệu
Định nghĩa 1.5 Ta gọi lớp đơn điệu bé nhất chứaQ là lớp đơn điệu sinh bởi Q, ký hiệu
là M(Q)
Định lý 1.10 (Định lý cơ bản) Nếu C là một vành trên E thì ta có: σ(C) = M(C)
Hệ quả 1.6 Mọi lớp đơn điệu M chứa một vành C đều chứa σ − vành sinh bởi C
• Trong một không gian metric σ − đại số Borel là một lớp đơn điệu sinh bởi các tập
mở (tương ứng đóng)
• f là một ánh xạ từ E vào F vàQ là một tập con của P(E) thì ta có:
M[f−1(Q)] = f−1[M(Q)]
Bài tập chương 1
Bài 1 ChoQ là một tập con của P(E) sao cho: A, B ∈ Q ⇒ A ∪ B ∈ Q và A ∩ B ∈ Q
Q có phải là một vành, hay nửa vành hay không?
Bài 2 ChoQ là một họ các tập con của E Ta đặt:
(i) Họ C1 bao gồm ∅, E và các tập A ∈P(E) sao cho A ∈ Q hoặc CA ∈ Q
(ii) Họ C2 gồm các giao hữu hạn của các phần tử củaC1
(iii) HọC3 gồm các hợp hữu hạn của các phần tử củaC2 từng đôi không giao nhau.Chứng minh rằng C3 là vành đơn vị sinh bởi Q
Trang 11µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) nếu A ∩ B = ∅Trong thực hành: F = R+, R, R, C.
Hệ quả 2.1 Khi F = R+ Mọi hàm tập cộng tính trên vành C nhận giá trị trong R+ cócác tính chất sau:
(i) µ(∅) = 0 trừ khi µ(A) = ∞ với mọi A ∈ C (Ta sẽ giả thiết µ(∅) = 0 để tránhtrường hợp riêng µ(A) = ∞, ∀A ∈C)
(ii) (Tính đơn điệu) Nếu A ⊂ B thì µ(A) ≤ µ(B)
(iii) Nếu A ⊂ B và µ(A) < ∞ thì µ(B \ A) = µ(B) − µ(A)
(iv) Với mọi hợp hữu hạn các phần tử từng đôi không giao nhau thuộc C:
Trang 12(ii) B = A∪(B \A) ⇒ µ(B) = µ(A)+µ(B \A) mà µ(B \A) ≥ 0 nên suy ra µ(B) ≥ µ(A).Ngoài ra nếu µ(A) < ∞ thì ta có:
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) ⇒ (iii)(iv) • Cộng tính hữu hạn: hiển nhiên
• Cộng tính dưới: do ∪n
j=1Aj = A1 ∪ (A2\ A1) ∪ ∪ (An\n−1∪
j=1Aj) Chúng từngđôi không giao nhau nên ta có:
∞ trong các trường hợp còn lạiHàm cộng tính này được gọi là độ đo đếm
2 Cho E = [α, β[ Tập hợpC là tập hợp của các hợp hữu hạn của các khoảng có dạng[a, b[ ⊂ [α, β[ C là một đại số (sinh bởi nửa vành {[a.b[}) Ta biết rằng mọi phần
tử của C là một hợp hữu hạn các khoảng [ak, bk[ rời nhau Giả sử Φ là một hàmkhông giảm trên [α, β[ nhận giá trị thực Ta đặt:
µΦ([a, b[) = Φ(b) − Φ(a)Giả sử A ∈C:
Trang 132.1.2 Độ đo dương
Định nghĩa 2.2 Một hàm tập định nghĩa trên một vành C, nhận giá trị trong mộtkhông gian topo có trang bị phép toán cộng F được gọi là σ − cộng tính (hay cộng tínhđếm được) trên C nếu thỏa mãn tiên đề:
n=1An∈C Trong trường hợp µ nhận giá trị trong R+, µ gọi là độ đo dương
Tùy theo miền giá trị, ta công nhận các thuật ngữ sau đây:
• Độ đo thực: µ nhận giá trị trong R
• Độ đo phức: µ nhận giá trị trong C
• Độ đo dương hữu hạn: µ nhận giá trị trong R+
• Độ đo có dấu hay độ đo thực tổng quát: µ nhận giá trị trong R và nhận nhiều nhấtmột giá trị +∞ hoặc −∞
• Một độ đo thực hoặc phức gọi là giới nội hay bị chặn khi và chỉ khi tồn tại M > 0sao cho ∀A ∈ C: |µ(A)| ≤ M
• Một độ đo dương được gọi là σ − hữu hạn khi và chỉ khi ∀A ∈ C, tồn tại {An},
1 Bn, Bn từng đôi không giao nhau
Ví dụ: Độ đo định nghĩa bởi khối lượng:
Cho C vành của các tập con hữu hạn của một tập E bất kỳ (σ(C) là họ các tập đếmđược) α là một hàm: α : E 7−→ R+ Ta đặt:
µ(A) =X
x∈A
α(x) ∀A ∈C
Trang 14µ là một độ đo dương trên C Ta nói rằng độ đo này được định nghĩa bởi các khốilượng α(x) đặt tại các điểm của E Nếu α làm cho các họ {α(x)}x∈E khả tổng, khi đóX
x∈A
α(x) < ∞, ∀A ∈ P(E) thì µ là một độ đo bị chặn trên P(E)
Độ đo Dirac: Trên P(E), ta xét độ đo Dirac δx 0 định nghĩa bởi:
Trang 15và thay các khoảng nửa mở In = [an, bn[ bởi các khoảng mở In0 =]a0n, b0n[ với a0n < an vàΦ(a0n) > Φ(an) − ε
∞
X
n=1
µ(In) + ε Vậy ta có điều phải chứng minh
Độ đo cảm sinh và độ đo co
Giả sử A ∈C, vết của C trên A là họ CA các phần tử củaC nằm trong A Độ đo cảmsinh µA là hạn chế của µ trên vành CA
Độ đo co µ(A) được định nghĩa như sau: ∀B ∈C, B 7−→ µ(A)(B) = µ(A ∩ B) với A ∈C
cố định Rõ ràng nếu B ⊂ A (tức là nếu B ∈CA) ta có:
µA(B) = µ(A)(B)nhưng µ(A) định nghĩa trên C chứ không phải trên CA như µA
2.1.3 Tính chất của độ đo dương
Định lý 2.1 (liên tục dưới và liên tục trên bởi các dãy đơn điệu)
(i) Với mọi dãy {An} tăng: An⊂ An+1, An∈C, ∞∪
(iii) Trường hợp (ii) với ∞∩
Trang 16Chứng minh Ta biến đổi {An} thành một dãy các phần tử không giao nhau thuộc C.(i) B1 = A1, B2 = A2\ A1, , Bn = An\ An−1 Khi đó ∞∪
Một mặt theo (1): lim µ(Bn) = µ(An0) − lim
n→∞µ(An) hay sup µ(Bn) = µ(An0) −inf
n µ(An) Mặt khác theo đẳng thức (2), ta có hai công thức như trên với ∪
(iii) Trường hợp riêng của (ii): µ(∅) = 0 và ∅ ∈C
Ghi chú: Giả sử A ∈C, A được gọi là giới hạn của dãy {An}, An ∈C theo nghĩa {An} làdãy tăng: An ⊂ An+1thì A = lim
n→∞An=∞∪
1 An Kết quả (i) có thể viết: µ(A) = lim
n→∞µ(An)nếu {An} là dãy tăng và hội tụ đến A khi n → ∞ nên ta dùng thuật ngữ liên tục "dưới"hay "từ dưới" Kết quả tương tự cho kết quả (ii) và ta nói liên tục trên hay từ trên ({An}
là dãy giảm, A = lim
k sup
n≥k
(an)Định nghĩa 2.4 Đối với dãy tập hợp {An} ta có định nghĩa:
Trang 17Một quan hệ giữa hai khái niệm đối với dãy số và dãy tập hợp được cho bởi:
Trang 18Đọc thêmĐịnh lý 2.3 (Tổng quát định lý 2.1) Nếu µ là một độ đo dương, ta có các kết quả sau:(i) µ(lim An) ≤ lim µ(An)
(ii) Nếu tồn tại n0 sao cho µ( ∪
µ(Bk) ≤ inf
n≥kµ(An) ⇒ µ(lim An) ≤ lim µ(An)Đối với (ii), ta dùng định nghĩa rồi dùng (ii) của định lý 2.1 Cuối cùng: lim An = lim An.Suy ra
lim µ(An) ≤ µ(lim An) = µ(lim An) ≤ lim µ(An) ⇒ µ(lim An) = lim µ(An)
2.1.4 Op´ erations sur les mesures positives
Propri´et´es imm´ediates: Nếu {µj}n
j=1 là một họ độ đo dương, khi đó:
Trường hợp riêng: Tập hợp các độ đo dương là một nón lồi: µ1, µ2 là độ đo dương ⇒
αµ1+ (1 − α)µ2 là độ đo dương với α ∈ [0, 1]
Định lý 2.4 Giới hạn của một họ tăng các độ đo dương là một độ đo dương
Chứng minh Giả sử j ∈ J (tập hợp các chỉ số có thứ tự J ∈ R+) và {µj}, j ∈ J là một
họ tăng các độ đo theo nghĩa:
j ≤ k ⇒ µj ≤ µk ⇔ µj(A) ≤ µk(A), ∀A ∈C
Trang 19• µ liên tục đối với dãy tăng:
µ(An) ⇒ điều phải chứng minh
Định lý 2.5 Tổng của một họ khả tổng các độ đo dương là một độ đo dương
Chứng minh Giả sử I là một tập hợp bất kỳ, J ⊂ I, card J < ∞ Khi đó µJ = P
j∈J
µj làmột độ đo dương và {J } là một họ loc trên, họ µJ là một họ tăng:
J ⊂ J0 ⇒ µJ ≤ µJ0
và J1 và J2 ⊂ J1∪ J2 ⇒ µJj ≤ µJ1∪J2; rồi sử dụng các tính chất của chương trước
Ghi chú: Điều kiện tăng đòi hỏi ở mục 2.1.2 là cần Nếu không thỏa mãn ta không thể cótính chất đó
2.1.5 Độ đo chính quy (trên một không gian topo)
Định nghĩa 2.5 Một hàm tập cộng tính µ trên một vànhC của một không gian topo Xnhận giá trị trong R+ gọi là chính quy nếu thỏa mãn các tính chất: ∀ε > 0, ∀A ∈C, ∃K ∈
C, ∃F ∈ C với K compact tương đối sao cho:
Trang 201 An) = µ(K) + µ(∞∪
1 An− K) ≤ µ(K) + ε
2Suy ra:
Ghi chú: Một định nghĩa đặc thù có thể hình thành từ khái niệm tập chính quy trong
và chính quy ngoài đối với vành BorelBX(T)
S là một vành chứa BX(T) Ta nói rằng A ∈ S chính quy ngoài khi và chỉ khi:
µ(A) = inf
A⊂O; O∈ C µ(O) (T là họ các tập mở)
A ∈S chính quy trong khi và chỉ khi:
đo dương)
2.2 Độ đo ngoài
Đặt vấn đề: Cho trước một độ đo dương µ trên một vành C, ta có thể nới rộng độ
đo này lên σ − vành sinh bởiC hay không?
Câu trả lời: Có, thậm chí có thể thác triển mọi độ đo dương lên một σ − vành chứaσ(C) (phương pháp chứng minh dùng độ đo ngoài của Caratheodory)
Trang 212.2.1 Độ đo ngoài
Định nghĩa 2.6 Cho E là một tập hợp nào đó Độ đo ngoài T trên P(E) là một ánh
xạ từP(E) vào R+ thỏa mãn các tiên đề:
T(An), ∀{An} ⊂P(E) (σ − cộng tính dưới)
Dễ thấy một độ đo ngoài cộng tính là một độ đo dương Vì một mặt:
2.2.2 Độ đo ngoài liên kết với độ đo µ
Định lý 2.7 Giả sử µ là một độ đo dương trên một vành C các tập con của E, ta địnhnghĩa ánh xạ µ∗ :P(E) → R+ bởi:
Ghi chú: Dưới đây chứng minh với giả thiết (1) Trong trường hợp µ∗(A) = +∞chứng minh dễ (trường hợp này không xảy ra nếu vành C có đơn vị vì ta có A ⊂ E,
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ta chứng minh rằng µ là một độ đo ngoài:
Trang 222.2.3 Tập hợp T − đo được (theo nghĩa Caratheodory)
Định nghĩa 2.7 Cho E là một tập nào đó vàT là một độ đo ngoài trên P(E) Một tập
A ∈P(E) gọi là T − đo được khi và chỉ khi:
T(X) = T(A ∩ X) + T(Ac∩ X), ∀X ∈P(E) (1)Ghi chú: T(E) = T(A) + T(Ac) nếu A là T − đo được
Định lý 2.8 (Caratheodory) ChoT là một độ đo ngoài trên P(E) Các tập T−đo đượccủa E lập thành một σ − đại số B0 mà trên đó T là một độ đo
Chứng minh (i) ∅ và E ∈B0 (dễ thấy)
(ii) A ∈ B0 ⇒ Ac∈B0 vì biểu thức trong định nghĩa 2.7 đối xứng với hai tập này.(iii) A ∈ B0, B ∈B0 Ta chứng minh A ∩ B ∈B0 Vì A ∈B0, ta có:
T((A ∩ B)c∩ X) =T(A ∩ (A ∩ B)c∩ X) +T(Ac∩ (A ∩ B)c∩ X)Suy ra:
T((A ∩ B)c∩ X) =T(A ∩ Bc∩ X) +T(Ac∩ X)Suy ra:
T((A ∩ B)c∩ X) +T(A ∩ B ∩ X) = T(A ∩ Bc∩ X) +T(A ∩ B ∩ X) + T(Ac∩ X)
Trang 23Do B ∈ B0, ta có thể viết:
T(A ∩ Bc∩ X) +T(A ∩ B ∩ X) = T(A ∩ X)
Do đó:
T((A ∩ B)c∩ X) +T(A ∩ B ∩ X) = T(X)Suy ra A ∩ B ∈ B0 ⇒ B0 là một đại số
(iv) Ta viết hệ thức (1) với (A ∪ B) ∩ X thay cho X Ta có:
T((A ∪ B) ∩ X) = T(A ∩ X) + T(B ∩ X), với A ∩ B = ∅
Từ đó với phép lặp, ta suy ra:
T(X) ≤ Th(∞∪
1 Ap) ∩ X
i+Th(∞∪
T(X) = Th(∞∪
1 Ap) ∩ X
i+Th(∞∪
1 Ap)c∩ XiSuy ra ∞∪
Trang 242.2.4 Thác triển (Nới rộng) một độ đo
Định lý 2.9 (Hahn) Mọi độ đo dương trên một vành C có thể thác triển thành một độ
đo dương lên σ − vành sinh bởi C: σ(C) Nếu µ là một độ đo σ − hữu hạn thì độ đo tháctriển là duy nhất và cũng là σ − hữu hạn
Định nghĩa 2.8 µ là độ đo trên C Ta nói µ0 là độ đo thác triển của µ lên σ(C) nếu µ0
là độ đo trên σ(C) và µ(A) = µ0(A), với mọi A ∈C Ký hiệu: µ0
C= µ.
Chứng minh Theo định lý 2.7, ta có thể thác triển µ thành một độ đo ngoài, ký hiệu là µ∗lênP(E) Sau đó sử dụng định lý Caratheodory cho µ∗, ta biết rằng các tập µ∗− đo đượclập thành một σ − đại sốB0 mà trên đó µ∗ là một độ đo Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh
B0 chứaC Cho A ∈ C và B ∈ P(E) Khi đó giả sử ∀ε > 0, tồn tại dãy {An}∞
1 , An ∈ Csao cho: B ⊂∞∪
µ∗(B) = µ∗(A ∩ B) + µ∗(Ac∩ B) (2)Nếu µ∗(B) = +∞ Khi đó ít nhất một trong hai số µ∗(A ∩ B) và µ∗(Ac∩ B) là vô hạnnên đẳng thức (2) vẫn đúng với mọi B ∈P(E) Suy ra: A ∈ B0 và C ⊂ B0
Nếu µ là σ − hữu hạn thì thác triển là σ − hữu hạn A ⊂ σ(C), suy ra A ⊂ ∞∪
Trang 25µ1(A) = µ2(A) là một lớp đơn điệu (theo định lý 2.1) Bây giờ giả sử µ1 và µ2 là hai tháctriển của µ định nghĩa trênC Theo định nghĩa:
µ1(A) = µ2(A) = µ(A), ∀A ∈C
Suy ra: C ⊂ M, với M là lớp đơn điệu gồm các tập A sao cho: µ1(A) = µ2(A) Từ đóσ(C) ⊂ M (Bổ đề về các lớp đơn điệu) Khi đó µ1(A) = µ2(A) với mọi A ∈ σ(C)
Bây giờ giả sử µ là σ − hữu hạn, còn µ1 và µ2 là hai thác triển của µ A ∈ σ(C) ⇒
Suy ra µ1(A) = µ2(A), ∀A ∈ σ(C)
Hệ quả 2.3 Giả sử C là một vành trên E, còn µ là một độ đo dương giới nội trên C.Khi đó, µ được thác triển thành một độ đoµ giới nội trên σ(e C) và ta có:
eµ(B) ≤µ(e ∞∪
Trang 26• Sự quan trọng của giả thiết µ là σ − hữu hạn cho tính duy nhất Giả sử C([α, β[),đại số hợp hữu hạn các khoảng [a.b[ Ta có thể đặt µ(∅) = 0, µ([a, b[) = +∞ ⇒ µ
là một độ đo trên C không σ − hữu hạn Chọn µ1 là độ đo đếm trên σ(C) µ2 là độ
đo định nghĩa bởi: µ2(∅) = 0, µ2(A) = +∞ nếu A 6= ∅ Ta thấy µ1 và µ2 là hai độ
đo khác nhau thác triển µ lên σ(C)
• Xuất phát từ một nửa vành A, ta có thể dùng cùng cách xây dựng để nhận đượckết quả như trước với giả thiết tồn tại một dãy {An}, An ∈ A sao cho: E = ∪An
2.3 Độ đo đầy đủ Bổ sung một độ đo
Cho µ là một độ đo dương, σ − hữu hạn trên σ − đại sốB các tập con của E Áp dụngđịnh lý thác triển của Hahn, ta nhận được σ − đại số B0 của các tập con µ∗ − đo được
mà trên đó µ∗ là một độ đo thác triển của µ Ta có B ⊂ B0 Từ đó có bài toán sau:Bài toán: Nghiên cứu bao hàm thức B ⊂ B0 Nó có là bao hàm thức thực sự haykhông?
Câu trả lời: là khẳng định và ta sẽ tìm đặc trưng cho các phần tử A ∈B0 \B Vớimục đích đó, ta sẽ đưa ra khái niệm độ đo đủ và σ − vành µ − đủ
2.3.1 Tập hợp µ − bỏ qua được (µ − không)
Định nghĩa 2.9 C là vành trên E, µ là một độ đo dương trên C N ∈ C gọi là tập
µ − bỏ qua được (µ − bqđ) nếu µ(N ) = 0 (còn gọi là tập µ − không)
Tính chất:
• Nếu A là µ − bỏ qua được và nếu B ⊂ A, B ∈C thì B là µ − bqđ (Tính chất: A là
µ − bỏ qua được là một tính chất di truyền)
• {An} là một dãy các phần tử của C, với mọi n, Anlà µ − bqđ Khi đó nếu ∞∪
1 An∈Cthì ∞∪
1 An là µ − bqđ
Tính chất đúng µ − hầu khắp nơi: Một tính chất, ký hiệu P(x) đúng hay sai tùythuộc vào phần tử x ∈ E P(x) đúng µ − hầu khắp nơi khi và chỉ khi không P(x) đúngvới các phần tử x nằm trong một tập µ − bqđ
2.3.2 Độ đo đủ
Định nghĩa 2.10 µ là một độ đo trên một σ − vành S µ được gọi là độ đo đủ khi vàchỉ khi (∀A ∈S, µ(A) = 0) và (B ⊂ A) ⇒ (B ∈ S) Ta cũng nói rằng S là đủ đối với độ
đo µ hoặc µ − đủ
Trang 27Ghi chú: Nếu µ là một độ đo đủ trên σ − vành S thì S chứa mọi tập con có dạng A4N,với A ∈S và N là tập con của một tập µ − bqđ Thực vậy do N ∈ S, khi đó A4N ∈ S.Nếu µ là một độ đo dương bất kỳ trên S, khi xét họ các phần tử A4N sẽ dẫn đến mộtthác triển của µ thành độ đo đủ.
(iii) (µ, bb S) là thác triển đủ nhỏ nhất của (µ, S)
Định nghĩa 2.11.µ gọi là độ đo đủ (bổ sung) của µ Các phần tử của bb S gọi làµ−đo được.b
bS gọi là σ − vành đủ (bổ sung) của S đối với độ đo µ
Chứng minh bS là một σ − vành Đầu tiên, ta chứng minh bS là một vành Ta chỉ cầnchứng tỏ bS đóng kín đối với hiệu đối xứng và giao:
(a) A1, A2 ∈ bS ⇒ A14A2 ∈ bS Thực vậy: A14A2 = (B14N1)4(B24N2) Từ đó:
A1 4 A2 = (B1 4 B2) 4N ∈ bSvới N = N14N2
(b) A1, A2 ∈ bS ⇒ A1∩ A2 ∈ bS Đúng thế A1∩ A2 = (B14N1) ∩ (B24N2) Từ đó:
A1 ∩ A2 = (B1 ∩ B2) 4 N ∈ bSvới N = (N1∩ B2)4(N2∩ B1)4(N1 ∩ N2)
Để chứng minh rằng bS là một σ − vành, ta chứng minh rằng bS cũng được định nghĩa như
là họ của mọi tập con A ∪ N với A ∈ S và N là tập con của một tập hợp µ − bqđ Đặt
S0 = {A ∪ N, A ∈S, N ⊂ B, B là µ − bqđ} Ta chứng minh rằng: bS = S0
• Mọi phần tử của S0 đều thuộc bS Ta chứng minh rằng A ∪ N = B14N1, trong đó
B1 ∈S và N1 là tập con của một tập µ − bỏ qua được Thật vậy:
A ∪ N = A 4 (N ∩ Ac) = A 4 N1với A ∈ S và N1 ⊂ N ⊂ B
Trang 28• Mỗi phần tử của bS thuộc vào S0 Ta chứng minh rằng A 4 N = A ∪ N1 nhưng
A 4 N = (A \ B) ∪ [(A ∩ B) 4 N ] = A1∪ N1với A1 = A − B ∈ S, N1 = (A ∩ B) 4 N ⊂ B 4 N ⊂ B (vì N ⊂ B) bS là một
1 Nk chứa trong hợp của các tập µ − bqđ nên cũng là µ − bqđ
Định nghĩa 2.12 (Định nghĩa và tính chất của bµ) µ(A) được định nghĩa bởi:bb
µ(B4N ) = µ(B) Điều này chỉ có một ý nghĩa là hai sự phân tích khác nhau thì chocùng một giá trị độ đo (không có tính duy nhất)
Giả sử: A = B1 4 N1 = B2 4 N2 Ta phải chứng minh rằng: µ(B1) = µ(B2) Mà
B1 4 N1 = B2 4 N2 suy ra B1 4 B2 = N1 4 N2 và µ(B14B2) = µ(N14N2) = 0
vì Ni ⊂ B0
i, µ(Bi0) = 0 Do µ(B14B2) = 0 nên µ(B1 ∪ B2) = µ(B1 ∩ B2) Suy raµ(B1) = µ(B2) do (B1∩ B2) ⊂ B1 ⊂ (B1∪ B2) và (B1∩ B2) ⊂ B2 ⊂ (B1∪ B2)
b
µ là σ −cộng tính: {An} ⊂ bS, Ai∩Ak = ∅ nếu i 6= k,∞∪
1 Ak ∈ bS Khi đó: Ak= Bk∪Nk.Suy ra:
bµ(∞∪
vì các Bn từng đôi không giao nhau
b
µ đầy đủ: Cho A ∈ bS sao cho µ(A) = 0, nhưng A = B ∪ N , với N ⊂ Nb 1 ∈S, N1 là
µ − bqđ và B ∈S, µ(B) = 0 Suy ra A được chứa trong một tập hợp µ − bqđ của S Nhưvậy A1 ⊂ A với µ(A) = 0 Suy ra Ab 1 ∈ bS vì A1 = ∅ ∪ A1
b
µ là thác triển đủ nhỏ nhất: µ(A) = µ(A) với mọi A ∈b S Giả sử µ1 là một tháctriển đủ khác của µ trên σ − đại số S1 chứa S Khi đó S1 chứa bS (như ghi chú ở trướcđịnh lý 2.10) Hơn nữa:
µ1(A) = µ1(B ∪ N ) ≥ µ1(B) = µ(B) =µ(B ∪ N ) =b µ(A)bSuy ra µ1(A) ≥µ(A).b
Ghi chú: Nếu ta xuất phát từ một σ − đại số B thay cho σ − vành S, ta nhậnđược định lý tương tự vớiB là một σ − đại số, gọi là σ − đại số đủ
2.3.4 Trở lại vấn đề đã đặt ra
Bổ đề: Nếu µ là một độ đo dương trên một σ − vành S (σ − đại số B) thì mọi phần tửcủa σ − vành bổ sung bS (σ − đại số bổ sung bB) là µ∗ − đo được và ta có: µ∗(A) = bµ(A)
Giả sử A ∈ bS, A = B ∪ N và ta có thể giả thiết B và N không giao nhau với
N ⊂ B1, µ(B1) = 0 Ta sẽ chứng minh rằng N là µ∗− đo được, tức là:
µ∗(X) = µ∗(N ∩ X) + µ∗(Nc∩ X)
Trang 29với mọi X ∈P(E), với Nc =CN Nhưng µ∗(N ∩ X) ≤ µ∗(N ) ≤ µ∗(B1) = µ(B1) = 0 và
µ∗(Nc∩ X) ≤ µ∗(X) Từ bất đẳng thức đúp:
µ∗(X) ≤ µ∗(N ∩ X) + µ∗(Nc∩ X) ≤ µ∗(X) ⇒ µ∗(X) = µ∗(N ∩ X) + µ∗(Nc∩ X)Suy ra A là µ∗ − đo được và µ∗(A) = µ∗(B) + µ∗(N ) = µ∗(B) = µ(B) Tức là
µ∗(A) = bµ(A)
Định lý 2.11 Giả sử µ là một độ đo dương σ − hữu hạn trên một σ − đại số B, bB là
σ − đại số bổ sung của B B0 là σ − đại số các tập µ∗− đo được Khi đó: B0 = bB.Chứng minh Theo bổ đề trên bB ⊂ B0 Ta còn phải chứng minh:B0 ⊂ bB Giả sử A ∈ B0
Giả sử µ∗(A) < ∞ (Đây là trường hợp cho mọi A khi µ là hữu hạn vì µ∗(A) ≤ µ(E))
Ta cần chứng minh: A = B 4 N , B ∈B và N ⊂ B1 với µ(B1) = 0 Ta xác định trướctiên một tập B thuộc vàoB sao cho µ∗(A) = µ(B) Vì µ∗(A) < ∞, tồn tại dãy {Aj,n}∞
µ(B) ≤ µ(Bn) ≤ µ∗(A) + 1
n, ∀nnên
µ∗(A) ≤ µ(B) ≤ µ∗(A) + 1
n, ∀n
Ainsi B ∈ B et µ∗(A) = µ∗(B) on en d´eduit µ∗(B − A) = 0 Avec B ∈ B Coume
B \ A /∈B, on ne heut dire que µ(B − A) = 0 On recomm´ence l’operation avec B − Athay cho A nhưng lần này µ∗(B − A) = 0, tồn tại C ∈B sao cho:
2.3.5 Ứng dụng cơ bản: Độ đo Lebesgue và Lebesgue Stieltjes
Trên R: Trên [α, β[, ta xét đại số các hợp hữu hạn các khoảng có dạng [a, b[, và hàmtập µΦ định nghĩa bởi Φ(x) = x = I(x) Khi đó:
µI : [a, b[7−→ µI([a, b[) = b − a
... tùythuộc vào phần tử x ∈ E P(x) µ − hầu khắp nơi không P(x) đúngvới phần tử x nằm tập µ − bqđ2.3.2 Độ đo đủ
Định nghĩa 2 .10 µ độ đo σ − vành S µ gọi độ đo đủ vàchỉ (∀A... µ độ đo dương S, xét họ phần tử A4N dẫn đến mộtthác triển µ thành độ đo đủ.
(iii) (µ, bb S) thác triển đủ nhỏ (µ, S)
Định nghĩa 2 .11 .µ gọi độ đo đủ (bổ sung) µ Các phần. .. trưng cho phần tử A ∈B0 \B Vớimục đích đó, ta đưa khái niệm độ đo đủ σ − vành µ − đủ
2.3 .1 Tập hợp µ − bỏ qua (µ − khơng)
Định nghĩa 2.9 C vành E, µ độ đo dương