Bài giảng lý thuyết độ đo và tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y Z NGUYỄN VINH QUANG LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN (Bài Giảng Tóm Tắt) Lưu hành nội -Y Đà Lạt 2008 Z Mơc lơc §é ®o 1.1 TËp hỵp 1.1.1 C¸c kh¸i niƯm 1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hỵp 1.1.3 Giíi h¹n 1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè 1.2.1 §¹i sè 1.2.2 σ - ®¹i sè 1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch 1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o 1.3.1 Hµm tËp 1.3.2 §é ®o 1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kĨ (µ - kh«ng ®¸ng kĨ) - Kh«ng gian cã 1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o 1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi 1.3.6 §é ®o cã dÊu (®é ®o suy réng) TÝch 2.1 2.2 2.3 ph©n Lebesgue Hµm ®o ®−ỵc TÝch ph©n Lebesgue §Þnh lý Radon - Nikodym 2.3.1 TÝnh tut ®èi liªn tơc cđa 2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym ®é ®o ®é ®o ®đ 2 2 4 8 13 16 19 22 24 24 29 36 36 37 Ch−¬ng §é ®o 1.1 TËp hỵp 1.1.1 C¸c kh¸i niƯm Gi¶ sư kh«ng gian Ω = ∅ PhÇn tư: Nh÷ng ®iĨm thc Ω ®−ỵc gäi lµ c¸c phÇn tư cđa Ω Ký hiƯu: ω, ω1 , ω2 , , ωn ∈ Ω TËp con: A ®−ỵc gäi lµ tËp cđa Ω Ký hiƯu: A ⊂ Ω ⇔ ∀ω ∈ A ⇒ ω ∈ Ω TËp b»ng nhau: A = B ⇔ A ⊂ B, B ⊂ A Líp c¸c tËp: TËp mµ c¸c phÇn tư cđa nã lµ tËp hỵp gäi lµ líp c¸c tËp Ký hiƯu: A, B, C, D·y c¸c tËp: Lµ líp gåm mét sè ®Õm ®−ỵc c¸c tËp Ký hiƯu: {An }n∈N , {Bn }n∈N , 1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hỵp 1.Hỵp 2.Giao C = A ∪ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A hay ω ∈ B} C= ∞ n=1 An := {ω ∈ Ω : ∃ n0 ∈ N, ω ∈ An0 } A ∩ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A vµ ω ∈ B} ∞ n=0 An := {ω ∈ Ω : ω ∈ An , ∀n} 3.HiƯu hai tËp hỵp A\B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A vµ ω ∈ / B} 4.HiƯu ®èi xøng hai tËp hỵp A B := (A\B) ∪ (B\A) Chó ý: Khi A ∩ B = ∅ th× A ∪ B = A + B 5.PhÐp lÊy phÇn bï (trªn Ω) Ký hiƯu: B (hay B c ) := Ω\B = {ω ∈ Ω : ω ∈ / B} 6.Ph©n ho¹ch Líp C gåm c¸c tËp rêi ®−ỵc gäi lµ mét ph©n ho¹ch trªn Ω nÕu Ω = TÝnh chÊt 1.1.1 1.Giao ho¸n A∪B =B∪A A∩B =B∩A A B = B A 2.KÕt hỵp A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 3.Ph©n phèi A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (*)A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) (*)C«ng thøc De Morgan ∞ n=1 ∞ n=1 An = An = ∞ n=1 ∞ n=1 An An 1.1.3 Giíi h¹n 1.D·y t¨ng (gi¶m) Cho d y {An } trªn Ω, ta nãi {An } lµ d y t¨ng nÕu A1 ⊂ A2 ⊂ Ký hiƯu: An ↑n {An } lµ d y gi¶m theo n nÕu A1 ⊃ A2 ⊃ Ký hiƯu: An ↓n 2.Giíi h¹n trªn (lim n ) Cho {An }n∈N trªn Ω lim n An = inf n 3.Giíi h¹n d−íi (lim n ) supk n Ak = ∞ ∞ n=1 k=n Ak C ∈ C C lim n An = supn inf k n Ak = ∞ ∞ n=1 k=n Ak Ta nãi d y {An } cã giíi h¹n (khi n → ∞) nÕu ta cã lim n An = lim n An vµ ®ã giíi h¹n cđa d y {An } chÝnh lµ lim vµ còng lµ lim Ký hiƯu: limn An = lim n An = lim n An Bµi tËp 1: Chøng minh mäi d y ®¬n ®iƯu th× héi tơ, h¬n n÷a An ↑n , A = An ↓n , A = ∞ n=1 ∞ n=1 An th× An ↑ A An th× An ↓ A Bµi tËp 2: (LÊy phÇn bï) lim n An = lim n An 1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè 1.2.1 §¹i sè §Þnh nghÜa 1.2.1 Cho kh«ng gian Ω = ∅, F0 lµ líp c¸c tËp trªn Ω F0 ®−ỵc gäi lµ ®¹i sè nÕu nã tháa: Ω ∈ F0 ∀A ∈ F0 th× A ∈ F0 A, B ∈ F0 th× A ∪ B ∈ F0 VÝ dơ - (Ω, ∅) lµ ®¹i sè trªn Ω vµ ®−ỵc gäi lµ ® sè tÇm th−êng - Líp c¸c tËp trªn Ω, ký hiƯu 2Ω lµ ®¹i sè trªn Ω (® sè lín nhÊt) - σ(A) = {Ω, ∅, A, A} lµ ®¹i sè bÐ nhÊt chøa A -C= n i=1 [ai , bi ) : −∞ < Ω = {1, 2, 3, 4} F0 = {∅, {1}, {2, 3, 4}, Ω} lµ ®¹i sè trªn Ω bi < +∞ lµ ®¹i sè trªn R TÝnh chÊt 1.2.1 ∅ ∈ F0 ∀A, B ∈ F0 ⇒ A ∩ B, A\B, A B ∈ F0 ∀{Ai }i=1,n ⊂ F0 ⇒ Chøng minh Suy trùc tiÕp tõ ®Þnh nghÜa Ta cã A ∩ B = (A ∪ B) n i=1 Ai ∈ F0 V× A, B ∈ F0 nªn A, B ∈ F0 Suy ra(A ∪ B) ∈ F0 (theo tiªn ®Ị (3)) Do vËy, víi mäi A, B ∈ F0 th× (A ∪ B) ∈ F0 hay A ∩ B ∈ F0 A\B = A ∩ B ∈ F0 v× A, B ∈ F0 A B = (A\B) ∪ (B\A) ∈ F0 v× (A\B), (B\A) ∈ F0 Dïng quy n¹p Víi n = ta cã A1 ∪ A2 ∈ F0 theo tiªn ®Ị (3) Gi¶ sư ®óng cho tr−êng hỵp n = k, ta cã k+1 VËy i=1 n i=1 1.2.2 k Ai = Ai ∈ F0 i=1 Ai ∪Ak+1 ∈ F0 v× k i=1 Ai ∈ F0 (theo gi¶ thiÕt quy n¹p) vµ Ak+1 ∈ F0 σ - ®¹i sè §Þnh nghÜa 1.2.2 Cho kh«ng gian Ω, ta nãi F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω nÕu tháa m n c¸c tiªn ®Ị sau: Ω ∈ F ∀A ∈ F th× A ∈ F ∞ ∀{An }n∈N ⊂ F ta cã An ∈ F TÝnh chÊt 1.2.2 ∅ ∈ F σ - ®¹i sè lµ ®¹i sè ∀{An }n∈N ⊂ F ⇒ n=1 ∞ n=1 An ∈ F Chøng minh HiĨn nhiªn ∀A, B ∈ F ®Ỉt A1 = A, A2 = B, An = ∅ ∀n = 3, ∞ ⇒A∪B = ∞ n=1 An ∈ F (do tiªn ®Ị 3) ∀{An }n∈N ⊂ F ⇒ {An }n∈N ⊂ F (tiªn ®Ị 2) Theo tiªn ®Ị ⇒ ∞ n=1 An ∈ F Sư dơng tiªn ®Ị vµ c«ng thøc DeMorgan ∞ n=1 An = ∞ n=1 An ∈ F Kh«ng gian ®o ®−ỵc Cho kh«ng gian Ω vµ F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω Khi ®ã: - (Ω, F) ®−ỵc gäi lµ kh«ng gian ®o ®−ỵc - A ∈ F ta gäi A lµ ®o ®−ỵc σ - ®¹i sè sinh §Þnh nghÜa 1.2.3 Cho C lµ líp c¸c tËp trªn Ω Ta nãi σ - ®¹i sè sinh bëi C lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa C Ký hiƯu: σ(C) σ - ®¹i sè Borel trªn R σ - ®¹i sè Borel trªn R lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa mäi kho¶ng ®ãng trªn R Ký hiƯu: B hay B(R) hay B1 Gäi C lµ líp tËp cã d¹ng C = {[a, b] : −∞ < a b < +∞} Khi ®ã σ(C) = B Bµi tËp:Cho a b, a, b ∈ R XÐt c¸c tËp sau: 1.(a, b) 2.[a, b) 3.(−∞, a) 4.(−∞, a] 5.(a, +∞) 6.[a, +∞) Gäi C lµ líp c¸c tËp cã d¹ng nh− 1, 2, , CMR σ(C) = B Líp ®¬n ®iƯu §Þnh nghÜa 1.2.4 Cho Ω, M lµ líp c¸c tËp trªn Ω Ta nãi M lµ líp ®¬n ®iƯu nÕu nã chøa tÊt c¶ c¸c giíi h¹n cđa d y ®¬n ®iƯu M {An }n∈N ⊂ M, An ↑n A (hay An ↓n A) ⇒ A ∈ M Líp ®¬n ®iƯu sinh bëi C Lµ líp ®¬n ®iƯu bÐ nhÊt chøa C Ký hiƯu: M(C) §Þnh lý 1.2.1 Cho F lµ líp c¸c tËp trªn Ω Khi ®ã ta cã: F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω ⇔ F lµ ®¹i sè, ®¬n ®iƯu Chøng minh [⇒] Gi¶ sư F lµ σ - ®¹i sè ⇒ F lµ ®¹i sè Chøng minh F ®¬n ®iƯu Cho ∀{An }n∈N ⊂ F, An ↑n A, ta chøng minh A ∈ F Ta cã: An ↑n A ⇒ A = ∞ n=1 An (t¨ng vỊ sup) Theo tiªn ®Ị (3) cđa σ - ®¹i sè ta cã A = ∞ n=1 An ∈ F An ↓n A ⇒ A = VËy F ®¬n ®iƯu ∞ n=1 An ∈ F (theo tÝnh chÊt (3) cđa σ - ®¹i sè) [⇐] ∀{An }n∈N ⊂ F ta cÇn chøng minh §Ỉt Bn = n k=1 ∞ n=1 An ∈ F Ak ∈ F (v× cã tÝnh chÊt ®¹i sè) MỈt kh¸c Bn ↑n ∞ k=1 VËy F lµ σ - ®¹i sè Ak ∈ F §Þnh lý 1.2.2 Cho F0 lµ ®¹i sè trªn Ω ®ã ta cã σ(F0 ) = M(F0 ) (σ - ®¹i sè sinh bëi F0 còng lµ líp ®¬n ®iƯu sinh bëi F0 ) Chøng minh [⇐] σ(F0 ) ⊃ M(F0 ) Ta cã σ(F0 ) lµ líp ®¬n ®iƯu chøa F0 nªn nã chøa líp ®¬n ®iƯu bÐ nhÊt chøa F0 Nãi kh¸c ®i σ(F0 ) ⊃ M(F0 ) [⇒] σ(F0 ) ⊂ M(F0 ) ∀A ∈ M(F0 ) ®Ỉt MA = {B ∈ M(F0 ) : A\B, B\A, A ∪ B ∈ M(F0 )} Víi c¸ch ®Ỉt MA nh− trªn ta ®−ỵc: MA lµ líp ®¬n ®iƯu B ∈ MA ⇔ A ∈ MB (do tÝnh chÊt ®èi xøng ®Ỉt trªn MA ) Thùc vËy, ta cã ∀A ∈ M(F0 ), MA = ∅ v× A ∈ MA Ta chøng minh (1) XÐt {Bn } ⊂ MA , Bn ↑n B ta chØ B ∈ MA Do M(F0 ) lµ líp ®¬n ®iƯu vµ {Bn } ⊂ M(F0 ) (v× {Bn } ⊂ MA ) nªn suy B ∈ M(F0 ) Ta cã {A\Bn } ⊂ M(F0 ) vµ (A\Bn ) ↓n (A\B), suy A\B ∈ M(F0 ) Hoµn toµn t−¬ng tù ta suy B\A, A ∪ B ∈ M(F0 ) VËy B ∈ MA ViƯc chøng minh cho mét d y Bn ↓n B, {Bn } ⊂ MA hoµn toµn t−¬ng tù VËy MA lµ líp ®¬n ®iƯu XÐt A ∈ F0 bÊt kú Víi c¸ch x©y dùng MA nh− trªn th× MA ⊂ M(F0 ) MỈt kh¸c, ∀B ∈ F0 ⊂ M(F0 ), A\B, B\A, A ∪ B ∈ F0 ⊂ M(F0 ) (v× F0 lµ ®¹i sè) VËy B ∈ MA Suy F0 ⊂ MA Do MA lµ líp ®¬n ®iƯu chøa F0 nªn nã sÏ chøa M(F0 ) KÕt qu¶ trªn cho ta MA = M(F0 ), ∀A ∈ F0 XÐt B ∈ M(F0 ) bÊt kú Theo trªn ∀A ∈ F0 , MA = M(F0 ) nªn B ∈ MA , ∀A ∈ F0 Sư dơng tÝnh chÊt (2) cđa MA ta cã ∀A ∈ F0 , A ∈ MB VËy nªn F0 ⊂ MB VËy MB = M(F0 ), ∀B ∈ M(F0 ) B©y giê ta chØ M(F0 ) lµ ®¹i sè §iỊu nµy lµ hiĨn nhiªn: - Ω ∈ M(F0 ) (v× Ω ∈ F0 ⊂ M(F0 )) - ∀A ∈ M(F0 ), A = Ω\A ∈ M(F0 ) (v× Ω ∈ MA ) - ∀A, B ∈ M(F0 ), A ∪ B ∈ M(F0 ) (v× B ∈ MA ) M(F0 ) lµ ®¹i sè vµ lµ líp ®¬n ®iƯu nªn M(F0 ) lµ σ - ®¹i sè chøa F0 Tõ ®ã ta ®−ỵc σ(F0 ) ⊂ M(F0 ) 1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch Kh«ng gian tÝch Cho hai kh«ng gian ®o ®−ỵc (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) víi A1 ⊂ Ω1 , A2 ⊂ Ω2 Ta ®Þnh nghÜa tÝch Descartes: A1 × A2 = {(ω1 , ω2 ) : ω1 ∈ A1 , ω2 ∈ A2 } §Ỉc biƯt A1 = Ω1 , A2 = Ω2 th× Ω1 × Ω2 gäi lµ tÝch cđa kh«ng gian Ω1 , Ω2 NÕu A1 ∈ F1 , A2 ∈ F2 th× A1 × A2 gäi lµ h×nh ch÷ nhËt Nãi chung: Líp tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt kh«ng ph¶i lµ σ - ®¹i sè Khi ®ã σ - ®¹i sè bÐ nhÊt lµm cho tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt ®ã ®o ®−ỵc (chøa tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt) ®−ỵc gäi lµ σ - ®¹i sè tÝch (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗ F2 ) gäi lµ kh«ng gian tÝch cđa kh«ng gian (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) 1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o 1.3.1 Hµm tËp Cho C lµ líp c¸c tËp trªn Ω Hµm ϕ x¸c ®Þnh trªn C vµ nhËn gi¸ trÞ sè ϕ : C −→ R ∀A ∈ C, ∃! x ∈ R : ϕ(A) = x ®−ỵc gäi lµ hµm tËp víi gi¸ trÞ sè - Hµm tËp ϕ ®−ỵc gäi lµ h÷u h¹n ϕ(A) < ∞, ∀A ∈ C - Hµm tËp ϕ ®−ỵc gäi lµ kh«ng ©m nÕu ϕ(A) 0, ∀A ∈ C - Hµm tËp ϕ ®−ỵc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu: ∀{Ai }i=1,n ⊂ C, Ai ∩ Aj = ∅ víi i = j; i, j = 1, n vµ ϕ( n i=1 Ai ) = n i=1 ϕ(Ai ) n i=1 Ai ∈ C, ta cã - Hµm tËp ϕ ®−ỵc gäi lµ céng tÝnh ®Õm ®−ỵc (σ - céng tÝnh) nÕu: ∀{An }n∈N ⊂ C : Ai ∩ Aj = ∅ víi i = j; i, j = 1, ∞ vµ ϕ( ∞ i=1 Ai ) = ∞ i=1 ϕ(Ai ) - Hµm tËp ϕ ®−ỵc gäi lµ σ - h÷u h¹n nÕu ta cã: ∀C ∈ C th× ∃ {Ck }k∈N ⊂ C : ∞ k=1 ∞ i=1 Ai ∈ C, ta cã Ck = C vµ ϕ(Ck ) h÷u h¹n ∀k = 1, ∞ 1.3.2 §é ®o §Þnh nghÜa 1.3.1 Cho kh«ng gian ®o ®−ỵc (Ω, F) vµ mét hµm µ x¸c ®Þnh trªn F vµ nhËn gi¸ trÞ [0, ∞] µ ®−ỵc gäi lµ ®é ®o nÕu µ lµ σ - céng tÝnh (∀{An }n∈N ⊂ F : Ai ∩ Aj = ∅ víi i = j; i, j = 1, ∞ th× µ( ∞ i=1 Ai ) = ∞ i=1 µ(Ai )) - µ ®−ỵc gäi lµ h÷u h¹n (ký hiƯu µ < ∞) nÕu: µ(Ω) < ∞ - µ ®−ỵc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu: ∀{Ai }i=1,n ⊂ F, Ai ∩ Aj = ∅ víi i = j; i, j = 1, n, ta cã: µ( n i=1 Ai ) = -µ lµ σ - h÷u h¹n nÕu: ∃{An }n∈N ⊂ F : n i=1 ∞ n=1 µ(Ai ) An = Ω vµ µ(An ) < ∞, ∀n = 1, n Cho kh«ng gian ®o ®−ỵc (Ω, F) vµ µ lµ mét ®é ®o trªn (Ω, F) Khi ®ã (Ω, F, µ) ®−ỵc gäi lµ mét kh«ng gian cã ®é ®o (hay kh«ng gian ®o) §Ỉc biƯt: Khi µ(Ω) = th× (Ω, F, µ) ®−ỵc gäi lµ kh«ng gian x¸c st TÝnh chÊt 1.3.1 a) NÕu ∃A ∈ F cho µ(A) < ∞ (µ(A) h÷u h¹n) th× µ(∅) = b) TÝnh céng tÝnh h÷u h¹n cđa ®é ®o c) NÕu A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× µ(A) µ(B) d) Gi¶ sư µ < ∞, A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× µ(B\A) = µ(B) − µ(A) e) NÕu µ < ∞ th× ∀A, B ∈ F ta cã: µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B) f) ∀{An }n ⊂ F ta cã µ( ∞ n=1 An ) ∞ n=1 µ(An ) (BÊt ®¼ng thøc Boole) Chøng minh a) Ta cã A ∈ F : A = A + ∅ + ∅ + ⇒ µ(A) = µ(A + ∅ + ∅ + ) = µ( V× µ lµ σ - céng tÝnh nªn µ( ∞ n=1 ∞ n=1 An ) = An ) ®ã A1 = A, Ai = ∅ ∀i ∞ n=1 V× µ(A) < ∞ suy = µ(A) − µ(A) = b) Ta cã ⇒ µ( n i=1 n i=1 Ai = Ai ) = µ( ∞ i=1 ∞ i=1 µ(An ) = µ(A) + ∞ n=2 µ(An ) = µ( Ai , Ai = ∅ ∀i = n + 1, ∞ Ai ) = ∞ i=1 µ(Ai ) = n i=1 ∞ ∞ n=2 n=2 µ(An ) An ) = µ(∅) µ(Ai ) (do tÝnh σ - céng tÝnh) MƯnh ®Ị 2.1.6 Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ) Khi ®ã ϕi ∈ L0 (Ω, F), ∀i = 1, Trong ®ã: ϕ1 = maxi=1,∞ fi ϕ4 = inf i=1,∞ fi ϕ2 = mini=1,∞ fi ϕ5 = lim i=1,∞ fi ϕ3 = supi=1,∞ fi ϕ6 = lim i=1,∞ fi Chøng minh VËn dơng mƯnh ®Ị f ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇔ {f < x} ∈ F, ∀x ∈ R {ϕ1 < x} = n {fi < x} ∈ F (v× {fi < x} ∈ F) i=1 ⇒ ϕ1 ∈ L0 (Ω, F, µ) T−¬ng tù ta cã: {ϕ2 < x} = {ϕ3 < x} = {ϕ4 < x} = {ϕ5 < x} = {ϕ6 < x} = n {fi < x} ∈ F i=1 ∞ {fi < x} ∈ F i=1 ∞ {fi i=1 ∞ ∞ < x} ∈ F n=1 i=n ∞ ∞ n=1 i=n {fi < x} ∈ F {fi < x} ∈ F MƯnh ®Ị 2.1.7 Céng, trõ, nh©n, chia (nÕu x¸c ®Þnh) cđa hµm ®o ®−ỵc lµ ®o ®−ỵc Chøng minh f, g ∈ L0 (Ω, F, µ) Chøng minh f + g ∈ L0 (Ω, F, µ) X©y dùng c¸c ¸nh x¹ sau: h : (Ω, F) → (R2 , B2 ) k : (R2 , B2 ) → (R, B) víi h(ω) = (f (ω), g(ω)) vµ k(f, g) = f + g Ta chØ h lµ F ®o ®−ỵc Thùc vËy, ∀B ∈ B2 , B = B1 × B2 , (B1 ∈ B, B2 ∈ B) h−1 (B) = h−1 (B1 × B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ g −1 (B2 ) ∈ F (v× f −1 (B1 ), g −1 (B2 ) ∈ F) V× thÕ h lµ F ®o ®−ỵc L¹i cã k(f, g) = f + g nªn k liªn tơc ⇒ k lµ B2 ®o ®−ỵc Theo mƯnh ®Ị 2.1.3 th× k ◦ h lµ F ®o ®−ỵc Nh−ng k ◦ h = k(f, g) = f + g VËy f + g lµ F ®o ®−ỵc C¸c tr−êng hỵp cßn l¹i chøng minh t−¬ng tù 27 Chó ý: MƯnh ®Ị trªn ®óng hÇu kh¾p n¬i §Þnh nghÜa 2.1.2 Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ®Çy ®đ Ta nãi P (ω) ®óng hÇu kh¾p n¬i nÕu µ{ω : P (ω) kh«ng ®óng} = (⇔ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0, P (ω) ®óng ∀ω ∈ N ) VÝ dơ fn → f, n → ∞ (h.k.n) ⇔ µ({ω : fn (ω) f (ω)}) = (⇔ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0, fn (ω) → f (ω), ∀ω ∈ N ) MƯnh ®Ị 2.1.8 Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ®Çy ®đ a) NÕu f ∈ L0 (Ω, F, µ) vµ f = g (h.k.n) th× g ∈ L0 (Ω, F, µ) b) NÕu {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ), vµ fn → f (h.k.n) th× f ∈ L0 (Ω, F, µ) Chøng minh a) f = g (h.k.n) ⇒ ∃ N ∈ F : µ(N ) = vµ g = f trªn N nªn ∀a ∈ R ta cã: {g < a} = {g < a} ∩ N + {g < a} ∩ N = {f < a} ∩ N + {g < a} ∩ N MỈt kh¸c {g < a} ∩ N ⊂ N nªn {g < a} ∩ N kh«ng ®¸ng kĨ ⇒ {g < a} ∩ N ∈ F (do (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian ®Çy ®đ) {f < a} ∩ N ∈ F (v× f ∈ L0 (Ω, F, µ)) VËy {g < a} ∈ F, ∀a ∈ R ⇒ g ∈ L0 (Ω, F, µ) b) Ta cã fn → f (h.k.n) ⇒ ∃ N ∈ F : µ(N ) = cho: {f < a} = {f < a} ∩ N + {f < a} ∩ N vµ fn → f trªn N ⇒ {f < a} ∈ F, ∀a ∈ R VËy f ∈ L0 (Ω, F, µ) MƯnh ®Ị 2.1.9 Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ), fn héi tơ (h.k.n) th× ∃ f ∈ L0 (Ω, F, µ) cho fn → f (h.k.n) Chøng minh §Ỉt A = {ω : fn (ω) héi tơ} Theo gi¶ thiÕt fn héi tơ (h.k.n) suy µ(A) = lim fn (ω) víi ω ∈ A §Ỉt f (ω) = víi ω ∈ A VËy fn → f (h.k.n) vµ theo mƯnh ®Ị 2.1.8 th× f ∈ L0 (Ω, F, µ) Hµm chØ tiªu (hµm ®Ỉc tr−ng) 1A : Ω → {0, 1} nÕu ω ∈ A 1A (ω) = nÕu ω ∈ /A 28 Hµm bËc thang Cho f : Ω → R Ta nãi f lµ hµm bËc thang nÕu f (Ω) chØ nhËn h÷u h¹n gi¸ trÞ thùc Gi¶ sư f (Ω) = {a1 , a2 , , an } Khi ®ã ta cã thĨ biĨu diƠn hµm bËc thang th«ng qua c¸c hµm sau: f (ω) = NhËn xÐt: NÕu n i=1 n i=1 1Ai (ω), ®ã Ai = {ω ∈ Ω : f (ω) = }, i = 1, n 1Ai ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇔ Ai ∈ F, ∀i = 1, n Ai ∩ Aj = ∅; i = j, i, j = 1, n vµ c¸c Ai , i = 1, n t¹o nªn mét ph©n ho¹ch trªn Ω Bµi tËp: Cho f, g lµ hµm bËc thang Chøng minh f + g còng lµ hµm bËc thang Ký hiƯu: L+ lµ líp c¸c hµm kh«ng ©m ®o ®−ỵc §Þnh lý 2.1.1 §iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ f ∈ L+ (Ω, F, µ) lµ ∃ {fn }n∈N bËc thang kh«ng gi¶m, kh«ng ©m, ®o ®−ỵc fn ↑ f Chøng minh [⇐] fn → f vµ fn ®o ®−ỵc ⇒ f ®o ®−ỵc [⇒]  k k+1 k , n f (ω) n , k = 1, n2n − §Ỉt fn (ω) = 2 2n n , f (ω) n n2n −1 k fn = k k+1 + n.1 {f n} n [ 2n f 2n ] k=1 fn lµ hµm bËc thang, kh«ng ©m, ®o ®−ỵc Cho n → ∞ th× fn → f VËy: Cho mét hµm kh«ng ©m ®o ®−ỵc th× lu«n tån t¹i d y hµm bËc thang t¨ng vỊ tíi nã 2.2 TÝch ph©n Lebesgue §Þnh nghÜa 2.2.1 (TÝch ph©n Lebesgue) Cho hµm f ∈ L0 (Ω, F, µ) Ta cã c¸c ®Þnh nghÜa sau: NÕu f = 1A , A ∈ F th× NÕu f = NÕu f ∈ n i=1 1Ai th× L+ (Ω, F, µ) NÕu f ∈ L0 (Ω, F, µ) Ω Ω th× f dµ = f dµ := Ω Ω n i=1 1A dµ := µ(A) µ(Ai ) f dµ := sup{ 29 Ω hdµ : h f, h lµ hµm bËc thang} §Ỉt f + = max(f, 0) f − = max(−f, 0) ⇒ f = f + − f − Ω - NÕu Ω fdµ := Ω f + dµ − f dµ = ∞, + Ω Ω f − dµ f dµ = ∞ th× − Ω fdµ kh«ng tån t¹i - NÕu chØ mét hai b»ng ∞ th× ta nãi - NÕu −∞ < Ω f + dµ < ∞, −∞ < Ω Ω f dµ tån t¹i nh−ng kh«ng kh¶ tÝch f − dµ < ∞ th× f kh¶ tÝch Vµ ta sÏ ký hiƯu f ∈ L1 (Ω, F, µ) líp c¸c hµm kh¶ tÝch Lebesgue (−∞ < TÝnh chÊt 2.2.1 ∀a ∈ R vµ nÕu NÕu f | Ω NÕu Ω g th× fdµ| Ω Ω Ω fdµ tån t¹i th× f dµ Ω |f |dµ fdµ tån t¹i th× A gdµ Ω afdµ tån t¹i vµ Ω Ω fdµ < ∞) afdµ = a Ω fdµ fdµ tån t¹i ∀A ∈ F Cho f ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ f.1A ∈ L1 (Ω, F, µ), ∀A ∈ F Chøng minh Ω af dµ = a TH1: f = ⇒ Ω n i=1 Ω f dµ 1Ai ⇒ af = a afdµ = a n i=1 n 1Ai i=1 µ(Ai ) = a Ω fdµ + TH2: f ∈ L+ (Ω, F, µ), a > ⇒ af ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇒ Ω afdµ := sup{ §Ỉt h = a Ω f dµ h ⇒ sup{ a Ω hdµ : Ω ah dµ : a TH3: f ∈ L0 (Ω, F, µ) TH a > Ω afdµ = Ω h (af )+ dµ− Ω af, h BT } = sup{ h a (af)− dµ = Ω ah dµ : a f, h BT } = a sup{ Ω af + dµ− 30 Ω Ω h a h dµ : af − dµ (v× a > 0) = a f, h BT } h Ω f, h BT } = f + dµ−a Ω f − dµ (theo cmt) = a Ω f + dµ − Ω f − dµ = a TH a < (af ) = −af − , (af )− = −af + Ω fdµ + ⇒ a afdµ = Ω Ω Ω f dµ (af)+ dµ − Ω (af )− dµ = Ω TH1: f, g ∈ L+ (Ω, F, µ) Ta cã, Ω f dµ = sup{ Ω hdµ : TH2: f, g ∈ L0 (Ω, F, µ), f Do f g ⇒ f + g + , g − ⇒ fdµ = Ω Ω Ta cã −|f | ⇒| Ω fdµ| Gi¶ sư Ω f + dµ − f Ω Ω VËy Ω A fdµ = |f |dµ Ω Ω f − dµ |f | ⇒ − f dµ tån t¹i vµ (f.1A )+ dµ Ω Ω Ω g + dµ − |f |dµ Ω fdµ Ω g − dµ = Ω Ω g, h BT } (v× f h Ω f − dµ = g) gdµ Ω gdµ |f |dµ (theo tÝnh chÊt 2) f + dµ < ∞ (f.1A )dµ tån t¹i f dµ < ∞ Ω hdµ : Ω f + dµ − f + , ∀A ∈ F − ⇒ −∞ < Ω −af + dµ = a f + dµ < ∞ LËp ln t−¬ng tù nh− trªn ta lu«n cã Ω sup{ Ω g, f = f + − f − , g = g + − g − f− L¹i cã (f.1A )+ = 1A f + ⇒ f, h BT } h −af − dµ − Ω (f.1A )+ dµ Ω f + dµ < ∞ vµ f.1A dµ < ∞ VËy f.1A ∈ L1 (Ω, F, µ) §Þnh lý 2.2.1 (§Þnh lý héi tơ ®¬n ®iƯu) Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ) tho¶ fn , ∀n, fn ↑n f th× Chøng minh 31 Ω fn dµ → Ω f dµ, n → ∞ Ω (f.1A )− dµ Ta cã fn f ⇒ ⇒ limn Ω fn dµ Ω fn dµ Ω Ω fdµ, ∀n fdµ SÏ chøng minh limn ∀ε ∈ (0, 1), ®Ỉt Bn = {ω, fn (ω) V× fn ↑n f ⇒ Bn ↑n Ω L¹i cã (V× h = Ω fn dµ k i=1 Bn 1Ai ⇒ Bn hdµ = Tãm l¹i: ∀ε ∈ (0, 1) : (1 − ε) Cho ε ↓ ⇒ ⇒ sup{ Ω VËy limn Ω hdµ hdµ : Ω Ω h Ω k i=1 Bn hdµ → (1 − ε) µ(Ai ∩ Bn ) → hdµ Ω fn dµ Ω fn dµ (1 − ε)h}, ®ã (1 − ε) fn dµ Ω f, h BT } limn fn dµ Ω k i=1 Ω fdµ hBT Ω hdµ, n → ∞ µ(Ai ∩ Ω) = Ω (f + g)dµ = Ω fdµ + Ω Ω (f + g)dµ tån t¹i vµ gdµ Ω fdµ + §Ỉc biƯt f, g ∈ L1 (Ω, F, µ) th× (f + g) ∈ L1 (Ω, F, µ) Chøng minh TH1: f, g lµ hµm bËc thang Víi g= i=1 m 1Ai bj 1Bj j=1 n ⇒f +g = i=1 1Ai + m j=1 bj 1Bj V× {Bj }, j = 1, m t¹o nªn mét ph©n ho¹ch cđa Ω ⇒f +g = ⇒ Ω n i=1 ai µ(Ai ) = Ω hdµ) fdµ Cho f, g ∈ L0 (Ω, F, µ), f + g x¸c ®Þnh n i=1 fn dµ §Þnh lý 2.2.2 (TÝnh céng tÝnh h÷u h¹n cđa tÝch ph©n) f= k f dµ fn dµ = Ω f m 1Ai ∩Bj + j=1 n (f + g)dµ = m i=1 j=1 m j=1 bj n i=1 1Bj ∩Ai = n m i=1 j=1 (ai + bj )µ(Ai ∩ Bj ) 32 (ai + bj ).1Ai ∩Bj Ω gdµ x¸c ®Þnh Khi ®ã = = n i=1 ( m j=1 µ(Ai ) m n i=1 m µ(Ai ∩ Bj ) + µ(Ai ) + j=1 j=1 bj ( n µ(Ai ∩ Bj ) i=1 µ(Bj ) bj µ(Bj ) = Ω fdµ + gdµ Ω TH2: f, g ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇒ ∃{fn }n 0, {gn }n lµ c¸c d y hµm bËc thang, fn ↑n f, gn ↑n g ⇒ (fn + gn ) ↑n (f + g) ⇒ Ω (fn + gn )dµ ↑n L¹i cã Ω Ω (f + g)dµ (§Þnh lý héi tơ ®¬n ®iƯu) (fn + gn )dµ = Ω fn dµ + Do tinh nhÊt cđa giíi h¹n nªn TH3: f, g ∈ L0 (Ω, F, µ), g 0, f §Ỉt h = f + g ⇒ f = h + (−g) Sư dơng kÕt qu¶ ë TH2 ⇒ ⇒ Ω hdµ = Ω fdµ + Ω Ω Ω Ω gn dµ ↑n Ω (f + g)dµ = 0, f + g fdµ = Ω gdµ fdµ + Ω gdµ (v× fn , gn lµ c¸c hµm bËc thang) Ω fdµ + Ω gdµ (h + (−g))dµ = Ω hdµ − Ω gdµ Nh÷ng tr−êng hỵp kh¸c lµ t−¬ng tù §Þnh lý 2.2.3 (TÝnh céng t×nh ®Õm ®−ỵc) Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ), fn ∀n Khi ®ã ( Chøng minh §Ỉt gk = k n=1 ∞ Ω n=1 fn th× fn )dµ = g k ↑k ∞ n=1 ∞ n=1 MỈt kh¸c Ω gk dµ = n=1 Ω fn dµ fn Theo ®Þnh lý héi tơ ®¬n ®iƯu ta cã k Ω fn dµ ↑k Ω gk dµ ↑k ∞ n=1 Ω Sư dơng tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n ta ®−ỵc §Þnh lý 2.2.4 (Héi tơ ®¬n ®iƯu níi réng) Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ) ( ∞ Ω n=1 fn )dµ fn dµ (do tÝnh h÷u h¹n céng tÝnh) ( ∞ Ω n=1 33 fn )dµ = ∞ n=1 Ω fn dµ a) NÕu g fn ∀n, b) NÕu g fn ∀n, Ω Ω gdµ > −∞ vµ fn ↑n f th× gdµ < +∞ vµ fn ↓n f th× Ω Ω fn dµ ↑n fn dµ ↓n Ω Ω fdµ fdµ Chøng minh a) TH1: Ω Ta cã g ⇒ lim n fn , ∀n ⇒ Ω ⇒ Ω Ω gdµ fdµ = ∞ (2) Ω Ω fn , ∀n ⇒ g Tõ (1) , (2) ⇒ limn TH2: gdµ Ω fn dµ = ∞ (1) MỈt kh¸c g ⇒∞= gdµ = ∞ Ω limn fn = f fdµ Ω fn dµ fn dµ = Ω fdµ gdµ < ∞ ⇒ g < ∞ (h.k.n) §Ỉt B = {ω ∈ Ω : g(ω) < ∞} ⇒ µ(B) = VËy ta cã ∀ω ∈ B, ∀n : fn − g ↑n f − g Tõ ®Þnh lý héi tơ ®¬n ®iƯu: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ B B B B Ω (fn − g)dµ ↑n fn dµ − fn dµ ↑n fn dµ + fn dµ ↑n b) Ta cã fn B Ω (f − g)dµ gdµ ↑n B B B f dµ fn dµ ↑n fdµ B f dµ − B g, ∀n ⇒ −g Chøng minh t−¬ng tù c©u a) B fdµ + −fn , Ω gdµ B Ω f dµ (v× µ(B) = 0)) −gdµ −fn dµ ↑n −∞ Ω −fdµ ⇒ §Þnh lý 2.2.5 (B§T Fatou cho tÝch ph©n) 34 Ω fn dµ ↓n Ω fdµ Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ) tho¶: a) g fn , ∀n, Ω b) g fn , ∀n, Chøng minh Ω Ω gdµ > −∞ Khi ®ã ta cã: lim n fn dµ Ω ∞ k=n lim n fn dµ ⇒ lim n ⇒ Ω Ω ∞ lim n ∞ fn , ∀n ⇒ ϕn dµ lim n fn dµ lim n lim n Ω Ω Ω Ω Ω φn ⇒ g, Ω ∞ k=n Ω ϕn dµ MỈt kh¸c φn ⇒ Ω Ω Ω fn dµ lim n fn dµ (§Þnh lý héi tơ ®¬n ®iƯu níi réng) fn dµ fn dµ fk ↓n lim n fn Ω ∞ ∞ n=1 k=n fk lim n fn dµ (§Þnh lý héi tơ ®¬n ®iƯu níi réng) fn , ∀n ⇒ φn dµ lim n fn dµ lim n lim n Ω Ω Ω φn dµ fn dµ Ω fn dµ fn dµ §Þnh lý 2.2.6 (§Þnh lý héi tơ bÞ chỈn) Cho {fn }n ®o ®−ỵc trªn (Ω, F, µ) vµ |fn | NÕu fn → f, n → ∞ th×: a) f ∈ L1 (Ω, F, µ) b) Ω gdµ < ∞ φn dµ ↓ ⇒ lim n fn dµ ϕn dµ ↑ b) T−¬ng tù c©u a) ta cã: lim n fn = §Ỉt φn = fn dµ fk n=1 k=n fk ↑n lim n fn ⇒ MỈt kh¸c ϕn Ω gdµ < ∞ Khi ®ã ta cã: a) Ta cã: lim n fn = §Ỉt ϕn = lim n Ω fn dµ → Ω g ∈ L1 (Ω, F, µ) f dµ, n → ∞ Chøng minh a) V× |fn | bÞ chỈn bëi g ∈ L1 (Ω, F, µ) 35 ⇒ limn |fn | g ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ |f | g ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ |f | ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇔ f ∈ L1 (Ω, F, µ) b) Sư dơng bỉ ®Ị Fatou ta cã: Ω ⇒ lim n fn dµ = Ω fn dµ → Ω Ω f dµ Ω fdµ = Ω lim n fn dµ lim n Ω fn dµ lim n Ω fn dµ f dµ, n → ∞ §Þnh lý 2.2.7 Cho f : [a, b] → R NÕu f kh¶ tÝch Riemann trªn [a, b] th× f kh¶ tÝch theo nghÜa Lebesgue vµ h¬n n÷a, ∀a, b ∈ R [a,b] f dµ = b a f (x)dx 2.3 §Þnh lý Radon - Nikodym 2.3.1 TÝnh tut ®èi liªn tơc cđa ®é ®o §Þnh nghÜa 2.3.1 Cho ®é ®o cã dÊu (suy réng) λ, vµ ®é ®o µ trªn (Ω, F) Ta nãi λ tut ®èi liªn tơc ®èi víi µ (λ µ) nÕu: µ(A) = ⇒ λ(A) = 0, ∀A ∈ F MƯnh ®Ị 2.3.1 C¸c mƯnh ®Ị sau lµ t−¬ng ®−¬ng: a) λ µ µ, λ− µ b) λ+ c) |λ| µ Trong ®ã λ+ , λ− : F → [0, ∞] lµ ®é ®o x¸c ®Þnh bëi ∀A ∈ F : λ+ (A) = λ(A ∩ E), λ− (A) = λ(A ∩ E), víi (E, E) lµ ph©n ho¹ch Hahn trªn Ω Chøng minh [a ⇒ b] Ta cã: λ µ ⇔ µ(A) = ⇒ λ(A) = 0, ∀A ∈ F µ ⇒ λ(A ∩ E) = ⇒ λ+ T−¬ng tù, λ− µ [b ⇒ c] Tõ (b) ta cã: ∀A ∈ F, µ(A) = ⇒ λ+ (A) = 0, λ− (A) = ⇒ |λ|(A) = λ+ (A) + λ− (A) = Do vËy |λ| µ [c ⇒ a] 36 Tõ (c) cho ta: ∀A ∈ F, µ(A) = ⇒ |λ|(A) = L¹i cã λ |λ| ⇒ λ(A) |λ|(A) = ⇒ λ(A) = ⇒ λ µ MƯnh ®Ị 2.3.2 Cho λ lµ ®é ®o cã dÊu vµ µ lµ ®é ®o trªn kh«ng gian ®o ®−ỵc (Ω, F), λ < ∞ Khi ®ã hai mƯnh ®Ị sau lµ t−¬ng ®−¬ng: a) λ µ b) µ(An ) → 0, n → ∞ th× λ(An ) → 0, n → ∞ Chøng minh [b ⇒ a] λ lµ ®é ®o, ∀A ∈ F : µ(A) = 0, ®Ỉt An = A, ∀n MỈt kh¸c (b) suy λ(An ) → 0, n → ∞ nghÜa lµ λ(A) = VËy λ µ [a ⇒ b] - Víi λ lµ ®é ®o Gi¶ sư λ µ vµ (b) sai, tøc ∃ ε > 0, ∃ n0 : ∀n n0 ⇒ µ(An ) < n , λ(An ) > ε ∞ ∞ §Ỉt A = lim n An = Ak µ(A) = µ(lim n An ) Theo B§T Boole µ( n=1 k=n ∞ ∞ µ( k=n k=n Ak ) Ak ) ∞ k=n µ(Ak ) < < ∞ k k=n ∞ Cho n ↑ ∞ ⇒ → (chi héi tơ) k k=n ⇒ µ(A) = vµ v× λ µ ⇒ λ(A) = (*) Tuy nhiªn, víi ε > ë trªn ta l¹i cã λ(A) = λ(lim n An ) lim n λ(An ) > ε (B§T Fatou) M©u thn víi (*) VËy [a ⇒ b] ®óng - Víi λ lµ ®é ®o cã dÊu ⇒ λ = λ+ − λ− , |λ| = λ+ + λ− Theo chøng minh th× |λ|(A) = 0, |λ|(A) > ε, ∀ε > (m©u thn) Suy kÕt qu¶ ∞ 2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym §Þnh lý 2.3.1 (§Þnh lý Radon - Nikodym) Cho λ lµ ®é ®o cã dÊu, µ lµ ®é ®o trªn (Ω, F) Gi¶ sư λ, µ < ∞, λ f ∈ L1 (Ω, F, µ) cho λ(A) = A µ Khi ®ã tån t¹i hµm f dµ, ∀A ∈ F Lóc nµy f ®−ỵc gäi lµ ®¹o hµm Radon - Nicodym cđa λ ®èi víi µ vµ viÕt f = 37 dλ dµ Chøng minh Tr−íc hÕt ta nh¾c l¹i bỉ ®Ị Zorn Cho tËp (S, ) vµ S = ∅ NÕu mäi xÝch C ⊂ S ®Ịu cã mét chỈn trªn S th× S cã phÇn tư cùc ®¹i f (nghÜa lµ g ∈ S : g > f ) TH: λ lµ ®é ®o §Ỉt M = {g ®o ®−ỵc, kh¶ tÝch: λ(A), ∀A ∈ F} gdµ A Trªn M ta ®Þnh nghÜa quan hƯ thø tù f g NÕu mäi xÝch C ⊂ M ®Ịu cã chỈn trªn th× M cã phÇn tư cùc ®¹i XÐt xÝch C ⊂ M bÊt kú, ®Ỉt s = sup{ gn dµ ↑n s (1) ⇒ ∃ {gn }n ⊂ C : MỈt kh¸c ta cã V× Ω Ω gn ↑n gn dµ ↑n s ⇒ Ω gn0 dµ Ω Theo ®Þnh lý héi tơ ®¬n ®iƯu th× Ω g0 dµ gn0 +1 dµ ⇒ gn0 Ω gn dµ ↑n Ta chøng minh g0 lµ mét chỈn trªn ThËt vËy, A gn dµ ⇒ A g0 dµ λ(A), ∀n vµ VËy Ω A gn dµ ↑n A Ω gn0 +1 gn0 ) g0 dµ (2) g0 dµ λ(A), ∀A ∈ F ⇒ g0 ∈ M H¬n n÷a, ∀g ∈ C, ∃ n0 : g Gi¶ sư gn gdµ, g ∈ C} (v× nÕu kh«ng sÏ tån t¹i n0 : gn0 +1 VËy gn0 = gn0 +1 (h.k.n) ⇒ ∃ g0 : gn ↑n g0 Tõ (1), (2) ⇒ s = Ω gn ⇒ g g, ∀n ⇒ gdµ = Ω Ω g0 dµ supn gn = g0 Ω gdµ s= g0 dµ ⇒ g = g0 (h.k.n) Ω g0 dµ KÕt ln:Víi mäi xÝch C ⊂ M ®Ịu cã chỈn trªn M Do ®ã M ph¶i cã phÇn tư cùc ®¹i gäi lµ f Ci cïng ta chØ λ(A) = §Ỉt λ1 (A) = λ(A) − Víi c¸ch ®Ỉt trªn th× fdµ A λ1 (A) A fdµ, ∀A ∈ F vµ λ1 µ 38 Ta chøng minh λ1 (Ω) = (λ1 (A) = 0, ∀A ∈ F) Gi¶ sư ng−ỵc l¹i λ1 (Ω) > 0, µ(Ω) < ∞ (v× µ h÷u h¹n) ⇒ ∃ K > : µ(Ω) − K.λ1 (Ω) < (**) µ − K.λ1 lµ ®é ®o cã dÊu Gäi S lµ tËp kh«ng d−¬ng ph©n ho¹ch Hahn cđa Ω ®èi víi µ − K.λ1 ∀A ∈ F, µ(A ∩ S) − K.λ1 (A ∩ S) (a) µ(A ∩ S) − K.λ1 (A ∩ S) > (b) §Ỉc biƯt víi A = Ω th× tõ (b) ⇒ µ(S) − K.λ1 (S) > L¹i cã µ(S) > v× nÕu kh«ng th× µ(S) = 0, lóc ®ã µ(Ω ∩ S) − K.λ1 (Ω ∩ S) = (v× λ1 µ) ⇒ µ(S) − K.λ1 (S) = µ(Ω) − K.λ1 (Ω) > (m©u thn víi (**)) §Ỉt h = 1S > trªn S K 1 ⇒ ∀A ∈ F, hdµ = 1S dµ = µ(A ∩ S) λ1 (A ∩ S) (do (a)) λ1 (A) = λ(A) − K A A K VËy A λ(A) − hdµ A f dµ ⇒ A (h + f )dµ λ(A) ⇒ h + f ∈ M, h + f > f trªn S, µ(S) > (m©u thn v× f lµ phÇn tư cùc ®¹i cđa M ) V× thÕ λ1 (Ω) = ⇒ = λ1 (A) = λ(A) − ⇒ λ(A) = A f dµ, ∀A ∈ F A fdµ, ∀A ∈ F Tr−êng hỵp tỉng qu¸t λ lµ ®é ®o cã dÊu Ph©n tÝch Jordan λ : λ = λ+ − λ− Víi λ+ ⇒ cã f1 kh¶ tÝch d−¬ng: λ+ (A) = Víi λ− ⇒ cã f2 kh¶ tÝch d−¬ng: λ− (A) = ⇒ λ(A) = λ+ (A) − λ− (A) = A A A f1 dµ, ∀A ∈ F f2 dµ, ∀A ∈ F (f1 − f2 )dµ ⇒ ∃ f = f1 − f2 kh¶ tÝch: λ(A) = A fdµ, ∀A ∈ F §Þnh lý 2.3.2 (§Þnh lý Fubini) Cho kh«ng gian tÝch (Ω, F, µ) = (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗ F2 , µ1 ⊗ µ2 ) vµ f lµ F ®o ®−ỵc NÕu Ω |f |dµ < ∞ th× Ω f dµ = Ω1 Ω2 f dµ2 dµ1 = Ω2 Ω1 Bµi tËp ch−¬ng II 39 fdµ1 dµ2 A fdµ 1) Cho kh«ng gian ®o ®−ỵc (Ω, F), (Ω , F ) Gi¶ sư F0 lµ ®¹i sè trªn Ω vµ σ(F0 ) = F f :Ω→Ω Chøng minh f ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇔ f −1 (F0 ) ⊂ F 2) Chøng minh f ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇔ limn |f | n |f |dµ = 3) Cho f ∈ L1 (Ω, F, µ) Chøng minh limn nµ[{ω : |f (ω)| > n|}] = 4) Cho chi sè thùc ®o ®−ỵc trªn (Ω, F, µ), Trong ®ã chi d−¬ng 5) Cho biÕt − x n n ∞ n=1 ∞ fn Gi¶ sư n=1 ∞ εn < ∞ Chøng minh n=1 → e−x , n → ∞ Chøng minh limn g ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ f ∈ L1 (Ω, F, µ) 8) f = (h.k.n) Chøng minh Ω fdµ = 9) f ∈ L0 (Ω, F, µ), µ(A) = Chøng minh 10) f = g (h.k.n) Chøng minh Ω f dµ = A Ω fdµ = gdµ 11) Chøng minh f kh¶ tÝch (f ∈ L1 ) th× f < ∞ (h.k.n) 12) Chøng minh f 0, 13) f, g ∈ L1 f g(h.k.n) ⇔ 14) f, g ∈ L0 f g(h.k.n) ⇔ Ω f dµ = th× f = (h.k.n) A A fdµ fdµ A A gdµ, ∀A ∈ F gdµ, ∀A ∈ F 40 n=1 µ({ω : |fn (ω)| > εn }) < ∞ fn < ∞ (h.k.n) 6) Chøng minh f ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇔ |f | ∈ L1 (Ω, F, µ) 7) |f | ∞ n 1− x n n dx = Tµi liƯu tham kh¶o [1] §Ỉng §×nh Ang, Lý thut tÝch ph©n, NXB Gi¸o dơc, 1997 [2] Ngun BÝch Huy, PhÐp tÝnh tÝch ph©n, NXB §¹i häc qc gia Tp.HCM, 2000 [3] Ngun Duy TiÕn, Gi¸o tr×nh: §é ®o vµ tÝch ph©n, §HTH Hµ Néi, 1980 [4] Hoµng Tơy, Gi¶i tÝch hiƯn ®¹i, NXB Gi¸o dơc, 1978 41 [...]... à(Ak ) Vậy à là - cộng tính trên F0 21 Độ đo Lebesgue Cho độ đo Lebesgue - Stieltjes trên (R, B) và F là hàm phân phối tơng ứng với độ đo Lebesgue - Stieltjes Nếu F (b) F (a) = b a, a b, a, b R Khi đó à[a, b) = b a và à trong trờng hợp đặc biệt này đợc gọi là độ đo Lebesgue trên R 1.3.6 Độ đo có dấu (độ đo suy rộng) Cho không gian đo đợc (, F) Ta nói là độ đo có dấu trên (, F) nếu: : F [, +)... âm và tập không âm Cho độ đo có dấu : F [, +) Ta nói: - A F là tập âm đối với nếu E A, E F, (E) < 0 - A là tập không âm đối với nếu E A, (E) 0 Phân hoạch Hahn Cho là độ đo có dấu trên F Tồn tại (A, A) sao cho A là tập âm đối với và A là tập không âm đối với Khi đó (A, A) đợc gọi là một phân hoạch Hahn của đối với độ đo có dấu (phân hoạch Hahn không là duy nhất) Phân tích Jordan Cho độ đo. .. (A N1 ) và à(A N1 ) = 0 Vì thế M là à - không à(A) + à(N1 ) = 0 1.3.4 Độ đo ngoài - Độ đo trong Độ đo ngoài Cho không gian (, F, à) à : 2 [0, ] đợc gọi là độ đo ngoài nếu nó xác định với mọi A 2 : à (A) = inf{à(B) : B F, B A} Độ đo trong à : 2 [0, ] đợc gọi là độ đo trong nếu nó xác định với mọi A 2 : à (A) = sup{à(B) : B F, B A} Bổ đề Cho (, F, à), A Khi đó A , A F: A A A và: à (A)... = (F0 ) Vậy = F Định lý 1.3.9 (Định lý Carathéodory) Cho đại số F0 trên à0 là hàm tập à0 : F0 [0, ] thoả: 1 à0 là - hữu hạn trên F0 18 2 à0 là - cộng tính trên F0 Khi đó ta có thể nới rộng à0 thành độ đo à duy nhất lên (F0 ) 1.3.5 Độ đo Lebesgue - Stieltjes và Hàm phân phối Độ đo Lebesgue - Stieltjes Định nghĩa 1.3.2 Cho (R, B) Khi đó hàm tập à : B [0, ] đợc gọi là độ đo Lebesgue - Stieltjes... - Không gian có độ đo đủ Cho không gian (, F, à) và tập A Ta nói A là tập không đáng kể (à - không đáng kể, hay à - không) nếu B F sao cho A B và à(B) = 0 Gọi N là lớp các tập N là tập không đáng kể N = {N : N là à - không đáng kể} Nếu N F thì (, F, à) đợc gọi là không gian có độ đo đủ Khi đó à đợc gọi là độ đo đủ Vậy trong không gian có độ đo đủ, các tập không đáng kể đều đo đợc Tính chất... là khoảng giới nội trong R Hàm phân phối F đợc gọi là hàm phân phối nếu F : R R thoả: 1 F là hàm không giảm trên R 2 F là hàm liên tục trái x R Định lý 1.3.10 (Tơng ứng 1-1 giữa độ đo Lebesgue - Stieltjes và hàm phân phối) a Cho độ đo Lebesgue - Stieltjes à Khi đó hàm F : R R đợc xác định bởi: F (b) F (a) = à[a, b), a, b R, a b là hàm phân phối b Ngợc lại, cho hàm phân phối F Khi đó à đợc định... tích Jordan Cho độ đo có dấu : F [, +), (A, A) một phân hoạch Hahn của đối với độ đo có dấu Ta định nghĩa + , , || là hàm tập đi từ F [0, +) xác định nh sau: E F, + (E) = (E A) (E) = (E A) ||(E) = + (E) + (E) Từ định nghĩa ta có + , , || là những độ đo trên (, F) = + Khi viết = + nghĩa là ta đ phân tích Jordan đối với độ đo có dấu Bài tập chơng I 1) Chứng minh mọi d y {An }nN các tập... i = 1, n 2 Ai Aj = ; i = j, i, j = 1, n và các Ai , i = 1, n tạo nên một phân hoạch trên Bài tập: Cho f, g là 2 hàm bậc thang Chứng minh f + g cũng là hàm bậc thang Ký hiệu: L+ 0 là lớp các hàm không âm đo đợc Định lý 2.1.1 Điều kiện cần và đủ để f L+ 0 (, F, à) là {fn }nN bậc thang không giảm, không âm, đo đợc fn f Chứng minh [] fn f và fn đo đợc f đo đợc [] k k+1 k , n f () n , k = 1, n2n... (A) + à (B) à (A B) 23 Chơng 2 Tích phân Lebesgue 2.1 Hàm đo đợc Định nghĩa 2.1.1 Cho (, F), ( , F ) là 2 không gian đo đợc Ta nói hàm f : (, F) ( , F ) là đo đợc (còn gọi f là F đo đợc) nếu: B F : f 1 (B) F f 1 (F ) F Trong trờng hợp (, F) = ( , F ) = (R, B) và f : (R, B) (R, B) đo đợc thì f còn đợc gọi là hàm Borel Mệnh đề 2.1.1 f : R, (R, B) là không gian đo đợc Khi đó ta có f 1 (B) = {f... nhất để f đo đợc Chú ý: 1 - Nghịch ảnh của - đại số là một - đại số - Nếu f đo đợc thì f 1 (ảnh ngợc của - đại số) là - đại số bé nhất làm cho f đo đợc 2 - Nếu X : (, F) (R, B) là hàm đo đợc Khi đó X 1 (B) đợc ký hiệu là (X) 3 - Nếu f : (, F) (R, B) là hàm đo đợc thì khi đó ngời ta ký hiệu f L0 (, F) (lớp các hàm đo đợc trên (, F)) - Nếu f L0 (, F) và (, F, à) là không gian có độ đo đầy đủ ... 1.3.4 Độ đo - Độ đo 1.3.5 Độ đo Lebesgue - Stieltjes Hàm phân phối 1.3.6 Độ đo có dấu (độ đo suy rộng) Tích 2.1 2.2 2.3 phân Lebesgue Hàm đo đợc Tích. .. không à(A) + à(N1 ) = 1.3.4 Độ đo - Độ đo Độ đo Cho không gian (, F, à) : [0, ] đợc gọi độ đo xác định với A : (A) = inf{à(B) : B F, B A} Độ đo : [0, ] đợc gọi độ đo xác định với A : (A) =... Khi (A, A) đợc gọi phân hoạch Hahn độ đo có dấu (phân hoạch Hahn không nhất) Phân tích Jordan Cho độ đo có dấu : F [, +), (A, A) phân hoạch Hahn độ đo có dấu Ta định nghĩa + , , || hàm