tài liệu độ đo và tích phân

• Giả sử E có vô hạn phần tử; C là họ các tập con có hữu hạn phần tử của E; C làmột Vành Boole... • Tập hợp của các hợp hữu hạn của các khoảng là một vành Boole có đơn vị đại số.. Tính c

Mục lục

1.1 Đại số các tập con 5

1.2 Vành Boole có đơn vị hay dại số các tập con (ngắn gọn đại số) 6

1.3 Vành Boole và đại số sinh bởi một họ Ω các tập con 6

1.4 Nửa vành 6

1.5 σ − vành, σ − đại số (σ − vành có đơn vị) 7

1.6 σ − vành và σ − đại số sinh bởi một họ Q 8

1.7 σ − đại số sinh bởi topo trong một không gian topo 9

1.7.1 Các tập Borel và σ − đại số Borel 9

1.7.2 Trường hợp R 9

1.8 σ − vành sinh bởi các tập compact 9

1.9 Lớp đơn điệu 10

1.9.1 Định nghĩa 10

1.9.2 Ví dụ 10

1.9.3 Lớp đơn điệu sinh bởi Q ∈ P(E) 10

2 Độ đo dương 11 2.1 Đại cương về độ đo dương 11

2.1.1 Hàm tập cộng tính 11

2.1.2 Độ đo dương 13

2.1.3 Tính chất của độ đo dương 15

2.1.4 Op´erations sur les mesures positives 18

2.1.5 Độ đo chính quy (trên một không gian topo) 19

2.2 Độ đo ngoài 20

2.2.1 Độ đo ngoài 21

2.2.2 Độ đo ngoài liên kết với độ đo µ 21

2.2.3 Tập hợp T − đo được (theo nghĩa Caratheodory) 22

2.2.4 Thác triển (Nới rộng) một độ đo 24

2.3 Độ đo đầy đủ Bổ sung một độ đo 26

2.3.1 Tập hợp µ − bỏ qua được (µ − không) 26

2.3.2 Độ đo đủ 26

2.3.3 Bổ sung một độ đo 27

2.3.4 Trở lại vấn đề đã đặt ra 28

2.3.5 Ứng dụng cơ bản: Độ đo Lebesgue và Lebesgue Stieltjes 29

2.4 Thác triển cơ bản của một độ đo 31

2.5 Bài tập chương 2 32

1

3 Không gian đo được Ánh xạ và hàm số đo được 34

3.1 Không gian đo được Ánh xạ đo được 34

3.1.1 Không gian đo được 34

3.1.2 Ánh xạ đo được 34

3.1.3 Tính chất 35

3.1.4 Tích các không gian đo được, khả xác xuất 35

3.2 Hàm đo được (giá trị thực) 37

3.2.1 Hàm bậc thang 39

3.2.2 Xấp xỉ một hàm đo được bằng các hàm bậc thang đo được 39

3.2.3 Hàm µ − đo được Ghi chú 42

3.3 Thuật ngữ của lý thuyết xác xuất 42

3.3.1 Biến cố và biến cố ngẫu nhiên 42

3.3.2 Luật xác xuất (hay phân phối xác xuất) 42

3.4 Bài tập chương 3 42

4 Tích phân (hàm dương) 44 4.1 Tích phân trên của một hàm dương 44

4.1.1 Định nghĩa 44

4.1.2 Tính chất trực tiếp 46

4.2 Các định lý hội tụ 52

4.3 Trở lại khái niệm tích phân trên 54

4.3.1 Tồn tại và duy nhất 54

4.3.2 Chứng minh mới về sự tồn tại của tích phân trên (hay là xây dựng theo quan điểm giải tích hàm) 55

4.4 Bài tập chương 4 57

5 Tích phân Lebesgue trừu tượng Hàm khả tích 59 5.1 Định nghĩa và tính chất 59

5.1.1 Định nghĩa 59

5.1.2 Ví dụ 59

5.1.3 Hệ quả 60

5.1.4 Hàm nhận giá trị trong C 62

5.2 Định lý hội tụ 63

5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng (Trong trường hợp độ đo Lebesgue) 64

5.3.1 Nhắc lại tích phân Riemann 64

5.3.2 Hàm f∗ và f∗ 64

5.3.3 Hệ quả 65

5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số 66

5.5 Một ví dụ áp dụng: Phép biến đổi Fourier của hàm một biến 69

5.5.1 Định nghĩa 69

5.5.2 Tính chất trực tiếp của ˆf 69

5.5.3 Ví dụ 70

5.6 Mở rộng cho trường hợp hàm định nghĩa µ − hkn 70

5.6.1 Định nghĩa 70

5.6.2 Tính chất 70

5.6.3 Tích phân của một hàm đo được định nghĩa µ − hkn 70

5.7 Bài tập chương 5 71

MỤC LỤC 3

6.1 Nửa chuẩn tổng quát Np 73

6.1.1 Định lý 73

6.1.2 Ví dụ 76

6.1.3 Ghi chú 76

6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 76

6.2.1 Mở đầu 77

6.2.2 Tính chất 77

6.2.3 Định lý Riesz-Fischer 78

6.2.4 Các định lý hội tụ 80

6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 81

6.3.1 Định nghĩa 81

6.3.2 Các tính chất trực tiếp 81

6.3.3 Quan hệ giữa hội tụ theo trung bình với hội tụ đều và hội tụ µ − hkn 82 6.3.4 Trường hợp L2 83

6.3.5 Mở rộng 84

6.4 Các không gian L∞ và L∞ 84

6.4.1 Nửa chuẩn N∞ 84

6.4.2 Các không gian L∞ và L∞ 85

6.4.3 Tính chất của L∞ 85

6.5 Xấp xỉ trong Lp Định lý trù mật Tính khả ly 85

6.6 Không gian đối ngẫu 87

6.7 Quan hệ giữa các Lp 88

6.7.1 Trường hợp µ bị chặn 88

6.7.2 Trường hợp µ không bị chặn 89

6.8 Bài tập chương 6 89

7 Các dạng hội tụ 92 7.1 Hội tụ µ − hầu đều 92

7.1.1 Định nghĩa 92

7.1.2 Định lý Egoroff 92

7.1.3 Áp dụng: 93

7.1.4 Trường hợp µ không bị chặn 93

7.2 Hội tụ theo độ đo 93

7.2.1 Định nghĩa 93

7.2.2 Tính chất 94

7.2.3 Không gian metric của sự hội tụ theo độ đo 94

7.2.4 Hội tụ theo độ đo và µ − hầu đều 95

7.2.5 Hội tụ theo độ đo và µ − hầu đều 96

7.2.6 Hội tụ theo độ đo và hội tụ trong Lp 96

7.3 Bài tập chương 7 96

8 Độ đo tích Độ đo ảnh Độ đo cảm sinh 99 8.1 Độ đo tích Định nghĩa và tính chất 99

8.1.1 Nhập môn 99

8.1.2 Định nghĩa và tính chất của µ1⊗ µ2 99

8.2 Tích phân đối với độ đo tích 102

8.3 Độ đo ảnh 103

8.3.1 Mở đầu 103

8.3.2 Tích phân đối với độ đo ảnh 104

8.4 Độ đo cảm sinh 105

8.4.1 Định nghĩa và tính chất 105

8.4.2 Tích phân theo độ đo cảm sinh 105

E ký hiệu bằng các chữ in: A, B, C, X, Y, A ⊂ E := A là tập con của E Mỗi phần

tử x của E cũng có thể coi là một tập con gồm một phần tử của E Khi đó, ta ký hiệu{x} ⊂ E

Tập hợp tất cả mọi tập hợp con của E ký hiệu là P(E) Một tập hợp nào đó cáctập con của E còn gọi là một họ các tập con của E, thường ký hiệu bởi các chữ hoa:

A, B, C, F, Chúng là một tập con nào đó của P(E); A ⊂ P(E) Trên E luôn định nghĩacác phép toán tập hợp thông thường

Chương này chúng ta tập trung vào nghiên cứu, phân tích các tính chất của các họtập conA, B, của một tập hợp E cho trước Trước mắt ta cố định E là một tập hợpnào đó cho trước

Định nghĩa 1.1 Vành Boole các tập con của một tập E nào đó là một tập hợp con Ccủa P(E) thỏa mãn các tính chất (các tiên đề sau):

(i) A, B ∈C ⇒ A ∪ B ∈C,

(ii) A, B ∈C ⇒ A \ B ∈C

Ví dụ:

• P(E) là một Vành Boole (viết tắt là VB) {∅, E} cũng là một VB

• Giả sử E có vô hạn phần tử; C là họ các tập con có hữu hạn phần tử của E; C làmột Vành Boole (Chú ý là E /∈C)

Hệ quả 1.1 • ∅ ∈C vì ∅ = A \ A ∈ C

• A ∈C, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C vì A ∩ B = A ∪ B \ ((A \ B) ∪ (B \ A))

NếuC là một vành Boole các tập con của E và E ∈ C thì C gọi là vành Boole có đơn

vị hay đại số Boole

Hệ quả 1.2 Nếu A ∈C thì A = CA ∈ C

Ví dụ:

• P(E) là một đại số

• Tập hợp của các hợp hữu hạn của các khoảng là một vành Boole có đơn vị (đại số)

• Cho E = [α, β[⊂ R; tập hợp của các hợp hữu hạn các khoảng có dạng [a, b[⊂ [α, β[

là một đại số các tập con của [α, β[ Ngược lại tính chất trên không còn đúng cho

Định lý 1.1 Cho Ω là một họ các tập con của tập E: Ω ⊂ P(E) Trong số các vànhBoole chứa Ω tồn tại một vành Boole nhỏ nhất gọi là vành Boole sinh bởi Ω ký hiệu làC(Ω)

Tính chất: Mỗi phần tử củaC(Ω) được chứa trong một hợp hữu hạn các phần tử của Ω

Chứng minh Giả sử A ⊂ E và A ⊂ ∪n

p=1Op với Op ∈ Ω Tập hợp tất cả các phần tử Anhư thế là một vành BooleC0 Vành này chứa các phần tử của Ω ⇒C(Ω) ⊂ C0 Vậy ta cóđiều phải chứng minh

1.4 Nửa vành

Nửa vành (Boole) các tập con của E là một họ A, A ⊂ P(E) thỏa mãn:

(i) A, B ∈A ⇒ A ∩ B ∈ A

1.5 σ − vành, σ − đại số (σ − vành có đơn vị) 7

(ii) A, B ∈A thì tồn tại một họ hữu hạn các phần tử của A, ký hiệu là {Aj}n

j=1, từngcặp không giao nhau sao cho:

A \ B = ∪n

j=1AjMột nửa vành gọi là có đơn vị nếu nó chứa E

Hệ quả 1.3 • Một nửa vành ổn định dưới giao hữu hạn

j = 1, , n (có dấu bằng hay không) là nửa vành

• Trong E × E0, ta xét họ {A × A0} trong đó A ∈ A, A0 ∈A0 với A và A0 là các nửavành Họ trên là một nửa vành mà ta ký hiệu là A ⊗ A0 Tính chất này suy từ hai

• P(E), {∅, E}, mọi vành hữu hạn

• Giả sử E là một tập hợp không đếm được Họ các tập con của E đếm được hoặc cóphần bù đếm được là một σ − đại số

Hệ quả 1.4 Mọi σ − vành ổn định (đóng) đối với giao đếm được.

Tính chất: Cho S là một vành (σ − vành, σ − đại số) trên E E0 là một tập con của E.Vết củaS trên E0 là họ tập hợp có dạng: A ∩ E0, A ∈S

Định lý 1.3 Vết của một vành S (σ − vành, σ − đại số) trên E0

(E0 ⊂ E) là một vành

S0 (σ − vành, σ − đại số) các tập con của E0

Ghi chú: Nếu E0 ∈ S thì S0 là một vành (σ − vành, σ − đại số) gồm các phần tử của Snằm trong E0

Định lý 1.4 Nghịch ảnh của một vành (σ − vành, σ − đại số) là một vành (σ − vành,

σ − đại số)

Hệ quả 1.5 Định lý này áp dụng cho vết cho ta định lý 1.3, nếu lấy ánh xạ j là phépnhúng canonique từ E0 vào E; ký hiệu j : E0 7−→ E, x 7−→ j(x) = x; j−1(A) = A ∩ E0.Định lý 1.5 Cho f là một ánh xạ từ E vào F S0

là một σ − vành các tập con của E.Khi đó, họ các tập con A của F sao cho f−1(A) ∈S0 là một σ − vành trên F

Nói ngắn gọn: nếu nghịch ảnh của một họ nằm trong một σ − vành (hoặc trường hợpriêng là một σ − vành) thì bản thân họ đó là một σ − vành Chứng minh định lý này suyđược từ tính chất của f−1(A \ B) và f−1(∞∪

1 An)

Định lý 1.6 Họ các tập con của E (cục bộ -địa ) trong một σ − vành là một σ − đại số

B0 là họ các tập con của E cục bộ - địa trong một σ − vành S gồm các tập A códạng: A ∈B0 ⇔ A ∩ B ∈S, ∀B ∈ S

Chứng minh (∞∪

1 An) ∩ B =∞∪

1(An∩ B); (A \ A0) ∩ B = A ∩ B \ A0∩ B E ∩ B = B ∈S ⇒

E ∈B Ký hiệu B = loc(S) Rõ ràng nếu S có đơn vị thì S ⊂ loc(S) Do đó S = loc(S)

1.6 σ − vành và σ − đại số sinh bởi một họ Q

Định nghĩa 1.3 Cho Q là một họ các tập con của E Khi đó tồn tại một σ − vành(σ − đại số) nhỏ nhất chứa Q gọi là σ − vành (σ − đại số) sinh bởi Q, ký hiệu là σ(Q).Tính chất: Mỗi phần tử của σ(Q) được chứa trong một hợp đếm được các phần tử của

Q Chứng minh tương tự như trong định lý 1.1

Định lý 1.7 Giả sử Q là một họ các tập con của F f là một ánh xạ bất kỳ từ một tập

E vào F Khi đó: f−1(σ(Q)) = σ(f−1(Q))

1.7 σ − đại số sinh bởi topo trong một không gian topo 9

1.7 σ − đại số sinh bởi topo trong một không gian

topo

1.7.1 Các tập Borel và σ − đại số Borel

Cho (X,T) là một không gian topo, T là một họ các tập mở Khi đó, σ − đại số sinhbởiT được gọi là σ − đại số Borel của X σ − vành này rõ ràng là có đơn vị vì X ∈ T Ta

ký hiệu nó làBX(T) hoặc là BX nếu không sợ nhầm lẫn với topo khác trên X Mọi phần

tử củaBX(T) gọi là tập Borel của X

1.7.2 Trường hợp R

Định lý 1.8 Cho I là tập hợp các khoảng của R (tương ứng: tập hợp các khoảng mở,nửa mở, đóng; có dạng ] − ∞, b], ] − ∞, b[, ]a, +∞[, [a, +∞[) Khi đó BR(T) = σ(I) và

BR(T) = σ(I ∪ {−∞} ∪ {+∞})

Chứng minh Dựa trên chứng minh bao hàm thức đúp: I ⊂ σ(T) và T ⊂ σ(I)

Trường hợp các khoảng mở: I ⊂T ⇒ σ(I) ⊂ BR Ngược lại σ(I) chứa các hợp đếmđược các khoảng mở mà mọi tập mở của R là hợp đếm được của các khoảng mởnào đó Do đó T ⊂ σ(I) ⇒ σ(T) ⊂ σ(I) Suy ra BR= σ(I)

Trường hợp khác: Chẳng hạn I = Ip = {[a, b[} (mở bên phải) Do ]a, b[= ∪

n∈N[a +n1, b[.Suy ra ]a, b[ ∈ σ(Ip) Do đó T ∈ σ(Id) Ta cũng có Ip ⊂ σ(T) vì

]a, b[ = ∩

n∈N

]a − 1

n, b[



∈ σ(T)

Do đó Ip ⊂ σ(Id) ⊂ σ(T) Kết luận: BR= σ(Ip)

Các trường hợp khác chứng minh tương tự

1.8 σ − vành sinh bởi các tập compact

Cho (X,T) là một không gian topo tách Ký hiệu K(X) là tập hợp các tập compactcủa X, còn σX(K) là σ − vành sinh bởi họ K Ta có:

P(E) là một lớp đơn điệu Mọi σ − vành là lớp đơn điệu.

1.9.3 Lớp đơn điệu sinh bởi Q ∈ P(E)

• Giao của một họ các lớp đơn điệu là một lớp đơn điệu

• Q ⊂ P(E) là lớp đơn điệu

Định nghĩa 1.5 Ta gọi lớp đơn điệu bé nhất chứaQ là lớp đơn điệu sinh bởi Q, ký hiệu

là M(Q)

Định lý 1.10 (Định lý cơ bản) Nếu C là một vành trên E thì ta có: σ(C) = M(C)

Hệ quả 1.6 Mọi lớp đơn điệu M chứa một vành C đều chứa σ − vành sinh bởi C

• Trong một không gian metric σ − đại số Borel là một lớp đơn điệu sinh bởi các tập

mở (tương ứng đóng)

• f là một ánh xạ từ E vào F vàQ là một tập con của P(E) thì ta có:

M[f−1(Q)] = f−1[M(Q)]

Bài tập chương 1

Bài 1 ChoQ là một tập con của P(E) sao cho: A, B ∈ Q ⇒ A ∪ B ∈ Q và A ∩ B ∈ Q

Q có phải là một vành, hay nửa vành hay không?

Bài 2 ChoQ là một họ các tập con của E Ta đặt:

(i) Họ C1 bao gồm ∅, E và các tập A ∈P(E) sao cho A ∈ Q hoặc CA ∈ Q

(ii) Họ C2 gồm các giao hữu hạn của các phần tử củaC1

(iii) HọC3 gồm các hợp hữu hạn của các phần tử củaC2 từng đôi không giao nhau.Chứng minh rằng C3 là vành đơn vị sinh bởi Q

µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) nếu A ∩ B = ∅Trong thực hành: F = R+, R, R, C.

Hệ quả 2.1 Khi F = R+ Mọi hàm tập cộng tính trên vành C nhận giá trị trong R+ cócác tính chất sau:

(i) µ(∅) = 0 trừ khi µ(A) = ∞ với mọi A ∈ C (Ta sẽ giả thiết µ(∅) = 0 để tránhtrường hợp riêng µ(A) = ∞, ∀A ∈C)

(ii) (Tính đơn điệu) Nếu A ⊂ B thì µ(A) ≤ µ(B)

(iii) Nếu A ⊂ B và µ(A) < ∞ thì µ(B \ A) = µ(B) − µ(A)

(iv) Với mọi hợp hữu hạn các phần tử từng đôi không giao nhau thuộc C:

(ii) B = A∪(B \A) ⇒ µ(B) = µ(A)+µ(B \A) mà µ(B \A) ≥ 0 nên suy ra µ(B) ≥ µ(A).Ngoài ra nếu µ(A) < ∞ thì ta có:

µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) ⇒ (iii)(iv) • Cộng tính hữu hạn: hiển nhiên

• Cộng tính dưới: do ∪n

j=1Aj = A1 ∪ (A2\ A1) ∪ ∪ (An\n−1∪

j=1Aj) Chúng từngđôi không giao nhau nên ta có:

∞ trong các trường hợp còn lạiHàm cộng tính này được gọi là độ đo đếm

2 Cho E = [α, β[ Tập hợpC là tập hợp của các hợp hữu hạn của các khoảng có dạng[a, b[ ⊂ [α, β[ C là một đại số (sinh bởi nửa vành {[a.b[}) Ta biết rằng mọi phần

tử của C là một hợp hữu hạn các khoảng [ak, bk[ rời nhau Giả sử Φ là một hàmkhông giảm trên [α, β[ nhận giá trị thực Ta đặt:

µΦ([a, b[) = Φ(b) − Φ(a)Giả sử A ∈C:

2.1 Đại cương về độ đo dương 13

2.1.2 Độ đo dương

Định nghĩa 2.2 Một hàm tập định nghĩa trên một vành C, nhận giá trị trong mộtkhông gian topo có trang bị phép toán cộng F được gọi là σ − cộng tính (hay cộng tínhđếm được) trên C nếu thỏa mãn tiên đề:

n=1An∈C Trong trường hợp µ nhận giá trị trong R+, µ gọi là độ đo dương

Tùy theo miền giá trị, ta công nhận các thuật ngữ sau đây:

• Độ đo thực: µ nhận giá trị trong R

• Độ đo phức: µ nhận giá trị trong C

• Độ đo dương hữu hạn: µ nhận giá trị trong R+

• Độ đo có dấu hay độ đo thực tổng quát: µ nhận giá trị trong R và nhận nhiều nhấtmột giá trị +∞ hoặc −∞

• Một độ đo thực hoặc phức gọi là giới nội hay bị chặn khi và chỉ khi tồn tại M > 0sao cho ∀A ∈ C: |µ(A)| ≤ M

• Một độ đo dương được gọi là σ − hữu hạn khi và chỉ khi ∀A ∈ C, tồn tại {An},

1 Bn, Bn từng đôi không giao nhau

Ví dụ: Độ đo định nghĩa bởi khối lượng:

Cho C vành của các tập con hữu hạn của một tập E bất kỳ (σ(C) là họ các tập đếmđược) α là một hàm: α : E 7−→ R+ Ta đặt:

µ(A) =X

x∈A

α(x) ∀A ∈C

µ là một độ đo dương trên C Ta nói rằng độ đo này được định nghĩa bởi các khốilượng α(x) đặt tại các điểm của E Nếu α làm cho các họ {α(x)}x∈E khả tổng, khi đóX

x∈A

α(x) < ∞, ∀A ∈ P(E) thì µ là một độ đo bị chặn trên P(E)

Độ đo Dirac: Trên P(E), ta xét độ đo Dirac δx 0 định nghĩa bởi:

2.1 Đại cương về độ đo dương 15

và thay các khoảng nửa mở In = [an, bn[ bởi các khoảng mở In0 =]a0n, b0n[ với a0n < an vàΦ(a0n) > Φ(an) − ε

∞

X

n=1

µ(In) + ε Vậy ta có điều phải chứng minh

Độ đo cảm sinh và độ đo co

Giả sử A ∈C, vết của C trên A là họ CA các phần tử củaC nằm trong A Độ đo cảmsinh µA là hạn chế của µ trên vành CA

Độ đo co µ(A) được định nghĩa như sau: ∀B ∈C, B 7−→ µ(A)(B) = µ(A ∩ B) với A ∈C

cố định Rõ ràng nếu B ⊂ A (tức là nếu B ∈CA) ta có:

µA(B) = µ(A)(B)nhưng µ(A) định nghĩa trên C chứ không phải trên CA như µA

2.1.3 Tính chất của độ đo dương

Định lý 2.1 (liên tục dưới và liên tục trên bởi các dãy đơn điệu)

(i) Với mọi dãy {An} tăng: An⊂ An+1, An∈C, ∞∪

(iii) Trường hợp (ii) với ∞∩

Chứng minh Ta biến đổi {An} thành một dãy các phần tử không giao nhau thuộc C.(i) B1 = A1, B2 = A2\ A1, , Bn = An\ An−1 Khi đó ∞∪

Một mặt theo (1): lim µ(Bn) = µ(An0) − lim

n→∞µ(An) hay sup µ(Bn) = µ(An0) −inf

n µ(An) Mặt khác theo đẳng thức (2), ta có hai công thức như trên với ∪

(iii) Trường hợp riêng của (ii): µ(∅) = 0 và ∅ ∈C

Ghi chú: Giả sử A ∈C, A được gọi là giới hạn của dãy {An}, An ∈C theo nghĩa {An} làdãy tăng: An ⊂ An+1thì A = lim

n→∞An=∞∪

1 An Kết quả (i) có thể viết: µ(A) = lim

n→∞µ(An)nếu {An} là dãy tăng và hội tụ đến A khi n → ∞ nên ta dùng thuật ngữ liên tục "dưới"hay "từ dưới" Kết quả tương tự cho kết quả (ii) và ta nói liên tục trên hay từ trên ({An}

là dãy giảm, A = lim

k sup

n≥k

(an)Định nghĩa 2.4 Đối với dãy tập hợp {An} ta có định nghĩa:

2.1 Đại cương về độ đo dương 17

Một quan hệ giữa hai khái niệm đối với dãy số và dãy tập hợp được cho bởi:

Đọc thêmĐịnh lý 2.3 (Tổng quát định lý 2.1) Nếu µ là một độ đo dương, ta có các kết quả sau:(i) µ(lim An) ≤ lim µ(An)

(ii) Nếu tồn tại n0 sao cho µ( ∪

µ(Bk) ≤ inf

n≥kµ(An) ⇒ µ(lim An) ≤ lim µ(An)Đối với (ii), ta dùng định nghĩa rồi dùng (ii) của định lý 2.1 Cuối cùng: lim An = lim An.Suy ra

lim µ(An) ≤ µ(lim An) = µ(lim An) ≤ lim µ(An) ⇒ µ(lim An) = lim µ(An)

2.1.4 Op´ erations sur les mesures positives

Propri´et´es imm´ediates: Nếu {µj}n

j=1 là một họ độ đo dương, khi đó:

Trường hợp riêng: Tập hợp các độ đo dương là một nón lồi: µ1, µ2 là độ đo dương ⇒

αµ1+ (1 − α)µ2 là độ đo dương với α ∈ [0, 1]

Định lý 2.4 Giới hạn của một họ tăng các độ đo dương là một độ đo dương

Chứng minh Giả sử j ∈ J (tập hợp các chỉ số có thứ tự J ∈ R+) và {µj}, j ∈ J là một

họ tăng các độ đo theo nghĩa:

j ≤ k ⇒ µj ≤ µk ⇔ µj(A) ≤ µk(A), ∀A ∈C

2.1 Đại cương về độ đo dương 19

• µ liên tục đối với dãy tăng:

µ(An) ⇒ điều phải chứng minh

Định lý 2.5 Tổng của một họ khả tổng các độ đo dương là một độ đo dương

Chứng minh Giả sử I là một tập hợp bất kỳ, J ⊂ I, card J < ∞ Khi đó µJ = P

j∈J

µj làmột độ đo dương và {J } là một họ loc trên, họ µJ là một họ tăng:

J ⊂ J0 ⇒ µJ ≤ µJ0

và J1 và J2 ⊂ J1∪ J2 ⇒ µJj ≤ µJ1∪J2; rồi sử dụng các tính chất của chương trước.Ghi chú: Điều kiện tăng đòi hỏi ở mục 2.1.2 là cần Nếu không thỏa mãn ta không thể cótính chất đó

2.1.5 Độ đo chính quy (trên một không gian topo)

Định nghĩa 2.5 Một hàm tập cộng tính µ trên một vànhC của một không gian topo Xnhận giá trị trong R+ gọi là chính quy nếu thỏa mãn các tính chất: ∀ε > 0, ∀A ∈C, ∃K ∈

C, ∃F ∈ C với K compact tương đối sao cho:

1 An) = µ(K) + µ(∞∪

1 An− K) ≤ µ(K) + ε

2Suy ra:

Ghi chú: Một định nghĩa đặc thù có thể hình thành từ khái niệm tập chính quy trong

và chính quy ngoài đối với vành BorelBX(T)

S là một vành chứa BX(T) Ta nói rằng A ∈ S chính quy ngoài khi và chỉ khi:

µ(A) = inf

A⊂O; O∈ C µ(O) (T là họ các tập mở)

A ∈S chính quy trong khi và chỉ khi:

đo dương)

2.2 Độ đo ngoài

Đặt vấn đề: Cho trước một độ đo dương µ trên một vành C, ta có thể nới rộng độ

đo này lên σ − vành sinh bởiC hay không?

Câu trả lời: Có, thậm chí có thể thác triển mọi độ đo dương lên một σ − vành chứaσ(C) (phương pháp chứng minh dùng độ đo ngoài của Caratheodory)

2.2 Độ đo ngoài 21

2.2.1 Độ đo ngoài

Định nghĩa 2.6 Cho E là một tập hợp nào đó Độ đo ngoài T trên P(E) là một ánh

xạ từP(E) vào R+ thỏa mãn các tiên đề:

T(An), ∀{An} ⊂P(E) (σ − cộng tính dưới)

Dễ thấy một độ đo ngoài cộng tính là một độ đo dương Vì một mặt:

2.2.2 Độ đo ngoài liên kết với độ đo µ

Định lý 2.7 Giả sử µ là một độ đo dương trên một vành C các tập con của E, ta địnhnghĩa ánh xạ µ∗ :P(E) → R+ bởi:

Ghi chú: Dưới đây chứng minh với giả thiết (1) Trong trường hợp µ∗(A) = +∞chứng minh dễ (trường hợp này không xảy ra nếu vành C có đơn vị vì ta có A ⊂ E,

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ta chứng minh rằng µ là một độ đo ngoài:

2.2.3 Tập hợp T − đo được (theo nghĩa Caratheodory)

Định nghĩa 2.7 Cho E là một tập nào đó vàT là một độ đo ngoài trên P(E) Một tập

A ∈P(E) gọi là T − đo được khi và chỉ khi:

T(X) = T(A ∩ X) + T(Ac∩ X), ∀X ∈P(E) (1)Ghi chú: T(E) = T(A) + T(Ac) nếu A là T − đo được

Định lý 2.8 (Caratheodory) ChoT là một độ đo ngoài trên P(E) Các tập T−đo đượccủa E lập thành một σ − đại số B0 mà trên đó T là một độ đo

Chứng minh (i) ∅ và E ∈B0 (dễ thấy)

(ii) A ∈ B0 ⇒ Ac∈B0 vì biểu thức trong định nghĩa 2.7 đối xứng với hai tập này.(iii) A ∈ B0, B ∈B0 Ta chứng minh A ∩ B ∈B0 Vì A ∈B0, ta có:

T((A ∩ B)c∩ X) =T(A ∩ (A ∩ B)c∩ X) +T(Ac∩ (A ∩ B)c∩ X)Suy ra:

T((A ∩ B)c∩ X) =T(A ∩ Bc∩ X) +T(Ac∩ X)Suy ra:

T((A ∩ B)c∩ X) +T(A ∩ B ∩ X) = T(A ∩ Bc∩ X) +T(A ∩ B ∩ X) + T(Ac∩ X)

(iv) Ta viết hệ thức (1) với (A ∪ B) ∩ X thay cho X Ta có:

T((A ∪ B) ∩ X) = T(A ∩ X) + T(B ∩ X), với A ∩ B = ∅

Từ đó với phép lặp, ta suy ra:

T(X) ≤ Th(∞∪

1 Ap) ∩ X

i+Th(∞∪

T(X) = Th(∞∪

1 Ap) ∩ X

i+Th(∞∪

1 Ap)c∩ XiSuy ra ∞∪

2.2.4 Thác triển (Nới rộng) một độ đo

Định lý 2.9 (Hahn) Mọi độ đo dương trên một vành C có thể thác triển thành một độ

đo dương lên σ − vành sinh bởi C: σ(C) Nếu µ là một độ đo σ − hữu hạn thì độ đo tháctriển là duy nhất và cũng là σ − hữu hạn

Định nghĩa 2.8 µ là độ đo trên C Ta nói µ0 là độ đo thác triển của µ lên σ(C) nếu µ0

là độ đo trên σ(C) và µ(A) = µ0(A), với mọi A ∈C Ký hiệu: µ0

C= µ.

Chứng minh Theo định lý 2.7, ta có thể thác triển µ thành một độ đo ngoài, ký hiệu là µ∗lênP(E) Sau đó sử dụng định lý Caratheodory cho µ∗, ta biết rằng các tập µ∗− đo đượclập thành một σ − đại sốB0 mà trên đó µ∗ là một độ đo Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh

B0 chứaC Cho A ∈ C và B ∈ P(E) Khi đó giả sử ∀ε > 0, tồn tại dãy {An}∞

1 , An ∈ Csao cho: B ⊂∞∪

µ∗(B) = µ∗(A ∩ B) + µ∗(Ac∩ B) (2)Nếu µ∗(B) = +∞ Khi đó ít nhất một trong hai số µ∗(A ∩ B) và µ∗(Ac∩ B) là vô hạnnên đẳng thức (2) vẫn đúng với mọi B ∈P(E) Suy ra: A ∈ B0 và C ⊂ B0

Nếu µ là σ − hữu hạn thì thác triển là σ − hữu hạn A ⊂ σ(C), suy ra A ⊂ ∞∪

2.2 Độ đo ngoài 25

µ1(A) = µ2(A) là một lớp đơn điệu (theo định lý 2.1) Bây giờ giả sử µ1 và µ2 là hai tháctriển của µ định nghĩa trênC Theo định nghĩa:

µ1(A) = µ2(A) = µ(A), ∀A ∈C

Suy ra: C ⊂ M, với M là lớp đơn điệu gồm các tập A sao cho: µ1(A) = µ2(A) Từ đóσ(C) ⊂ M (Bổ đề về các lớp đơn điệu) Khi đó µ1(A) = µ2(A) với mọi A ∈ σ(C)

Bây giờ giả sử µ là σ − hữu hạn, còn µ1 và µ2 là hai thác triển của µ A ∈ σ(C) ⇒

Suy ra µ1(A) = µ2(A), ∀A ∈ σ(C)

Hệ quả 2.3 Giả sử C là một vành trên E, còn µ là một độ đo dương giới nội trên C.Khi đó, µ được thác triển thành một độ đoµ giới nội trên σ(e C) và ta có:

eµ(B) ≤µ(e ∞∪

• Sự quan trọng của giả thiết µ là σ − hữu hạn cho tính duy nhất Giả sử C([α, β[),đại số hợp hữu hạn các khoảng [a.b[ Ta có thể đặt µ(∅) = 0, µ([a, b[) = +∞ ⇒ µ

là một độ đo trên C không σ − hữu hạn Chọn µ1 là độ đo đếm trên σ(C) µ2 là độ

đo định nghĩa bởi: µ2(∅) = 0, µ2(A) = +∞ nếu A 6= ∅ Ta thấy µ1 và µ2 là hai độ

đo khác nhau thác triển µ lên σ(C)

• Xuất phát từ một nửa vành A, ta có thể dùng cùng cách xây dựng để nhận đượckết quả như trước với giả thiết tồn tại một dãy {An}, An ∈ A sao cho: E = ∪An

2.3 Độ đo đầy đủ Bổ sung một độ đo

Cho µ là một độ đo dương, σ − hữu hạn trên σ − đại sốB các tập con của E Áp dụngđịnh lý thác triển của Hahn, ta nhận được σ − đại số B0 của các tập con µ∗ − đo được

mà trên đó µ∗ là một độ đo thác triển của µ Ta có B ⊂ B0 Từ đó có bài toán sau:Bài toán: Nghiên cứu bao hàm thức B ⊂ B0 Nó có là bao hàm thức thực sự haykhông?

Câu trả lời: là khẳng định và ta sẽ tìm đặc trưng cho các phần tử A ∈B0 \B Vớimục đích đó, ta sẽ đưa ra khái niệm độ đo đủ và σ − vành µ − đủ

2.3.1 Tập hợp µ − bỏ qua được (µ − không)

Định nghĩa 2.9 C là vành trên E, µ là một độ đo dương trên C N ∈ C gọi là tập

µ − bỏ qua được (µ − bqđ) nếu µ(N ) = 0 (còn gọi là tập µ − không)

Tính chất:

• Nếu A là µ − bỏ qua được và nếu B ⊂ A, B ∈C thì B là µ − bqđ (Tính chất: A là

µ − bỏ qua được là một tính chất di truyền)

• {An} là một dãy các phần tử của C, với mọi n, Anlà µ − bqđ Khi đó nếu ∞∪

1 An∈Cthì ∞∪

1 An là µ − bqđ

Tính chất đúng µ − hầu khắp nơi: Một tính chất, ký hiệu P(x) đúng hay sai tùythuộc vào phần tử x ∈ E P(x) đúng µ − hầu khắp nơi khi và chỉ khi không P(x) đúngvới các phần tử x nằm trong một tập µ − bqđ

2.3.2 Độ đo đủ

Định nghĩa 2.10 µ là một độ đo trên một σ − vành S µ được gọi là độ đo đủ khi vàchỉ khi (∀A ∈S, µ(A) = 0) và (B ⊂ A) ⇒ (B ∈ S) Ta cũng nói rằng S là đủ đối với độ

đo µ hoặc µ − đủ

2.3 Độ đo đầy đủ Bổ sung một độ đo 27

Ghi chú: Nếu µ là một độ đo đủ trên σ − vành S thì S chứa mọi tập con có dạng A4N,với A ∈S và N là tập con của một tập µ − bqđ Thực vậy do N ∈ S, khi đó A4N ∈ S.Nếu µ là một độ đo dương bất kỳ trên S, khi xét họ các phần tử A4N sẽ dẫn đến mộtthác triển của µ thành độ đo đủ

(iii) (µ, bb S) là thác triển đủ nhỏ nhất của (µ, S)

Định nghĩa 2.11.µ gọi là độ đo đủ (bổ sung) của µ Các phần tử của bb S gọi làµ−đo được.b

bS gọi là σ − vành đủ (bổ sung) của S đối với độ đo µ

Chứng minh bS là một σ − vành Đầu tiên, ta chứng minh bS là một vành Ta chỉ cầnchứng tỏ bS đóng kín đối với hiệu đối xứng và giao:

(a) A1, A2 ∈ bS ⇒ A14A2 ∈ bS Thực vậy: A14A2 = (B14N1)4(B24N2) Từ đó:

A1 4 A2 = (B1 4 B2) 4N ∈ bSvới N = N14N2

(b) A1, A2 ∈ bS ⇒ A1∩ A2 ∈ bS Đúng thế A1∩ A2 = (B14N1) ∩ (B24N2) Từ đó:

A1 ∩ A2 = (B1 ∩ B2) 4 N ∈ bSvới N = (N1∩ B2)4(N2∩ B1)4(N1 ∩ N2)

Để chứng minh rằng bS là một σ − vành, ta chứng minh rằng bS cũng được định nghĩa như

là họ của mọi tập con A ∪ N với A ∈ S và N là tập con của một tập hợp µ − bqđ Đặt

S0 = {A ∪ N, A ∈S, N ⊂ B, B là µ − bqđ} Ta chứng minh rằng: bS = S0

• Mọi phần tử của S0 đều thuộc bS Ta chứng minh rằng A ∪ N = B14N1, trong đó

B1 ∈S và N1 là tập con của một tập µ − bỏ qua được Thật vậy:

A ∪ N = A 4 (N ∩ Ac) = A 4 N1với A ∈ S và N1 ⊂ N ⊂ B

• Mỗi phần tử của bS thuộc vào S0 Ta chứng minh rằng A 4 N = A ∪ N1 nhưng

A 4 N = (A \ B) ∪ [(A ∩ B) 4 N ] = A1∪ N1với A1 = A − B ∈ S, N1 = (A ∩ B) 4 N ⊂ B 4 N ⊂ B (vì N ⊂ B) bS là một

1 Nk chứa trong hợp của các tập µ − bqđ nên cũng là µ − bqđ

Định nghĩa 2.12 (Định nghĩa và tính chất của bµ) µ(A) được định nghĩa bởi:bb

µ(B4N ) = µ(B) Điều này chỉ có một ý nghĩa là hai sự phân tích khác nhau thì chocùng một giá trị độ đo (không có tính duy nhất)

Giả sử: A = B1 4 N1 = B2 4 N2 Ta phải chứng minh rằng: µ(B1) = µ(B2) Mà

B1 4 N1 = B2 4 N2 suy ra B1 4 B2 = N1 4 N2 và µ(B14B2) = µ(N14N2) = 0

vì Ni ⊂ B0

i, µ(Bi0) = 0 Do µ(B14B2) = 0 nên µ(B1 ∪ B2) = µ(B1 ∩ B2) Suy raµ(B1) = µ(B2) do (B1∩ B2) ⊂ B1 ⊂ (B1∪ B2) và (B1∩ B2) ⊂ B2 ⊂ (B1∪ B2)

b

µ là σ −cộng tính: {An} ⊂ bS, Ai∩Ak = ∅ nếu i 6= k,∞∪

1 Ak ∈ bS Khi đó: Ak= Bk∪Nk.Suy ra:

bµ(∞∪

vì các Bn từng đôi không giao nhau

b

µ đầy đủ: Cho A ∈ bS sao cho µ(A) = 0, nhưng A = B ∪ N , với N ⊂ Nb 1 ∈S, N1 là

µ − bqđ và B ∈S, µ(B) = 0 Suy ra A được chứa trong một tập hợp µ − bqđ của S Nhưvậy A1 ⊂ A với µ(A) = 0 Suy ra Ab 1 ∈ bS vì A1 = ∅ ∪ A1

b

µ là thác triển đủ nhỏ nhất: µ(A) = µ(A) với mọi A ∈b S Giả sử µ1 là một tháctriển đủ khác của µ trên σ − đại số S1 chứa S Khi đó S1 chứa bS (như ghi chú ở trướcđịnh lý 2.10) Hơn nữa:

µ1(A) = µ1(B ∪ N ) ≥ µ1(B) = µ(B) =µ(B ∪ N ) =b µ(A)bSuy ra µ1(A) ≥µ(A).b

Ghi chú: Nếu ta xuất phát từ một σ − đại số B thay cho σ − vành S, ta nhậnđược định lý tương tự vớiB là một σ − đại số, gọi là σ − đại số đủ

2.3.4 Trở lại vấn đề đã đặt ra

Bổ đề: Nếu µ là một độ đo dương trên một σ − vành S (σ − đại số B) thì mọi phần tửcủa σ − vành bổ sung bS (σ − đại số bổ sung bB) là µ∗ − đo được và ta có: µ∗(A) = bµ(A)

Giả sử A ∈ bS, A = B ∪ N và ta có thể giả thiết B và N không giao nhau với

N ⊂ B1, µ(B1) = 0 Ta sẽ chứng minh rằng N là µ∗− đo được, tức là:

µ∗(X) = µ∗(N ∩ X) + µ∗(Nc∩ X)

2.3 Độ đo đầy đủ Bổ sung một độ đo 29

với mọi X ∈P(E), với Nc =CN Nhưng µ∗(N ∩ X) ≤ µ∗(N ) ≤ µ∗(B1) = µ(B1) = 0 và

µ∗(Nc∩ X) ≤ µ∗(X) Từ bất đẳng thức đúp:

µ∗(X) ≤ µ∗(N ∩ X) + µ∗(Nc∩ X) ≤ µ∗(X) ⇒ µ∗(X) = µ∗(N ∩ X) + µ∗(Nc∩ X)Suy ra A là µ∗ − đo được và µ∗(A) = µ∗(B) + µ∗(N ) = µ∗(B) = µ(B) Tức là

µ∗(A) = bµ(A)

Định lý 2.11 Giả sử µ là một độ đo dương σ − hữu hạn trên một σ − đại số B, bB là

σ − đại số bổ sung của B B0 là σ − đại số các tập µ∗− đo được Khi đó: B0 = bB.Chứng minh Theo bổ đề trên bB ⊂ B0 Ta còn phải chứng minh:B0 ⊂ bB Giả sử A ∈ B0

Giả sử µ∗(A) < ∞ (Đây là trường hợp cho mọi A khi µ là hữu hạn vì µ∗(A) ≤ µ(E))

Ta cần chứng minh: A = B 4 N , B ∈B và N ⊂ B1 với µ(B1) = 0 Ta xác định trướctiên một tập B thuộc vàoB sao cho µ∗(A) = µ(B) Vì µ∗(A) < ∞, tồn tại dãy {Aj,n}∞

µ(B) ≤ µ(Bn) ≤ µ∗(A) + 1

n, ∀nnên

µ∗(A) ≤ µ(B) ≤ µ∗(A) + 1

n, ∀n

Ainsi B ∈ B et µ∗(A) = µ∗(B) on en d´eduit µ∗(B − A) = 0 Avec B ∈ B Coume

B \ A /∈B, on ne heut dire que µ(B − A) = 0 On recomm´ence l’operation avec B − Athay cho A nhưng lần này µ∗(B − A) = 0, tồn tại C ∈B sao cho:

2.3.5 Ứng dụng cơ bản: Độ đo Lebesgue và Lebesgue Stieltjes

Trên R: Trên [α, β[, ta xét đại số các hợp hữu hạn các khoảng có dạng [a, b[, và hàmtập µΦ định nghĩa bởi Φ(x) = x = I(x) Khi đó:

µI : [a, b[7−→ µI([a, b[) = b − a

là σ − cộng tính vì I(x) liên tục Độ đo µI là bị chặn vì µI([α, β[) = β − α < ∞ Tổng quáthơn, trên [α, β[= R, µI là σ −hữu hạn µI được thác triển một cách duy nhất lên σ −đại sốsinh, tức là lên σ − đại số Borel B[α,β[ hay BR Thác triển này gọi là độ đo Borel Đây là

độ đo duy nhất trên BR là thác triển của hàm " độ dài " thông thường định nghĩa trêncác khoảng Độ đo bổ sung của µI định nghĩa trên bBRgọi là độ đo Lebesgue và ký hiệu là

λ Trong giáo trình này, các tập hợp thuộc bBRgọi là các tập λ−đo được, hay tập Lebesgue

Trên Rk: Trên Rk, ta xét nửa vànhAk hình thành từ các hộp chữ nhật Pn có dạng:

µΦ là bị chặn trên C[α,β[; σ − hữu hạn trên CR Do đó µΦ được thác triển duy nhất lên

B[α,β[ hoặc BR trở thành độ đo gọi là độ đo Borel-Stieltjes Bổ sung của độ đo này, kýhiệu là λΦ, gọi là độ đo Lebesgue-Stieltjes

Ghi chú:

• Ta có thể sử dụng một hàm Φ không giảm, liên tục bên phải Ta định nghĩa:

µΦ(]a, b]) = Φ(b−) − Φ(a−)

• Đối với độ đo Lebesgue, tập một điểm có độ đo không nên mọi tập đếm được có độ

đo không Điều đó không còn đúng đối với độ đo Lebesgue-Stieltjjes Ta có:

µΦ({x0}) = Φ(x+

0) − Φ(x0)

Do vậy Φ(x0) = 0 khi và chỉ khi x0 là điểm liên tục của hàm Φ Đối với độ đoLebsegue, các khoảng [a, b[, ]a, b[, ]a, b], [a, b] có cùng một độ đo và bằng b − a

2.4 Thác triển cơ bản của một độ đo 31

Định lý 2.12 (Tính chất đáng ghi nhớ của độ đo Borel)Ký hiệu µI là độ đo Boreltrên R Khi đó:

(i) ∀A ∈BR, ∀x ∈ R: µI(A + x) = µI(A) (Bất biến đối với phép tịnh tiến)

(ii) µI(A) = µI(−A) (Bất biến đối với phép đối xứng)

Chứng minh Giả sử µ là độ đo định nghĩa bởi µ(A) = µI(A + x), µ và µI là hai độ đo

σ − hữu hạn trênBR Ta chứng tỏ rằng chúng trùng nhau trên vành của các hợp hữu hạn

µ(A + x) = µ(A), ∀A ∈BR

Khi đó tồn tại một hằng số k sao cho: µ(A) = kµI(A) Nói cách khác, tập hợp các độ đotrên BR bất biến đối với phép tịnh tiến là tập hợp các độ đo tỉ lệ với độ đo Borel

2 Bao hàm chặt: bBR P(R) Xây dựng được tập không Lebesgue - đo được

2.4 Thác triển cơ bản của một độ đo

Định lý 2.13 Giả sử S là một σ − vành trên E, B = loc(S) là σ − đại số gồm các tậpđịa phương trong S; còn µ là một độ đo dương trên S Khi đó, ánh xạ µ :e B 7−→ R+ địnhnghĩa bởi:

eµ(A) = sup

là một độ đo dương trên B Đây là thác triển thành độ đo dương nhỏ nhất của µ lên B.Định nghĩa 2.13 Thác triển µ của µ lêne B định nghĩa như trên gọi là thác triển cơbản của µ

Hệ quả 2.4 • µ(E) = supe

B∈ Sµ(B), do đó nếu µ bị chặn thì µ bị chặn.e

• Mọi độ đo dương trên một vành C trên E có thể thác triển thành một độ đo dươngtrên σ − đại số σ(C ∪ {E}) sinh bởi C Thực vậy µ định nghĩa trên C thác triển lênσ(C) = S và σ(C ∪ {E}) ⊂ loc(S) Ta nhận lại kết quả đã chứng minh ở trên

Bài 2 Giả sử S là một σ − vành, µ là một độ đo dương trên S, C là họ các tập có độ

đo hữu hạn, S0 là họ các tập có độ đo σ − hữu hạn Chứng minh rằng:

1 C là một vành, S0 là một σ − vành

2 Nếu µ là σ − hữu hạn Chứng minh rằng một điều kiện cần và đủ đểC là một

σ − vành là µ hữu hạn

Bài 3 Giả sửS là một σ − vành, µ là một độ đo dương trên S, E là một tập hợp có độ

đo hữu hạn, A là họ các tập không giao nhau của S Với n ∈ N∗

, ta đặt:

Cn=nA| A ∈A, µ(A ∩ E) ≥ µ(E)

no

Chứng minh rằng cardCn< ∞ và đặtC là họ các tập A ∈ A sao cho: µ(E ∩A) 6= 0.Chứng minh rằng card C ≤ N0

Bài 4 (Nguyên tử và độ đo khuyˆech tán)Giả sử µ là độ đo trên một đại số B ⊂P(E) Một phần tử A ∈ B có độ đo dương gọi là µ − nguyên tử nếu và chỉ nếu:

∀B ⊂ A, B ∈ B ⇒ µ(B) = 0 hoặc µ(A − B) = 0 Một độ đo không có nguyên tửgọi là khuyˆech tán

1 Hãy tìm hiểu các nguyên tử của độ đo đếm và độ đo Lebesgue trên đườngthẳng y = k (k là hằng số) trong R2

2 Nếu 0 < µ(A) < ∞ và nếu µ là một độ đo khuyˆech tán trên B ∩ P(A) Khi đó,

A chứa các tập con có độ đo nhỏ tùy ý

Bài 5 (Tìm hiểu độ đo (µ∗)∗) Giả sử T là một vành, µ là một độ đo dương trên T,

µ∗ là độ đo ngoài liên kết vởi µ Coi µ∗ là độ đo trên σ(C), ta xây dựng độ đo ngoàiliên kết (µ∗)∗ Chứng minh rằng (µ∗)∗ = µ∗ trên P(E)

2.5 Bài tập chương 2 33

Bài 6 A và A1 là hai nửa vành Chứng minh rằng (A, µ) và (A1, µ1) sinh ra cùng một

độ ngoài trên P(E) nếu và chỉ nếu: µ∗ ≤ µ1 trên A1; µ∗1 ≤ µ trên A Với một phản

ví dụ đơn giản, chứng minh rằng điều kiện µ∗ = µ1 trên A1 không phải điều kiệnđủ

Bài 7 Giả sử µ∗ là một độ đo ngoài trên P(E), F là một phần tử của P(E), F là

µ∗− đo được Ta định nghĩa độ đo ngoài µ∗

(a) Chứng minh rằng T(A) ≤ T∗(A) với mọi A ∈P(E)

(b) Nếu T(A) = T∗(A) với mọi A ∈P(E), ta nói rằng T là một độ đo ngoài chínhquy Chứng minh rằng T là chính quy khi và chỉ khi tồn tại một nửa vành A

và một độ đo µ sao cho T là độ đo ngoài µ∗ liên kết với µ

Bài 9 Giả sử µ là một độ đo trên một nửa vànhA và ký hiệu µ là thác triển của µ lên

σ − đại số B0 Độ đo ngoài liên kết với µ trên P(E), ký hiệu µ∗ Chứng minh rằngnếu A ⊂ ∞∪

1 An, An∈A, ta có:

µ∗(A) = inf µ(B)cận dưới đúng lấy trên mọi σ − tập B (với các phần tử không giao nhau) phủ A.(B =∞∪

1 Bn)

Bài 10 A là µ∗− đo được khi và chỉ khi ∀ε > 0, tồn tại A1 ∈ B0 và tồn tại A2 ∈ B0

sao cho: A1 ⊂ A ⊂ A2 và µ(A2− A1) < ε

Không gian đo được Ánh xạ và hàm

số đo được

3.1 Không gian đo được Ánh xạ đo được

3.1.1 Không gian đo được

E là một tập bất kỳ, S là một σ − vành trên E thì cặp (E, S) gọi là không gian đođược theo nghĩa rộng hay rộng

NếuS là một σ − đại số B thì (E, B) gọi là không gian khả xác xuất

Mỗi tập A ∈S (hay thuộc B) gọi là tập đo được

Chú ý: Định nghĩa này không đòi hỏi có một độ đo trên S Nếu trên S có định nghĩamột độ đo µ dương thì bộ ba (E,S, µ) gọi là không gian có độ đo Nếu S là một σ − đại số

B thì bộ ba (E, B, µ) gọi là không gian tiền xác xuất Nếu µ(E) = 1 thì (E, B, µ) gọi làkhông gian xác xuất

Ví dụ: (E,P(E)), (R, BR), (R, BR, µΦ),

3.1.2 Ánh xạ đo được

Định nghĩa 3.1 Giả sử (E1,S1), (E2,S2) là hai không gian đo được Một ánh xạ

f : E1 7−→ E2 gọi là đo được nếu: ∀A ∈ S2 thì f−1(A) ∈S1 Nói cách khác f−1(S2) ⊂S1.Ghi chú: Cho hai không gian đo được bất kỳ (E1,S1), (E2,S2) không nhất thiết tựđộng có một ánh xạ đo được từ (E1,S1) → (E2,S2)

Ví dụ:

• S2 là σ − đại số, S1 không phải σ − đại số, f−1(E2) = E1 ∈/ S1 với mọi f ⇒ khôngánh xạ nào đo được

• Ngược lại nếu S1 =P(E1) thì mọi ánh xạ từ E1 vào E2 là ánh xạ đo được

Trong thực tế, trong trường hợp f là hàm số định nghĩa trên E (nhận giá trị trong R)

ta dùng σ − đại số Borel của R Khi đó cần phải giả thiết (đòi hỏi) không gian xuất phát

là khả xác xuất (tức là σ − đại số), nếu không sẽ không có ánh xạ đo được Nhiều giáo

3.1 Không gian đo được Ánh xạ đo được 35

trình chỉ xét trường hợp σ − đại số nên không gặp khó khăn nêu trên

(X1,B1), (X2,B2) là hai không gian topo với σ − đại số Borel tương ứng thì ánh xạ

f : (X1,B1) 7−→ (X2,B2) gọi là ánh xạ Borel-đo được hay Borel

Hệ quả 3.1 (X1,B1), (X2,B2) là hai không gian topo trang bị σ − đại số Borel Khi đó,mọi ánh xạ liên tục f : X1 7−→ X2 là ánh xạ đo được

Chứng minh Giả sửB2 = σ(T2) f−1(T2) ⊂T1 ⊂B1

Ghi chú: Hệ quả này không khẳng định rằng mọi ánh xạ liên tục là đo được vìkhái niệm đo được liên quan tới không gian đo được định nghĩa trên đó Nếu ta ký hiệuM(E1,S1; E2,S2) là tập hợp các ánh xạ đo được từ (E1,S1) vào (E2,S2),C(X1,T1; X2,T2)

là tập hợp các ánh xạ liên tục từ (X1,T1) vào (X2,T2), thì ta chỉ muốn khẳng định:

C(X1,T1; X2,T2) ⊂M(E1, σ(T1); E2, σ(T2))Một bao hàm thức dạng:

C(X1,T1; X2,T2) ⊂M(E1,S1; E2,S2)không nhất thiết đúng

Ví dụ: X1 = X2 = R, T1 = T2 = T topo thông thường Ánh xạ đồng nhất x :→

f (x) = x liên tục nhưng không đo được nếu lấyS2 =BR,S1 là σ − vành của các tập đếmđược của R

Định lý 3.2 Giả sử (Ej,Sj), j = 1, 2, 3 là ba không gian đo được f và g là hai ánh xạ

đo được: f : E1 → E2, g : E2 → E3 Khi đó, ánh xạ hợp h = g ◦ f : E1 → E3 là đo được

3.1.4 Tích các không gian đo được, khả xác xuất

Giả sử {(Fj,Bj)}j∈J là một họ không gian khả xác xuất F là một tập bất kỳ Vớimọi j ∈ J , fj là một ánh xạ từ F vào (Fj,Bj)

Ta ký hiệu Q là họ các tập con của F có dạng f−1

j (Aj), j ∈ J , Aj ∈ Bj và taxét B = σ(Q) Khi đó, B là σ − đại số nhỏ nhất trên F làm cho tất cả mọi ánh xạ

fj : (F,B) 7−→ (Fj,Bj) đo được (j ∈ J ) Kết quả này là tự nhiên Các fj là đo được do

cấu trúc của B Nếu tồn tại B0

là một σ − đại số khác có cùng tính chất, nó phải thỏamãn: B0 ⊃ fj−1(Aj) với mọi j ∈ J , Aj ∈ Bj Suy ra B ⊂ B0 Ta nói: B định nghĩa cấutrúc đo được ở nguồn trên F bởi họ {fj}j∈J hoặc B là σ − đại số trên F sinh bởi họ ánh

xạ {fj}j∈J

Định lý 3.3 Với các ký hiệu ở trên, giả sử (E,S) là một không gian khả xác xuất g làmột ánh xạ từ E vào F Để g là đo được từ (E,S) vào (F, B) cần và đủ là với mọi j ∈ J,ánh xạ hợp fj◦ g đo được

Chứng minh fj ◦ g : E −→ Fg −f→ Fj j Suy ra nếu g đo được thì fj ◦ g là đo được từ(E,S) vào (Fj,Bj) Ngược lại nếu (fj◦ g) đo được với mọi j ∈ J thì g phải đo được Đặt

M = {A| A ⊂ F, g−1(A) ∈S} ⇒ M là một σ − đại số trên F Chứng minh rằng M ⊃ Q.Thực vậy với mọi A ∈Q, tồn tại Aj ∈Bj sao cho: A = fj−1(Aj) Do

(E,S) g

−

→ (F,B) fj

−→ (Fj,Bj)(fj◦ g)−1(Aj) = g−1[fj−1(Aj)], với Aj ∈Bj

nhưng màQ 3 f−1

j (Aj) ⊂ F và g−1[fj−1(Aj)] ∈S vì (fj◦ g) đo được ⇒ fj−1(Aj) ∈M Do

đóQ ⊂ M ⇒ B = σ(Q) ⊂ M và B ⊂ M vì M là một σ − đại số trên F Do đó ∀B ∈ B,

ta có B ∈M Suy ra g−1(B) ∈S ⇒ g đo được

Định nghĩa 3.2 Giả sử (Fj,Bj) là một họ hữu hạn các không gian khả xác xuất Đặt

là không gian đo được tích của các không gian đo được (Fj,Bj) Ký hiệu B = ⊗n

j=1Bj làtích tensor vì theo nghiên cứu ở trên, ta thấy B được sinh bởi họ Q của các tập đo được

đủ là các gj (dùng ký hiệu trên) là đo được Thật vậy theo nghiên cứu ở trên thì gj = Pj◦g

Ghi chú: Định nghĩa này tương tự như định nghĩa xây dựng topo tích Tính đo đượccủa các fj tương ứng với tính liên tục của chúng trong định nghĩa topo tích (Topo tíchđược định nghĩa là topo thô nhỏ nhất trong các topo làm cho các phép chiếu Pj : Y 7−→ Yj

liên tục, j ∈ J Khi số chiều J là hữu hạn, topo tích trùng với topo sinh bởi họ các tập

3.2 Hàm đo được (giá trị thực) 37

Áp dụng vào các không gian topo: Giả sử {(Xj,Tj)}j là một họ các không giantopo Với mỗi j, ta xét σ − đại số BorelBj = σ(Tj) cũng như σ − đại số BorelBX = σ(T)của không gian tích X =

j=1Bj Nói cách khác trongtrường hợp này:

σ(⊗n

j=1Tj) = ⊗n

j=1

σ(Tj)Chứng minh Phép chiếu Pj : F 7−→ Fj là liên tục từ F lên Fj Do đó chúng đo được từ(F,B) → (Fj,Bj) với mọi j = 1, 2, , n Suy ra ⊗n

j=1Bj ⊂ BX vì ⊗n

j=1Bj là σ − đại số nhỏnhất làm cho tất cả các Pj đo được Hơn nữa nếu topo có cơ sở đếm được thì ta có dấubằng Ta chỉ cần chứng minh bao hàm thức ngược lại Giả sửQj là một cơ sở đếm đượccủa Tj, j = 1, 2, , n Các tập O1 × O2× × On với Oj ∈ Qj lập thành một cơ sở đếmđượcQ của topo T Và ta có: Q ⊂ ⊗n

j=1Bj Nhưng mọi tập mở của T là hợp đếm được củacác phần tử củaQ Như vậy T ⊂ ⊗n

g ◦ fj là đo được

Trường hợp riêng: Các ánh xạ: (x, y) 7−→ x + y; (x, y) 7−→ xy; (x, y) 7−→ sup{x, y}

và (x, y) 7−→ inf{x, y} từ R × R vào R là ánh xạ Borel khi R × R được trang bị σ − đại sốtích Tổng quát cho các ánh xạ từ R × R 7−→ R (khi x + y được định nghĩa) ta xác địnhđược cùng tính chất

Ghi chú: Các tính chất này không còn đúng nếuTj không có cơ sở đếm được Nhưngnếu các topo cảm sinh từ topo của F xuống fj(E) có cơ sở đếm được, các tính chất đãnêu tồn tại (còn đúng)

3.2 Hàm đo được (giá trị thực)

Ta xét trường hợp riêng các ánh xạ từ (E,S) vào R hoặc R, R và R được trang bị

σ − đại số Borel Ta cần giả thiết S là σ − đại số (như đã nhận xét trước đây)

Định lý 3.4 Giả sử (E,B) là một không gian đo được Để một hàm f : E 7−→ R đođược cần và đủ là f−1(] − ∞, a[), với mọi a ∈ R là đo được (hoặc f−1(] − ∞, a]), f−1[a, b], là đo được) Nói cách khác f−1(] − ∞, a[) ∈B với mọi a ∈ R.

Ghi chú: Có kết quả tương tự cho hàm f : E 7−→ R hoặc R+ với các thay đổi tươngứng Định lý này cũng chỉ là một dạng của định lý 3.1 vì là biết rằng: các tập con ở trênsinh ra σ − đại số Borel

Hệ quả:

• Nếu f đo được, ta suy ra các tập {x : f (x) = a}, {x : f (x) = +∞}, {x : f (x) = −∞}

là đo được Thật vậy chẳng hạn với {x : f (x) = a}, ta có:

f−1({a}) = f−1(] − ∞, a]) ∩ f−1([a, +∞[) ∈B

• Một hàm chỉ tiêu 1A đo được khi và chỉ khi A ∈B

• Ta suy từ định lý này rằng mọi hàm nửa liên tục dưới (trên), đơn điệu đều đo được.Định lý 3.5 Nếu f , g là các hàm đo được từ (E,B) → R, khi đó các hàm sau là đođược: f + g (nếu tồn tại), cf (c thực), f g, f2, sup(f, g), inf(f, g), f+, f−, |f | f đo đượckhi và chỉ khi f+ và f− đo được

Thuật ngữ "nếu tồn tại" liên quan đến trường hợp f (x) = ±∞ và g(x) = ±∞ khi mà(f + g)(x) không có nghĩa Trường hợp f g, ta nhắc lại quy ước (f g)(x) = 0 nếu f (x) = 0

và g(x) = ∞ (hoặc f (x) = ∞ và g(x) = 0) Nếu f nhận giá trị trong R thay cho R thìkhông có hạn chế nào

Chứng minh Đối với f + g, f g, f2, sup(f, g) và inf(x, y) Tính chất đó suy từ hệ quả củamột định lý cuối mục 3.1 vì (u, v) → u + v đo được: x → f (x) và x → g(x) đo được Cóthể đưa ra một chứng minh trực tiếp, chẳng hạn: {x : (f + g)(x) < a} đo được Giả sử

f (x) + g(x) < a, khi đó tồn tại r ∈ Q sao cho: f (x) < r và g(x) < a − r Do đó

đo được ⇒ f đo được (f+− f− luôn xác định vì nếu f+= +∞, f−= 0, )

Ta có thể tóm tắt định lý 3.5 như sau: M(E, B; R, BR) là một đại số trên R có cấutrúc dàn đối với quan hệ thứ tự tự nhiên f ≤ g

Ghi chú: Điều kiện |f | đo được không suy ra f+ và f− đo được ⇒ sự đo được của

|f | không suy ra sự đo được của f

3.2 Hàm đo được (giá trị thực) 39

Định lý 3.6 Nếu {fn} là một dãy các hàm đo được nhận giá trị trong R thì các hàmsup

n fn, ta có lim fn= lim fn ⇒ f đo được

Tóm tắt định lý 3.6: Tập hợp M(E, B; R, BR) là đóng đối với giới hạn đơn giảncủa dãy hàm

Ghi chú: Định lý này còn đúng đối với lim fn= f (giới hạn điểm) cho các hàm nhậngiá trị trong một không gian metric trang bị σ − đại số Borel

3.2.1 Hàm bậc thang

Ánh xạ bậc thang: Giả sử E1, E2 là hai tập, f là một ánh xạ từ E1 vào E2 f gọi

là ánh xạ bậc thang khi và chỉ khi f (E1) là một tập hữu hạn = {y1, y2, , yn}, các phần

tử yj ∈ E2 NếuQ ⊂ P(E) và nếu với mọi yk ∈ {y1, y2, , yn}: f−1(yk) ∈Q thì ta nói f làbậc thang trên Q

Hàm số bậc thang (trường hợp E2 = R) và các tính chất: Mọi hàm bậc thangtrên một họQ các tập con của E: Q ⊂ P(E), có thể viết dưới dạng:

3.2.2 Xấp xỉ một hàm đo được bằng các hàm bậc thang đo được

Định lý 3.7 (Xấp xỉ một hàm đo được dương) Giả sử (E,B) là một không giankhả xác xuất Mọi hàm giá trị thực dương đo được f : (E,B) → (R+,B ) là giới hạn

đơn giản của một dãy tăng các hàm bậc thang đo được dương hữu hạn từ (E,B) vào(R+,BR +).

fn là một hàm bậc thang đo được, nhận giá trị trong R+

Chứng minh rằng {fn} tăng: Giả sử x ∈ E sao cho:

k

2n ≤ f (x) ≤ k + 1

2n (⇔ x ∈ En,k)nhưng En,k = En+1,2k∪ En+1,2k+1 Suy ra có hai trường hợp:

(a) Nếu x ∈ En+1,2k thì 2k

2n+1 ≤ f (x) ≤ 2k + 1

2n+1 Khi đó: fn(x) = k

2n và fn+1(x) =2k

2n+1 = k +

1 2

2n Suy ra fn(x) < fn+1(x)

Như vậy trong mọi trường hợp, ta có: fn(x) ≤ fn+1(x)

Chứng minh rằng fn → f khi n → ∞: Nếu f (x) là hữu hạn thì tồn tại n0sao cho f (x) ≤ n0 Với mọi n > n0, tồn tại một khoảng In,k =h k

2n,k + 1

2n

h(không phụthuộc x) sao cho f (x) ∈ In,k Suy ra x ∈ En,k Suy ra với n > n0 thì fn(x) = k

2n Suy ra

f (x) − fn(x) ≤ 1

n→∞fn(x) = f (x)Nếu f (x) là vô hạn: x ∈ E∞ ⇒ fn(x) = n Do vậy lim

n→∞fn(x) = ∞ = f (x)

Hệ quả: Mọi hàm số (R) đo được là giới hạn đơn giản của một dãy hàm bậc thang

đo được hữu hạn

Chứng minh Viết f = f+− f− rồi áp dụng định lý trên cho f+ và f−

Định lý 3.8 Nếu f là một hàm số dương, đo được, giới nội thì tồn tại một dãy tăng cáchàm bậc thang dương, đo được hội tụ đều đến f trên E

Chứng minh Nếu f đo được, bị chặn, dương thì tồn tại một hàm g bậc thang, đo được,dương sao cho:

0 ≤ g ≤ f với ||f − g||∞ ≤ 1

2||f ||∞

... với A ∈P(E), ta nói T độ đo ngồi chínhquy Chứng minh T quy tồn nửa vành A

và độ đo µ cho T độ đo ngồi µ∗ liên kết với µ

Bài Giả sử µ độ đo nửa vànhA ký hiệu µ thác...

Bài (Tìm hiểu độ đo (µ∗)∗) Giả sử T vành, µ độ đo dương T,

µ∗ độ đo ngồi liên kết vởi µ Coi µ∗ độ đo σ(C), ta xây dựng độ đo ngồiliên kết (µ∗)∗... tử độ đo đếm độ đo Lebesgue đườngthẳng y = k (k số) R2

2 Nếu < µ(A) < ∞ µ độ đo khuyˆech tán B ∩ P(A) Khi đó,

A chứa tập có độ đo nhỏ tùy ý

Bài (Tìm hiểu độ