các công thức tính gần đúng giá trị tích phân xác định

Hướng giải quyết vấn đề Từ các định lý trên, để tính gần đúng tích phân, ta tìm đa thức nội suy P x của f x rồi... Cách giải quyết trong trường hợp tổng quát Áp dụng các định lý trê

MỤC LỤC

( )

f x tại một số điểm thì công thức Newton – Lepniz tỏ ra không hiệu quả và không thể tính

I  f x dx với một sai số cho trước ?

II CƠ SỞ LÝ LUẬN:

1 Một số định nghĩa:

a) Hàm nội suy:

Giả sử f x xác định trên đoạn ( )  a b; và biết y i  f x( ),i  i 0, ,n x i a b;

Hàm nội suy của f trong đoạn  a b là hàm ; F xác định trong đoạn  a b sao cho ;

F x  y  i n

b) Đa thức nội suy:

Nếu hàm nội suy F là hàm đa thức bậc n thì ta nói F là đa thức nội suy bậc n của

Nếu hàm f khả vi liên tục trên  ,  a b, và có 2 nghiệm phân biệt trên  a b thì ;'( )

4 Định lý 1 (định lý về sự tồn tại đa thức nội suy):

Cho các cặp x y i, i,i0,1, ,n với x i x j nếu i j Khi đó tồn tại duy nhất ( )P x là đa

thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n sao cho y i P x i( ),i 0,1, ,n

1 1 0

0

n i i i n i i i

n i

i n n i

5 Định lý 2 (Định lý về sai số của hàm nội suy và đa thức nội suy)

Giả sử f là hàm xác định trong đoạn  a b; và y i  f x( ),i  i 0, ,n x i a b;

Nếu f khả vi liên tục đến cấp ( n1) trong khoảng ( ; )   a b; với  x  a b; , tồn

f x F x C

Khi đó có ước lượng:

7 Hướng giải quyết vấn đề

Từ các định lý trên, để tính gần đúng tích phân, ta tìm đa thức nội suy ( )P x của ( ) f x rồi

III Giải quyết vấn đề

1 Giải quyết vấn đề 1

a Cách giải quyết trong trường hợp tổng quát

Áp dụng các định lý trên, khi biết giá trị của ( )f x tại một số điểm, ta tìm hàm đa thức

nội suy P x của ( ) f x Theo định lý 1, ( ) P x tồn tại duy nhất Ta dùng ( )( ) P x cho hàm

i a

dx n

diễn như sau:

Trong đó, x ii 0, n là các mốc nội suy

Trên mỗi đoạn x x i, i1 , ta tìm đa thức nội suy P x i  của f x  và tính i 1  

diên tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y f x y( ), 0,xa x, b

Ta chia đoạn  a b; thành n đoạn cong bằng nhau bởi các điểm chia x i

0 1 n 1 n

ax   x x  x b

i 0

b ah

Làm tròn J thành J rồi lấy J thay cho I

Công thức  1 còn được gọi là công thức hình thang

Nếu lấy J thay cho I thì sai số định bởi:

Ví dụ 1: Tính tích phân sau với n4 và đánh giá sai số làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2

5

1

dx I x

Ví dụ 2 : Hãy tính gần đúng tích phân :

1 2 0

11

Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả

d công thức parabol (Simpson)

Một công thức khác cho kết quả xấp xỉ tích phân bằng việc thay các đoạn thẳng bởi parabol để

Nếu y i  f x( )i thì P x y i( ,i i) là điểm trên đường cong nằm phía trên x Một đường Parabol đi i

qua ba điểm liên tiếp P P i, i1,P i2

Để cho đơn giản trong tính toán, đầu tiên ta xét trường hợp khi x0  h x, 10 và x2 h Ta biết rằng phương trình của parabol đi qua P P P0, ,1 2 có dạng yAx2Bx C và do diện tích phía dưới parabol từ x h đến xh là:

Bây giờ bằng cách di chuyển parabol này theo chiều nằm ngang mà không thay đổi miền diện tích phía dưới của nó Điều này có nghĩa là diện tích dưới parabol đi qua P P0, và 1 P2 từ xx0

Ta nhận được kết quả xấp xỉ cho trường hợp mà f x( )0, tuy nhiên nó vẫn đúng cho bất kỳ

hàm liên tục f và được gọi là quy tắc Simpson do nhà toán học người Anh, Thomas Simpson

Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức Simpson rồi so sánh kết quả

2

b a h

giản cho việc tính sai số, ta chọn các mốc nội suy x , i=0, ni cách đều nhau Đặt sai số cho trước

là , ta sẽ xác định được n,l để tính gần đúng tích phân với sai số không lớn hơn  Muốn vậy ta

10

phân làm tròn đến chữ số hàng thứ - k ( vì nếu làm tròn đến chữ số hàng thứ -m với m <k thì sai

Nghĩa là sai số thỏa yêu cầu vấn đề đặt ra

VI THUẬT TOÁN:

1 Thuật toán 1: (Tính I khi f x  cho bởi bẳng giá trị)

Bước 1: Ta xác định P x là hàm đa thức nội suy của   f x  ứng với bộ mốc nội suy

x , x , , x0 1 n Khi đó P x là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n và :

 

n b

k i

Bước 1: Ta xác định P x  là hàm đa thức nội suy của f x ứng với bộ mốc nội suy

x x n, , ,1 x n Khi đó P x là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n và:

hàm f x , có thể điều chỉnh k nếu biết được f x , gọi kết quả làm tròn của J là J Ta dùng

J thay cho I với sai số:

  0

110

b n

k i

Trường hợp cột mốc nội suy cách đều, ta có thể dùng công thức hình thang:

Bước 4:

Ví dụ 1: (Công thức tổng quát) Cho hàm f x  xác định và liên tục trên đoạn 1;3 , f x 

nhận các giá trị như bảng sau:

Nhận thấy x2    x1 1 2 x3 x2 nên các mốc nội suy không cách đều

rồi chuyển sang dạng chính tắc ta được:

Ví dụ 2: (Công thức hình thang) Cho hàm f x  xác định và liên tục trên đoạn 1;2 , f x 

nhận các giá trị như bảng sau:

i

 i

Hãy tính gần đúng giá trị của tích phân 3  

Vậy giá trị gần đúng của I là J 6, 666667 với sai số:

65

66

6h

Vậy giá trị gần đúng của I là 1, 48 với sai số không quá  0, 05

VI Đoạn chương trình:

1 Công thức hình thang:

Thuật toán được thực hiện trong chương trình có khác chút ít so với thuật toán đã trình bày ở trên Xuất phát từ n 1, h b a   ta sẽ tăng n lên gấp đôi tại mỗi bước tính toán Quá trình tính toán sẽ dừng lại nếu sự khác biệt của tích phân xấp xỉ ở bước hiện tại so với bước trước đó nhỏ hơn một số  cho trước Ta sẽ phân tổng tích phân thành 3 tổng S ,S và 0 1 S Tổng 2

 0 1

Sau đây là đoạn chính của chương trình thể hiện thuật toán

/*Phuong phap tinh xap xi tich phan bang phuong phap hinh thang tren khoang [a,b]*/ /*Phuong phap hinh thang tinh tich phan xac dinh trong khoang [a,b]

Bien gttp la gia tri xap xi cua tich phan tinh duoc

Tra ve gia tri true neu da dat duoc do chinh xac*/

int hinhthang(double (*f)(double),double a,double b,double &gttp, double &err,int

}

2 Công thức parabol:

Sau đây là đoạn chương trình chính thể hiện thuật toán:

//SIMSON.CPP

/*Phuong phap tinh xap xi tich phan bang phuong phap Simson tren khoang [a,b]*/

Bien gttp la gia tri xap xi cua tich phan tinh duoc

Tra ve gia tri true neu da dat duoc do chinh xac*/

int simson(double (*f)(double),double a,double b,double &gttp, double &err,int &khoangchia) {clrscr();

Tài liệu tham khảo

1 Phương pháp tính – Tạ Văn Đĩnh

2 Giải tích số – Phạm Kỳ Anh

3 Bài Giảng Phương Pháp Tính – Trịnh Công Diệu

4 Bài giảng Phương pháp số Đại học Thủy Lợi – Vũ Mạnh Tới

5 Bài giảng Phương pháp số Học viện bưu chính viễn thông – Phan Thị Hà, Phan Đăng Cầu

6 Bài tiểu luận lớp Toán 4A – Trường ĐH Sư Phạm T.p Hồ Chí Minh