các công thức tính gần đúng giá trị tích phân xác định

NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 1 Giáo viên hướng dẫn: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU Lớp : Toán – VB2 – K2. Nhóm: 9 Sinh viên thực hiện: 1. Đặng Văn Cường. 2. Trần Ninh Gia Bảo. 3. Đỗ Văn Bắc. 4. Lê Minh Đoàn. TP. HỒ CHÍ MINH, 2014. Chủ đề 9: Các công thức tính gần đúng giá trị tích phân xác định. NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 2 MỤC LỤC NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 3 I. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong quá trình tính toán trong toán học cũng như các môn khoa học kỹ thuật khác. Tích phân xác định () b a I f x dx  có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực hành để tính diện tích các vật thể trong kỹ thuật như tính diện tích một con tàu, diện tích ngôi nhà…, nhưng việc tính nó không phải lúc nào cũng dễ dàng. Ta đã biết nếu ()fx là hàm mà nguyên hàm ()Fx của nó biểu diễn được dưới dạng các biểu thức sơ cấp thì ta có thể tính tích phân xác định bằng công thức Newton – Lepniz. Nhưng trong thực tế, thường thì ()Fx không biểu diễn được bởi các hàm sơ cấp hoặc ()fx chưa xác định được biểu thức, chỉ biết được giá trị của ()fx tại một số điểm thì công thức Newton – Lepniz tỏ ra không hiệu quả và không thể tính đúng giá trị của tích phân xác định () b a I f x dx  . Điều này nảy sinh cho các nhà toán học cần tìm cách tính gần đúng () b a I f x dx  . Vấn đề cần giải quyết là: 1. Trường hợp ()fx chưa xác định được biểu thức, chỉ biết được giá trị của ()fx tại một số điểm thì tính gần đúng () b a I f x dx  như thế nào ? Với cách tính đó, sai số là đánh giá như thế nào? 2. Trường hợp ()fx đã biết biểu thức nhưng ()Fx không biểu diễn được bởi các biểu thức sơ cấp thì làm cách nào để tính gần đúng () b a I f x dx  với một sai số cho trước ? II. CƠ SỞ LÝ LUẬN: 1. Một số định nghĩa: a) Hàm nội suy: Giả sử ()fx xác định trên đoạn   ;ab và biết   ( ), 0, , ; i i i y f x i n x a b    Hàm nội suy của f trong đoạn   ;ab là hàm F xác định trong đoạn   ;ab sao cho ( ) , 0, ii F x y i n   . b) Đa thức nội suy: Nếu hàm nội suy F là hàm đa thức bậc n thì ta nói F là đa thức nội suy bậc n của f . 2. Định lý Rolle: Cho hàm số ()fx liên tục trên   ;ab và khả vi trên   ;ab . Giả sử ( ) ( )f a f b thì ( , ): '( ) 0c a b f c   . NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 4 Nếu hàm f khả vi liên tục trên     ,,ab   và có 2 nghiệm phân biệt trên   ;ab thì '( )fx có ít nhất một nghiệm trên   ;ab . Nếu hàm f khả vi liên tục đến cấp ( 1)n trên     ,,ab   và có ( 2)n nghiệm trên   ;ab thì ( 1) () n fx  có ít nhất 1 nghiệm trên   ;ab . 3. Bất đẳng thức tích phân: Cho ( ), ( )f x g x là hai hàm xác định trên   ;ab thỏa:   ( ) ( ), ; ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b a a a a f x g x x a b f x dx g x dx f x dx g x dx           4. Định lý 1 (định lý về sự tồn tại đa thức nội suy): Cho các cặp   , , 0,1, , ii x y i n với ij xx nếu ij . Khi đó tồn tại duy nhất ()Px là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n sao cho ( ), 0,1, , ii y P x i n . Chứng minh: Điều kiện cần và đủ để tồn tại duy nhất đa thức ()Px bậc nhỏ hơn hoặc bằng n sao cho ( ), 0,1, , ii y P x i n là hệ ( 1)n phương trình: 0 () n i i i P x a x    theo các ẩn 01 , , , n a a a có nghiệm duy nhất: Ta có: 00 0 11 0 0 ( ) , 0,1, , (*) n i i i n i i i ii n i i n n i a x y a x y P x y i n a x y                        00 00 11 11 1 1 (*) 1 n n n nn nn ay xx ay xx ay xx                                 Đây là hệ phương trình tuyến tính ( 1)n ẩn và ( 1)n phương trình. 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 00 00 1 1 1 1 1 1 nn nn n n n nn nn n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x      NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 5     1 1 0 1 0 0 1 11 1 1 2 0 2 0 22 0 00 11 1 1 00 0 1 1 0 0 0 0 n n i i i n n n i i n nn i ii ii n nn n n i i nn i x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x                                   0 1 1 0 1 2 0 0, , n n n i i i n i i j i i i n i j n x x x x x x x x x x i j                       Nên hệ (*) có nghiệm duy nhất. Định lý được chứng minh. 5. Định lý 2 (Định lý về sai số của hàm nội suy và đa thức nội suy) Giả sử f là hàm xác định trong đoạn   ;ab và   ( ), 0, , ; i i i y f x i n x a b    Nếu f khả vi liên tục đến cấp ( 1)n trong khoảng   ( ; ) ;ab   với   ;x a b , tồn tại   ( 1) 0 () ; , ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n x xi i f a b f x F x x x n           Với F là đa thức nội suy của f trong đoạn   ;ab Chứng minh: Xét hàm số phụ ( ) 0Gx với x là điểm cần đánh giá sai số, , 0, i x x i n Từ đó:     0 () n i i f x F x C xx      Vậy hàm số ()Gx có ít nhất ( 2)n nghiệm phân biệt 01 , , , , n x x x x trên đoạn   ;ab . Theo định lý Rolle thì ()Gx có ít nhất ( 1)n nghiệm phân biệt trong khoảng ( 1) ( 1), ( ) n n G x   có ít nhất 1 nghiệm   ; x ab   nghĩa là:         ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)! 0 1! n nn x xx f f F C n C n            So sánh 2 vế của C ta được:           ( 1) 0 1! n n x i i f f x F x x x n         Gọi     ( 1) ; sup n x a b M f x    NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 6 Khi đó có ước lượng:   0 ( ) ( ) 1! n i i M F x f x x x n       Định lý được chứng minh. 6. Quy tắc làm tròn và công thức tính sai số a. Quy tắc làm tròn Cho   0 10 , 0,1, ,9 mi m i m i i A a a       gọi mi a  là chữ số hàng thứ mi trong biểu diễn thập phân của A . 01 10 , 10 k m i m i m i m i i i k a a a          Thì Aa   Đặt     1 , .10 2 1 10 , .10 2 1 , .10 , 0;2;4;6;8 2 1 10 , .10 , 1;3;5;7;9 2 mk m k m k mk mk m k m k mk a a a aa aa                             Ta gọi a là giá trị làm tròn của A đến chữ số thứ mk . b. Công thức tính sai số ,:A a B b              12 1 2 1 2 . A B a b A B ab b a               7. Hướng giải quyết vấn đề Từ các định lý trên, để tính gần đúng tích phân, ta tìm đa thức nội suy ()Px của ()fx rồi tính () b a J P x dx  thay cho () b a J f x dx  NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 7 III. Giải quyết vấn đề 1. Giải quyết vấn đề 1 a. Cách giải quyết trong trường hợp tổng quát Áp dụng các định lý trên, khi biết giá trị của ()fx tại một số điểm, ta tìm hàm đa thức nội suy ()Px của ()fx . Theo định lý 1, ()Px tồn tại duy nhất. Ta dùng ()Px cho hàm dưới dấu tích phân ()fx rồi tính tích phân () b a J P x dx  .Làm tròn J thành J thay cho I . Sai số Theo định lý 2:         ( 1) 0 ; , ; : ( ) ( ) 1! n n x xi i f x a b a b f x P x x x n              Đặt     ( 1) ; sup n t a b M f t    Ta có:         ( 1) 00 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 ! b b b a a a n bb nn x ii ii aa I J f x dx P x dx f x P x f M x x x x dx nn                   Gọi J là giá trị làm tròn J đến hàng thứ k thì: 1 J J .10 2 k    Nếu lấy J thay cho I thì sai số định bởi: 0 M1 I J I J J J x-x .10 ( 1)! 2 b n k i i a dx n              NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 8 b. Chú ý: Trong thực tế, nếu số lượng mốc nội suy tương đối lớn, việc tính   Px và     n bb k i aa i0 M1 J P x dx, x x dx .10 n 1 ! 2         gặp nhiều khó khăn. Khi đó, ta thường biểu diễn như sau:     i1 i n 1 n 1 bx ii ax i 0 i 0 J f x dx f x dx I         Trong đó,   i x i 0,n là các mốc nội suy. Trên mỗi đoạn   1 , ii xx , ta tìm đa thức nội suy   i Px của   fx và tính   i1 i x ii x J P x dx    thay cho   1 I    i i x i x f x dx . Khi đó tính làm tròn J thành J rồi lấy J thay cho I . Sai số : Trên mỗi đoạn   1 , ii xx , đặt     1 '' , M sup , 0, 1      ii i t x x f t i n áp dụng kết quả ở trên, thay   ,ab bởi   1 , ii xx và   Px bởi   i Px ta được:      i1 i x 3 ii i i i i 1 i 1 i x MM I J x x x x dx x x 2! 12          Như vậy, vì có n đoạn nên :   n 1 n 1 n 1 n 1 3 i i i i i i 1 i i 0 i 0 i 0 i 0 M I J I J I J x x 12                     Gọi i J là kết quả làm tròn của i J đến hàng thứ k thì : 1 J J .10 2 k ii    Đặt J là kết quả làm tròn của n1 i i0 J    đến hàng thứ k thì : n 1 n 1 n 1 n 1 kk ii ii i 0 i 0 i 0 i 0 1n J J J J J J .10 .10 22                     NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 9 c. Công thức hình thang: Giả sử cần tính () b a f x dx  . Ta đã biết về mặt hình học, giá trị của tích phân này chính là diên tích hình thang cong giới hạn bởi các đường ( ), 0, ,y f x y x a x b    . Ta chia đoạn   ;ab thành n đoạn cong bằng nhau bởi các điểm chia i x . 0 1 1 nn a x x x x b        i0 ba h n x x ih, i=0,n    Đa thức nội suy   i Px trên   1 , ii xx là :         i 1 i 1 ii 1 hi i i i xx 1 hi i i i xx y P x y x x h y P x dx y x x dx h               Đặt i i xx t x x th dx hdt h            i1 i 1 x 1 1 12 hi i i h i i i i 1 x0 0 y h P x dx h y y t dt h y t t y y 22                 Khi đó :       i1 n1 i i0 i 0n 0 1 n 1 n 1 n 1 J P x dx h b a y y J y 2y 2y y y y 1 2 n 2                     Làm tròn J thành J rồi lấy J thay cho I . Công thức   1 còn được gọi là công thức hình thang. (Hình 1) O         x y NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 10 Sai số: Đặt     '' , M M , i=0M su 1. ,p    t a b i thì nft Ta có :     3 n 1 n 1 n 1 n 1 3 3 i i i i i i 1 i 2 i 0 i 0 i 0 i 0 M b a M M I J I J I J x x nh 12 12 12n                        Gọi J là kết quả làm tròn của J đến chữ số hàng thứ k thì: 1 I J .10 2 k    Nếu lấy J thay cho I thì sai số định bởi: Ví dụ 1: Tính tích phân sau với 4n  và đánh giá sai số làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2. 5 1 dx I x   Giải: Ta có     1 ; 1;5 , ( ) , 2a b f x k x    , áp dụng công thức (1), ta có: 5 1 5 1 1 1 1 1 1 101 1 4 2 5 2 3 4 60 dx I x                   3 1;5 2 "( ) sup "( ) 2 x f x M f x x      Sai số : 33 2 22 ( ) 1 2(5 1) 1 . .10 .1 .10 0,67 12 2 12.4 2 k M b a h n         [...]... ' đến chữ số hàng 2 , ta được J '  0, 21 Vậy giá trị gần đúng của I là 0,21 với sai số không quá   0,01 Trang 26 NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Mở rộng: Ta có thể tính gần đúng ln a  a  0  bằng cách tính gần đúng tích phân I   a 1 1 1 dx x Ví dụ 5: ( Tính tích phân với sai số cho trước) Tính gần đúng I   e x dx với sai số không quá 2 0 0, 05...  t1;3 Ví dụ 2: (Công thức hình thang) Cho hàm f  x  xác định và liên tục trên đoạn  1;2  , f  x  nhận các giá trị như bảng sau: xi -1 0 1 2 f  xi  0 1 3 -2 Trang 24 NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3 Hãy tính gần đúng giá trị của tích phân I   f  x  dx 1 Giải: Nhận thấy các mốc nội suy là cách đều nhau Ta dùng công thức hình thang: b ... Vậy CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1  1  1   4  3, 46  2  2,728   0,693 6.5  2  1 1 dx 1  x2 0 Ví dụ 4: Hãy tính gần đúng tích phân : I   Giải : Ta đã biết giá trị đúng của tích phân trên là  Như vậy I  0,78539816 4 Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức Simpson rồi so sánh kết quả Chia đoạn  0;1 thành 2n = 4 đoạn con bằng nhau, tức là h  ba  0, 25 , ta tính. ..NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 1 dx 1  x2 0 Ví dụ 2 : Hãy tính gần đúng tích phân : I   Giải : Ta đã biết giá trị đúng của tích phân trên là  Như vậy I  0,78539816 4 Ta sẽ tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả Chia đoạn  0;1 thành n = 10 đoạn con bằng nhau,... sai số không quá  V Các ví dụ: Ví dụ 1: (Công thức tổng quát) Cho hàm f  x  xác định và liên tục trên đoạn  1;3 , f  x  nhận các giá trị như bảng sau: Trang 23 NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH -1 f  xi  0 1 3 0 xi 1 3 -2 3 Hãy tính gần đúng giá trị của tích phân I   f  x  dx 1 Giải: Gọi P  x  là đa thức nội suy của f  x  trong  1;3 Khi... a  b  a 1 1  k  10  10   12n3 2 2 3 Bước 3: Xác định các mốc nội suy: x0  a, h  ba n     xi  x0  ih i  0, n và tính các giá trị: yi  f  xi  i  0, n , làm tròn đến chữ số hàng thứ -1,   tìm được các giá trị yi , i  0, n Bước 4: Trang 22 NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 Tính J '  CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH   h y0  2 y1  2 y2   2 yn1  yn , làm tròn... 0,64 0,5 Theo công thức Simpson ta có : I h  y0  y4  4 y1  4 y3  2 y2  Thay các giá trị ở bảng trên vào ta có : 3 I 0, 25 1  3,76471  1,6  2,56000  0,5  0,785399 3 So với kết quả đúng, dùng công thức Simpson tính ta có sai số tương đối là 0,00011% Trang 14 NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2 Giải quyết vấn đề 2: Khi biết biểu thức của f (x)...  1! a i 0 b Dùng công thức hình thang: Trang 20 NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trường hợp cột mốc nội suy cách đều, ta có thể dùng công thức hình thang: b Tính I   f  x  dx , với f  x  là hàm liên tục, xác định trên  a, b và biết: a x xo x1 …… xn f  x f  x0  f  x1  …… f  xn  Bước 1: Kiểm tra rằng các mốc nội suy là cách đều Nghĩa là:... ( mặc định k  6 do chưa xác định được chính xác hàm f  x  , có thể điều chỉnh k nếu biết được f  x  , gọi kết quả làm tròn của J là J Ta dùng J thay cho I với sai số: Trang 19 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 b n M 1 k a  x  xi dx  2 10  n  1! i0 b Dùng công thức hình thang: Trường hợp cột mốc nội suy cách đều, ta có thể dùng công thức hình... số xác định bởi: M  b  a  b  a l 1 k IJ  IJ  JJ  J J   10  10 24n 3 2 2 4 ' ' Ta sẽ xác định n, l sao cho sai số thỏa: M  b  a  b  a l 1 k  10  10  , 24n 3 2 2 4  2 Do các biểu thức là các biểu thức có giá trị giảm về 0 khi n, l tiến ra vô cùng nên phải tồn tại cặp  n, l  thỏa  2  Khi đó: Trang 18 NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC . HỒ CHÍ MINH, 2014. Chủ đề 9: Các công thức tính gần đúng giá trị tích phân xác định. NHÓM 9 – TOÁN VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 2 MỤC LỤC. – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 11 Ví dụ 2 : Hãy tính gần đúng tích phân : 1 2 0 1 1 I dx x    Giải : Ta đã biết giá trị đúng của tích phân trên. VB2 – K2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trang 9 c. Công thức hình thang: Giả sử cần tính () b a f x dx  . Ta đã biết về mặt hình học, giá trị của tích phân này