phương pháp tính giá trị gần đúng

PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG I. Đặt vấn đề II. Giải quyết vấn đề 1. Hướng giải quyết 2. Cơ sở lý luận III. Thuật toán IV. Các phương pháp chặn trên của i n 1 i a +∞ = + ∑ và áp dụng A.Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương 1. Dấu hiệu tích phân 2. Dấu hiệu D’Alambert 3. Dấu hiệu Cauchy 4. Dấu hiệu so sánh B.Tính gần đúng của chuỗi đan dấu 1. Dấu hiệu Leibnitz 2. Công thức Calabrese V. Phụ lục 1. Chương trình bày Passcal 2. Tính tổng của chuỗi bằng phương pháp xác suất thống kê Tài liệu tham khảo I.ĐẶT VẤN ĐỀ Cho trước một chuỗi hội tụ 1i ai +∞ = ∑ (*) và số tự nhiên k. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để ta có thể xác định S* là một giá trị gần đúng của 1 +∞ = = ∑ i S ai thỏa i. S* có k chữ số sau dấu phẩy. ii. { } * .10 , 1,2,3 ,9 − − ≤ ∈ k S S p p II. Giải quyết vấn đề 1. Hướng giải quyết Để tính gần đúng của chuỗi hội tụ 1 +∞ = = ∑ k k S a ta có rất nhiều cách. Ví dụ như tính gần đúng bằng phương pháp xác suất thống kê ( xem phần phụ lục). Nhưng để dễ dàng, người ta thường dùng tổng riêng thay cho tổng S, tức là tính 1 = = ∑ n n n k S a với n đủ lớn sao cho sai số giữa S n và S ở mức độ chấp nhận được hoặc tùy thuộc vào yêu cầu bài toán là lấy sai số bao nhiêu. Tuy nhiên tùy theo chuỗi ( chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, ) mà sẽ lựa chọn tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ như: Tiêu chuẩn tích phân, tiêu chuẩn D’Alambert, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn Lebinite, tiêu chuẩn so sánh… để có thể đánh giá sai số khi lấy tổng riêng thay cho giá trị của chuỗi. Nghĩa là xác định k n > 0 sao cho * − < n S S k thông qua tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi(*). Trong phần này, chúng ta khảo sát mỗi chuỗi số dương và chuỗi đan dấu. 2. Cơ sở lý luận Đặt 1 2 1 = = + + + = ∑ n n n i i S a a a a là tổng riêng thứ n của chuỗi 1i ai +∞ = ∑ Ta có: chuỗi 1i ai +∞ = ∑ hội tụ nếu dãy (s n ) hội tụ. Do đó, nếu lim n n s s →∞ = thì S= 1i ai +∞ = ∑ Suy ra: 0, : ∀ > ∃ ≥ ⇒ − ≤ n N n N S S ε ε hay = ± n S S ε Khi đó, ta có thể lấy 1 = = ∑ n n k S ak làm giá trị gần đúng cho S với sai số không vượt quá 1 ε ε = Để biểu diễn kết quả ở dạng thập phân, ta cần biểu diễn các , 1,ai i n = ở dạng thập phân Đặt i a là giá trị gần đúng của i a lấy l chữ số sau dấu phẩy với sai số phù hợp. Suy ra 1 10 2 l i i a a − − ≤ Đặt 1 = = ∑ n n i i S a . Khi đó 1 10 2 − = − ≤ − ≤ ∑ l n n n i i i S S a a n Lấy S* là làm tròn của n s đến chữ số hàng thứ -k. Khi đó, theo quy tắc làm tròn ta có 1 * 10 2 − − ≤ k n S S Ta xét bất đẳng thức sau: 1 2 1 * * 10 2 − − ≤ − + − + − ≤ + + k n n n n S S S S S S S S ε ε Để { } * .10 ( 0,1,2,3 ,9 − − ≤ ∈ k S S p p Nên ta sẽ chọn 1 2 , ε ε sao cho 1 2 8.5 10 k ε ε − + ≤ × Để cho đảm bảo tốt (nghĩa là trong quá trình tính toán 1 2 , ε ε không quá tốt cũng không quá xấu). Ta chọn: 1 2 4,25.10 4,25.10 k k ε ε − −  ≤  ≤  Hay chỉ cần 1 2 4.10 4.10 k k ε ε − −  ≤  ≤  (Chú ý: các số 4 trong 4.10 -k có thể thay đổi được). Do đó 1 2 4.10 4.10 .10 4.10 4.10 2 − − − − −  ≤ ⇔ − ≤   ≤ ⇔ ≤   k k n l k k S S n ε ε Vậy ta cần chọn l,n thỏa mãn 4.10 − − ≤ k n S S Và 10 4.10 2 l k n − − ≤ Thì * k 1 4.10 4.10 10 8,5.10 2 − − − − − ≤ + + ≤ k k k S S Do đó ta sẽ luôn tìm được một con số { } 0,1,2, ,9p ∈ để đáp ứng yêu cầu của bài toán biểu diễn ở dạng chuẩn tắc. III. Thuật toán + Input: k, a n + output: S * , p + Thuật toán: B1: Tìm n nguyên dương bé nhất sao cho 1 4.10 +∞ − = + − = ≤ ∑ k n i i n S S a B2: Tìm l nguyên dương bé nhất sao cho 10 4.10 2 l k n − − ≤ Làm tròn , 1,ai i n = đến chữ số hàng thứ l − được i a B3: Tính 1 = = ∑ n n i i S a Làm tròn n S đến chữ số hàng thứ -k được S* B4: Kết luận S* là kết quả cần tìm và * .10 − − ≤ k S S p *Ghi chú: + Đây là thuật toán áp dụng với sai số ở dạng chuẩn tắc ( { } .10 , 0,1,2,3, ,9 k p p − ∈ , p là số chưa cho biết) Các số 4 trong 4.10 -k có thể thay đổi được. Do để đảm bảo tốt (nghĩa là trong quá trình tính toán 1 2 , ε ε không quá tốt cũng không quá xấu). + Nếu bài toán yêu cầu tìm sai số dưới dạng chuẩn tắc (với p cho trước) thì ta có thuật toán như sau: B1: Tìm n nguyên dương bé nhất sao cho ( ) 1 2 1 .10 4 +∞ − = + − − = ≤ ∑ k n i i n p S S a B2: Tìm l nguyên dương bé nhất sao cho ( ) 2 1 10 10 2 4 l k p − − − ≤ Làm tròn , 1,ai i n = đến chữ số hàng thứ l − được i a B3:Tính 1 = = ∑ n n i i S a Làm tròn n S đến chữ số hàng thứ -k được S* B4: Kết luận S* là kết quả cần tìm và * .10 − − ≤ k S S p + Nếu bài toán yêu cầu với sai số ở dạng chính tắc, thì ta áp dụng thuật toán trên với p=1. Tức là: 1 1 .10 4 +∞ − = + − = ≤ ∑ k n i i n S S a IV. Các phương pháp chặn trên của 1 +∞ = + ∑ i n i a và áp dụng A. Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương Cho chuỗi 1 ∞ = = ∑ k k S a và 1 ∞ = = ∑ n k k S a , ( k a )>0 là tổng riêng thứ n của chuỗi. 1. Dấu hiệu tích phân Giả sử ( ) n a f n = với f là hàm số dương liên tục trên [ ) 1, +∞ giảm về 0 khi x → +∞ và tích phân ( ) 1 f x dx +∞ ∫ hội tụ. Khi đó, chuỗi 1 k k s a ∞ = = ∑ hội tụ và ( ) ( ) 1 1 +∞ ∞ = + − = ≤ ∑ ∫ n k n S S f k f x dx và ( ) 0 n f x dx +∞ → ∫ Chứng minh Vì f là hàm giảm nên , 1k n k x k ∀ > ≤ ≤ + ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 k k k k k k f k f x f k f k dx f x dx f k dx + + + ≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 k k f k f x dx f k + ⇒ ≥ ≥ + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 k m m m k n k n k n k f k f x dx f k + = = = ⇒ ≥ ≥ + ∑ ∑ ∑ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 m m m k n k n n f k f x dx f k + = = ⇒ ≥ ≥ + ∑ ∑ ∫ Khi chuỗi ( ) m k n f k = ∑ hội tụ, ta có ( ) { } 1m n f x dx + ∫ bị chặn. Do đó hội tụ. cho m → ∞ ta được ( ) ( ) 1 1 k n k n f x dx f k ∞ ∞ = + = + ≥ ∑ ∫ (đpcm). Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 4 1 1 k x ∞ = ∑ . Kết quả ghi ở dạng chuẩn tắc có 3 chữ số sau dấu phẩy. Giải: Xét hàm số ( ) 4 1 f x x = là hàm liên tục giảm, không âm trên [ ) 1, +∞ với 4 1 lim 0 x x →∞ = và ( ) 4 3 1 1 1 1 1 lim 3 3 b f x dx dx x x ∞ ∞ →∞   = = − =  ÷   ∫ ∫ nên ( ) 1 f x dx ∞ ∫ hội tụ. Theo dấu hiệu trên thì 4 1 1 k x ∞ = ∑ hội tụ và ( ) ( ) 1 1 3 ∞ ∞ = + − = < = ∑ ∫ n k n n S S f k f x dx Áp dụng thuật toán, ta có B1: Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho: 3 4 3 1 1 1 4.10 3. dx x n ∞ − = ≤ ∫ 3 3 10 12 n ⇒ ≥ Chọn 5n = B2: Tìm số nguyên dương l bé nhất sao cho: 3 10 4 10 2 5 l − − ≤ [...]... bảng sau: K 1 2 3 4 ak 0.50000 0.00833 0.00001 0.00000 Bước 3: Tính S k = 0.50834 Làm tròn đến chữ số thập phân hàng thứ (-5) ta được: * S 4 = 0.50834 Bước 4: * S 4 = 0.50834 là giá trị cần tìm với  67 10−5 10 −5  5  p =  +4 + ÷10  + 1 = 3  2 2 ÷   ( 15!− 36.14!)    Vậy: * S 4 = 0.50834 với sai số không quá 3.10-5 Ví dụ: Tính gần đúng chuỗi ∞ 62 k ∑ (4k )! k =1 Kết quả ghi ở dạng chính tắc... ∞ ( ∑ = Lk là chuỗi hội tụ do L < 1 ) k 1 ⇒ ∞ n + ak hội tụ (dấu hiệu so sánh) ∑= 1 k ∞ Theo tính chất chuỗi hội tụ thì ∑ = ak hội tụ k 1 Mặt khác: S − Sn Ln +1 ∞ (ii) < an ∑k = L = 1 1 −L k Ví dụ: Tính gần đúng tổng chuỗi k  2  ∞  2k −1 ÷ ∑ k =1  3k 2 −1 ÷   Kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng có 3 chữ số sau dấu phẩy Giải n  2n 2 − 1  Kiểm tra điều kiện: a n =  2 ÷ là dãy dương,... 0,017 Bước 3: Tính S12 = 1,724 làm tròn S11 đến chữ số hàng * thứ (-2) ta được: S10 = 1,72 là giá trị cần tìm * Bước 4: Kết luận S10 = 1,72 là giá trị cần tìm   2 10 10.10 −3 10−2  3  p =  2  ÷ + + 10  +1 = 5 ÷ 2 2 ÷   3      * Vậy S10 = 1.72 với sai số 5.10−2 Áp dụng: Khi số hạng tổng quát an của chuỗi số có chứa các lũy thừa bậc n của các thừa số Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ... −3 ta −0, 05 6 B3: Tính 6 ∑a k= 1 k = S 6 = 0, 39 Làm tròn S6 đến chữ số hàng thứ ( −2 ) ta được : S6* = 0, 39 * B4: Kết luận S6 = 0,39 là giá trị cần tìm   1 6.10−2 10−2 p = ( + + ).102  + 1 = 8 3 2 2  2.7 + 1  Vậy S6* = 0,39 với sai số 8.10−2 Áp dụng: Chuỗi số đan dấu ∞ ∑ (−1) k =1 k +1 ak khi lim an = 0 và n →∞ an +1 ≤ an Ưu điểm: Quá trình tính toán đơn giản, việc tìm giá trị n cũng dễ dàng... dụng các phép toán đơn giản Nhược điểm: trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy  an +1     an  là dãy tăng hay giảm cũng không phải là chuyện đơn giản Ngoài ra không thể dùng phương pháp này để tính gần đúng nếu lim n→∞ an +1 =1 an Dấu hiệu Cauchy: a = L < 1 Khi đó theo Giả sử (an) là dãy dương, giảm và lim dấu hiệu Cauchy, chuỗi S = ∑ a hội tụ và có: n →∞ n n ∞ n =1 i Nếu ii Nếu n an n... toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản Nhược điểm: trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy { n an } là dãy tăng hay giảm cũng không phải là chuyện đơn giản Ngoài ra không thể dùng phương pháp này để tính gần đúng nếu lim n→∞ n an = 1 Dấu hiệu so sánh: Cho hai chuỗi số dương Giả sử tồn tại giới hạn ∞ ∑ ak và k =1 lim n→∞ ∞ ∑ bk k =1 ∞ hội tụ, có ∑ b k = n +1 k < Kn an L (0 < L < ∞) bn ∞ Khi đó:... K ) (đpcm) ii an  Do   tăng tới L nên ta có a n < Lb n  b n n Do đó: S − S n = ∑∞ n +1 ak < ∑∞ n +1 Lbk = L ∑∞ n +1bk < LK n k= k= k= (đpcm) ∞ Ví dụ: Tính gần đúng tổng chuỗi ∑ k =1 k ( k 4 + 1) Kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng có 3 chữ số sau dấu phẩy Giải: Xét dãy { a n } : a n = n 1 ,{ b n } : b n = 3 n4 +1 n là dãy an n4 =1= L > 0 dương thì lim = lim 4 n →∞ b n →∞ n + 1 n... B3: Tính ∑12=1 a k = S12 = 0,691 làm tròn S12 đến chữ số k * hàng thứ(-4) ta được: S12 = 0,691 là giá trị cần tìm  1 12.10 −4 10−3  3  p =  + + 10  +1 = 5 ÷ 2 2 2   2.12  Vậy s* = 0, 691 với sai số 5.10−3 Áp dụng: Ta thường chọn các chuỗi số mà tính hội tụ đã biết để so sánh với các chuỗi số khác ∞ Ví dụ: Chuỗi số ∑q ∞ 1 hội tụ khi q < 1 và ∑ nα hội tụ khi n =0 n n =0 α >1 Ưu điểm: Tính. .. 0,002 B3: Tính ∑ 5 k =1 ak = S5 = 1, 081 Làm tròn đến chữ số hàng thứ (-3) ta được: S5* = 1,081 B4: Kết luận S5* = 1,081 là giá trị cần tìm 5.10 10   1 p =  + + ÷.10 3.5 2 2   −3 −3 3 3   +1 = 6  Vậy S = 1,081 với sai số không quá 6.10 * −3 5 + Áp dụng: Khi số hạng tổng quát a của chuỗi có thể xem như f ( n ) n , và có tích phân suy rộng dễ dàng tính được + Ưu điểm: Khối lượng tính toán... và ∑ nα hội tụ khi n =0 n n =0 α >1 Ưu điểm: Tính toán sử dụng các phép toán đơn giản Khuyết điểm: ∞ Cần tìm chuỗi hội tụ ∑b k= 1 k để so sánh và phải biết được cách đánh giá phần dư của chuỗi này bằng các tiêu chuẩn khác Tính gần đúng của chuỗi đan dấu 1 Dấu hiệu Leibnitz Cho chuỗi đan dấu ∞ ∞ k =1 k =1 S = ∑ ak = ∑ (−1)k +1uk ∞ k +1 và Sn = ∑ (−1) uk k =1 là tổng riêng thứ của chuỗi Giả sử { un } . PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG I. Đặt vấn đề II. Giải quyết vấn đề 1. Hướng giải quyết 2. Cơ sở lý luận III. Thuật toán IV. Các phương pháp chặn trên của i n 1 i a +∞ =. ak làm giá trị gần đúng cho S với sai số không vượt quá 1 ε ε = Để biểu diễn kết quả ở dạng thập phân, ta cần biểu diễn các , 1,ai i n = ở dạng thập phân Đặt i a là giá trị gần đúng của. là một giá trị gần đúng của 1 +∞ = = ∑ i S ai thỏa i. S* có k chữ số sau dấu phẩy. ii. { } * .10 , 1,2,3 ,9 − − ≤ ∈ k S S p p II. Giải quyết vấn đề 1. Hướng giải quyết Để tính gần đúng của