xác định giá trị gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng dạng chính tắc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ MÔN: PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHO TỔNG CỦA CHUỖI HỘI TỤ. KẾT QUẢ GHI Ở DẠNG BIỂU DIỄN THẬP PHÂN GẦN ĐÚNG, DẠNG CHÍNH TẮC, SAI SỐ KHÔNG QUÁ 10 -k (k là số nguyên dương cho trước) GVHD: PGS.TS TRỊNH CÔNG DIỆU HVTH: 1. Ngô Thị Huyền 2. Nguyễn Thị Bích Hồng 3. Trịnh Cẩm Vân 4. Ngô Thị Duy Bình Lớp Toán -Văn bằng 2- khóa 2 MỤC LỤC I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 2 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 II.1. Hướng giải quyết 2 II.2. Cơ sở lý luận 2 III. THUẬT TOÁN 4 IV. ÁP DỤNG 4 A. Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương 4 1. Dấu hiệu tích phân 5 2. Dấu hiệu D’Alambert 7 3. Dấu hiệu Cauchy 10 4. Dấu hiệu so sánh 14 B. Tính gần đúng tổng của một chuỗi đan dấu 16 1. Dấu hiệu Leibnitz 16 2. Công thức Calabrese 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 2 I. ĐẶT VẤN ĐỀ Cho trước một chuỗi hội tụ ∑ ∞ = 1i i a (*) và số tự nhiên k. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để ta có thể xác định S* là một giá trị gần đúng của ∑ ∞ = = 1i i aS thỏa i. S* có k chữ số sau dấu phẩy. ii. * 10 , k S S k − + − ≤ ∈Ζ II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ II.1. Hướng giải quyết Để tính gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ ∑ ∞ = = 1i i aS người ta thường dùng tổng riêng thay cho tổng S, tức là tính ∑ = = n i nn aS 1 với n đủ lớn sao cho sai số giữa S n và S ở mức độ chấp nhận được hoặc tùy thuộc vào yêu cầu bài toán mà lấy sai số bao nhiêu. Tuy nhiên tùy theo chuỗi (chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, ) mà sẽ lựa chọn tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ như: Tiêu chuẩn tích phân, tiêu chuẩn D’Alambert, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn Lebinite, tiêu chuẩn so sánh… để có thể đánh giá sai số khi lấy tổng riêng thay cho giá trị của chuỗi. Nghĩa là xác định 0 ε > sao cho n S S ε − < thông qua tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi(*). Trong phần này, chúng ta khảo sát mỗi chuỗi số dương và chuỗi đan dấu. II.2. Cơ sở lý luận - Cho dãy số {a n }. Biểu thức ∑ ∞ = 1i i a = a 1 +a 2 +….+a n (1) gọi là chuỗi số a n gọi là số hạng tổng quát hay số hạng thứ n - Tổng hữu hạn S 1 =a 1 S 2 =a 1 +a 2 …. 3 S n =a 1 +a 2 +….+ a n được gọi là các tổng riêng của chuỗi (1) 1 2 1 = = + + + = ∑ n n n i i S a a a a là tổng riêng thứ n của chuỗi ∑ ∞ = 1i i a Ta có: chuỗi ∑ ∞ = 1i i a có tổng bằng S nếu lim n n S S →∞ = và ký hiệu S= ∑ ∞ = 1i i a - Nếu (1) có tổng hữu hạn thì ta nói nó hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kỳ - Để xác định giá trị thay thế cho S ta dựa vào chính chuỗi xác định giá trị S n . Có thể làm điều này bằng cách dựa vào định nghĩa tính hội tụ của dãy {a n }. 0, : ∀ > ∃ ≥ ⇒ − ≤ n N n N S S ε ε hay = ± n S S ε Nghĩa là ta có thể lấy ∑ = = n k kn aS 1 làm giá trị gần đúng cho S với sai số không vượt quá 1 ε ε = . Để biểu diễn kết quả ở dạng thập phân, ta cần biểu diễn các nia i ,1, = ở dạng thập phân Đặt i a là giá trị gần đúng của i a , lấy l chữ số sau dấu phẩy với sai số phù hợp. Suy ra 1 10 2 l i i a a − − ≤ Đặt 1 = = ∑ n n i i S a . Khi đó 2 1 10 2 l n n n i i i S S a a n ε − = − ≤ − ≤ = ∑ Lấy S* là làm tròn của n S đến chữ số hàng thứ -k. Khi đó, theo quy tắc làm tròn ta có 1 * 10 2 − − ≤ k n S S Ta xét bất đẳng thức sau: 1 2 1 * * 10 2 − − ≤ − + − + − ≤ + + k n n n n S S S S S S S S ε ε Để * 10 k S S − − ≤ ta sẽ chọn 1 2 , ε ε sao cho 1 2 10 2 k ε ε − + ≤ Ta có thể chọn: 1 2 0,25.10 0,25.10 k k ε ε − −  ≤  ≤  hay 1 2 10 4 10 4 k k ε ε − −  ≤     ≤   4 Do đó 1 2 10 10 4 4 10 .10 10 4 2 4 k k n k l k S S n ε ε − − − − −  ≤ ⇔ − ≤     ≤ ⇔ ≤   Vậy ta chọn l, n thỏa mãn 10 4 k n S S − − ≤ và 10 10 2 4 l k n − − ≤ Thì * k 10 10 1 10 10 4 4 2 k k k S S − − − − − ≤ + + ≤ III. THUẬT TOÁN + Tên thuật toán : < tính gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ > + Input: k, a n + Output: S * + Giải thuật : B1: Tìm n nguyên dương bé nhất sao cho 4 10 1 k ni in aSS − ∞ += ≤=− ∑ B2: Tìm l nguyên dương bé nhất sao cho n kl 4 10 2 10 −− ≤ Xác định một biểu diễn thập phân của nia i ,1, = , lấy giá trị biểu diễn thập phân của i a làm tròn đến chữ số hàng thứ -l được i a . B3:Tính 1 = = ∑ n n i i S a Làm tròn n S đến chữ số hàng thứ -k được S* B4: Kết luận S* là kết quả cần tìm và * 10 k S S − − ≤ IV. ÁP DỤNG A. TÍNH GẦN ĐÚNG TỔNG CỦA MỘT CHUỖI SỐ DƯƠNG Cho chuỗi 1 k k S a ∞ = = ∑ và 1 n n k k S a = = ∑ , ( ) 0 k a > là tổng riêng thứ n của chuỗi. 5 1. Dấu hiệu tích phân Giả sử ( ) n a f n = với f là hàm số dương liên tục trên [ ) 1, +∞ giảm về 0 khi x → +∞ và tích phân ( ) 1 f x dx +∞ ∫ hội tụ. Khi đó, chuỗi 1 k k S a ∞ = = ∑ hội tụ và ( ) ( ) 1 1 n k n S S f k f x dx ∞ +∞ = + − = ≤ ∑ ∫ và ( ) 0 n f x dx +∞ → ∫ Chứng minh Vì f là hàm giảm nên , 1k n k x k ∀ > ≤ ≤ + ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 k k k k k k f k f x f k f k dx f x dx f k dx + + + ≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 k k f k f x dx f k + ⇒ ≥ ≥ + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 k m m m k n k n k n k f k f x dx f k + = = = ⇒ ≥ ≥ + ∑ ∑ ∑ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 m m m k n k n n f k f x dx f k + = = ⇒ ≥ ≥ + ∑ ∑ ∫ Khi chuỗi ( ) m k n f k = ∑ hội tụ, ta có ( ) { } 1m n f x dx + ∫ bị chặn. Do đó hội tụ. cho m → ∞ ta được ( ) ( ) 1 1 k n k n f x dx f k ∞ ∞ = + = + ≥ ∑ ∫ (đpcm). Ví dụ: Xác định giá trị gần đúng cho tổng S của chuỗi 4 1 1 x x ∞ = ∑ . Kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá 3 10 − . Giải Xét hàm số ( ) 4 1 f x x = là hàm liên tục giảm, không âm trên [ ) 1, +∞ Với 4 1 lim 0 x x →∞ = và ( ) 4 3 1 1 1 1 1 1 lim 3 3 b b f x dx dx x x ∞ ∞ →∞   = = − =  ÷   ∫ ∫ 6 nên ( ) 1 f x dx ∞ ∫ hội tụ. Theo dấu hiệu trên thì 4 1 1 x x ∞ = ∑ hội tụ và ( ) ( ) 3 1 1 3 n n k n S S f k f x dx n ∞ ∞ =+ − = < = ∑ ∫ Áp dụng thuật toán, ta có: B1: Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho: 3 4 3 1 1 10 3. 4 n dx x n − ∞ = ≤ ∫ 3 3 4.10 3 n ⇒ ≥ Chọn n=12 B2: Tìm số nguyên dương l bé nhất sao cho: 3 10 10 2 4.12 l − − ≤ Chọn l=5 Lấy giá trị biểu diễn thập phân của 4 1 ,( 1,12) k a k k = = làm tròn đến chữ số hàng thứ -5 ta được các k a như sau: k k a 1 1 2 0,06250 3 0,01235 4 0,00391 5 0,00160 6 0,00077 7 0,00042 8 0,00024 9 0,00015 10 0,00010 11 0,00007 12 0,00005 ∑ 1.08215 B3: Tính 12 12 1 1,08216 k k a S = = = ∑ Làm tròn 12 S đến chữ số hàng thứ (-3) ta được: * 1,082S = B4: Kết luận Chọn * 1,082S = là giá trị gần đúng thay cho S thì: * * 12 12 12 12 S S S S S S S S − ≤ − + − + − 7 5 3 * 3 1 12.10 10 3.12 2 2 S S − − − ≤ + + * 0,000193 0,00006 0,0005S S − ≤ + + * 0,001S S − ≤ nghĩa là * 3 S S 10 − = ± + Áp dụng: Khi số hạng tổng quát n a của chuỗi có thể xem như f(n) và có tích phân suy rộng dễ dàng tính được. + Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít (n tương đối nhỏ), giải quyết được vấn đề n n n a 1 lim 1 a →∞ + = mà dấu hiệu D’ Alambert không xét được sự hội tụ. + Nhược điểm: Trong quá trình tính toán, ta có thể gặp khó khăn trong việc tính tích phân suy rộng và sử dụng các hàm phức tạp như arctan, arcsin… 2. Dấu hiệu D’Alambert Giả sử ( ) n a là dãy dương và n 1 n n a lim L 1 a + →∞ = < . Khi đó, theo dấu hiệu D’Alambert, chuỗi k k 1 S a ∞ + = ∑ hội tụ và i. Nếu n 1 n a a +       giảm tới L thì n 1 n n 1 n a S S a 1 a + + − < − và n n 1 n 1 n a 0 a 1 a →∞ + + → − ii. Nếu n 1 n a a +       tăng tới L thì n n L S S a 1 L   − <  ÷ −   và n n L a 0 1 L →∞   →  ÷ −   Chứng minh: • Giả sử { } n a và dãy n 1 n a a +       là dãy dương, giảm Khi đó N 0 ∃ ≥ sao cho n N > Đặt N 1 N a r a + = , suy ra n 1 n a r a + = là giảm với n>N Ta được: n 1 n a r, k n a + < ∀ > n 1 n a ra , k n + ⇒ < ∀ > Do đó n 1 n a a r + = 8 2 n 2 n 1 n a a r a r + + < = 3 n 3 n 2 n a a r a r + + < = ………………… Khi đó: 1 1 n n k k k k S S a a ∞ = = − = − ∑ ∑ = 1 1 1 k k k n n k n k k a r a a r ∞ ∞ ∞ = + = = < = ∑ ∑ ∑ ( 1 k n n k r a a ∞ = = ∑ là chuỗi hội tụ do r 1 < ) 1 k k n a ∞ = + ⇒ ∑ hội tụ (dấu hiệu so sánh) Theo tính chất chuỗi hội tụ thì 1 k k a ∞ = ∑ hội tụ. Mặt khác 1 1 1 1 1 k n n n n n k n a r S S a r a a r a ∞ + + = − < = < ∑ − − (i) • Giả sử { } n a và dãy n 1 n a a +       là dãy dương, tăng tới L và n 1 n n a lim L 1 a + →∞ = < Vì n 1 n a a +       tăng tới L nên n 1 n a L a + < Do đó n 1 n a a L, k n + < ∀ > 2 n 2 n 1 n a a L a L + + < = 3 n 3 n 2 n a a L a L + + < = ………………… k n k n k 1 n a a L a L + + + < = Khi đó: 9 1 1 1 1 1 k k s s a a a a L a L n k k k n n k k k n k k ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − = − = < = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = + = = ( 1 k k L ∞ = ∑ hội tụ do L > 1) ⇒ 1 a k k n ∞ ∑ = + hội tụ (dấu hiệu so sánh) Mặt khác: 1 1 k n n k L s s a L a n L ∞ =   − < =  ÷ −   ∑ (ii) Ví dụ: Tính gần đúng cho tổng của chuỗi 2 1 6 (4 )! k k k ∞ = ∑ . Kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá 5 10 − . Giải Xét dãy { } n a : 2 6 (4 )! n n a n = là dãy dương, giảm và 2 6 lim 0 (4 )! n n n →∞ = Ta có: 1 36 lim lim 0 1 (4 1)(4 2)(4 3)(4 4) n n n n a a n n n n + →∞ →∞ = = < + + + + Xét dãy 1n n a a +       , dãy giảm tới 0 nên theo dấu hiệu trên ta có 1 1 1 n n n n a s s a a + + − < − với 2 2 1 1 6 (4 4)! 36(4 )! 1 n n n n a a n n a + + + = + − − Áp dụng thuật toán, ta có Bước 1: Tìm n số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 2 2 5 6 10 (4 4)! 36(4 )! 4 n n n + − ≤ + − Chọn n = 3 Bước 2: Tìm số nguyên dương l nhỏ nhất sao cho: 5 10 10 2 4.3 l− − ≤ Chọn 6l = Lấy giá trị biểu diễn thập phân của ( ) 2 6 , 1,3 (4 )! k k a k k = = làm tròn đến chữ số hàng thứ -6 ta được k a theo bảng sau: k k a 1 1,500000 2 0,032143 3 0,000097 10 [...]... L k= + n 1 ∞ ⇒ ∑ ak k= + n 1 k= + n 1 ( ∞ k ∑L k= 1 là chuỗi hội tụ do L < 1 ) hội tụ (dấu hiệu so sánh) ∞ Theo tính chất chuỗi hội tụ thì ∑ak hội tụ k= 1 Mặt khác: ∞ k S − n < n ∑ S a L k= 1 1 Ln + (ii) = 1− L k ∞  2k 2 −1  Ví dụ: Tính gần đúng tổng chuỗi ∑  ÷ Kết quả ghi ở dạng biểu diễn  3k 2 −1 ÷ k =1   thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá 10−2 Giải n  2n − 1  Kiểm tra... bk < LK n (đpcm) k Kết quả ghi ở dạng biểu diễn 4 k =1 ( k +1) ∞ Ví dụ: Tính gần đúng tổng chuỗi ∑ thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá 10−1 Giải Xét dãy { an} Mà chuỗi ∞ : an = ∑k =1 n 1 , { b n } : b n = 3 là dãy dương thì n +1 n an n4 lim = lim 4 =1 = L > 0 n →∞ b n →∞ n + 1 n 4 1 hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu so sánh k3 ∞ Theo dấu hiệu tích phân thì ∑k =1 Chọn K... dụ: Tính gần đúng cho tổng của chuỗi S = ∞ ∑ k =1 (−1) k +1 2k + 1 3 Kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân, dạng chính tắc, sai số không quá 10−1 Giải: Xét dãy { an } : an = 1 2k 3 + 1 là dãy dương, giảm và ∞ Khi đó theo dấu hiệu Leibnitz, chuỗi ∑ k =1 (−1) k +1 2k 3 + 1 lim n→ ∞ 1 2n3 +1 hội tụ S − S n < =0 1 2( n + 1)3 + 1 17 Áp dụng thuật toán, ta có: B1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho 10−1... S − S n < un , ∀n ∈ N (đpcm) 2 ∞ Ví dụ: Tính gần đúng cho tổng của chuỗi ∑(−1) k +1 k =1 6k (*) Kết quả ghi ở dạng (2k )! biểu diễn thập phân, dạng chính tắc, sai số không quá 10−5 Giải: n 6 6n =0 Xét dãy { an } : an = là dãy dương, giảm và lim n → (2 n)! ∞ (2 n)! Ta có: lim an = lim n →∞ n →∞ xét dãy 6n = 0 Nên theo tiêu chuẩn Lebnitz thì chuỗi (*) hội tụ. Mặt khác (2n)! { bn } : bn = an − an +1 6n... biết được cách đánh giá phần dư của chuỗi này bằng các tiêu chuẩn khác B ÁP DỤNG TÍNH GẦN ĐÚNG TỔNG CỦA MỘT CHUỖI ĐAN DẤU 1 Dấu hiệu Leibnitz Cho chuỗi đan dấu S = ∞ ∞ ∑ a = ∑ (−1) k k =1 của chuỗi Giả sử { un } k =1 uk và S n = k +1 ∞ ∑ (−1) k =1 lim un = 0 là dãy giảm và thỏa n →∞ k +1 uk là tổng riêng thứ Khi đó theo dấu hiệu ∞ a Leibnitz, chuỗi S =∑ k hội tụ Hơn nữa, ta có kết quả sau: k= 1 S 2... 0, 7 B4: Kết luận S ∗ = 0, 7 là giá trị cần tìm thỏa 1 7.10−3 10−1 S −S∗ ≤ + + 2.7 2 2 2 ∗ S − S ≤ 0, 0102 + 0,0035 + 0,05 S − S ∗ ≤ 0.1 = 10−1 Áp dụng: Ta chọn các chuỗi số mà tính hội tụ đã biết để so sánh với các chuỗi số khác ∞ Ví dụ: Chuỗi số q ∑ n= 0 n ∞ 1 n hội tụ khi q < 1 và ∑α hội tụ khi α >1 n= 0 Ưu điểm: Tính toán sử dụng các phép toán đơn giản 16 ∞ Khuyết điểm: Cần tìm chuỗi hội tụ ∑b k=... nhỏ nhất sao cho: Chọn l = 6 ≤ 2 4.7 Lấy giá trị biểu diễn thập phân của các số hạng ak = chữ số hàng thứ -6 ta được ak 6k , k =1, 7 (2 k )! ∑a k= 1 k làm tròn đến ak 1 2 3 4 5 6 7 ∞ ) theo bảng sau: k B3: Tính ( 3 -1,5 0,3 -0,032143 0,002143 -0,000097 0,000003 = S7 =1, 769906 Làm tròn S 7 đến chữ số hàng thứ (−5) ta được: S * =1, 76991 B4: Kết luận S * =1, 76991 là giá trị gần đúng thay cho S thỏa 67... k 1.53224 = S3 = 1,53224 Làm tròn S3 đến chữ số thập phân hàng thứ (-5) ta được: S ∗ = 1.53224 Bước 4: Kết luận Chọn S ∗ = 1.53224 là giá trị gần đúng thay cho S thì 68 3.10 −6 10 −5 S −S ≤ + + 2 2 ( 16!− 36.12!) ∗ S − S ∗ ≤ 0, 00000008 + 0, 0000015 + 0, 000005 S − S ∗ ≤ 0, 00001 = 10−5 Nghĩa là S = S ∗ ± 0, 00001 Áp dụng: Khi số hạng tổng quát an của chuỗi số có chứa tích các thừa số liên tiếp (có... n +2 a n +3 < r n +3 ………………… Khi đó: S − S n = ∞ n k =1 ∞ k =1 ∞ ∞ ∞ k = n +1 ∑ a k − ∑ ak = k =1 k =1 ∑ a k < ∑ r k an = an ∑ r k ( ∑ r là chuỗi hội tụ do r < 1 ) k k =1 ⇒ ∞ ∑a k = n +1 k hội tụ (dấu hiệu so sánh) ∞ Theo tính chất chuỗi hội tụ thì ⇒ ∑ ak hội tụ k =1 Mặt khác: ∞ S −S n . TÀI: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHO TỔNG CỦA CHUỖI HỘI TỤ. KẾT QUẢ GHI Ở DẠNG BIỂU DIỄN THẬP PHÂN GẦN ĐÚNG, DẠNG CHÍNH TẮC, SAI SỐ KHÔNG QUÁ 10 -k (k là số nguyên dương cho trước) GVHD: PGS.TS TRỊNH. trị gần đúng cho tổng S của chuỗi 4 1 1 x x ∞ = ∑ . Kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá 3 10 − . Giải Xét hàm số ( ) 4 1 f x x = là hàm liên tục. số không vượt quá 1 ε ε = . Để biểu diễn kết quả ở dạng thập phân, ta cần biểu diễn các nia i ,1, = ở dạng thập phân Đặt i a là giá trị gần đúng của i a , lấy l chữ số sau dấu phẩy