xác định giá trị gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ kết quả ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng dạng chính tắc

Hướng giải quyết Để tính gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ ∑∞ = = 1 i i S 1với n đủ lớn sao cho sai số giữa Sn và S ở mức độ chấp nhận được hoặc tùy thuộc vào yêu cầu bài toán mà lấy sa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

DẠNG CHÍNH TẮC, SAI SỐ KHÔNG QUÁ 10-k

(k là số nguyên dương cho trước)

MỤC LỤC

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 2

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2

II.1 Hướng giải quyết 2

II.2 Cơ sở lý luận 2

III THUẬT TOÁN 4

IV ÁP DỤNG 4

A Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương 4

1 Dấu hiệu tích phân 5

2 Dấu hiệu D’Alambert 7

3 Dấu hiệu Cauchy 10

4 Dấu hiệu so sánh 14

B Tính gần đúng tổng của một chuỗi đan dấu 16

1 Dấu hiệu Leibnitz 16

2 Công thức Calabrese 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Cho trước một chuỗi hội tụ ∑∞

= 1

i i

a (*) và số tự nhiên k Vấn đề đặt ra là làm thế nào để ta

có thể xác định S* là một giá trị gần đúng của ∑∞

=

= 1

i i

a

S thỏa

i S* có k chữ số sau dấu phẩy

ii S S − * ≤ 10 ,−k k ∈ Ζ+

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

II.1 Hướng giải quyết

Để tính gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ ∑∞

=

= 1

i i

S

1với n đủ lớn sao cho sai số giữa Sn và S ở mức độ chấp nhận được hoặc tùy thuộc vào yêu cầu bài toán mà lấy sai số bao nhiêu

Tuy nhiên tùy theo chuỗi (chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, ) mà sẽ lựa chọn tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ như: Tiêu chuẩn tích phân, tiêu chuẩn D’Alambert, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn Lebinite, tiêu chuẩn so sánh… để có thể đánh giá sai số khi lấy tổng riêng thay cho giá trị của chuỗi Nghĩa là xác định ε > 0sao cho S −S n <ε thông qua tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi(*)

Trong phần này, chúng ta khảo sát mỗi chuỗi số dương và chuỗi đan dấu

II.2 Cơ sở lý luận

- Cho dãy số {an} Biểu thức ∑∞

= 1

i i

a = a1+a2+….+an (1) gọi là chuỗi số

an gọi là số hạng tổng quát hay số hạng thứ n

- Tổng hữu hạn

S1=a1

S2=a1+a2

…

Sn=a1+a2+….+ an được gọi là các tổng riêng của chuỗi (1)

a

Ta có: chuỗi ∑∞

= 1

i i

a có tổng bằng S nếu limn S n S

→∞ = và ký hiệu S= ∑∞

= 1

i i

a

- Nếu (1) có tổng hữu hạn thì ta nói nó hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kỳ

- Để xác định giá trị thay thế cho S ta dựa vào chính chuỗi xác định giá trị Sn Có thể làm điều này bằng cách dựa vào định nghĩa tính hội tụ của dãy {an}

102

l n

S −S ≤∑= a −a ≤n − =εLấy S* là làm tròn của S n đến chữ số hàng thứ -k Khi đó, theo quy tắc làm tròn ta có

1

* 102

k

k

ε ε

III THUẬT TOÁN

+ Tên thuật toán : < tính gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ >

S S

4

10 2

1 Dấu hiệu tích phân

Giả sử a n = f n( ) với f là hàm số dương liên tục trên [1,+∞) giảm về 0 khi

nên ∫1∞ f x dx( ) hội tụ Theo dấu hiệu trên thì 4

1, 08216

k k

5 3

*

3

1 12.10 10 3.12 2 2

→∞ + = mà dấu hiệu D’ Alambert không xét được sự hội tụ.

+ Nhược điểm: Trong quá trình tính toán, ta có thể gặp khó khăn trong việc tính tích

phân suy rộng và sử dụng các hàm phức tạp như arctan, arcsin…

2 Dấu hiệu D’Alambert

Giả sử ( ) an là dãy dương và n 1

n 1 n

a

S S

a 1 a

+ +

a

0 a

1 a

→∞

+ + →

 là dãy dương, giảm

Khi đó ∃ ≥ N 0 sao cho n > N

Đặt N 1

N

a r a

+

= , suy ra n 1

n

a r a

+ < ∀ > ⇒ an 1+ < ra , k nn ∀ >

Do đó an 1+ = a rn

⇒ ∑ hội tụ (dấu hiệu so sánh)

Theo tính chất chuỗi hội tụ thì

k a

n k

n

a r

6(4 )!

n n a

n

= là dãy dương, giảm và lim 62 0

(4 )!

n n

1

6(4 4)! 36(4 )!

1

n n

n n

a

a

+ +

+

=+ −

Bước 2: Tìm số nguyên dương lnhỏ nhất sao cho: 10 10 5

k k

∑ 1.53224

Bước 3: Tính

3

3 1

1,53224

k k

S S− ∗ ≤ = −

Nghĩa là S =S∗±0,00001

Áp dụng: Khi số hạng tổng quát an của chuỗi số có chứa tích các thừa số liên tiếp (có chứa giai thừa)

Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản.

Nhược điểm: Trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy n 1

n

a a

+

 

 

  là dãy tăng hay

giảm cũng không phải là chuyện đơn giản

Ngoài ra không thể dùng phương pháp này để tính gần đúng nếu limn n 1 1

n

a a

+

→∞ =

Giả sử (an) là dãy dương, giảm và lim n 1

n→∞ a n = <L Khi đó theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi

n L

Đặt r = n an , suy ra n 1

n

a r a

1 1

k n k

n k n

k k n

k

k k

k

S S

a hội tụ (dấu hiệu so sánh)

Theo tính chất chuỗi hội tụ thì ∑∞

=

⇒

1

k k

a hội tụ

Mặt khác:

1 1

a r

a r

1 1

k k

⇒ ∑ hội tụ (dấu hiệu so sánh)

Theo tính chất chuỗi hội tụ thì

Kiểm tra điều kiện:

n 2

n 2

2n 1a

i n 1

10a

4

− +∞

Lấy giá trị biểu diễn thập phân của k 22 k ( )

Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản.

Nhược điểm: Trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy { }n

n

a là dãy tăng hay giảm cũng không phải là chuyện đơn giản Ngoài ra không thể dùng phương pháp này để tính gần đúng nếu lim n 1

n→∞ a n =

4 Dấu hiệu so sánh:

Cho hai chuỗi số dương

1

k k a

+ Kết quả ghi ở dạng biểu diễn

thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá 10−1.

∑ hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu so sánh

Theo dấu hiệu tích phân thì k 1 3 n 3 2

Khuyết điểm: Cần tìm chuỗi hội tụ

1

k k

B ÁP DỤNG TÍNH GẦN ĐÚNG TỔNG CỦA MỘT CHUỖI ĐAN DẤU

1 Dấu hiệu Leibnitz

Cho chuỗi đan dấu 1

Áp dụng thuật toán, ta có:

B1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho

1 3

42(n 1) 1

−

≤+ + Chọn n = 10

B2: Tìm số nguyên dương l nhỏ nhất sao cho:

0, 407

k k

Ưu điểm: Quá trình tính toán đơn giản, việc tìm giá trị n cũng dễ dàng.

Khuyết điểm: Hiệu quả không tốt lắm có thể tìm ra n khá lớn.

= ∑ = ∑ − hội tụ theo tiêu chuẩn Leinitz và có thêm điều

kiện dãy đơn điệu giảm về 0 Khi đó: ,

2

n n

(2 )!

k k

Theo công thức Calabrese, ta có: , 1

2

n n

, 1, 7(2 )!

k k

Khuyết điểm Việc chứng minh dãy { } bn là giảm đôi khi gặp nhiều khó khăn và tốn thời gian.

Lưu ý: Ta có thể tách chuỗi đan dấu thành 2 chuỗi dương, tính từng chuỗi rồi trừ nhau.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài giảng TS.Trịnh Công Diệu

2 Tài liệu khóa trước

3 Sách giải tích hàm một biến của TS Nguyễn Cam

4 Chuỗi và phương trình vi phân của Đỗ Công Khanh – Ngô Thu Lương

5 Internet