Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm tích phân[Phương pháp tính- BKHCM]

Phương pháp tính- ĐH BKHCM- HCMUT

I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM : Cho hàm y = f(x) bảng số Chương TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Để tính gần đạo hàm, ta xấp xỉ hàm đa thức nội suy Lagrange Ln(x) Ta có f / ( x ) ≈ L/n ( x ) f / / ( x ) ≈ L/n/ ( x ) 1 TH bảng có điểm nút : x y x0 y0 x1 y1 Công thức sai phân tiến : h = x1- x0 y0 = f(x0) y1 = f(x1) = f(x0+h) f '( x0 ) ≈ Đa thức nội suy Lagrange Ln ( x ) = f ( x + h) − f ( x ) h Công thức sai phân lùi : ( x − x0 ) ( x − x1 ) y0 + y ( x − x1 ) ( x1 − x ) f '( x1 ) ≈ ( x − x0 ) ( x − x1 ) = y1 − y0 h h y1 − y0 h Đổi x1 x0 Do với x ∈ [x0, x1] ta có y −y f ( x + h) − f ( x ) f '( x ) ≈ = h h f '( x0 ) ≈ f ( x ) − f ( x − h) h Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x Dùng công TH bảng có điểm nút cách : thức sai phân tiến, tính xấp xỉ f’(1.8) sai số với h = 0.1, 0.01, 0.001 x y giải Ta có f '(1.8) ≈ f (1.8 + h) − f (1.8) h f’(1.8) ∆ 0.1 0.540672212 0.015 0.01 0.554018037 0.16x10-2 0.001 0.555401292 0.16x10-3 Ln (x) = f’(1.8) = 0.555555555 = f "( x ) ≈ ( y2 − y1 + y0 ) 2h ( y2 − y1 ) + h = x2 - x1 = x1 - x0 y0 = f(x0) y1 = f(x1) = f(x0+h) y2 = f(x2) = f(x0+2h) x2 y2 (x − x0 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) (x − x1 )(x − x2 ) y0 + y1 + y (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 ) (x − x0 )(x − x1 ) 2h y2 − (x − x0 )(x − x2 ) h y1 + (x − x1 )(x − x2 ) 2h2 y0 Do với x ∈ [x0, x2] ta có ( x − x0 ) x1 y1 Đa thức nội suy Lagrange h f '( x ) ≈ x0 y0 ( x − x1 ) 2h ( y2 + y0 ) + Công thức thứ gọi công thức sai phân tiến ( x − x2 ) 2h ( y0 − y1 ) h2 f '( x ) ≈ −3 f ( x0 ) + f ( x0 + h) − f ( x0 + 2h) 2h Công thức thứ gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng (thay x1 = x0) Suy đạo hàm cấp ( − y + y1 − y ) 2h (y − y0 ) f '( x ) ≈ 2h ( y − y1 + y ) f '( x ) ≈ 2h f '( x ) ≈ f '( x ) ≈ f (x0 + h) − f (x0 − h) 2h Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x – 2/x3 Công thức thứ gọi công thức sai phân lùi thường viết dạng (thay x2 = x0) a Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(3) sai sốvới h = 0.1, 0.01, 0.001 f (x0 − 2h) − f (x0 − h) + f (x0 ) 2h f '( x ) ≈ b Tính xấp xỉ f”(3) sai số với h = 0.1, 0.01, 0.001 giải đạo hàm cấp f ''( x ) ≈ f '(3) ≈ ( y − y1 + y ) h2 Thay x1 = x0 ta f ''( x ) ≈ f (x0 + h) − f (x0 ) + f (x0 − h) h f (3 + h ) − f (3 − h ) 2h f '( x ) = + x x4 f’(3)=0.407407407 h f’(3) ∆ 0.1 0.407805936 0.40*10-3 0.01 0.407411385 0.40*10-5 0.001 0.407407442 0.36*10-7 f ''(3) ≈ II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN : f (3 + h ) − f (3) + f (3 − h ) h2 24 f "( x ) = − − x x 10 Cho hàm f(x) xác đònh khả tích [a,b] Ta cần tính gần tích phân : f”(3) = -0.209876543 b h f’’(3) ∆ 0.1 -0.210213236 0.34*10-3 0.01 -0.209879991 0.35*10-5 0.001 -0.209875600 0.95*10-6 I = ∫ f ( x ) dx a Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn với bước h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b Xấp xỉ f(x) đa thức nội suy Lagrange 11 12 Đa thức Lagrange TH điểm cách n L n ( x ) = q ( q − 1) ( q − n )∑ k =0 với q = k =0 ( − 1) n − k y k !( n − k )!( q − k ) k (−1)n − k q(q − 1) (q − n) với H k = dq ∫ n k !(n − k )! (q − k ) n x−a h Công thức gọi công thức Newton-cotes, hệ số Hk gọi hệ số cotes (−1)n − k q(q − 1) (q − n) I ≈ ∫ Ln ( x )dx =∑ ∫ yk dx k !(n − k )!(q − k ) k =0 a a b n b (−1)n − k q(q − 1) (q − n) (b − a) = ∑∫ dq yk k !(n − k )!(q − k ) n k =0 n n I ≈ I * = (b − a)∑ H k yk n Hệ số cotes có tính chất sau : n ∑H k =0 =1 k H n−k = H k k = 0, n 13 Công thức hình thang : Công thức sai số :  Mn+1hn+2 n  ∫ | q(q −1) (q − n)| dq với n lẻ  (n +1)! ∆ =| I − I *|≤  n+3 n  Mn+2h  (n + 2)! ∫ | q (q −1) (q − n) | dq với n chẵn  Mn+1 = max | f x∈[a,b] (n+1) 14 (x)| Mn+2 = max | f x∈[a,b] (n+2) (x)| Xét n = 1, I ≈ (b-a)(Hoyo + H1y1) H = − ∫ (q − 1)dq = Vậy I≈ ⇒ H1 = H = (b − a) ( y + y1 ) Công thức sai số : M2 h M2 h3 ∆≤ | q(q − 1) | dq = 2! ∫0 12 15 16 Công thức hình thang mở rộng : Vậy h I ≈ [y0 + 2(y1 + + yn−1) + yn ] Ta chia [a,b] thành n đoạn nhỏ [x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn] Áp dụng công thức hình thang đoạn Ta có I= x1 x2 xn x0 x1 xn−1 ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + + ∫ Công thức sai số : f ( x )dx M2 h3 M2 h ∆≤n = (b − a) 12 12 (x1 − x0 ) (x − x ) (x − x ) (y0 + y1) + (y1 + y2 ) + + n n−1 (yn−1 + yn ) 2 h h h = (y0 + y1) + (y1 + y2 ) + + (yn−1 + yn ) 2 = 17 Công thức Simpson : Công thức sai số : Xét n = 2, I ≈ (b-a)(Hoyo + H1y1+H2y2) M4 h5 2 M4 h5 ∆≤ | q (q − 1)(q − 2) | dq = 4! ∫0 90 Công thức Simpson mở rộng : 1 H = ∫ (q − 1)(q − 2)dq = 40 H2 = H0 = H + H1 + H = ⇒ H1 = Vậy I≈ 18 Điều kiện n phải chẵn Ta chia [a,b] thành n=2m đoạn nhỏ [x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn] Áp dụng công thức simpson m đoạn [x0, x2], [x2, x4], , [xn-2, xn] (b − a) ( y0 + y1 + y2 ) 19 20 Công thức sai số : Ta có I= x2 x4 xn x0 x2 xn−2 ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + + ∫ M4 h n M4 h ∆≤ = (b − a) 90 180 f ( x )dx (x −x ) (x −x ) (x −x ) = (y0 +4y1 +y2)+ (y2 +4y3 +y4)+ + n n−2 (yn−2 +4yn−1 +yn) 6 h h h = (y0 +4y1 +y2)+ (y2 +4y3 +y4)+ + (yn−2 +4yn−1 +yn) 3 Vậy Ví dụ : Tính gần tích phân sin x x I = ∫ f ( x )dx với f ( x ) =  1 x≠0 x=0 a Dùng công thức hình thang mở rộng với n = h I ≈ (y0 + 4(y1 + y3 + + yn−1) +2(y2 + y4 + + yn−2 ) + yn ) b Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 21 giải a Ta có h=0.2, chia đoạn [0,1] thành n = đoạn x0 = < x1 = 0.2 < x2 = 0.4 < x3 = 0.6 < x4 = 0.8 < x5 = Công thức hình thang 22 b Ta có h=0.25, chia đoạn [0,1] thành n=4 đoạn x0 = < x1 = 0.25 < x2 = 0.5 < x3 = 0.75 < x4 = Công thức Simpson h I ≈ [y0 + 4(y1 + y3)+ 2y2 + y4 ] h I ≈ [y0 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 ) + y5] 0.2 sin0.2 sin0.4 sin0.6 sin0.8 sin1 = [1+ 2( + + + )+ ] 0.2 0.4 0.6 0.8 = 0.25 sin0.25 sin0.75 sin0.5 sin1 [1+ 4( + )+ + ] 0.25 0.75 0.5 = 0.946086934 = 0.945078781 23 24 b h=0.125, chia đoạn [0,1] thành n=8 đoạn Ví dụ : Xét tích phân a.Dùng công thức hình thang mở rộng b.Dùng công thức Simpson mở rộng Với n vừa tìm được, xấp xỉ tích phân Công thức Simpson h I ≈ [y0 + 4(y1 + y3 + y5 + y7 )+ 2(y2 + y4 + y6 ) + y8] giải 0.125 sin0.125 sin0.375 sin0.625 sin0.875 [1 + 4( + + + ) 0.125 0.375 0.625 0.875 sin0.25 sin0.5 sin0.75 sin1 +2( + + )+ ] 0.25 0.5 0.75 f ( x ) = ln(2.7 x + 5.6) = ⇒ f '( x ) = f (3) ( x ) = *2.73 (2.7 x + 5.6)3 f "( x ) = − 2.72 (2.7 x + 5.6)2 f (4) ( x ) = − *2.74 (2.7 x + 5.6)4 26 b Công thức sai số Simpson mở rộng M2 h 2.72 , M2 = max | f "( x ) |= 12 5.62 ∆ = ( b − a) M4 h4 * 2.74 , M4 = max | f (4) ( x ) |= 180 5.64 * 2.74 ∆= ( ) ≤ 10−5 180 * 5.6 n 2.72 ∆= ( )2 ≤ 10−5 12 *5.6 n 2.72 ⇒n≥ = 44.01 12 *5.62 *10 −5 2.7 2.7 x + 5.6 25 a Công thức sai số hình thang mở rộng ∆ = (b − a) xác đònh số đoạn chia tối thiểu n để sai số ≤10-5 x0 = < x1 = 0.125 < x2 = 0.25 < x3 = 0.375 < x4 = 0.5 x5 = 0.625 < x6 = 0.75 < x7 = 0.875 < x8 =1 = 0.94608331 I = ∫ ln(2.7 x + 5.6)dx *2.74 ⇒n≥ = 3.66 180 *5.6 *10 −5 Vậy n = 45 Vậy n = Chia đoạn [0,1] thành n=4 đoạn x0 = < x1 = 0.25 < x2 = 0.5 < x3 = 0.75 < x4 = 27 28 Công thức Simpson h I ≈ [y0 + 4(y1 + y3)+ 2y2 + y4 ] 0.25 [ln5.6 + 4ln(2.7*0.25+ 5.6) + 4ln(2.7*0.75+ 5.6) +2ln(2.7*0.5+ 5.6) + ln(2.7 + 5.6)] = = 1.932377388 29