Chương 1: Sai số [Phương pháp tính- BKHCM]

Tóm tắt bài giảng phương pháp tính trường ĐHBKTPHCM

I KHÁI NIỆM SAI SỐ : Chương KHÁI NIỆM VỀ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Trong toán kỹ thuật thường xác đònh giá trò xác đại lượng mà làm việc với giá trò gần Độ sai lệch giá trò gần giá trò xác gọi sai số Ta có loại sai số : Sai số giả thiết : Các giả thiết dùng để mô hình hóa toán thường thiếu xác, giả thiết chấp nhận xây dựng mô hình Sai số gọi sai số giả thiết Sai số giả thiết Sai số số liệu ban đầu Sai số số liệu ban đầu : Các số liệu ban đầu dùng để giải toán thường thu thông qua đo đạc hay thực nghiệm Các số phụ thuộc vào dụng cụ đo, thực nghiệm nên không xác gọi sai số số liệu ban đầu Sai số phương pháp Sai số tính toán Sai số phương pháp : Các phương pháp dùng để giải toán kỹ thuật thường phương pháp giải xấp xỉ gần đúng, phương pháp có sai số đònh đó, sai số gọi sai số phương pháp II CÁCH BIỂU DIỄN SAI SỐ : Gọi A số xác toán Số a gọi số gần A xấp xỉ A ký hiệu a ≈ A Sai số tính toán : Tính toán máy tính thường sử dụng số hữu hạn chữ số làm tròn số, sai số tích lũy trình tính toán gọi sai số tính toán hay sai số làm tròn Đại lương ∆ = | a – A | gọi sai số thực số gần a Sai số tuyệt đối sai số tương đối : Sai số tương đối số gần a số dương δa tính theo công thức Trong thực tế không tính A, ta tìm số dương ∆a bé tốt thoả δa = ∆a / |a| | a – A | ≤ ∆a Ví dụ : Giả sử A = π; a = 3.14 số gần π Xác đònh sai số ∆a gọi sai số tuyệt đối số gần a Ký hiệu A = a ±∆a • • • • • • Giải Ta có π = 3.14159265358979323846264338327… ⇒ 3.14 –0.01 < π < 3.14 + 0.01 ⇒ | 3.14 - π | < 0.01 ⇒ ∆a = 0.01 δa = 0.3185% Mặt khác ⇒ Do giá trò gần có nhiều sai số tuyệt đối khác nhau, ví dụ này, sai số 0.002 tốt Ví dụ : Cho a = 1.85 với sai số tương đối 0.12%, tính sai số tuyệt đối ∆a = |a| * δa 3.14–0.002 < π < 3.14+0.002 ∆a = 0.002 δa = 0.0637% = 1.85 * 0.12 /100 = 0.00222 Sai số hàm : Ví dụ : Cho A = 1.50±0.002 B = 0.123 ± 0.001 C = 13.00 ± 0.05 Tính sai số tuyệt đối x = a + b y = 20a – 10b + c z = a + bc • Giải • ∆x = ∆a + ∆b = 0.002 + 0.001 = 0.003 • ∆y = 20∆a + 10 ∆b + ∆c = 0.1 • ∆z = ∆a + |c| ∆b + |b| ∆c = 0.02115 • Cho hàm y = f (x1, x2, , xn) • Mỗi biến xi có sai số ∆xi Xác định sai số y Sai số tuyệt đối n ∆ y = ∑ | i=1 ∂f |∆ ∂xi xi Sai số tương đối δy = ∆y |y| n = ∑| i =1 10 ∂ (ln f ) |∆x i ∂xi 11 12 Ví dụ : Diện tích đường tròn S = πR2 với π = 3.14 ± 0.002 R = 5.25 ± 0.001 m Tính sai số S (tuyệt đối & tương đối) Giải : sai số tuyệt đối ∆S = R2 *∆π + 2πR*∆R = (5.25)2x0.002 + 2x3.14x5.25x0.001 = 0.088095 Sai số tương đối S = 3.14 x (5.25)2 = 86.54625 δS = ∆S / S = 0.1018% III BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN Số thập phân a biểu diễn dạng a = amam-1 a1a0.a-1a-2 a-n = ∑ak10k, 0≤ak≤9 Làm tròn số Làm tròn số bỏ số chữ số lẻ bên phải để số ngắn gọn gần với a 14 13 Giả sử ta muốn làm tròn đến chữ số lẻ thứ k (1 ≤ k ≤ n) Ví dụ : Làm tròn với chữ số lẻ a- = 456.12 | a- - a| = 0.00345678 a+ = 456.13 |a+ - a| = 0.00654322 Vậy ã = a- = 456.12 xét số a- = amam-1 a1a0.a-1a-2 a-k a+ = amam-1 a1a0.a-1a-2 (a-k+1) chọn số làm tròn a- a+ theo điều kiện ã= a- |a- - a| < |a+ - a| {a + Cho a = 456.12345678 |a+ - a| < |a- - a| 15 Làm tròn với chữ số lẻ a- = 456.1234 | a- - a| = 0.00005678 a+ = 456.1235 |a+ - a| = 0.00004322 Vậy ã = a+ = 456.1235 16 Sai số làm tròn ~ Đặt θ =| a − a | Cách làm tròn đơn giản Ta có Nếu a-k-1 (chữ số sau chữ số lẻ thứ k) 78.6789 làm tròn xuống ta b > 78.67 001234.34 có chữ số có nghóa 0.010203 có chữ số có nghóa 10.20300 có chữ số có nghóa 21 Ví dụ : Tìm số chữ số đáng tin a a = 12.3456 với ∆a = 0.0044 a = 12.3456 với ∆a = 0.0062 giải Chữ số đáng tin : Cho a ≈ A với sai số ∆a Chữ số ak gọi chữ số đáng tin hay 22 Chữ số ak đáng tin ∆a = 0.0044 ≤ ½ 10k ⇒ k ≥ log(0.0088) = -2.0555 ta có chữ số đáng tin 1, 2, 3, ∆a ≤ 10k / k ≥ log (2∆a ) 23 ∆a = 0,0062 ≤ ½ 10k ⇒ k ≥ log(0.0124) = -1.9065 ta có chữ số đáng tin 1, 2, 24 ... (1 ≤ k ≤ n) Ví dụ : Làm tròn với chữ số lẻ a- = 456 .12 | a- - a| = 0.00345678 a+ = 456 .13 |a+ - a| = 0.00654322 Vậy ã = a- = 456 .12 xét số a- = amam -1 a1a0.a-1a-2 a-k a+ = amam -1 a1a0.a-1a-2... (a-k +1) chọn số làm tròn a- a+ theo điều kiện ã= a- |a- - a| < |a+ - a| {a + Cho a = 456 .12 345678 |a+ - a| < |a- - a| 15 Làm tròn với chữ số lẻ a- = 456 .12 34 | a- - a| = 0.00005678 a+ = 456 .12 35... 3 .14 số gần π Xác đònh sai số ∆a gọi sai số tuyệt đối số gần a Ký hiệu A = a ±∆a • • • • • • Giải Ta có π = 3 .14 159265358979323846264338327… ⇒ 3 .14 –0. 01 < π < 3 .14 + 0. 01 ⇒ | 3 .14 - π | < 0.01