chuong 3 - he pt tuyen tinh

I ĐẶT BÀI TOÁN : Hệ phương trình tuyến tính n pt n ẩn có dạng Ax = b CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH với  a11 a12 a a22 A = ( aij ) =  21    a n1 a n a1n  a2 n    ann   x1   b1  x  b  x = 2 b= 2          xn   bn  II PHƯƠNG PHÁP GAUSS Các phương pháp giải
Phương pháp giải xác Các dạng ma trận đặc biệt :  Phương pháp Gauss  Phương pháp Gauss-Jordan  Phương pháp nhân tử LU  Phương pháp Cholesky a Ma trận chéo :  a11  A=    
Phương pháp giải gần a 22      a nn  detA = a11a22 ann ≠ ⇔ aii ≠ 0, ∀i  Phương pháp lặp Jacobi  Phương pháp lặp Gauss-Seidel Nghiệm xi = bi/aii b Ma trận tam giác  a11 a A=  21    a n1 a 22 an c Ma trận tam giác :      a nn   a11  A=     a12 a 22 a1 n  a n    a nn  detA = a11a22 ann ≠ ⇔ aii ≠ 0, ∀i detA = a11a22 ann ≠ ⇔ aii ≠ 0, ∀i Phương trình có nghiệm Phương trình có nghiệm bn   xn = a  nn   x = [b −  k a kk k b1   x1 = a  11  k −1  x = [ b − ∑ a x ] , k = 2, n k k kj j  a kk j =1 n ∑ a kj x j ] , k = n − 1 j = k +1 Ví dụ : Giải hệ phương trình Phương pháp Gauss : Ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo dòng để chuyển ma trận A ma trân tam giác Giải  x1 − x + x − x = − 2 x − x + 3x − 3x = −20   + + = −2 x x x   x1 − x + x + x =  −1  −2 [ A / b] =  1   −1 Các phép biến đổi sơ cấp theo dòng
hoán chuyển dòng 1 0 h4 = h4 /2  → 0  0
nhaân dòng với số khác h2 ↔ h3
cộng dòng với dòng khác −1 −8  h2 =h2 −2 h1  −1 h3 = h3 − h1 0 −3 −20  h4 = h4 − h1  → −2  0   4  0 −1 −1 −8   −1 −1  h 4=h 4+h  →  −1 −1 −4  0   6 0 −1 −8  −1 −1 −4  −1   12  −1 −8  −1  −1 −1 −4   2 Giải pt ma trận tam giác trên, ta nghiệm x = (-7, 3, 2, 2)t Phương pháp Doolittle : III PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU Giả sử A ma trận không suy biến a11 ≠ Ta phân tích A thành A = LU Phân tích ma trận A thành tích ma trận L U A = LU L : ma trận tam giác U : ma trận tam giác  l L =  21    ln1 Phương trình Ax = b ⇔ L(Ux) = b Ta đưa giải hệ phương trình ln  u11 u12  u 22 U=      Ly = b  Ux = y 0 0    1 Ma trân ∆ u1n  u2 n    unn  Ma traân ∆ 10 Ví dụ : Giải hệ phương trình Các phần tử L U xác định theo công thức             x1 + x − x =   − x1 − x + x = − 15 2x + x + 2x =  u1 j = a1 j , ≤ j ≤ n li1 = Giaûi Ta phân tích ai1 , 2≤i≤n u11 i −1  A =  −   k =1 u 22 = a 22 − l 21u12 = uij = aij − ∑ lik ukj , < i ≤ j j −1 lij = [aij − ∑ lik ukj ], < j < i u jj k =1 −3 −3    =  − 2   1 l 32 02     u 22 −3  u 23  u 33  u 23 = a 23 − l 21u13 = − l 32 = 11 ( a 32 − l 31u12 ) = − u 22 u 33 = a 33 − l 31u13 − l 32 u 23 = 12 TH đặc biệt : A ma trận đường chéo Giải heä Ly = b 0   y1      −2   y  =  −15        −1   y          a11 a12 a  21 a22 A =  a32    0   y1    ⇒  y2  =        y   −3   3   Giải hệ Ux = y a23 a33 0  0  0    ann −1 ann  Ta phân tích A thành LU với  2 −3   x1     x1     −2   x  =             ⇒  x2  =    0   x   −3   x   −1        3    0 l  21 L =  l32    0  0  u11 u12  u  0 22  0 U =       0 1       unn  u23 u33 13 14 Ví dụ : Giải hệ phương trình Ax = b Các phần tử L U xác định theo công thức  A =  −1    a21  u = a , u = a , l = 11 11 12 12 21  u11  uii = aii − li i −1ui −1i , i = 2, n  ui i +1 = i +1 , i = 2, n −  a li +1i = i +1i , i = 2, n − uii  −1 −1 Giải Ta phân tích   A =  −1 /  l32   −1   2 b = 1     2   −1    u22 u23    0 u33  u22 = a22 − l21u12 = / u23 = a23 = −1, l32 = 15 a32 = −2 / u22 u33 = a33 − l32u23 = / 16 Giải hệ Ly = b IV PHƯƠNG PHÁP CHOLESKY  y1    ⇒  y2  =        y   10 /   3   0   y1      −1 /   y2  =         −2 /   y3     Định nghóa :
Ma trân A gọi đối xứng A = At Giải hệ Ux = y   x1     −1  / −1   x  =        0   x   10 /  /     
Ma traân A gọi xác định dương  x1   /  ⇒  x2  =        x  5 / 2  3   n n x t Ax = ∑∑ aij xi x j > 0, ∀x = ( x1 , x2 , , xn )t ∈ R n , x ≠ i =1 j =1 17 Để kiểm tra xác định dương, ta dùng đình lý sau: Định lý : Ma trận A xác định dương tất định thức dương Ví dụ : Kiểm tra tính xác định dương ma trận  1 −1  A =    −1    Giải Các định thức chính: 1 ∆3 = −1 −1 ∆1 = > 0, ∆ = 1 =1> 1 1 = −1 −0 +4 =2>0 −1 −1 Vậy A xác định dương 19 18 Định lý (Cholesky) : Nếu A ma trận đối xứng xác định dương, tồn ma trận ∆ dưới, khả đảo B cho A = BBt Ma trận B = (bij) tìm theo công thức sau :  b11 = a 1   b = a i1 , ≤ i ≤ n  i b1  i −1  b a bik2 , ≤ i ≤ n = − ∑ ii  ii k =1  j −1  b = a − bik b jk ], ≤ j ≤ i [  ij ∑ ij b jj k =1  20 Ví dụ : Giải hệ phương trình Ax = b Giải  A=   −1  −1    Giải hệ By = b 1  b = 2    3   1  1  −1  0  b33   y1      ⇒  y2  =   y      /  Giải hệ Bt x = y Ta có A ma trận đối xứng xác định dương Phân tích A = BBt 1 B =  b22  −1 b 32    y1          y2  =         y3    0 1  0 0  Các hệ số b = a − b = 22 21  22  [a32 − b31b21 ] =  b32 = b 22   2  b33 = a33 − b31 − b32 = −1   x1         x2  =         x3   /   x1    ⇒  x2  =  −1 /   x   3/   3   21 Ví dụ : 22 V PHƯƠNG PHÁP LẶP −9  9   A =  20 −22   −9 −22 26    Chuẩn : a Chuẩn vector : Định nghóa : Chuẩn vector x∈Rn hàm số thực ký hiệu ||x||, thỏa điều kiện sau : Phân tích A = BBT theo pp cholesky Tính b11+b22+b33 (i) ||x||≥0, ∀x∈Rn vaø ||x|| = ⇔ x=0 (ii) ||λx|| = |λ| ||x||, ∀x∈Rn, ∀ λ∈R (iii) ||x+y|| ≤||x|| + ||y||, ∀x,y∈Rn 23 24 Có nhiều công thức chuẩn khác nhau, xét công thức b Chuẩn ma trận : Định nghóa : Chuẩn ma trân A xác định theo công thức ∀x= (x1,x2,…, xn)t || x ||∞ = max {| xi |} 1≤ i ≤ n n || x ||1 = ∑ | xi | || A ||= max x ≠0 i =1 Dễ dàng kiểm tra ||x||∞, ||x||1 chuẩn gọi chuẩn ∞ chuẩn Ví dụ :  −5    cho vector x =    3    −2  Định lý : Cho ma trận A = (aij), ta coù n || A ||∞ = max{∑ | aij |} 1≤ i ≤ n || x ||∞ = || x ||1 = || Ax || = max || Ax || ||x||=1 || x || j =1 n || A ||1 = max{∑ | aij |} 14 1≤ j ≤ n i =1 25 Ví dụ : 26 c Hội tụ theo chuẩn :  −1    Cho ma traän A =  −5   −2 −4    Định nghóa : Dãy vector {x(m)}∈Rn hội tụ x theo chuẩn ||x(m) –x|| →0 m→∞ Tính Định lý : Dãy {x(m)=(x1(m), x2(m),…, xn(m) )}∈Rn hội tụ x = (x1, x2, …, xn) theo chuẩn dãy {xk(m)}hội tụ xk m→∞, ∀k=1,n || A ||∞ = 14 || A ||1 = 13 27 28 Phương pháp lặp : Ta chuyển hệ pt dạng x = Tx + c Với T ma trận vuông cấp n c vector Để tìm nghiệm gần đúng, với vector ban đầu x(0), ta xây dựng dãy lặp theo công thức x(m) = Tx(m-1)+ c, ∀m=1,2,… Ta cần khảo sát hội tụ dãy {x(m)} Ta có định lý sau Định lý : Nếu ||T|| < dãy lặp x(m) hội tụ nghiệm x hệ pt, với vector ban đầu x(0) Ta có công thức đánh giá sai số : (1) || x (m) || T ||m − x ||≤ || x (1) − x (0) || tiền nghiệm 1− || T || (2) || x ( m ) − x ||≤ || T || || x ( m ) − x ( m−1) || hậu nghiệm 1− || T || 29 Phương trình VI PHƯƠNG PHÁP LẶP JACOBI Ta phân tích A=D+L+U ñoù  a11  D=    0 a22    ma trận chéo   ann    a L =  21    an1 0 an  a12  0 U =   0  30    ma trận ∆    a1n   a2 n  ma trận ∆   0  31 Ax = b ⇔ (D+L+U)x = b ⇔ Dx = -(L+U)x + b ⇔ x = -D-1(L+U)x + D-1b ⇔ x = Tx + c với T = -D-1(L+U) c = D-1b pp lặp theo phân tích gọi pp lặp Jacobi Bây ta tìm điều kiện để pp lặp Jacobi HT 32 Định nghóa : Định lý : Ma trận A gọi ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt thỏa điều kiện sau : Nếu A ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt, pp lặp Jacobi hội tụ với vector ban đầu x(0) n ∑ |a j =1, j ≠i ij | Vậy hệ không ổn định 51 1  Tính số điều kiện A=  k(A) theo chuẩn ∞ 1 2.01  201 −200  A−1 =    −100 100  ⇒ k(A) = 3.01 x 401 = 1207.01 >> Vậy hệ không ổn định 50 ... jj k =1 ? ?3 ? ?3    =  − 2   1 l 32 02     u 22 ? ?3  u 23  u 33  u 23 = a 23 − l 21u 13 = − l 32 = 11 ( a 32 − l 31 u12 ) = − u 22 u 33 = a 33 − l 31 u 13 − l 32 u 23 = 12 TH...  A =  −1 /  l32   −1   2 b = 1     2   −1    u22 u 23    0 u 33  u22 = a22 − l21u12 = / u 23 = a 23 = −1, l32 = 15 a32 = −2 / u22 u 33 = a 33 − l32u 23 = / 16 Giải hệ... k(A) theo chuẩn ∞  / 13 −5 / 13 / 13    A =  −5 / 13 11/ 13 −4 / 13   / 13 −4 / 13 / 13    −1 ⇒ k(A) = x 20/ 13 = 9. 230 8 >> Vậy hệ không ổn định 51 1  Tính số điều kiện A=  k(A) theo chuaån