Bài giảng Phương pháp tính- BKHCM
I ĐẶT BÀI TOÁN : Bài toán : tìm nghiệm gần phương trình f(x) = với f(x) hàm liên tục khoảng đóng [a, b] hay khoảng mở (a,b) CHƯƠNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 1 Khoảng cách ly nghiệm ĐK đủ: [a, b] KCLN pt Khoảng đóng hay mở tồn nghiệm phương trình gọi khoảng cách ly nghiệm f(a) f(b) < Định lý : Đạo hàm f’ không đổi dấu đoạn [a,b] Nếu hàm f liên tục đoạn [a,b] thoả điều kiện f(a) f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm [a,b] Nếu hàm f đơn điệu ngặt nghiệm a b Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) = x5 + x - 12 = Giải : Ta có Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) = x3 - 3x + = giaûi : Ta lập bảng giá trị điểm đặc biệt f(1) = -10, f(2) = 22 ⇒ f(1) f(2) < x f(x) Mặt khác f’(x) = 5x4 +1 > ∀x f hàm đơn điệu tăng nên pt có nghiệm Vây khoảng cách ly nghiệm (1,2) - -3 - -2 -1 -1 1 -1 3 + + Nhìn vào bảng ta thấy pt có nghiệm khoảng (-2, -1) (0, 1) (1,2) Vì pt bậc có tối đa nghiệm, nên khoảng cách ly nghiệm : (-2,-1) (0,1) (1,2) Bài tập : Giải Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) =ex –x2 + 3x -2 f’(x) = ex - 2x + f(x) =ex –x2 + 3x -2 Ta lập bảng giá trị điểm đặc biệt Tìm khoảng cách ly nghiệm pt x f(x) f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 - -3 - -2 - -1 - - + + + + Nhận xét : f’(x) > 0, ∀x∈[0,1] Vây khoảng cách ly nghieâm (0,1) f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 f’(x) = cosx –xsinx -4x +3 Ta laäp bảng giá trị điểm đặc biệt x f(x) -3 -2 -1 - - - + + - - - Cách giải gần pt f(x) = B1: tìm tất khoảng cách ly nghiệm - B2: khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần phương trình Nhận xét : f’(x) < ∀x∈[1,2], f’(x) > ∀x∈[-1,0] Vaây khoảng cách ly nghiệm : (-1 0), (1,2) 10 Công thức sai số tổng quát : Các phương pháp giải gần Định lý : Giả sử f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) Nếu x* , x nghiệm gần nghiệm xác phương trình Phương pháp chia đôi Phương pháp lặp đơn |f’(x)| ≥ m > 0, ∀x ∈(a,b) Phương pháp lặp Newton sai số đánh giá theo công thức : |x* - x| ≤ |f(x*)| / m 11 12 Ví dụ : Xét phương trình f(x) = x3-5x2+12=0 khoảng [-2, -1] Tính sai số chọn nghiệm x* = -1.37 Ví dụ : Xét phương trình f(x) = 5x+ x -24 = khoảng [4,5] Tính sai số chọn nghiệm x* = 4.9 Giải Giải Vậy Sai số f’(x) = 3x2 -10x |f’(x)| = 3x2 -10x, ∀x∈[-2,-1] |f’(x)| ≥ 13 = m, ∀x∈[-2,-1] f’(x) = + x6 => |f’(x)| ≥ + 7 56 = m, ∀x∈[4,5] Sai soá |x*-x| ≤|f(x*)|/m ≈ 0.0034 |x*-x| ≤|f(x*)|/m ≈ 0.3485 Ghi nhớ : sai số làm tròn lên 13 14 Nếu f(ao)f(xo) < : đặt a1 = ao, b1 = xo f(xo)f(bo) < : đặt a1 = xo, b1 = bo Ta thu [a1, b1] ⊆ [ao,bo] chứa nghiệm x d1 = b1-a1= (b-a)/2 điểm x1 = (a1+b1) / II Phương Pháp Chia Đôi Xét phương trình f(x) = có nghiệm xác x khoảng cách ly nghiệm [a,b] f(a)f(b) < Đặt [ao,bo]=[a, b], d0=bo-ao=b-a Tiếp tục trình chia đôi đến n lần ta Chọn xo điểm [a0,b0] [an, bn] ⊆ [an-1,bn-1], dn = bn-an= (b-a)/2n Ta coù xo = (a0+b0) / điểm xn = (an+bn) / 2, an ≤ xn ≤ bn Neáu f(xo) = xo nghiệm → xong f(an)f(bn) < 0, an ≤ x ≤ bn 15 16 Ta có Ý nghóa hình học {an} dãy tăng bị chặn (=a) nên chúng hội tụ Vì bn-an = (b-a)/2n, nên lim an = lim bn Suy lim xn = x ao xo x2 x1 bo b a Vậy xn nghiệm gần pt Công thức sai số b1 a1 a2 b2 |xn – x| ≤ (b-a) / 2n+1 17 Ví dụ : Tìm nghiệm gần pt f(x) = 5x3 - cos 3x = khoảng cách ly nghiệm [0,1] với sai số 0.1 18 Ví dụ : Tìm nghiệm gần pt f(x) = 2+cos(ex-2)-ex = khoảng [0.5,1.5] với sai số 0.04 Giải Ta lập bảng Giải Ta lập bảng n an f(an) bn - 1 0.25 0.375 - 0.5 0.5 0.5 f(bn) xn + 0.5 + + + f(xn) ∆n + 0.5 0.25 0.375 0.4375 n 0.25 0.125 0.0625 Nghiệm gần laø x = 0.4375 19 an f(an) 0.5 + + + + + bn f(bn) 1.5 1.5 1.25 1.125 1.0625 - xn f(xn) + 1.25 1.125 1.0625 1.03125 Nghiệm gần x = 1.03125 ∆n 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 20 III Phương Pháp Lặp Đơn Để tìm nghiệm gần đúng, ta chọn giá trị ban đầu xo ∈ [a,b] tùy ý Xét phương trình f(x) = có nghiệm xác x khoảng cách ly nghiệm [a,b] f(a)f(b) < Xây dựng dãy lặp theo công thức xn = g(xn-1), ∀n = 1, 2, … Bài toán ta khảo sát hội tụ dãy {xn} Ta chuyển pt f(x) = dạng Tổng quát, dãy {xn} hội tụ phân kỳ x = g(x) Nếu dãy {xn} hội tụ hội tụ nghiệm pt Nghiệm pt gọi điểm bất động hàm g(x) 21 22 Ví dụ : Minh họa hội tụ dãy lặp xn = g(xn-1) = axn-1+b Ý nghóa hình học y=x y=g(x) y = g(x) x1 x3 x x2 xo Dãy hội tụ 23 Dãy phân kỳ 24 Ví dụ : Xét tính chất co hàm g(x) = 10 − x khoảng [0,1] Bây ta tìm điều kiện để dãy {xn} hội tu Ta có định nghóa sau Định Nghóa : Hàm g(x) gọi hàm co đoạn [a,b] neáu ∃q : 0